Planetas matemáticos

Piste verte Le 10 août 2016  - Ecrit par  Damien Gayet
Le 10 août 2016  - Traduit par  Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier
Article original : Planètes mathématiques Voir les commentaires
Lire l'article en  

El pitagórico Filolao afirmaba que existía un planeta que nadie había visto nunca, la Anti-Tierra. ¿De dónde venía esta idea descabellada ? Es muy simple : él solo contaba nueve astros en el cielo, pero consideraba ¡que debían ser diez ! ¿Completamente delirante esta idea ? Muy por el contrario, vamos a ver que de Neptuno a los exoplanetas, ¡él estaba en lo correcto !

¡Cuidado, este artículo contiene imágenes de grandes hombres en paños menores !

El Planeta de número

Veamos por qué la idea de Filolao no era totalmente absurda. Primero, los pitagóricos llamaban Tetraktys al número diez, al que Filolao veneraba. ¿Cuál es entonces el vínculo entre diez y el prefijo tetra, cuatro en griego ? Bueno, 10 = 1+2+3+4. Uno podría preguntarse ¿por qué se detienen en 4 y por qué no venerar el número 15 ? Filolao lo explica muy bien [1] :

En efecto, 1 es el punto, 2 la línea, 3 el triángulo, 4 la pirámide. [...] En las superficies y los volúmenes, los primeros elementos son el punto, la línea, el triángulo y la pirámide : todos contienen en sí el número 10 y le deben su perfección.

JPEG - 13.5 ko
Filolao (-485-385) y Pitágoras (-580 -497)

En términos más modernos, los números de 1 a 4 corresponden a las dimensiones (¡más uno !) de los diferentes objetos geométricos que se puede encontrar en el espacio : un punto, una curva, una superficie o un volumen. El Tetraktys contiene en sí todas las dimensiones del espacio físico. Hay por lo tanto dos razones, una aritmética y otra física, para adorar ese número.

¿Quiere convertirse en pitagórico ? ¡Haga click aquí antes de firmar !

Estos son los preceptos que será necesario que usted siga [2] :

  • Cálcese primero el pie derecho, pero al sacarse los zapatos empiece por el izquierdo
  • No se deje atrapar por los ataques de risa
  • No orine de cara al Sol
  • Escupa sobre los cabellos que le han cortado y sobre los recortes de uñas
  • Absténgase de comer animales de cola negra : están reservados a los dioses ctónicos
  • No se mire en un espejo a la luz de una lámpara.

Esta manera de pensar que las matemáticas tienen un lazo profundo con la Naturaleza es muy general. Aquí hay un primer precepto enunciado por Filolao [3] :

La geometría es el principio de la patria y de todas las ciencias.

En otras palabras, toda ciencia debe enunciarse en términos matemáticos. Pero esta conminación epistemológica es en realidad el corolario de una afirmación mucho más fuerte [4] :

Y de hecho, todo ser conocible tiene un número : sin él, no se sabría concebir ni conocer nada.

Según Filolao, si la ciencia debe ser matemática, no lo es -por ejemplo- porque las matemáticas sean un lenguaje cómodo o universal : ¡es porque el Universo mismo posee una estructura matemática !

JPEG - 77.2 ko
El Sistema Solar hasta 1781

¿Cuál es el lazo entre esas conminaciones y la Anti-Tierra ? En aquella época y hasta el descubrimiento de Urano por Herschel en 1781, los griegos conocían 1. Mercurio, 2. Venus, 3. la Tierra, 4. la Luna 5. el Sol, 6. Marte, 7. Júpiter y 8. Saturno.

JPEG - 22 ko
El movimiento circular de las estrellas en el cielo

Además, ellos consideraban que la totalidad de los otros astros estaban clavados en una gran esfera que gira alrededor de la Tierra en 24 horas, como parece demostrarlo la imagen anterior. Por lo tanto Filolao agrega 9. la Esfera. Aristóteles resume el argumento del pitagórico [5] :

Por ejemplo, como la Década parece ser un número perfecto y abarcar toda la naturaleza con números, ellos dicen que los cuerpos celestes en movimiento están en número de diez ; pero como los cuerpos visibles no son más que nueve, por ese motivo ellos se imaginan un décimo, la Anti-Tierra.

