Pourquoi enseigner les probabilités et la statistique dans les cours de mathématiques

Le 1er octobre 2013  - Ecrit par  Jean-Pierre Raoult, Pierre Arnoux Voir les commentaires (5)

Il y a un an, au cours de l’été 2012, Pierre Colmez avait publié dans « Images des mathématiques » deux billets, titrés respectivement Faut-il arrêter d’enseigner les maths à l’école ? (le 6 août 2012) et Faut-il arrêter d’enseigner les statistiques au lycée ? (le 1er septembre 2012). Les réponses de l’auteur étaient en substance NON à la première question et OUI à la seconde. Dans le second article, l’auteur expliquait que sa motivation pour l’écrire avait été d’expliciter sa pensée sur un passage du premier, que nous reproduisons ici :

Le problème a été grandement amplifié par les diminutions horaires (pour des raisons budgétaires) et l’introduction d’une dose massive de statistiques au lycée. Cette introduction a sûrement été motivée par le rôle grandissant joué par les statistiques dans les sciences expérimentales ou sociales ; l’idée que l’on peut extraire de l’information fiable sans avoir une information complète est une petite révolution intellectuelle qui a amplement prouvé son intérêt pratique. Ceci dit, cette introduction dans un cours de mathématiques, au niveau du lycée, est parfaitement néfaste à plusieurs niveaux. On ne peut pas faire de statistiques sur des objets du cours de mathématiques (on pourrait imaginer faire faire une centaine de lancers de dés à chaque élève pour collecter des données, et glisser 2 ou 3 dés pipés pour pimenter l’expérience, mais on ne va pas aller très loin comme ça). On est donc forcé de faire appel à des données extérieures et donc d’utiliser les statistiques de manière passive, comme une collection de recettes sans vraie signification (la justification mathématique de ces formules est largement au-dessus du niveau du programme), sans s’être demandé ce qu’on voulait mesurer, pourquoi on voulait le mesurer, et comment on devait le mesurer pour ne pas introduire de biais. Cela débouche sur des exercices parfaitement absurdes comme le premier de l’épreuve de Mathématiques du Baccalauréat 2012 de la série ES. La création d’un cours de sciences économiques et sociales comportant une forte composante de statistiques serait sûrement une bonne idée (c’est en gros ce en quoi Hacker [1]veut transformer les cours de mathématiques aux États-Unis), mais remplacer des mathématiques proches des sciences exactes par des statistiques revient à privilégier la gestion sur la création.

Ce passage avait provoqué sur « Images des mathématiques » des réactions de désaccord de chacun de nous deux et Pierre Colmez entendait donc y répondre.

Force est de constater que le courrier des lecteurs qui a suivi ce second billet de Pierre Colmez manifestait que sa critique radicale rencontrait un assez large écho. Les opinions exprimées ainsi, rejoignant celles de Pierre Colmez, sont celles que nous avons l’un et l’autre eu maintes occasions de lire ou d’entendre depuis plusieurs années, tant auprès d’enseignants de terrain (où elles s’expliquent largement par la focalisation sur ces « nouveautés » de leur malaise devant la manière dont leur discipline a été « malmenée » depuis de nombreuses années) qu’auprès de responsables ou d’universitaires, chez qui on serait en droit d’attendre plus de recul.

Ces réactions de rejet viennent, et ceci nous paraît très grave, de se manifester dans les projets de programmes de mathématiques mis en consultation, en mai et juin 2013, pour les secondes années des classes préparatoires scientifiques. C’est non seulement la statistique qui y est victime d’ostracisme, car totalement absente, mais aussi le calcul des probabilités qui y est très réduit dans ses ambitions, car le programme dépasse de très peu celui de première année, en passant des variables aléatoires à valeurs dans un espace fini à celles à valeurs dans un espace infini dénombrable (typiquement $\Bbb N$) ; on lit explicitement : La notion de variable à densité est hors programme. Si elle se confirmait dans les programmes définitifs (à paraître à l’automne), cette situation contrasterait avec les choix faits pour les programmes des classes terminales des lycées, où figurent les lois normales et (en filière S) les lois exponentielles et où, pour ce qui est de la statistique inférentielle, on initie les élèves aux tests statistiques et aux intervalles de confiance ; elle se démarquerait aussi de ce qui se pratique, au même niveau d’études, dans nombre de sections de techniciens supérieurs ou départements d’IUT [2].

