Portrait d’Élie Cartan par André Weil

Piste verte 7 novembre 2011  - Ecrit par  Michèle Audin Voir les commentaires (4)

Élie Cartan (1869-1951) fut un des créateurs, notamment, de la géométrie différentielle moderne, dans la première moitié du vingtième siècle.

Dans la lettre que nous reproduisons ci-dessous, et qui était adressée à son ami Henri Cartan (1904-2008), le mathématicien André Weil (1906-1998) dressait, en 1984, un portrait d’Élie Cartan (le père d’Henri) [1].

Cette première photographie de famille montre Élie Cartan, son fils aîné Henri, son épouse Marie-Louise (debout), et les trois autres enfants Jean, Hélène et Louis [2] dans les années 1920.

C’est à Dolomieu, près de Grenoble, où son père était forgeron, qu’Élie Cartan est né. C’est l’école laïque de la troisième république qui lui a permis de faire les études grâce auxquelles il est devenu mathématicien. Avec gentillesse et discrétion, il a apporté des méthodes, des outils, très nouveaux et féconds, qui sont toujours utiles, et dont il serait difficile de donner ici une idée en restant à un niveau acceptable. Nous nous contenterons d’indications sur sa personnalité, celles que nous livre André Weil. André Weil, bien que beaucoup plus jeune qu’Élie Cartan, fut, comme lui même le dit, un de ses amis.

Le texte sur fond rose est dû à André Weil. Le reste est formé de commentaires explicatifs. Ne vous arrêtez pas aux mots mathématiques difficiles : c’est un beau portrait de l’homme et du mathématicien Élie Cartan que dresse André Weil. Mais laissons lui la parole.

Mon cher Cartan,

Il y a quarante-cinq ans, on célébrait le jubilé scientifique de ton père, et je ne pus y assister.

Le jubilé scientifique d’Élie Cartan s’était tenu le 18 mai 1939 à Paris [3]. André Weil était à l’étranger et n’y assista donc pas. Il avait pensé offrir à Élie Cartan un de ses livres, qu’il lui dédicaça un an plus tard [4]. Intercalons dans sa lettre un extrait de cette dédicace.

Dédicace à Élie Cartan, avril 1940

Mais aura-t-on jamais trop dit ce que vous fûtes pour nous, pour cette génération de mathématiciens français qui trouva sa place dans le temps d’un bref entre-deux-guerres ? En ces années qu’on nommait l’après-guerre, nous eûmes en vous, jeunes étudiants, le plus probe, le plus consciencieux des professeurs ; mais personne, et vous moins que tout autre, ne nous disait l’importance de vos idées, la portée de vos conceptions. Nous voyageâmes ; en Italie, en Allemagne, en Amérique, nous connûmes d’autres maîtres. D’apprentis nous devînmes compagnons. Alors, mieux préparés, nous avons repris l’étude de votre œuvre, dont l’étendue nous avait découragés, dont la profondeur nous était restée cachée ; alors, admis par vous peu à peu aux privilèges d’un commerce familier, nous avons connu le prix de telle parole qui vous échappait comme par mégarde, si discrète souvent qu’autrefois nous ne l’eussions pas entendue. Mais si ces jeunes gens — dont l’un [Henri Cartan] continue votre nom en même temps que votre œuvre — aimaient à se presser autour de vous, ils n’y étaient pas amenés seulement par l’ardeur de s’instruire, ou par le charme de ces entretiens. À une époque où les approches du temple du savoir ressemblent quelquefois à celles de la bourse, où l’on y court le risque d’être étourdi par des troupes bruyantes de marchands et de bateleurs, nous avions besoin de nous affermir dans notre croyance qu’une vie donnée toute à la science fût encore possible, sans faiblesses ni compromissions : auprès de vous nous en trouvions chaque jour la certitude. Et même, s’il n’est d’amitié qu’entre égaux, ne nous avez-vous pas fait sentir, en nous accordant ce que j’oserai bien nommer de l’amitié, que chacun de nous pouvait espérer de s’égaler à vous en quelque manière, par une parfaite sincérité, un entier dévouement à la science, par l’honnêteté irréprochable du bon artisan à son ouvrage ?

Sans grand respect pour la chronologie, insérons ici une deuxième photo de famille. Celle-ci a été prise pendant la première guerre mondiale, alors que le sergent Élie Cartan dirigeait l’hôpital installé dans l’École normale supérieure. On l’y voit entouré de quelques-unes des infirmières [5]. Mais revenons à la lettre de 1984.

