Los números primos han fascinado y fascinan todavía a un número incalculable de personas, sean o no matemáticos de profesión. Esta pasión ha engendrado una plétora de teoremas relacionados con ellos, algunos de los cuales son de una sofisticación alucinante. Entre estos teoremas, ¿hay algunos más importantes que otros ? Depende del punto de vista, pero lo que es seguro es que la complejidad del mundo de los números primos proviene del siguiente teorema, ya conocido como de Euclides :

¡Este teorema tiene una prueba muy corta ! Se las he explicado a mis estudiantes durante su primera semana de estudios universitarios, como un ejemplo famoso de prueba por contradicción.

Pero antes de hacer esta prueba, yo verifiqué si los estudiantes sabían definir los números primos. Muchos de ellos me dijeron sin dudar :

’’¿Es correcto ?’’ les pregunté entonces. Después de algunos instantes de reflexión, algunos brazos se levantaron.

’’No, hay que agregar que el número es al menos igual a $2$’’, escuché.

’’Muy bien’’, comenté, ’’la definición completa es, por lo tanto :

’’Por lo tanto, $1$ no es primo’’, concluí. ’’’Pero ¿por qué ?, ¿pueden decírmelo ?’’

’’Porque por definición, un número primo no puede ser igual a $1$’’, me respondieron.

’’Tienen toda la razón’’, les contesté, ’’es lo que dice la Definición 2. Pero lo que les pregunto es que me expliquen por qué se decidió que la definición ’’correcta’’ es la segunda y no la primera. ¿Por qué se prefirió excluir $1$ del conjunto de los números primos ?’’

Silencio ...

Entonces escribí en el pizarrón :

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ Enteros naturales $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ Moléculas

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ Números primos $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ ¿ ?

’’¿Pueden ustedes completar ese cuadro ?’’ les pregunté. Después de algunos instantes de reflexión, escuché :

’’Átomos...’’

’’En efecto’’, expliqué, ’’se puede decir que los números primos son a los naturales como los átomos son a las moléculas. En ambos casos son nociones que han sido elaboradas bajo la influencia de una filosofía reduccionista : descomponer los objetos complicados en objetos más simples hasta que se llegue a objetos indivisibles. A la inversa, se quiere poder recombinar los objetos indivisibles, con el fin de obtener los objetos de inicio.

Un punto sutil es que los objetos indivisibles dependen del conjunto de los objetos en el cual se trabaja, así como de la ley de combinación utilizada.

Por ejemplo, el átomo (palabra que significa, etimológicamente, indivisible) se descompone en electrones, neutrones y protones, obtenidos a su vez a partir de bichos aún más elementales... Pero esos objetos no forman parte del conjunto ’’químico’’ de las moléculas. Si se trabaja dentro del conjunto de las moléculas y la composición es hecha por reacción química, los átomos son las moléculas indivisibles ...

De manera análoga, los números primos son los objetos indivisibles, con tal que :

• la composición se haga por multiplicación de los números ;
• se trabaje en el conjunto de los enteros naturales superiores o iguales a $2$.

En efecto, si se trabaja también con $1$, entonces todo entero natural $n$ es divisible por un producto :
\[n = n \times 1. \]

Así, el proceso de división no se detiene jamás, ya que se puede continuar :
\[ 1 = 1 \times 1 = 1 \times 1 \times 1 = \cdots \]

Por lo tanto, ¡no hay objetos indivisibles en el conjunto $\{1, 2, 3, 4, ... \}$ cuando se los compone por productos !

Pero si uno saca al $1$ de este conjunto se obtienen elementos indivisibles : los números primos -según la definición ’’correcta’’, es decir, la Definición 2. El mismo conjunto de números primos puede ser redefinido de la siguiente manera, que ilustra mejor la filosofía reduccionista subyacente :

Se puede demostrar entonces este otro teorema fundamental de la teoría de los números primos :

Por ejemplo, aquí están las descomposiciones posibles de $12$ :
\[12 = 2 \times 2 \times 3 = 2 \times 3 \times 2 = 3 \times 2 \times 2. \]

¡Este teorema sería falso si se permitiera que $1$ fuera primo ! Por eso se eligió decir que no lo es. En efecto, si uno dijera que $1$ es primo, entonces habría una infinidad de descomposiciones de no importa cuál número natural como producto de números primos. Por ejemplo :
\[ 2 = 2 = 2 \times 1= 2 \times 1 \times 1 = \cdots \]

¡Cuidado ! : el primer teorema referido a la infinidad de los números primos no nos permite decidir si uno quiere o no decir que $1$ es primo. Con mayor exactitud, no nos permite elegir entre las definiciones 1 y 2. Es el segundo teorema el que provee el criterio decisivo.’’

Fue la oportunidad para explicar que las definiciones no solamente deben ser correctas sino que deben además ser elegidas con el fin de hacer que los enunciados de los teoremas importantes sean tan simples como sea posible.

Volviendo a la analogía entre números y moléculas químicas, se puede observar que -desde el punto de vista de la combinación de los objetos- el mundo de las moléculas es mucho más complicado que el conjunto de los enteros naturales. En efecto, dos enteros naturales cualesquiera pueden ser combinados por multiplicación en un nuevo entero natural, pero dos moléculas cualesquiera no reaccionan necesariamente. Y si reaccionan, no dan necesariamente una sola nueva molécula. Además, el resultado de la reacción depende de las condiciones ambientales : temperatura, presión, catalizadores, etc.

Para concluir, me gustaría mencionar que la analogía entre aritmética y química que utilicé en la explicación anterior no es nueva. Le sirvió ya a Kummer en el siglo XIX para explicar cómo él pensaba en los ’’números ideales’’ que acababa de presentar. Yo expliqué esto en esta otra nota.