8 février 2010

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Portrait de mathématicien en jeune homme

Jérôme Poineau, 29 ans, maître de conférences, spécialiste des espaces de Berkovich

Michèle Audin

Mathématicienne et oulipienne (page web)

Après des mathématiciens et des mathématiciennes, morts ou vivants, reconnus, connus, voici le portrait d’un jeune mathématicien. Pas un étudiant, un mathématicien professionnel. Mais en début de carrière. Il nous parle de lui, et surtout de ses mathématiques.

Jérôme habite Sélestat. Il joue du violoncelle, il aime Fauré et Ravel, mais aussi les Cowboys fringants [1]. Avec les mathématiques, ça occupe presque tout son temps, dit-il. Mais il ajoute qu’il joue aussi au volley, et qu’il lit beaucoup (en ce moment, les Veilleurs de Vincent Message). Il est maître de conférences à l’Université de Strasbourg.

Années d’apprentissage

— Question obligée. Comment en es-tu arrivé là ?

— Par les classes préparatoires, à Tours, puis par l’École polytechnique. J’avais plutôt des idées de formation généraliste, en mathématiques et informatique. Jusqu’à ce que je m’aperçoive que même dans l’informatique, ce qui m’intéressait vraiment, c’étaient les maths. Et puis, à l’École polytechnique, nous étions très bien encadrés. Ensuite, j’ai fait une thèse, à l’université de Rennes.

— Sur quoi ?

— Le titre ? « Espaces de Berkovich sur $Z$ ». Je l’ai soutenue en 2007, puis j’ai fait un an de « post-doc » à Regensburg (Ratisbonne, en français). En 2008, j’ai été recruté comme maître de conférences à Strasbourg.

Enseignant-Chercheur


— Tu expliques aux lecteurs d’Images des mathématiques ce qu’est un maître de conférences ?

— Un enseignant-chercheur. J’enseigne à des étudiants de l’Université. Et je fais de la recherche.

— L’enseignement, c’est un pensum, pour toi ?

— Pas du tout ! J’aime beaucoup enseigner. On apprend toujours quelque chose de nouveau. J’aime me fixer un nouvel objectif. Je me demande quand même si ça peut durer longtemps.

— Et la recherche ?

— Le plus difficile, c’est de trouver un équilibre entre la spécialisation et le fait d’apprendre toujours davantage de mathématiques. Ce que j’aime dans les mathématiques, c’est de voir beaucoup de choses différentes. Je ne veux pas être uniquement un théoricien des espaces de Berkovich !

— Mais tu es un spécialiste reconnu des espaces de Berkovich. Il paraît que ta thèse va être publiée dans Astérisque [2].

— Oui, je viens de l’apprendre. C’est une bonne nouvelle.

Jérôme entreprend de m’expliquer ce qu’est un espace de Berkovich. Jérôme est un jeune mathématicien passionné par ce qu’il fait [3].

C’est quoi, un espace de Berkovich ?

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— Tu peux expliquer ce que c’est, pour un grand public ?

— Oui. J’ai d’ailleurs écrit un article sur ce sujet pour la Newsletter de la Société mathématique européenne [4].

— Là tu t’adressais à un « grand public »... de mathématiciens professionnels ! Je pensais plutôt aux lecteurs d’Images des mathématiques.

— Depuis le dix-neuvième siècle, on sait à quel point il est utile de considérer des fonctions pour étudier certains problèmes de géométrie. La théorie de Berkovich [5] essaie d’utiliser le même genre d’idée pour étudier des problèmes d’arithmétique, de théorie des nombres. Le besoin s’est fait sentir, dans certaines questions, de considérer les nombres entiers comme des fonctions.

— Une fonction, c’est une machine qui, à un point, associe autre chose. De quels points parles-tu ?

— Voyons. On peut penser à un balai, avec un manche et des fibres. Tu pourras mettre une photo ?

J’ai mis une première photo. Je me suis demandée si Jérôme ne pratiquait pas, aussi, le quidditch. Puis je l’ai imaginé dans les palétuviers [6].