À présent, les circonstances m’empêchent de prendre part au colloque que Chern [6] et toi avez eu l’heureuse idée de lui consacrer, et le programme de ce colloque me le fait regretter encore plus. D’ailleurs y aurais-je été bien à ma place ? Il s’intitule « Élie Cartan et les mathématiques d’aujourd’hui » : mais, en présence de celles-ci, je me sens de bien loin dépassé, et, de l’œuvre si vaste de ton père, je ne connais que la moindre partie, et même, je m’en aperçois à présent, la partie la plus facile, celle que ses commentateurs ont rendue la plus accessible. À mon grand regret, je n’ai eu l’occasion d’entendre qu’un de ses cours en Sorbonne ; j’étais normalien, en seconde année je pense, et son cours de cette année-là portait sur les formes d’équilibre d’une masse fluide en rotation ; il traita de ce sujet avec, certes, sa conscience habituelle, mais je ne suppose pas qu’il s’y soit beaucoup intéressé ; du moins en ai-je gardé peu de souvenirs. Heureusement pour moi, quelques années plus tard, on obtint de lui qu’il fît aux normaliens une série d’exposés sur les groupes de Lie, basés je crois sur les formules dites de Maurer-Cartan, et j’y assistai ; c’est en sortant d’une de ces conférences, alors que je l’accompagnais sur la rue Gay-Lussac, qu’il me dit de son ton tranquille : « J’apprends l’analysis situs, je crois que je pourrai en tirer quelque chose ».

André Weil (dont on voit ici une photographie) fut élève de l’École normale supérieure de Paris de 1922 à 1926, ce qui situe ces souvenirs des cours d’Élie Cartan dans les années 1920. Les mots « analysis situs », que Weil va employer une deuxième fois plus bas, désignent ce que l’on appelle plutôt aujourd’hui la « topologie ».

Ne pourrait-on lui appliquer ce que Saint-Simon [7] a écrit de je ne sais plus quel duc, que « de sa vie il n’avait dit un mot plus haut que l’autre » ? Sans doute n’était-il point du tout orateur, et ne désirait-il point l’être. Qu’il s’agît de mathématiques ou de tout autre sujet, d’une conférence à faire devant quelques normaliens ou devant un congrès international, il disait ce qu’il pensait avoir à dire sur le ton de la conversation la plus paisible : en toute circonstance il semblait qu’il ne parlât que pour expliquer ce qui, selon lui, était tout simple et ne pouvait manquer d’être compris du premier coup. Cela n’empêchait pas que parfois, à la réflexion, certaines de ses paroles ne prissent un relief extraordinaire. C’est ainsi qu’en 1922, invité par chance à une réception en l’honneur d’Einstein, je l’entendis demander à celui-ci s’il n’y aurait pas lieu, à côté des espaces riemanniens (pourvus de courbure mais non de torsion), d’introduire des espaces à torsion, mais sans courbure. Ce fut le point de détail, paraît-il, de conversations plus amples dans les jours suivants ; ce fut l’origine aussi d’une bonne partie de la correspondance entre eux, si bien éditée dernièrement grâce à toi. Pour moi, jeune taupin [8], c’était la première fois que je me trouvais parmi tant de gens illustres, et que je voyais Élie Cartan dont je ne pouvais tout au plus connaître que le nom. Bien entendu je ne compris rien à sa question (Einstein non plus, d’ailleurs, du moins ce jour-là) ; il faut néanmoins qu’elle m’ait vivement frappé pour s’être gravée ainsi dans ma mémoire.

La correspondance entre Élie Cartan et Einstein sur le sujet de cette conversation a été publiée en 1979 [9]. Albert Einstein avait été invité à Paris par le physicien Paul Langevin en 1922 [10]. André Weil avait 16 ans. La troisième photo de famille représente Einstein lors d’une des conférences qu’il donna au Collège de France. S’il n’y a aucun doute qu’Élie Cartan a assisté à cette conférence, il n’est pas reconnaissable sur la photo.

Devenu normalien, je lus de bonne heure, je crois, ses Invariants intégraux. « Ce livre n’est pas bien écrit », m’a-t-il dit bien plus tard, ajoutant en manière d’excuse : « c’était mon premier » [11]. Peut-être jugeait-il qu’il y était resté un peu trop proche de Poincaré, mais c’est justement ce qu’il avait ajouté à Poincaré qui m’avait frappé. En fait il y jetait les bases du calcul différentiel extérieur, qui a été l’une des dominantes de son œuvre. Ne m’as-tu pas raconté toi-même que, dans ton enfance, faire des mathématiques signifiait pour toi tracer inlassablement des petits omégas ?