Au moment où divers responsables nous tiennent des discours sur la nécessité de penser un enseignement cohérent de bac-3 à bac+3, ce choix de programme leur donnerait un démenti éclatant dans un des secteurs les plus visibles de l’enseignement supérieur. Une large part de ce que les lycéens auront appris au lycée y resterait inutilisée, et donc probablement vite oubliée, dans les deux années suivantes ; et ceux qui auraient fait le choix de ne pas mobiliser une large partie des connaissances acquises au lycée pourraient en même temps parler de la baisse des connaissances des élèves.

Nous ne nous étendrons pas ici sur les débats relatifs au rôle de la statistique dans la formation du citoyen ou dans la culture générale de l’homme du XXI° siècle, confronté à un matraquage de chiffres, graphiques, tableaux ... face auxquels il faut éveiller son esprit critique. La plupart des intervenants dans ces débats en conviennent, mais ils sont nombreux à penser (comme Pierre Colmez) que cette tâche éducative serait, au collège et surtout au lycée, avantageusement exercée par des enseignants d’autres disciplines que les mathématiques (sciences économiques et sociales, sciences de la vie et de la terre, géographie ...) [3].

Nous ne reviendrons pas non plus en détail sur les applications nombreuses du calcul des probabilités, de la statistique inférentielle ou de l’analyse des données à l’ensemble des sciences et des technologies. Là encore nul ne les nie, mais une tendance forte vise à considérer que leur présence dans un cours de mathématiques de lycée ou même, pour une bonne part, de classes préparatoires, serait prématurée, tant en raison de la difficulté des outils mathématiques jugés indispensables pour les traiter « proprement » qu’au motif que les élèves ne seraient pas assez mûrs dans ces domaines d’application pour en tirer tout le bénéfice. Une telle position, s’agissant du rôle de l’aléatoire dans les technologies, semble être aussi celle de la CGE (Conférence des Grandes Ecoles) qui, dans le processus d’élaboration des nouveaux programmes des classes préparatoires, n’aurait pas poussé à l’introduction de plus de stochastique, avec l’argument que les écoles pouvaient enseigner elles-mêmes ce qui, en cette matière, correspondrait à leurs besoins ; est-il exagéré de penser que certains ne seraient pas très heureux si l’arrivée de nouveaux étudiants mieux formés à l’aléatoire les forçait à revoir les cours habituellement donnés dans les écoles ?

Implicitement, dans toutes ces positions, on voit à la fois l’idée qu’il s’agit d’apprentissages empiriques, et donc (Pierre Colmez le dit explicitement) sans portée mathématique, et la conviction que charger de ces apprentissages d’autres enseignants que ceux de mathématiques (comme on l’a fait par exemple jadis d’enseignements de mécanique) permettrait de gagner de l’espace pour recentrer le cours de mathématiques vers des « fondements » actuellement sacrifiés.

Ce sont ces idées que nous voudrions contrer ici, en plaidant pour le caractère intrinsèque aux mathématiques des probabilités et d’une bonne part de la statistique, et donc pour l’apport que peut en retirer l’enseignement des mathématiques dans son intégralité. [4].

Cette place de ces disciplines au sein de l’édifice mathématique est de plus en plus reconnue par les chercheurs ; pourquoi donc la retombée de cette conviction sur la pratique enseignante rencontre-t-elle tant d’obstacles en France ? Et pour ceux qui objectent le manque d’attractivité de ces branches de programmes, telles qu’ils les voient en œuvre dans les collèges et lycées aujourd’hui, nous voudrions les persuader que, au contraire, nombre d’élèves peuvent être stimulés par le fait qu’on peut leur présenter là des mathématiques « en action », avec des possibilités de traitement réfléchi de données réelles (et non « de manière passive » comme semble le juger inévitable Pierre Colmez. Encore faudrait-il que les programmes soient largement repensés et les enseignants mieux aidés ; nous y reviendrons.

