¿Por qué el primer número no es un número primo ?

Le 17 septembre 2014  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 15 février 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Pourquoi le premier nombre n’est pas un nombre premier Voir les commentaires
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¿Por qué razón se excluye al 1 de los números primos ?

Los números primos han fascinado y fascinan todavía a un número incalculable de personas, sean o no matemáticos de profesión. Esta pasión ha engendrado una plétora de teoremas relacionados con ellos, algunos de los cuales son de una sofisticación alucinante. Entre estos teoremas, ¿hay algunos más importantes que otros ? Depende del punto de vista, pero lo que es seguro es que la complejidad del mundo de los números primos proviene del siguiente teorema, ya conocido como de Euclides :

Teorema : Existe una infinidad de números primos.

¡Este teorema tiene una prueba muy corta ! Se las he explicado a mis estudiantes durante su primera semana de estudios universitarios, como un ejemplo famoso de prueba por contradicción.

La prueba de Euclides

Aquí está -para el lector curioso- el enunciado de Euclides, así como su prueba. Se trata de la Proposición XX del Noveno Libro de los ’’Elementos’’. Entre corchetes he agregado algunos comentarios :

PROPOSICIÓN XX : ’’Los números primos están en mayor cantidad que toda cantidad propuesta de números primos.’’

PRUEBA : ’’Sean $A, B, \Gamma$ los números primos propuestos ; yo digo que los números primos estarán en mayor cantidad que los números
$A, B, \Gamma$. Tómese el más pequeño número que está medido por los números $A, B, \Gamma$
[es decir, en términos modernos, que es divisible por cada uno de ellos ; como esos números son primos y distintos, se trata por lo tanto de su producto] ; y que ese numero sea $\Delta E$ [se trata de los extremos de un segmento que representa ese producto] ; agreguemos la unidad $\Delta Z$ a $\Delta E$
[el segmento $\Delta Z$ que prolonga $\Delta E$ es considerado de igual longitud que la unidad de medida] ; el número $EZ$ [por lo tanto la longitud del segmento obtenido tomando la unión de los dos segmentos anteriores] será un número primo, o no lo será. Que sea primero un número primo : se habrá encontrado los números primos $A, B, \Gamma, EZ$ , que son mayor cantidad que los números $A, B, \Gamma$.

Pero si $EZ$ no es un número primo : ese número será medido por cualquier número primo [es decir, en términos modernos, será divisible por un número primo]. Que sea medido por el número primo $H$ ; yo digo que
$H$ no es ninguno de los números $A, B, \Gamma$. Que sea uno de esos números, si esto es posible. Ya que los números $A, B, \Gamma$ miden $\Delta E$, el número $H$ medirá $\Delta E$. Pero $H$ mide $EZ$ ; por lo tanto $H$, que es un número, medirá la unidad restante $\Delta Z$, lo que es absurdo. Por lo tanto, $H$ no es ninguno de los números $A, B, \Gamma$. Pero se ha supuesto que es un número primo ; los números primos $A, B, \Gamma, H$ que se ha encontrado son por lo tanto mayor cantidad que los números $A, B, \Gamma$. Lo que había que demostrar.
’’

Pero antes de hacer esta prueba, yo verifiqué si los estudiantes sabían definir los números primos. Muchos de ellos me dijeron sin dudar :

Definición 1 : Un número natural es primo si solo es divisible por $1$ y por sí mismo.  [1]

’’¿Es correcto ?’’ les pregunté entonces. Después de algunos instantes de reflexión, algunos brazos se levantaron.

’’No, hay que agregar que el número es al menos igual a $2$’’, escuché.

’’Muy bien’’, comenté, ’’la definición completa es, por lo tanto :

Definición 2 : Un número natural es primo si es mayor que $1$ y sólo es divisible por $1$ y por sí mismo.’’

’’Por lo tanto, $1$ no es primo’’, concluí. ’’’Pero ¿por qué ?, ¿pueden decírmelo ?’’

’’Porque por definición, un número primo no puede ser igual a $1$’’, me respondieron.

’’Tienen toda la razón’’, les contesté, ’’es lo que dice la Definición 2. Pero lo que les pregunto es que me expliquen por qué se decidió que la definición ’’correcta’’ es la segunda y no la primera. ¿Por qué se prefirió excluir $1$ del conjunto de los números primos ?’’

Silencio ...


Entonces escribí en el pizarrón :

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ Enteros naturales $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ Moléculas

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ Números primos $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ ¿ ?

’’¿Pueden ustedes completar ese cuadro ?’’ les pregunté. Después de algunos instantes de reflexión, escuché :

’’Átomos...’’