JPEG - 17.2 ko
Aristóteles frente al busto de Homero ; Rembrandt, 1653

La condena de Aristóteles cae enseguida como un machete natural [6] :

Lo que ellos afirman ahí, no lo consiguen buscando -como conviene hacer- las razones y las causas de los fenómenos ; por el contrario, ellos absorben los fenómenos en el sentido de ciertas opiniones y razones que les son propias ; ellos se esfuerzan por adaptarlos a esas opiniones, lo que es inconveniente al más alto grado.

Bonus : Aristóteles como usted no lo había visto nunca

El Lay de Aristóteles, aparecido en 1220, relata una anécdota ficticia pero chistosa. El joven Alejandro el Grande es acusado por su preceptor Aristóteles de olvidar sus estudios a causa de la bella Filis, de quien está enamorado. Ésta, abandonada a raíz de la intervención del filósofo, hechiza a este último y acepta entregarse a él, con la condición de que pueda utilizarlo como montura en el jardín. Al sorprenderlos Alejandro, Aristóteles acepta revertir su castigo ya que él mismo es víctima de ella.

JPEG - 30.4 ko
Aristóteles y Phyllis, Maître du Livre de la Maison, 1483-1487, Rijksmuseum

En resumen, este iluminado de Filolao tomaba sus deseos matemáticos como realidades. Vamos ahora a descubrir por qué... ¡él tenía buenas razones para hacerlo !

El triste fin de Filolao

Filolao tenía que huir primero de Crotona. En efecto, el tirano de esta ciudad deseaba convertirse en pitagórico, pero Filolao lo había juzgado indigno para ello. La continuación no fue más alegre [7] :

Es muy importante aplacar las sospechas,

Ya que, incluso sin culpa, basta con una apariencia

Para arriesgarse a la desgracia. Filolao también

A muerte fue condenado por sus antiguos amigos

Que vivían en Crotona y que habían creído

Que él quería erguirse como tirano de su ciudad

El Planeta de pluma

El 18 de septiembre de 1846, Urbain Le Verrier, astrónomo en el Observatorio de París, después de un año y medio enclaustrado en su oficina envía una carta al astrónomo Johann Gottfried Galle en Berlín. En esta carta Le Verrier le pide echar un vistazo con su telescopio a un lugar muy preciso del cielo para detectar eventualmente allí un astro que no sería ni una estrella ni un cometa... en resumen ¡un nuevo planeta !

A propósito, ¿qué distingue a ojo desnudo los planetas de las estrellas ?

En 24 horas, las estrellas vuelven al mismo lugar en el cielo, salvo algunos astros que se cuentan con los dedos de la mano, que se desplazan poco a poco en relación a la inmensidad de otros astros. Son los planetas (así como el Sol y la Luna).

Galle recibe la carta del francés el 23 de septiembre. Esa misma noche, él descubre una estrella no catalogada... que se movió al día siguiente ! El 25 de septiembre, el alemán despacha al francés una carta en la cual le anuncia que ’’el planeta[...] realmente existe’’. ¡Neptuno había nacido !

JPEG - 14.2 ko
La carta de Galle a Le Verrier del 25 septiembre de 1846

La hazaña de Le Verrier lo impulsa hacia el Panteón de los astrónomos. François Arago dice sobre este descubrimiento [8] :

El señor Le Verrier percibió el nuevo astro sin tener necesidad de dar una sola mirada al cielo : él lo vio en el extremo de su pluma.

¿Qué quería decir Arago ? ¿Cómo pudo hacerse este asombroso descubrimiento ? ¿Cómo Le Verrier pudo adivinar la presencia de Neptuno sin observarlo él mismo ?

