Por favor... ¡dibújame un elemento de torsión !

Piste rouge Le 4 mai 2014  - Ecrit par  Jimmy Dillies
Le 16 novembre 2016  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : S’il vous plaît... dessine-moi un élément de torsion ! Voir les commentaires

En álgebra, se habla a menudo de elementos de torsión, es decir, de elementos no nulos (por ejemplo de un grupo o de un cuerpo ...), del cual un múltiplo es trivial -o nulo-. Desgraciadamente, con frecuencia nuestra imaginación se detiene ahí y rara vez uno trata de visualizar esos elementos. Sin embargo... existen. Aquí hay uno.


– Por favor... ¡dibújame un elemento de torsión ! [1] [2]
– ¿Qué ?
– Dibújame un elemento de torsión.
Me dí la vuelta y delante mío descubrí un montón de cabello rubio que me pasaba un papel y un lápiz. ¿Qué hacía él ahí ? No tenía la mínima idea, pero yo me veía ciertamente más desconcertado que él.
– Dibújame un elemento de torsión. Ya sabes, un elemento no trivial cuyo múltiplo es nulo...
No tenía ninguna idea de donde este niño podía haber salido, pero como yo tenía otras cosas que hacer tomé el papel y pintarrajée :
\[ 60^o \]
Y volví a ocuparme de mi trabajo, seguro de que ya no me molestaría más. Sólo que el Principito no parecía satisfecho. Seguía mirando el papel con el rostro fruncido. Hice entonces un esfuerzo :
– Mira, 6 veces $60^{o}$ suman $360^{o}$, una vuelta completa. Es como si uno no se hubiera movido. Girar en $360^{o}$ o quedarse donde mismo, es decir dar la vuelta $0^{o}$ a fin de cuentas viene a ser lo mismo. Así, $60^{o}$ es un elemento de torsión, ya que uno de sus múltiplos, $360^{o}$, es trivial.
– No, continuó la pequeña voz, eso es álgebra. Yo quiero ver un elemento de torsión.
– Dibuja el ángulo tú mismo entonces, le contesté con algo de sequedad, casi sin dudar. Un poco arrepentido, decidí coger de nuevo su papel.
– Mira, niño.

Yo acababa de dibujar un reloj sobre la cual pinté 1 hora.
– En doce veces una hora, la aguja de tu reloj habrá vuelto a su lugar. ¿No es lindo este elemento de torsión ?
Pero el Principito no estaba para nada satisfecho.
– ¿Por qué los adultos son siempre tan complicados ? Uno les pide un dibujo y ellos escriben.
Bueno, había perdido. El pequeño no iba a contentarse con mis respuestas a la rápida. Él quería de verdad que yo le dibujara un elemento de torsión.
– Siéntate, le dije, y dame tu papel y tu lápiz.
Se sonrió porque se había dado cuenta que él había ganado una explicación. Me pasó su papel con los ojos chispeantes. Yo me puse a dibujar.
– ¡Ya ! los objetos con los cuales vamos a jugar son pequeños lazos sobre superficies.
Le dibujé algunos, que él observó atentamente.



– Estos lazos yo puedo estirarlos, moverlos, pero no puedo sacarlos de su punto de sujeción. Si yo puedo transformar un lazo en otro, los consideraré idénticos. Mira :



– ¿Ves ? aquí sobre la esfera, todos los lazos son de alguna manera idénticos. Son incluso triviales porque se pueden contraer hasta reducirlos a un punto. El toro, al contrario, está lleno de lazos diferentes. Algunos son triviales [3] y pueden contraerse hasta convertirse en un punto ; otros están enrrollados y no se pueden contraer indefinidamente.


– Es bonito. ¿Tiene un nombre ?
– El nombre no tiene importancia [4]. Lo importante es que podemos añadir estos curiosos elementos [5]. Mira.



Si dos pequeños lazos se colocan uno a continuación del otro y se libera el extremo final del primero que se une al extremo inicial del segundo, que está también despegado de la superficie, se obtiene un nuevo lazo.
– ¿Puedes repetir ? preguntó el Principito.
– Sigue con tu dedo el primer camino y pásalo directamente al segundo. Acabas de seguir un nuevo camino, compuesto por dos caminos precedentes. Este nuevo trazo es la suma de dos precedentes.
– Comprendo. Y una vez que las dos lazos están unidos yo puedo deformarlos de nuevo... pero ¿dónde está mi elemento de torsión ?
– ¡Paciencia, paciencia ! Mira cómo yo sumo estos dos lazos sobre el toro.