— On va représenter les nombres entiers comme des fonctions sur ce balai. On commence par numéroter les fibres. Mais on n’utilise pas tous les nombres, seulement les nombres premiers. Les lecteurs savent ce qu’est un nombre premier ?

— On peut le leur dire : un nombre qu’on ne peut pas écrire comme produit de deux autres nombres.

— Voilà : par exemple, 2, 3, 17, mais pas 4 puisque $4=2\times 2$. Tu donneras le début de la liste des nombres premiers aux lecteurs ?


Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, etc. [7]


— Et il y a une infinité de nombres premiers. Le balai dont les fibres sont numérotées par ces nombres a une infinité de fibres.

— Maintenant je t’explique comment chaque nombre va être considéré comme une fonction sur le balai. Il faut d’abord penser que, avec les nombres premiers, on peut représenter tous les nombres entiers. Par exemple, on peut écrire le nombre 20 de la façon suivante :
\[20=4\times 5=2^2\times 5.\]
Ensuite, on fait un truc que les mathématiciens aiment bien, on remplace cette écriture simple par une écriture plus compliquée (mais pas juste pour le plaisir), on fait intervenir tous les nombres premiers. Les lecteurs savent que quelque chose à la puissance 0, ça fait 1 ?

— Tu viens de le leur dire.

— Alors on écrit
\[20=2^2\times 3^0\times 5^1\times 7^0\times 11^0\cdots\]
et l’intérêt de cette écriture à l’air compliqué, c’est qu’on peut faire la même chose pour tous les nombres
\[56=8\times 7=2^3\times 7=2^3\times 3^0\times 5^0\times 7^1\times 11^0\times\cdots\]
tu mettras la formule générale ?

N’importe quel entier $n$ s’écrit [8] comme
\[n=2^{v_2}\times 3^{v_3}\times 5^{v_5}\cdots\]
Pour $n=20$, $v_2=2$, $v_5=1$ et tous les autres sont nuls, etc.

— Le logarithme, les lecteurs savent ce que c’est ?

— Peut-être pas tous, tu veux utiliser quoi ?

— Que c’est une machine qui transforme les produits en sommes :
\[\log(a\times b)=\log(a)+\log(b).\]


Nous avons fait une pause et bu un café, pour laisser les lecteurs respirer, assimiler.


— On a donc le balai, avec ses fibres numérotées par les nombres premiers (et son manche, n’oublions pas le manche). On choisit un nombre entier $n$. Disons, $n=5$.

— C’est un nombre premier.

— On regardera aussi $n=45$. Mais commençons par $n=5$. Lui, il est fixé, et on veut, grâce à lui, associer quelque chose à n’importe quel point de notre balai. Commençons par les points de la fibre numérotée par le nombre premier $p$. Si $p$ n’est pas un diviseur de notre entier, ici c’est-à-dire, si $p\neq 5$, notre fonction transforme tous les points en ceux d’une droite horizontale. Et la fibre correspondant au nombre premier $5$, elle, est transformée en une demi-droite oblique, de pente $-\log(5)$. Tu as compris ?

— Tu nous fais une figure, pour les lecteurs ?

Le nombre 5, effet sur les fibres

(Jérôme dessine au tableau l’effet du nombre $5$ sur les fibres du balai)

Maintenant, tu m’expliques ce que tu fais quand $n$ n’est pas un nombre premier ?

— Prenons $n=45=9\times 5=3^2\times 5$. Comme avant, les fibres correspondant à des nombres premiers autres que $3$ et $5$ sont transformées en demi-droite horizontale. La fibre correspondant à $5$ est aussi transformée en la demi-droite de pente $-\log(5)$ (parce que $5$ apparaît à la puissance $1$). Ce qui est nouveau, c’est que la fibre correspondant à $3$ est transformée en une demi-droite de pente $-2\log(3)$ (le « nouveau » $2$ est l’exposant du nombre premier $3$).

Le nombre 45, effet sur les fibres

(Il dessine l’effet du nombre $45$ sur les fibres)

— Dis-moi, si tu fais des fonctions sur le balai, il faut aussi dire ce que tu fais avec le manche.