Pour voir que des applications concrètes peuvent motiver des élèves à étudier et comprendre des structures abstraites, il suffit de regarder un exemple dont on parle peu : la spécialité, en classe terminale de la filière ES, traitant de théorie des graphes a été un succès, au point qu’elle est maintenant aussi au programme de la filière S ; elle amène les élèves, entre autres choses, à étudier des questions non triviales d’algèbre linéaire en dimension finie quelconque qui avaient depuis longtemps disparu du lycée.

Précisons que les points d’ancrage que nous allons détailler maintenant n’ont aucune ambition à constituer des contre-propositions de programmes ; il s’agit de manifester la richesse de potentialités dont nous trouvons navrant qu’elles ne soient pas exploitées et, chemin faisant, de mettre en évidence quelques points qui nous paraissent incontournables. Il ne nous parait pas non plus indispensable que ces possibilités figurent (notamment en classes préparatoires) dans des chapitres de programme identifiés comme « probabilités » ou « statistique » ; il peut y avoir profit à les associer directement aux chapitres de mathématiques qu’elles peuvent mettre en valeur.

Un des arguments souvent avancés dans ce débat est qu’une priorité actuelle pour l’enseignement des mathématiques dans ce pays est de redonner une place aux structures fondamentales de l’algèbre et de la géométrie ; or si ces fondations ont été sacrifiées, c’est en grande partie parce que la période des « maths modernes » les avaient
maladroitement disconnectées de justifications qui, à l’époque, pouvaient se trouver en particulier dans les liens avec la physique ; et c’est ainsi que, progressivement, on en est venu à ne plus enseigner le barycentre et le moment d’inertie ; or il s’agit très exactement, en statistique empirique (ou pour des probabilités sur ensemble fini de valeurs réelles), des moyennes et des variances. Il y a donc là du beau travail à faire, en modulant selon les niveaux, sur les structures linéaires et quadratiques, la statistique jouant pour le cours de mathématiques le rôle de muse pour laquelle la physique est, aujourd’hui défaillante [5]. Il n’est jusqu’aux considérations très élémentaires, dès le niveau du collège, sur moyenne et médiane qui ne puissent être reliées à des mises en évidence des structures impliquées dans chacune : numérique dans un cas, mais simplement ordre total dans un autre, ce qui permet de « dédiaboliser » les gênes dues à la non unicité dans la définition de la médiane (ou des quantiles).

Mais c’est principalement par leurs liens avec le cours d’analyse que le calcul des probabilités et la statistique peuvent le plus contribuer à vivifier l’enseignement des mathématiques. Et on se trouve là en France devant une situation paradoxale et, espérons-nous, temporaire. D’une part, en classes terminales des lycées, alors que les outils d’étude des fonctions et d’intégration sont présentés avec pas mal de lacunes et d’incohérences, la loi normale y est centrale et y permet en particulier d’aboutir, en statistique inférentielle, à une présentation des intervalles de confiance asymptotiques conforme à la pratique des statisticiens ; en effet le passage des intervalles de fluctuation aux intervalles de confiance, qui a troublé nombre d’enseignants, repose sur des raisonnements d’inversion de fonctions continues qui sont bien à la portée de ces enseignants (on ne le leur sans doute pas encore assez montré) mais dont le programme ne donne pas les moyens aux élèves [6]. Mais d’autre part, en classes préparatoires scientifiques, où les nouveaux programmes de première année (entrés en vigueur en 2013) mettent bien en place les outils de calcul différentiel et intégral trop peu stabilisés au lycée, on envisage de refuser tout usage de ces outils en calcul des probabilités, à en juger par les projets actuels de programmes de seconde année (MP, PC, PSI ... à appliquer en 2014) puisque les densités de probabilités y sont hors programme.