JPEG - 6.1 ko
Urano

La historia comienza en 1781. En esa época los planetas conocidos se llamaban Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. El 13 de marzo de ese año, el músico y astrónomo William Herschel, ex-Wilhelm Herschel antes de su exilio en Inglaterra, descubre por casualidad un nuevo planeta del sistema solar, Urano.
En los años 1820, un astrónomo francés, Bouvard, se da cuenta de que Urano no gira en círculo... Más exactamente, la trayectoria observada de Urano no coincide con los cálculos teóricos basados en la gravitación universal de Newton [9].

JPEG - 12.8 ko
El cenotafio de Newton, projecto del arquitecto Étienne-Louis Boullée, 1784

Según esta última, todos los astros son atraídos por los demás siguiendo leyes matemáticas explícitas. Se podía, por lo tanto, predecir con mucha exactitud la trayectoria del nuevo planeta, teniendo en cuenta la influencia del Sol pero también de los enormes Saturno y Júpiter. Pero la diferencia observada, más de dos munutos de arco, estaba mucho más allá de los errores de medición razonables, o sea algunas décimas de segundos de arco.

La Luna se muestra a nosotros bajo un ángulo...

de alrededor de 30 minutos de arco, es decir medio grado. El error de Le Verrier era entonces de alrededor de dos Lunas, y la diferencia observada para Urano en relación a la teoría newtoniana, del orden de un treintésimo de la Luna. Ptolomeo medía la posición de los astros con una diferencia de una decena de minutos, es decir un tercio de la Luna. La precisión de las mediciones de Tycho Brahe, en el siglo XVI y sin lente astronómico, ya era de un minuto de arco, o sea ¡un treintésimo de la Luna !

Resumamos este asunto neptuniano : un astrónomo cree que el mundo está estructurado según las leyes de Newton, comprueba que la realidad no está en consonancia con su teoría y postula la existencia de un nuevo planeta... ¿no les recuerda algo ? Sí, claramente, ¡Neptuno es la hermana gemela pero real de la Anti-Tierra !

Un pequeño juego : ¡encuentre el error !

JPEG - 17.8 ko
La tumba de Le Verrier en el cementerio Montparnasse
JPEG - 99.7 ko
La tumba de Le Verrier en el cementerio Montparnasse, bis

Considerar que la Naturaleza está estructurada según leyes matemáticas ¡es especialmente fértil ! Sin embargo, se podría replicar que la ley de Newton es verdadera, contrariamente a la teoría de Filolao. La siguiente historia va a mostrarnos que el problema de Newton es el mismo que el de Pitágoras : las teorías no son verdaderas más que un día.

Sobre la gran lentitud de los neptunianos

Camille Flammarion, el hermano del Flammarion enciclopédico, redactó numerosas obras en el siglo XIX promoviendo la astronomía entre el público general, pero también la idea de la presencia de extraterrestres. Esto es lo que él decía de la población en Neptuno [10] :

[...] si ahí se vive en promedio tantos años como aquí, los niños aún están en crianza a la edad de 200 años, o juegan a la edad de 3300 años (si esta afortunada invención de la guerra permanente fue imaginada allí como en nuestro inteligente planeta), y los centenarios se quejan bajo el peso de ¡16500 inviernos ! Ahí se vive más lentamente ; un pensamiento que entre nosotros toma un segundo para llegar a nuestro cerebro demora dos minutos antes de actuar, una cena terrestre de una hora allí dura una semana ; sin duda todas las funciones orgánicas se realizan allá con una extrema lentitud...

JPEG - 9.3 ko
Camille Flammarion (1842-1925)

El Planeta de fuego

JPEG - 3.2 ko
Messenger acercándose a Mercurio

En 1859, nuestro héroe neopitagórico, coronado para toda la eternidad por el descubrimiento de Neptuno, descubre que la elipse recorrida por Mercurio, el planeta más cercano al Sol, da vuelta alrededor de la estrella con una velocidad incompatible con los cálculos teóricos : esta elipse posee una velocidad angular mayor de 38 segundos de arco por siglo que lo que predicen los cálculos.