(J’intercale les figures de Jérôme, qui a ajouté le manche)

Le nombre 5, effet sur les fibres et le manche Le nombre 45, effet sur les fibres et le manche


— Là c’est très simple, une demi-droite de pente $\log(n)$. Plus le nombre $n$ est grand, plus elle est pentue. Tu as encore un peu de place ?

— Oui.

— Il y a une relation entre toutes ces pentes. C’est là qu’on utilise la propriété du logarithme : on a aussi
\[\log(2^v)=v\log(2)\]
et donc pour notre $n$ avec la formule
\[n=2^{v_2}\times 3^{v_3}\times 5^{v_5}\cdots\]
\[\log(n)=v_2\log(2)+v_3\log(3)+v_5\log(5)\cdots\]

En d’autres termes, la somme des pentes des demi-droites est nulle.

— Ça me rappelle quelque chose.

— Oui, les lois de Kirchhoff en électricité.

— C’est vraiment profond [9], ce que tu m’as raconté ?

— Oui. Regarde ça : il y a $\log(n)$, qui ne dépend que de la taille du nombre $n$, et toutes les autres pentes, qui elles, dépendent de ses diviseurs, de ce qu’on appellerait plus pompeusement ses propriétés arithmétiques. Bon, ici c’est assez simple (même si difficile à suivre pour les lecteurs non mathématiciens), je ne t’ai parlé que l’exemple le plus simple d’espace de Berkovich sur $Z$. Ce qui généralise la loi de Kirchhoff est vraiment très riche. Et très utile : on démontre vraiment des choses très intéressantes avec ce genre d’approche.

Mais... je n’écris pas un article sur les espaces de Berkovich, mais un portrait de Jérôme. Il était difficile d’aller beaucoup plus loin, dans un portrait [10].

Culture

— Pour ça, tu as besoin de connaître beaucoup de mathématiques différentes ?

Alors, nous avons parlé de culture mathématique, de culture. Je l’ai déjà dit, Jérôme aime les livres. À Strasbourg, on le voit très souvent à la bibliothèque de l’IRMA, une bibliothèque dont il a été question sur ce site ici ou . Il ne veut pas, il nous l’a dit, n’être qu’un spécialiste étroit des espaces de Berkovich. Et il aime traîner dans les rayons, peut-être à la recherche d’un « bon voisin », feuilleter les nouveaux périodiques arrivés, ouvrir des livres...

P.S. :

Travailler avec des relecteurs comme ceux qui ont relu ce portrait avant sa parution est un des bonheurs que je souhaite à tous les mathématiciens qui écrivent pour Images des mathématiques. J’ai essayé de tenir compte des suggestions. Merci à tous pour leur collaboration et leur aide !

L’un d’eux me faisait remarquer que j’aurais pu placer dans ce portrait « chacun doit balayer devant sa porte », mais tout le monde, disait-il, n’est pas adepte de ce genre de (mauvais) humour. Un bon endroit pour le faire ?

Notes

[2Astérisque est un journal publié par la Société mathématique de France et un excellent journal de mathématiques. Publier dans Astérisque est assez prestigieux.

[3C’est à ça que l’on reconnaît que l’on a affaire à un mathématicien : ce dont il a vraiment envie de parler, c’est des mathématiques.

[4L’article de Jérôme est disponible ici.

[5Vladimir G. Berkovich est un mathématicien israëlien. Il a créé la théorie dont Jérôme parle dans ce portrait à la fin des années 1980.

[6La photo des palétuviers est due à Dominique Tournès.

[7Le cas du nombre 1 est un peu particulier. Il est pratique de convenir qu’il n’est pas premier.

[8de façon unique

[9Les mathématiciens aiment que ce qu’ils font soit profond, je devais donc poser la question.

[10Les lecteurs que cette présentation rapide aurait tentés peuvent essayer de se reporter à l’article (en anglais, beaucoup plus difficile) cité dans la note 4.

Affiliation de l'auteur

Michèle Audin : Université de Strasbourg et Ouvroir de littérature potentielle

Commentaires sur l'article

Pour citer cet article : Michèle Audin, « Portrait de mathématicien en jeune homme »Images des Mathématiques, CNRS, 2010.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Portrait-de-mathematicien-en-jeune.html

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