Le seul lien entre analyse et probabilités exploité dans ces projets de programmes repose sur les séries numériques, puisque l’on y traite les variables aléatoires à valeurs dans $\Bbb N$ (notamment celles de Poisson) ; or ce lien aurait pu être activé dès la première année, puisque les séries numériques y sont maintenant au programme, et un exercice classique comme la limite de $(1-a/n)^n$ y trouverait une illustration non triviale. Mais c’est bien sûr surtout le calcul intégral qui peut prendre vie avec les exercices sur les lois à densités, tant sur leurs fonctions de répartition que sur leurs moments [7] ; il est intéressant de voir là aussi bien de nombreux cas de calculs classiques que de vastes possibilités d’exploitation de simulations numériques, qui sont bien dans l’esprit des programmes ; au-delà des visualisations de la loi des grands nombres ou du théorème central limite, il est par exemple assez fascinant de voir l’absence d’espérance mathématique de la loi de Cauchy se traduire dans le comportement erratique de ses simulations.

Le niveau des classes préparatoires devrait se prêter aussi - et on est bien là au cœur des mathématiques - à la réflexion sur la qualité des approximations et donc sur la vitesse de convergence dans les théorèmes asymptotiques qui les justifient ; c’est ainsi que l’on peut éclairer les contraintes classiquement placées sur l’approximation normale de la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, du type : « $np(1-p)$ pas trop petit » ; le rôle central de ce $np(1-p)$ apparaît à la fois dans les simulations numériques et dans la démonstration « historique » à l’aide de la formule de Stirling (un joyau de l’analyse classique élémentaire dont les élèves verraient là un bel usage). C’est là la raison principale pour laquelle il nous paraît inconcevable que l’on ne se donne pas le moyen de traiter la loi normale, sur laquelle ces élèves de classes préparatoires vont rester sur les idées assez vagues recueillies en terminale (où on ne savait pas définir son espérance mathématique) - ou les oublier -, alors que cette loi de probabilités est constamment évoquée hors du champ mathématique. Ce serait plus formateur et motivant que de multiplier des exercices de limites, de calcul d’intégrales dont les étudiants ne voient pas d’applications.

Il serait capital aussi, nous semble-t-il, que figure dans la culture des futurs scientifiques (ou utilisateurs de moyens scientifiques) l’idée fondamentale que les mathématiques appliquées conduisent souvent à considérer des exigences contradictoires entre lesquelles il faut arbitrer ; dans les simulations numériques, c’est l’opposition entre coût et précision ; la statistique inférentielle en fournit de nombreux exemples : contradiction entre précision de l’intervalle de confiance et niveau de confiance, équilibre à trouver entre les erreurs de première et seconde espèces pour les tests statistiques ; dans tous ces cas il s’agit de maximiser des fonctions sous contraintes, démarche fondamentale de l’analyse pour laquelle il est profitable de donner aux étudiants des exemples convaincants et réalisables. Seule la prise de conscience de ces tensions permet d’éviter le reproche souvent fait de « recettes » à l’égard de l’usage de ces outils dans l’enseignement.

Il y a peut-être plus grave dans cet état de choses : les mathématiques qu’ils ont apprises en « prépas » sont, pour bon nombre de cadres scientifiques et techniques en France, l’archétype du fondement mathématique de la culture scientifique utile ; c’est ainsi qu’y ont droit de cité, par exemple, les séries de Fourier ou les équations différentielles, qui prolongent naturellement le cours sur les fondements de calcul différentiel et intégral. En éliminer tout un pan central du calcul des probabilités et la totalité de la statistique entretient chez ces cadres une connaissance insuffisante de la prise en compte du hasard qui est très dommageable.

Revenons aux réticences des enseignants de mathématiques en France devant l’enseignement du calcul des probabilités et, surtout, de la statistique.

Elles relèvent grandement d’un souhait, relayé par Pierre Colmez dans ses articles cités en préambule, d’un « recentrement » des programmes sur les fondements des mathématiques, qui finit par évoquer pour nous l’image mélancolique d’immenses et inaltérables fondations pour un harmonieux édifice qui ne sera jamais construit, car ceux qui pourraient le faire refusent de bâtir plus haut que le niveau du sol pendant que d’autres, ailleurs, construisent des baraquements disjoints qui seront les seuls à servir... ; il n’est pas sûr que les mathématiques et leur enseignement en sortent grandis.