JPEG - 13.5 ko
La elipse recorrida por Mercurio en torno al Sol se desplaza a una velocidad de cerca de 570 segundos por siglo, 40 por sobre lo que predice Newton

Con el fin de explicar esta intolerable diferencia entre teoría y realidad, Le Verrier se envalentona y postula con toda naturalidad... la existencia de un nuevo planeta, Vulcano...¡que no existe, igual que la Anti-Tierra !

JPEG - 18.8 ko
Prometo encadenado por Vulcano, Dirck van Baburen, 1623

Interludio filosófico

Pero entonces ¿cuál es la razón de la anomalía mercurial ? Habrá que esperar hasta 1916, cuando Albert Einstein y su relatividad general permiten explicar esta aberración. Einstein no necesitaba un nuevo planeta, pero debió inventar una teoría que destronó a la de Newton.

JPEG - 21.7 ko
Einstein al natural

¿Qué pensar de la infructuosa conjetura de Vulcano ? Ella indica que una ley física perdura en tanto se mantenga compatible con la experiencia... pero que este idilio termina siempre con una brecha insuperable. Incluso si -como es el caso para la teoría de Newton- una descripción del universo parece universal y con una increíble eficacia predictiva, no debe jamás ser considerada como intocable. Parece que los físicos terminan inevitablemente por revelar la existencia de límites en su campo de aplicación.

PNG - 243 ko
El mundo desde el punto de vista de los mercurianos

¿Qué pensar ahora de Newton destronado por Einstein ? Primero digamos que la teoría de la relatividad general es una descripción matemática del mundo particularmente fina, elegante y evolucionada, tanto y sin duda más que la de Newton. Un modelo matemático de la realidad física nunca nace sin imaginar de manera original ¡lo que se trama entre los bastidores de la Naturaleza !

Le Verrier, adulado y detestado

Le Verrier, promovido a director del Observatorio de París en 1853, muy rápidamente se hizo odiar por los empleados del lugar. Camille Flammarion, despedido por Le Verrier porque acababa de publicar La Pluralidad de los mundos habitados en 1862, lo describía así :

El sr. Le Verrier tenia el carácter más horroroso que se pueda imaginar. Altanero, desdeñoso, intratable, este autócrata consideraba a todos los funcionarios del Observatorio como esclavos.

El físico Alfred Cornu tampoco era verdaderamente sensible a los encantos de Le Verrier :

Yo no sé si el sr. Le Verrier es el hombre más detestable de París, pero sí es el más detestado.

En nuestros días se podría pensar que la increíble agudeza de nuestros telescopios permite descubrir los planetas agazapados en los alrededores de las estrellas lejanas, y que ya no es necesario imaginar que esos exoplanetas están sometidos a confusas leyes matemáticas. Vamos a ver, con la muy reciente historia del descubrimiento de 55 Cancri f, que no es nada de eso.

El Planeta de luz

55 Cancri A es una estrella localizada en el trópico de Cáncer, a unos 40 años-luz de nosotros, por lo tanto justo al lado y visible con binoculares. En 2004 se pensaba que alrededor de esta estrella, bastante parecida a nuestro Sol, orbitaban cuatro exoplanetas : 55 Cancri b, c, d y e.

JPEG - 14.4 ko
El exosistema 55 Cancri en 2004

Aquel año, los astrónomos efectuaron cálculos numéricos basados en la ley de gravitación universal y concluyeron que es muy posible que un planeta se sitúe entre 55 Cancri c y 55 Cancri d [11] :

Trabajos recientes han sugerido que muchos sistemas planetarios están cercanos a la inestabilidad. Si todos los sistemas están cercanos a la inestabilidad, un planeta adicional debe existir en las regiones estables de los sistemas planetarios extrasolares, con el fin de empujarlos al borde la estabilidad. Examinamos los sistemas conocidos colocando partículas de prueba sin masa entre los planetas [...] 55 Cnc posee amplias regiones contiguas, en el seno de las cuales las partículas sobreviven durante 10 millones de años.

Su argumento se basa en dos argumentos teóricos. Por una parte, se supone que los exosistemas no soportan un planeta suplementario, bajo pena de eyectarlo rápidamente o de producir encuentros cataclísmicos. Por otra parte, los planetas son sensibles, como Urano, a la gravitación universal.