Les objets dont parle ici André Weil sont les « formes différentielles », que l’on désigne souvent par des lettres grecques, et parmi celles-ci, par la lettre grecque « oméga », $\omega$. Il est fort probable qu’Henri Cartan enfant avait beaucoup vu son père tracer des petits $\omega$, en effet. Les formules que l’on voit ici (avec des omégas... et des thêtas $\theta$) sont les formules « de Maurer-Cartan » que Weil a mentionnées plus haut.

Il est ensuite question des mathématiciens suisse Georges de Rham (1903-1990) et allemand Erich Kähler (1906-2000), qui ont contribué à l’étude des formes différentielles et de leurs utilisations.

Sans doute a-t-il fallu de Rham, puis Kähler pour faire pénétrer dans l’esprit de notre génération ces idées si fécondes : mais comment oublier qu’elles venaient d’Élie Cartan, et même qu’il avait énoncé une bonne partie des célèbres théorèmes de de Rham avant que celui-ci les démontrât et en fît l’un des piliers de la topologie moderne ?

En géométrie différentielle aussi son œuvre a eu besoin de commentateurs ; peut-être cela a-t-il tenu au plaisir qu’il a toujours pris à détailler et approfondir les exemples de ses méthodes, laissant à ses successeurs le soin d’en dégager les fondements abstraits. « La notion de variété », a-t-il écrit une fois, « est assez difficile à définir avec précision » ; en effet, s’il en avait l’intuition plus clairement que quiconque, ce n’est pas lui qui l’a définie [12] ; à plus forte raison a-t-il laissé à notre génération (Whitney d’abord en ce qui concerne l’aspect strictement topologique, puis surtout Ehresmann) le soin de définir « avec précision » les espaces fibrés et leurs connexions. Pour moi, je n’étais pas assez géomètre pour suivre dans ses multiples métamorphoses sa belle méthode du repère mobile, qui sans doute n’a pas dit son dernier mot, même Hermann Weyl y trouvait de la difficulté. Ce qui m’est resté avant tout de l’œuvre géométrique d’Élie Cartan, c’est la théorie des espaces riemanniens symétriques, qu’il créa de toutes pièces et dont il fit en 1932 le sujet de sa conférence au Congrès de Zürich [13] que je me félicite encore d’avoir entendue ; ce fut aussi le principe du passage du local au global, si magnifiquement réalisé dans son fascicule du Mémorial sur les groupes et l’analysis situs. Ce fascicule a-t-il été son chef d’œuvre ? On peut le discuter mais je pencherais à le croire. Du moins est-ce, de tous ses écrits, celui que j’ai le plus relu et médité. Quant aux espaces symétriques, et plus particulièrement aux domaines bornés symétriques à la naissance desquels tu as contribué, j’ai gardé le vif souvenir de la satisfaction que j’éprouvai à en retrouver des incarnations chez Siegel dès ses premiers travaux sur les formes quadratiques, et par la suite à convaincre Siegel [14] de la valeur des idées de ton père sur ce sujet.

Sur quoi mieux conclure que sur l’image que je conserve de lui à son retour de Moscou en 1945 ? J’étais avec toi boulevard Jourdan, fraîchement arrivé du Brésil où j’allais retourner peu après.

Il est difficile de raconter la période et les événements qu’évoque ici André Weil en peu de mots [15]. Lui-même avait passé les années 1941-44 aux États-Unis, pour échapper aux lois antisémites françaises.

Cette période, Élie Cartan l’a vécue dans Paris occupé, avec les difficultés que l’on peut imaginer, d’autant plus que la famille n’avait aucune nouvelle d’un des enfants (voir la note [2]). Ce qui ne l’a pas empêché d’aider tel ou tel mathématicien qui en avait besoin (voir par exemple, sur Images des maths le portrait de Paulette Libermann).

Quant à André Weil, il avait auparavant perdu son poste en France à la suite de sa décision de ne pas participer à la guerre en 1939. Nous allons voir qu’il évoque son procès pour insoumission dans la suite de la lettre. Il avait donc pris un poste à São Paulo, au Brésil (à l’instigation de Claude Lévi-Strauss). En juin 1945, il vint à Paris pour reprendre contact avec ses amis mathématiciens français au cours d’un « Congrès Bourbaki » [16]. Et il habita quelques jours chez les Cartan, 95 boulevard Jourdan. Mais laissons-le nous raconter la suite.