Mais ces réticences des professeurs sont aussi largement justifiées car il faut reconnaître que, à cet égard, on ne leur a pas facilité la vie ! il ne s’agit pas pour nous ici de demandes « quantitatives » au profit des probabilités et de la statistique ; le drame est que jusqu’ici on a beaucoup raisonné en « poids » des enseignements, en opposant les secteurs des mathématiques les uns aux autres ; il est essentiel ici non d’enseigner « plus » mais d’enseigner « mieux » et ceci passe en particulier, au lycée, par une amélioration sensible des programmes d’analyse qui, s’agissant des limites, des fonctions, de l’intégration font des impasses souvent peu justifiables (même en termes de gain de temps) et pesants sur les possibilités en probabilités [8]. Il importe aussi, notamment dans les classes préparatoires, d’impliquer autant que possible ces enseignements au sein même du cursus mathématique. Mais tout ceci exige d’accompagner ces évolutions par une volonté résolue de fournir aux enseignants les moyens (documents, stages ...) de s’y adapter, de réfléchir dessus et, espérons-nous, d’en apprécier le bien-fondé.

Notes

[1Professeur de sciences politiques américain auteur d’une tribune dans le New York Times, titrée Is algebra necessary ?, que, en France, Le Monde avait répercutée le 30 juillet 2012, en lui donnant le titre provocateur que Pierre Colmez a repris pour son billet ; mais pour Andrew Hacker la réponse était essentiellement : OUI, il faut arrêter d’enseigner les mathématiques à l’école, du moins en tant que discipline autonome.

[2Voir par exemple : J.P. Raoult, L’enseignement des probabilités et de la statistique face à celui des sciences de l’ingénieur en France, à paraître en octobre 2013 dans la deuxième version du numéro spécial évolutif sur le thème de l’interdisciplinarité de la revue Statistique et enseignement. Voir la première version de ce numéro spécial (volume 3, numéro 2) publiée en décembre 2012.

[3 Quelle(s) discipline(s) devrai(en)t être en charge de l’enseignement de la statistique dans l’enseignement secondaire ? est justement l’une des trois questions mises en débat dans l’éditorial du numéro spécial évolutif sur l’interdisciplinarité (cf. les références du numéro en note 2).

[4Nous ne sommes heureusement pas isolés dans l’expression de cette conviction. Parmi de nombreuses initiatives récentes, citons par exemple l’ouvrage de Jérôme Depauw, Statistiques (Vuibert, juin 2012), accessible aux enseignants de mathématiques, dans la préface (par Yves Derriennic) duquel on lit :
Dans le livre qu’il propose aux étudiants de master 1 de mathématiques, Jérôme Depauw porte un regard neuf sur quelques questions bien choisies de la statistique mathématique. Sans renier les origines concrètes de ces questions, bien illustrées par des exercices numériques à traiter avec le logiciel R, il montre, dans un style acéré, comment les matières du programme de licence, algèbre linéaire, calcul différentiel et intégral, analyse complexe, probabilités, sont nécessaires à la justification rigoureuse des règles de calcul statistique, même les plus courantes. Car la statistique, contrairement à l’image qu’on en donne trop souvent, offre comme l’analyse ou la géométrie, l’occasion de jolies démonstrations et de raisonnements inventifs.

[5Il y a lieu ici de déplorer les évolutions récentes des programmes de physique de lycée, qui s’éloignent de plus en plus d’un appui sur les outils mathématiques, au profit d’une « culture générale » en physique qui nous paraît souvent superficielle ; sur un point comme celui que nous venons d’évoquer, comme sur d’autres (par exemple les calculs d’erreurs), il y aurait tout à gagner pour le cours de mathématiques à pouvoir travailler en parallèle sur les aspects physiques et les aspects probabilistes ou statistiques.