’’En efecto’’, expliqué, ’’se puede decir que los números primos son a los naturales como los átomos son a las moléculas. En ambos casos son nociones que han sido elaboradas bajo la influencia de una filosofía reduccionista : descomponer los objetos complicados en objetos más simples hasta que se llegue a objetos indivisibles. A la inversa, se quiere poder recombinar los objetos indivisibles, con el fin de obtener los objetos de inicio.

Un punto sutil es que los objetos indivisibles dependen del conjunto de los objetos en el cual se trabaja, así como de la ley de combinación utilizada.

Por ejemplo, el átomo (palabra que significa, etimológicamente, indivisible) se descompone en electrones, neutrones y protones, obtenidos a su vez a partir de bichos aún más elementales... Pero esos objetos no forman parte del conjunto ’’químico’’ de las moléculas. Si se trabaja dentro del conjunto de las moléculas y la composición es hecha por reacción química, los átomos son las moléculas indivisibles ...

De manera análoga, los números primos son los objetos indivisibles, con tal que :

  • la composición se haga por multiplicación de los números ;
  • se trabaje en el conjunto de los enteros naturales superiores o iguales a $2$.

En efecto, si se trabaja también con $1$, entonces todo entero natural $n$ es divisible por un producto :
\[n = n \times 1. \]

Así, el proceso de división no se detiene jamás, ya que se puede continuar :
\[ 1 = 1 \times 1 = 1 \times 1 \times 1 = \cdots \]

Por lo tanto, ¡no hay objetos indivisibles en el conjunto $\{1, 2, 3, 4, ... \}$ cuando se los compone por productos !

Pero si uno saca al $1$ de este conjunto se obtienen elementos indivisibles : los números primos -según la definición ’’correcta’’, es decir, la Definición 2. El mismo conjunto de números primos puede ser redefinido de la siguiente manera, que ilustra mejor la filosofía reduccionista subyacente :

Definición 3 : Los números primos son los elementos del conjunto $\{2, 3, 4, 5, ... \}$ que no pueden descomponerse en producto de otros dos elementos de este conjunto.

Se puede demostrar entonces este otro teorema fundamental de la teoría de los números primos :

Teorema : Todo entero natural se descompone de una única manera como producto de números primos... con tal que se considere que dos de tales descomposiciones son idénticas si se puede pasar de una a la otra por permutación de los factores.

Por ejemplo, aquí están las descomposiciones posibles de $12$ :
\[12 = 2 \times 2 \times 3 = 2 \times 3 \times 2 = 3 \times 2 \times 2. \]

¡Este teorema sería falso si se permitiera que $1$ fuera primo ! Por eso se eligió decir que no lo es. En efecto, si uno dijera que $1$ es primo, entonces habría una infinidad de descomposiciones de no importa cuál número natural como producto de números primos. Por ejemplo :
\[ 2 = 2 = 2 \times 1= 2 \times 1 \times 1 = \cdots \]

¡Cuidado ! : el primer teorema referido a la infinidad de los números primos no nos permite decidir si uno quiere o no decir que $1$ es primo. Con mayor exactitud, no nos permite elegir entre las definiciones 1 y 2. Es el segundo teorema el que provee el criterio decisivo.’’


Fue la oportunidad para explicar que las definiciones no solamente deben ser correctas sino que deben además ser elegidas con el fin de hacer que los enunciados de los teoremas importantes sean tan simples como sea posible.

Volviendo a la analogía entre números y moléculas químicas, se puede observar que -desde el punto de vista de la combinación de los objetos- el mundo de las moléculas es mucho más complicado que el conjunto de los enteros naturales. En efecto, dos enteros naturales cualesquiera pueden ser combinados por multiplicación en un nuevo entero natural, pero dos moléculas cualesquiera no reaccionan necesariamente. Y si reaccionan, no dan necesariamente una sola nueva molécula. Además, el resultado de la reacción depende de las condiciones ambientales : temperatura, presión, catalizadores, etc.

Para concluir, me gustaría mencionar que la analogía entre aritmética y química que utilicé en la explicación anterior no es nueva. Le sirvió ya a Kummer en el siglo XIX para explicar cómo él pensaba en los ’’números ideales’’ que acababa de presentar. Yo expliqué esto en esta otra nota.

Notes

[1Euclides los definió así : ’’El número primo es aquel que es medido solo por la unidad.’’

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¿Por qué el primer número no es un número primo ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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Representa la señal de la línea 1 del tranvía de Augsburg. Pero ustedes seguramente adivinaron que ahí veo un cartón rojo con el número 1...

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