En 2007, un artículo (esta vez no de numéricos teóricos sino de astrónomos con telescopios dirigidos por Debra Fischer) anuncia el descubrimiento de un nuevo exoplaneta, situado entre 55 Cancri c y 55 Cancri d [12] :

Las velocidades representadas aquí revelan una quinta periodicidad con P = 260 j, en coherencia con el movimiento kepleriano, para la cual la interpretación más razonable es otro planeta en órbita. [...] Por lo tanto, 55 Cnc es el primer sistema conocido que posee cinco planetas.

JPEG - 11.8 ko
Debra Fischer y la danza de un exo-sol (Upsilon Andromedae)

Expliquemos esas frases enigmáticas. La velocidad en cuestión es la de 55 Cancri A, el exosol de ese sistema. Si esta estrella estuviera sola, se mantendría en reposo. Si tuviera un planeta en órbita circular a su alrededor, efectuaría -en razón de las leyes muy matemáticas de Kepler- un pequeño círculo, y esto durante tanto tiempo como toma el planeta en girar alrededor de ella.

GIF - 93.9 ko
Pequeña circunferencia descrita por una estrella bajo la influencia de un único planeta

Si ese sistema contuviera un segundo exoplaneta sobre una órbita más cercana a la estrella que el primero y de pequeña masa, el círculo de oscilación de la estrella sería perturbado, y se añadirían pequeñas oscilaciones de una frecuencia igual a la de la frecuencia de revolución del segundo planeta, y así sucesivamente para los siguientes planetas. En otras palabras, las diferentes frecuencias del « baile » de 55 Cancri A ¡revelan la presencia de los planetas que giran a su alrededor !

Aquí está, en concreto, el baile de 55 Cancri A medido por los astrónomos :

PNG - 37.5 ko
La danza de la estrella 55 Cancri A

Ahí se ve con claridad un período de alrededor de 14 años, que corresponde justamente a la duración de revolución del exoplaneta 55 Cancri d, el gigante gaseoso a la derecha en la representación artística del sistema. También se comprueba oscilaciones mucho más rápidas que indican la existencia de otros planetas. Para estudiar justamente esos otros preciosos períodos se utiliza una fantástica herramienta, la transformada de Fourier (vea el artículo de San Vũ Ngọc en este sitio), que permite a partir de este baile ver literalmente esas distintas frecuencias, por lo tanto ¡la presencia de diversos exoplanetas ! Aquí está el gráfico de la transformada del movimiento de 55 Cancri A :

JPEG - 10.3 ko
El espectro de 55 Cancri A viola la presencia de sus exoplaneta

Ahí se distingue picos en ciertos períodos (medidos aquí en días) que corresponden normalmente a los períodos de los planetas en órbita.

El sonido de una guitarra para comprender el baile de 55 Cancri A

Cuando se toca un la en una guitarra, la cuerda produce un sonido, que es una variación periódica de presión del aire, matemáticamente parecido al baile de 55 Cancri A debido a la presencia de sus planetas. Aquí está la evolución, tomada de [13], de la presión en función del tiempo cuando se toca un la :

Le son d'un La d'une guitare : les variations de la pression de l'air en fonction du temps {PNG}

Si se supone que esta función se descompone en funciones verdaderamente periódicas, igual como se supone que el baile de Cancri se debe a la suma de las influencias de sus planetas, se puede medir -ésa es la magia de la teoría de Fourier- la importancia de esas funciones periódicas con otro gráfico, el de su transformada de Fourier :

Les fréquences intervenant dans le son d'un la de guitare {PNG}

Se comprueba que las frecuencias importantes son múltiplos de la frecuencia de la, 112 hertz.

En el anterior diagrama, el pico en 259,2 d (d para días) reveló a Debra Fischer y sus colegas la presencia de 55 Cancri f, del cual se descubre el verdadero rostro... ¡un pico de una transformada de Fourier !

¿Se ve realmente bailar a Cancri A ?