[6Sans parler des occasions, fort utiles pour la culture mathématique, d’usage du graphisme. C’est ainsi que l’un d’entre nous (J.P. Raoult) n’avait aucun mal il y a cinquante ans à faire assimiler à ses étudiants la dualité entre intervalles de fluctuation (I.F., on ne disait pas ainsi alors, mais peu importe) et intervalles de confiance (I.C.) car ces derniers s’obtenaient, pour les statisticiens (ou usagers de la statistique) professionnels à l’aide d’abaques où les I.F. se lisaient en sections verticales et les I.C. en sections horizontales ; il a été frappé l’an dernier par la surprise émerveillée, devant ces objets venus du passé, chez des professeurs de lycées pour qui le passage des I.F. aux I.C. n’était que calculatoire et donc mal maîtrisé.

[7Voir un catalogue d’exemples dans : P. Arnoux, Quelques exercices d’analyse en théorie élémentaire des probabilités, http://www.irem.univ-mrs.fr/Quelques-exercices-d-analyse-en

[8Voir : J.P. Raoult, Les nouveaux programmes de probabilités et statistique : cohérence et incohérences, conférence à l’IREM de Reims, 16 mai 2012 .

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Pour citer cet article :

Jean-Pierre Raoult, Pierre Arnoux — «Pourquoi enseigner les probabilités et la statistique dans les cours de mathématiques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Commentaire sur l'article

  • Pourquoi enseigner les probabilités et la statistique dans les cours de mathématiques

    le 1er octobre 2013 à 19:28, par Jean-Pierre Kahane

    Ce billet me parait bienvenu. Il ne dissimule pas les obstacles, mais il donne de bons arguments pour ne pas lâcher les probabilités et la statistique. Elles ne s’opposent pas à l’algèbre, l’analyse ou la géométrie, elles créent au contraire de nouvelles approches et de nouveaux liens.

    L’exemple de la moyenne, que donne le billet, est éclatant ; ce peut être le point de départ de tout une réflexion. Il est introduit dans tous les cours de statistique, et le danger est qu’il y reste, la machine se chargeant du calcul. Si on le lie au calcul mental, les propriétés de la moyenne relativement à la translation ou à la dilatation des données s’imposent : comment calcule-t-on la moyenne de 1010, 1020, 1030 ? Et comment faire pour la moyenne de 1010, 1020, 1030, 2010, 2020, 2030 ? Et pour celle de 1010, 1020, 1030, 1040, 2010 ? On voit apparaître les groupements de termes et le moyennes pondérées. La traduction en géométrie, c’est le barycentre et les façons diverses de le construire, avec les propriétés géométriques correspondantes ; si elles ont disparu des programmes, il faut les faire revenir. Le barycentre, c’est aussi le centre d’inertie, et la moyenne a été liée par Legendre à la méthode des moindres carrés, souvent considérée comme le point de départ historique de la statistique. Il serait dommage de ne pas donner en exemple de parabole la représentation de la somme des carrés des distances à des points donnés, et de voir leur moyenne comme l’abscisse du sommet.

    Pour la médiane, c’est la somme des distances qui intervient, et c’est l’occasion de voir une fonction affine par morceaux. Et la traduction dans le plan et l’espace à des systèmes d’un petit nombre de points fait apparaître des points remarquables (point de Steiner d’un triangle,etc). Il est vrai que sur la droite seul l’ordre intervient ; quid dans le plan ?

    Le lien à l’analyse est évident : la moyenne est une intégrale. Aux probabilités : c’est l’espérance. La traduction peut se poursuivre avec la variance. Fondamentalement les probabilités se relient à l’analyse parce que ce sont deux approches pour évaluer ce qui est grand et ce qui est petit. Il est vrai qu’une comparaison de la loi de Gauss et de la loi de Cauchy est instructive et attrayante.

    J’ai juste écrit le mot qui convient. Il faudrait que les probabilités et la statistique soient attrayantes pour les élèves, exercent leur imagination et la disciplinent. Et naturellement pour cela il faut qu’elles soient attrayantes pour les professeurs. Pierre Arnoux et jean-Pierre Raoult en ont pleinement conscience, et ils savent mettre la main à la pâte pour qu’il en soit ainsi.