Il avait fait partie de la délégation académique chargée de renouer les relations avec les savants soviétiques après l’interruption de la guerre ; il avait porté à Moscou les premiers fascicules de Bourbaki, et aussi le volume sur l’intégration dans les groupes que je lui avais dédié [17]. Il venait d’atterrir à Orly : peut-être n’était-il même pas encore attendu ce jour-là. Je le voyais pour la première fois depuis le jour de mai 1940 où cet homme si foncièrement bon avait porté témoignage pour moi devant le tribunal militaire qui me jugeait pour « insoumission ». Il paraissait enchanté de son voyage ; de longtemps il ne m’avait semblé aussi jeune. Crois-tu qu’il fut surpris de mon émotion à le revoir ? Je ne pus me retenir de l’embrasser.

Avec mes meilleurs vœux pour la complète réussite de votre colloque, et mes bien cordiales amitiés à tous.

Princeton [18], le 15 juin 1984

André Weil

Post-scriptum :

Je remercie le professeur Sigurdur Helgason, spécialiste de géométrie différentielle et de groupes de Lie (entre autres nombreux sujets mathématiques...) et grand admirateur d’Élie Cartan, pour ses commentaires amicaux sur une version préliminaire de cet article.

Je remercie Jacques Lafontaine pour ses conseils et son aide. Je remercie aussi les relecteurs dont les noms ou pseudonymes sont JMJ_france, Hervé, tumiac, XX, pour leur aide précieuse à l’amélioration de cet article.

Article édité par Michèle Audin

Notes

[1Cette lettre a été publiée dans les actes du colloque Élie Cartan et les mathématiques d’aujourd’hui, dans le journal Astérisque, en 1985. Elle fait aussi partie de la volumineuse correspondance entre Henri Cartan et André Weil (plus de deux cents lettres, écrites entre 1928 et 1991), éditée et annotée par l’auteur de cet article et disponible ici.

[2Le compositeur Jean Cartan (1906-1932) est mort très jeune de la tuberculose, le physicien Louis Cartan (1909-1943) a été arrêté et décapité par les Allemands pour faits de résistance, la mathématicienne Hélène Cartan (1917-1952) était elle aussi atteinte de tuberculose. Sur la famille Cartan, et en particulier sur ses femmes, Anna Cartan, sœur d’Élie, Hélène Cartan, sœur d’Henri, voir aussi l’article Dans la famille Cartan, je demande... la sœur.

[3Cinquante ans d’activité scientifique, comptés plus ou moins depuis l’entrée d’Élie Cartan à l’École normale supérieure en 1888.

[4L’intégration dans les groupes topologiques, Hermann, 1940.

[5C’est en effet une photo « de famille » : l’infirmière à gauche était la mère de Nicole Weiss, qui fut la femme d’Henri Cartan, et l’infirmière à droite est l’écrivaine Camille Marbo (pseudonyme de Marguerite Borel, épouse du mathématicien Émile Borel).

[6Le mathématicien chinois Shiing-Shen Chern (1911-2004) avait été un élève et un ami d’Élie Cartan.

[7Le duc de Saint-Simon, mémorialiste des XVIIe et XVIIIe siècles.

[8élève de classe préparatoire

[9Letters on absolute parallelism, 1929—1932, Princeton University Press.

[10Inviter un savant allemand à Paris quatre ans après la fin de la première guerre mondiale n’était pas une chose facile. Parmi les mathématiciens qui accueillirent dignement Einstein, il y eut notamment Jacques Hadamard, Émile Borel et Élie Cartan.

[11L’Œuvre d’Élie Cartan comporte de nombreux livres. S’il fut le grand maître de la géométrie différentielle au vingtième siècle, ses articles et ses livres n’étaient pas très faciles à lire, ce qui explique qu’ils soient surtout utilisés de nos jours par les spécialistes. Il fut un extraordinaire visionnaire, mais il écrivait les mathématiques comme le faisaient les mathématiciens français du dix-neuvième siècle. Les énoncés n’y sont pas toujours identifiés comme ils le seraient aujourd’hui et il arrive que les formulations soient floues. Pourtant, de nombreux géomètres, français ou étrangers, connaissent et utilisent ses œuvres. (Je remercie les relecteurs pour leur aide à la rédaction de cette note.)

[12La phrase figure dans le livre Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann. Cette phrase est suivie d’une description de ce que pourrait être cette définition, qui est un peu plus que de l’intuition... surtout pour nous qui connaissons et avons compris « la » définition.

[13Il s’agit du Congrès international des mathématiciens.

[14Il est question de Carl Ludwig Siegel (1896-1981), un mathématicien allemand dont l’œuvre influença beaucoup André Weil.

[15Il les a racontés lui-même dans ses Souvenirs d’apprentissage, Birkhäuser, 1991.