El Principito miraba todavía atentamente. Su impaciencia había sido de corta duración. Estaba de nuevo muy interesado.
– El toro, la esfera, está bien. Pero uno podría crear también bonitas superficies con tijeras y pegamento. Observa :



– ¿Qué superficie obtendrías si pegas el modelo según los colores, manteniendo el sentido de las flechas ?
El Principito reflexionaba. Él plegaba el papel en los rincones de su cerebro y trataba de usar un pegamento imaginario para no tener que comenzar de nuevo.
– ¡Un cubo !



– Muy bien. ¿Y estos ?





Sus ojos pasaban por los dibujos siguientes. Él había comprendido.
– Un cilindro y una cinta de Möbius. [6]




Yo le mostré un último.



– ¡Un toro !



– Bravo, le dije. Has entendido el juego. Ahora, también podemos unir pedazos. Yo hice un corte en una esfera y te pido a tí que la pegues siguiendo las marcas coloreadas.



Acababa de devolverle la hoja de papel cuando mi pequeño alumno volvió a la carga.
– Se vuelve a encontrar la esfera del inicio.
– Felicitaciones. Y aquí, ¿qué sucede si te pido recortarla y luego volver a unirla según el juego de colores ? Cuidado, tal como en la cinta de Möbius, las flechas están invertidas.



Y se hizo el silencio.

El Principito parecía molesto. Comenzó a usar sus manos, como el alumno que descubre cómo sumar. Sus pequeñas manos se retorcían, pero de su boca no salía nada.
– ¿Es posible ? dijo finalmente.
– Sí, confieso que es un poco tramposo, pero nos haría falta un poco más de lugar para pegar esto (digamos, una dimensión más), pero de todas maneras es posible hacerlo. Eso se llama el plan proyectivo.
– ¿Qué ?
– No te inquietes. Sólo tienes que saber que es el paraíso financiero de las rectas.
– ¿Cómo ? Parecía estar aún más sorprendido.
– Es el lugar donde ellas saben que pueden unir sus dos extremos... (silencio)... no, estoy bromeando. Te lo explicaré quizás en otra ocasión.
El Principito parecía estar impacientándose. Mi humor evidentemente no le agradaba mucho.
– Y bueno, mira, quedémonos con el plano proyectivo... Mira tu elemento de torsión -se lo había dibujado en rojo- :



– Pero los dos extremos ¿no deberían ser idénticos ?, exclamó
– Lo son. Acuérdate cómo unimos los dos bordes. Los dos extremos finales están identificados, los dos puntos en las comisuras están pegados.
– Es verdad. Lo había olvidado. ¿Pero por qué se trata de un elemento de torsión ?
– Observa. Trata de deformar tu cuerda. No podrás hacerla desaparecer nunca.



– En efecto.
– Ahora tomemos dos copias de este pequeño lazo y unámoslos uno al otro. Así. Y le pasé de nuevo su papel.



– Ya veo. Como los dos lados están pegados, tú dibujaste uno de los lazos a la izquierda y otro a la derecha, pero en realidad es el mismo lazo.
– Absolutamente. ¿Y qué pasa ahora ? Bueno, una vez vueltos a pegar, tú puedes hacer deslizar estos lazos por debajo. ¡Y magia ! el lazo ¡desaparece !



Los ojos del Principito brillaban con mil chispas. Tenía su elemento de torsión. Estaba aún sentado frente a mí, pero yo veía en su mirada que él ya estaba en otra parte.
– Gracias, me dijo.
Pero no tuve tiempo de contestarle cuando él ya se había ido. ¡Qué curioso este pequeño personaje ! muy simpático. Yo estaba contento de haber podido ayudarle. Me puse a soñar despierto algunos momentos, y después volví a mi trabajo. Me quedaban aún algunas horas antes de la partida y el tren de aterrizaje estaba muy duro. No veía más que una sola posibilidad : sin duda era un problema con la barra de torsión...

Post-scriptum :

Grandes agradecimientos a todos los relectores por sus comentarios juiciosos. Espero no olvidar a nadie, citando a E. Lakuriqi, M. Dillies-Snaet, F. Ziegler, S. Cantat, Mathieu, B. Mallein, Mathilde, J. Lefort, A. Marmora & C. Caubel.

Article original édité par Serge Cantat

Notes

[1Inspirado en “El Principito” de Saint-Exupéry.

[2A G. Lambert

[3Trivial es un bonito término utilizado aquí para decir nulo.

[4Se trata de un grupo fundamental o de un grupo de Poincaré. Vea su certificado de nacimiento.

[5Gracias a M. Feynman. Lea “The making of a scientist.”

[6Vea el artículo de Patrick Popescu-Pampu para una linda aproximación a la cinta de Möbius.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Por favor... ¡dibújame un elemento de torsión !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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