Polska Biblioteka Wirtualna Nauki

Le 17 mai 2009  - Ecrit par  Xavier Caruso Voir les commentaires (1)

Il y a quelques jours, en cherchant une référence sur le paradoxe de Banach-Tarski [1], je suis tombé sur le site de la Polska Biblioteka Wirtualna Nauki (bibliothèque polonaise de sciences en ligne) qui regroupe de nombreux articles mathématiques très intéressants d’un point de vue mathématique certainement, mais aussi historique car certains textes datent du début du 20ème siècle. On y trouve en particulier de magnifiques exposés de Sierpinski et de Banach, de surcroît généralement très bien rédigés, et souvent même en français ! Certains d’entre eux pourraient d’ailleurs être susceptibles d’intéresser les professeurs en licence (ou classes préparatoires) puisqu’on y démontre des théorèmes qui, de nos jours, sont parfois proposés comme exercices à ce niveau.

Pour en revenir au paradoxe de Banach-Tarski, on trouve également le texte original de Banach et Tarski dans le tome 6 de Fundamenta Mathematicae. Mais, encore mieux que cela, j’aimerais commenter rapidement un autre article de Banach intitulé Sur le problème de la mesure [2]. En haut de la page 15 (juste après la fin de la démonstration), Banach définit ce qu’il appelle un corps. C’est très instructif de relire ce texte aujourd’hui car le sens que Banach prête au mot « corps » n’est pas du tout celui qu’il a actuellement (en mathématiques, je veux dire) mais correspond plutôt à la notion actuelle de sous-espace vectoriel (de l’espace de hyperfonctions, mais peu importe) ! De même, à la page suivante, définition 11, Banach introduit les applications additives qui, aujourd’hui, portent le nom d’applications linéaires ! Il est donc à peu près clair qu’au début du 20ème siècle, l’algèbre linéaire n’avait pas encore été étudiée de façon complètement systématique, mais cela n’empêchait manifestement pas les mathématiciens de l’époque (tel Banach) d’y démontrer des théorèmes profonds. Pour preuve, le théorème 16 de l’article de Banach n’est rien d’autre qu’un cas particulier [3] du résultat
connu aujourd’hui sous le nom de théorème d’Hahn-Banach.
Je ne saurais l’affirmer avec certitude mais il est probable que ce soit, là, la première preuve de ce théorème [4].
Ainsi, le théorème d’Hahn-Banach aurait été démontré initialement dans le but d’établir un résultat de théorie de la mesure, à savoir la construction d’une mesure finiment additive sur tous les sous-ensembles du plan [5].

Bien sûr, je suis encore loin d’avoir épuisé toutes les richesses de ce merveilleux site. J’espère en tout cas que, comme moi, vous trouverez beaucoup de plaisir à parcourir ou étudier certains des articles que l’on y trouve.

Notes

[1Le paradoxe de Banach-Tarski est un théorème mathématique qui affirme que l’on peut découper une boule en un nombre fini de morceaux puis déplacer chacun de ces morceaux de façon à reformer une boule de rayon deux fois plus grand. Intuitivement, cela paraît impossible car l’on a envie de croire que le volume devrait être conservé. L’argument ne marche en fait pas car les parties découpées ont des formes tellement bizarres qu’il n’est pas possible de leur attribuer un volume. Pour plus de détails, on pourra consulter Wikipedia.

[2Pour ceux qui auraient la flemme d’aller chercher le papier, voici un lien direct.

[3Le but de Banach étant de démontrer un résultat de théorie de la mesure, celui-ci énonce « le théorème d’Hahn-Banach »
juste dans le cadre qui l’intéresse. Toutefois, la démonstration qu’il
en donne s’étend presque mot pour mot au cas général.

[4Wikipedia précise que le théorème apparaît dans sa version analytique,
pour la première fois, en 1932, dans les écrits de Banach. La référence
que j’évoque est, quant à elle, antérieure, puisqu’elle date à peine de
1923. Toutefois, comme je l’ai déjà dit, on n’y trouve pas vraiment le
théorème d’Hahn-Banach tel que nous l’entendons aujourd’hui, et il est
on ne peut plus probable qu’en 1923, Banach n’ait pas eu conscience que
son théorème 16 (ou du moins sa démonstration) ait une portée bien plus
grande que celle de résoudre un problème de théorie de la mesure. En ce
sens, l’affirmation de Wikipedia paraît justifiée.

[5Bien sûr, au final, au moins pour ceux qui connaissent, ce n’est pas non plus très surprenant.

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Pour citer cet article :

Xavier Caruso — «Polska Biblioteka Wirtualna Nauki» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • Polska Biblioteka Wirtualna Nauki

    le 4 juin 2009 à 23:46, par Laurent Guillopé

    Le corpus de la mini-DML contient les volumes numérisés de la « Kolekcja Matematyczna » de la « Polska Biblioteka Wirtualna Nauki » : tous ses articles y étant indexés, accéder à l’article de Banach sur la théorie de la mesure est aisé, un jeu d’enfant via l’interface d’interrogation de cette mini-DML, qui contient bien d’autres articles !

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