[16Il serait impensable d’arriver au bout de ce portrait sans dire qu’André Weil et Henri Cartan furent deux des plus actifs parmi les membres fondateurs du groupe Bourbaki... et qu’Élie Cartan fut un des soutiens de ce groupe dans la génération « parentale ». On voit par exemple qu’il a apporté les premiers fascicules de Bourbaki, publiés à partir de 1940, à Moscou.

[17Il s’agit du livre que Weil avait pensé l’offrir à Élie Cartan à l’occasion de son jubilé et dont nous avons cité un extrait de la dédicace au début de cet article.

[18En raison principalement de son « insoumission », André Weil ne réussit pas à retrouver un poste en France après la guerre et fit sa carrière aux États-Unis, à Chicago et à Princeton.

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Pour citer cet article :

Michèle Audin — «Portrait d’Élie Cartan par André Weil» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Commentaire sur l'article

  • Portrait d’Élie Cartan par André Weil

    le 8 novembre 2011 à 17:42, par Jacques Lafontaine

    Je ne peux résister à la tentation de citer le commentaire
    de Michael Spivak à la fin de son méga traité (bien connu des spécialistes) de géométrie différentielle.
    (désolé Michèle, je ne disposais pas du Spivak au moment où je lisais ton article).

    "Le plus grand géomètre differentiel de la génération précédente. Bien peu ont lu ses
    travaux, beaucoup prétendent les avoir lus, et tout le monde est d’accord
    pour dire que tout le monde devrait les lire. Je suis traumatisé à chaque fois
    que j’essaie. Heureusement, la plupart de ses livres ont été retravaillés d’un
    point de vue moderne, mais ça vaut encore la peine de regarder les originaux
    une fois que vous savez plus ou moins de quoi il s’agit."

    Avec des bonnes bases de géométrie projective, on peut tirer beaucoup de plaisir
    des « Leçons sur la Géométrie projective complexe », le plus abordable de ses livres.

    Répondre à ce message
    • Portrait d’Élie Cartan par André Weil

      le 9 novembre 2011 à 16:47, par jihbed

      Merci pour cet article. Cependant ou en peut trouvé l’article de A Weil « Sur l’étude algébrique de certains types de lois du mariage »

      Merci

      Répondre à ce message
      • Portrait d’Élie Cartan par André Weil

        le 10 novembre 2011 à 08:37, par Michèle Audin

        Merci pour vos messages, et excusez le délai à répondre : l’article est déjà écrit depuis un moment et j’avais oublié qu’il devait paraître ces jours-ci... Je suis un peu loin d’IdM depuis que je ne suis plus dans le comité !

        Réponses :

        1. Oui, la question des livres d’Élie Cartan est délicate : ils sont souvent très éclairants quand on a déjà compris es bases de la théorie. Merci pour cette superbe citation de Spivak !

        2. L’article d’André Weil est paru comme appendice dans « les Structures élémentaires de la parenté » de Claude Lévi-Strauss.

        Bien à vous

        Michèle Audin

        Répondre à ce message
  • Portrait d’Élie Cartan par André Weil

    le 14 janvier 2012 à 13:25, par barbaresco

    Votre article montre qu’André Weil a favorisé l’exploitation par Carl Ludwig Siegel des travaux d’Elie Cartan sur les espaces symétriques.

    Un second mathématicien a beaucoup oeuvré sur les espaces symétriques de Cartan, il s’agit du chinois Loo-Keng Hua.
    Est-ce qu’Elie Cartan et Loo-Keng Hua ont échangés des lettres ou bien se sont-ils rencontrés ? Hua était proche de Chern qui a été un élève de Cartan.

    On peut lire dans l’article de Loo-Keng Hua de 1944 en bas de page (On the Theory of Automorphic Functions of a Matrix Variable I-Geometrical Basis, American Journal of Mathematics, Vol. 66, No. 3 (Jul., 1944), pp. 470-488), que Herman Weil a informé Hua sur les travaux de Siegel et que Chern a instruit Hua sur les travaux d’Elie Cartan :
    "The author is greatly indebted to Prof. H. Weyl for sending him a copy of Siegel’s paper on Symplectic Geometry. The author would like also to express his thanks to Prof. P. C. Tang and Prof. S. S. Chern, for each sent to him one of the following two important references :
    G. Giraud, Leçons sur les fonctions automorphes, Gauthier-Villars, Paris, 1920 ;
    E. Cartan,Sur les domaines bornés homogènes de l’espace de n variables complexes,amb. Abh., vol. 11 (1935), pp. 116-162."

    Répondre à ce message

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