¡No verdaderamente ! En realidad, una nueva herramienta teórica interviene para adivinar el baile de 55 Cancri A : el efecto Doppler. Cuando la estrella se aleja de nosotros, su luz nos aparece con una frecuencia más débil que cuando se acerca a nosotros. Midiendo precisamente la frecuencia de esta luz ¡se comprende entonces su movimiento !

JPEG - 39.5 ko
La danse de 55 Cancri A trahie par l’effet Doppler

¡Una vez más, las teorías matemáticas y físicas están en juego para adivinar lo que ocurre en la realidad !

Conclusión

¿Qué moraleja sacar de estas cuatro historias de planetas matemáticos, la Anti-Tierra, Neptuno, Vulcano y 55 Cancri f ? Retomemos nuestro razonamiento. Primero, desaprobamos a Filolao y su pretensión de imponer a lo real sus fantasmas aritméticos. Luego nos extasiamos ante la perseverancia teórica de Le Verrier, que le permitió descubrir Neptuno. Finalmente, comprobamos que la teoría de Newton también tiene sus límites y que la comparación Filolao-Le Verrier Pitágoras-Newton no es tan absurda. La demostración de la existencia de 55 Cancri f terminó por convencernos de que la concepción del Universo de Filolao tiene un sentido, y que en todo caso su epistemología es la adecuada : parece imposible comprender y adivinar lo que ocurre en el cielo ¡sin la ayuda de herramientas matemáticas cada vez más sofisticadas !

JPEG - 131.8 ko
Isaac Newton, William Blake, 1795

La conclusión es especialmente asombrosa : es al imaginar la estructura real según las matemáticas siempre más elaboradas y nuevas como se puede descubrir nuevos astros, pero siempre uno termina por darse cuenta que este imaginario tiene sus límites y se vuelve obsoleto con una nueva teoría que da mejor cuenta de la realidad. Por un lado, parece que el Universo es matemático, pero por otro, parece que esas matemáticas sólo existen en la cabeza de los astrónomos... ¿qué pensar ?

Post-scriptum :

Si usted tiene ganas de saber más acerca de los grandes debates filosóficos a través de hermosos descubrimientos astronómicos, puede consultar mi obra L’invention du réel - Les dessous philosophiques de l’astronomie.

JPEG - 15.2 ko
La invención de lo real, los rastros filosóficos de la astronomía

Al autor y a la redacción de Images des Maths les interesa agradecer a los relectores
Eulenspiegel, Serma, Sébastien Peronno, Cesar Martinez y Jimmy Dillies por su atenta relectura y sus juiciosos comentarios.

Article original édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1Pseudo-Jamblique, Théologoumènes arithmétiques, en Dumont Jean-Paul et al., Les Présocratiques, La Pleïade, Gallimard, 1988.

[2Jamblique, Protreptique, op. cit.

[3Plutarque, Propos de table, op. cit.

[4Philolaos, cité par Stobée, op. cit.

[5Aristote, Métaphysique, Vrin, 1991.

[6Aristote, Les Pythagoriques, en Le Système du Monde, Duhem, Hermann.

[7Diogène Laërce, Vies, Dumont Jean-Paul et al., op. cit.

[8F. Arago, Académie des Sciences, 5 octobre 1846.

[9Para más detalles acerca de este descubrimiento, se puede consultar en orden decreciente de dificultad, el libro de Tisserand, Traité de mécanique céleste, 1889, disponible en archive.org, La découverte de Neptune por Le Verrier, James Lequeux, disponible en Bibnum, y mi libro, L’invention du réel, mencionado al final de este artículo.

[10Camille Flammarion, Les Terres du Ciel, disponible en el sitio Gallica.

[11R. Barnes and S. N. Raymond, Predicting Planets in Known Extrasolar Planetary Systems. I. Test Particle Simulations, The Astrophysical journal, 617, 2004.

[12Debra A. Fischer et al., Five Planets Orbiting 55 Cancri, The Astrophysical Journal, 2008.

[13http://images.math.cnrs.fr/Spectre.html.

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?