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  • Pourquoi enseigner les probabilités et la statistique dans les cours de mathématiques

    le 3 octobre 2013 à 10:35, par Karen Brandin

    Je m’excuse par avance parce que faute de temps, j’ai été contrainte de lire votre article et le commentaire qui a suivi trop rapidement ; si je me permets d’intervenir malgré tout, c’est que je me souviens parfaitement du billet de Pierre Colmez peut-être parce que j’aurais vraiment pu écrire la même chose au même moment.
    Vous avez de ces thèmes une vision du-dessus, une vision éclairée, sans aucun doute passionnée donc vous êtes en mesure d’en appécier toutes les subtilités et d’exploiter les correspondances avec les autres -ou du moins certaines autres- branches des mathématiques mais qu’en est-il au lycée ?

    Examinez les sujets du bac 2013 qui, France mise à part (nous sommes le seul pays à avoir consciencieusement évité ce thème pourtant phare puisque caractéristique du nouveau programme), ont tous consacré un exercice à la manipulation de la loi normale centrée ou « à centrer ».
    Comment des exercices aussi élémentaires où il s’agit bien spuvent d’aller saisir une donnée chiffrée dans un tableau de valeurs peuvent-ils être enrichissants ou représentatifs ?
    De mon côté, j’ai une formation en théorie des nombres mais j’aurais fait des études d’analyse orientée probas/stats, je préfèrerais sincèrement ne pas voir présentée la loi normale au lycée que de la voir à ce point dénaturée.

    Il est impossible vue la densité, l’hétérogénité du programme de terminale S de faire correctement les choses en donnant un sentiment de cohérence, de correspondance. On en est réduit à du pointillisme ; touches par touches, on applique un peu de récurrence par-ci, un peu de complexes par-là, un peu d’intégration, un peu de logarithme népérien, un peu d’exponentielle, un peu de géométrie analytique dans l’espace, un peu de probas discrètes et une touche de lois continues. Assez pour « briller en société » lors d’un dîner sans doute mais trop peu, désespérément « trop peu » pour avoir ne serait-ce qu’envie de mieux connaître cette matière et de s’y consacrer.
    Pas plus tard qu’hier, une terminale S d’un grand lycée bordelais (qui tend chaque année vers les cent pour cent de réussite au bac) me demandait des exercices supplémentaires sur ... le calcul fractionnaire ! parce que l’enseignant, désireux de les secouer, leur a fait un petit test surprise sur les fractions, les racines, carrées, les ordres de grandeur et la moyenne de la classe a été catastrophique. On marche sur la tête.

    En première S, la pupart des élèves sont en train de compléter le cours de seconde sur le second degré par l’inévitable discriminant and co. Après des exercices strictement mécaniques et assez pénibles de résolutions d’équations, d’inéquations en tous genres, je leur donne le tracé d’une parabole et leur demande d’en déduire le signe des coeffcients a, b et c ainsi que celui du fameux delta. Cette requête, qu’en toute bonne foi je considérais comme une récompense, a failli soulever une émeute. Ils ne font aucun lien avec la géométrie ; résoudre $ax^{2} +bx+c=0$ est un processus systématique, à ingurgiter puis à consommer sans modération mais qui est sans rapport a priori avec la recherche des abscisses des éventuels points d’intersection de la parabole considérée avec l’axe (Ox).
    C’est décourageant.

    La semaine dernière, toujours en soutien, une 1S tombe sur un calcul du type $\sqrt{45} -\sqrt{45}$ qu’elle me propose de « simplifier » si l’on peut dire en utilisant la quatité conjuguée !!!! Elle ne voit pas que ça fait zéro. :-(
    Nous sommes tellement démunis que vraiment aborder des thèmes et des objets aussi subtils que les lois de probas nous paraît irréaliste.

    Il ne s’agit pas de hiérarchiser les domaines des maths, ou de distinguer « ce qui vaut la peine » et ce qui vaut « moins la peine » mais simplement de parer au plus pressé car on en est là.
    La plupart des terminales S ne penseront jamais le calcul d’une intégrale en termes d’aires et l’an dernier je me suis battue comme d’autres sans aucun doute au moment du complément en probas continues pour les contraindre à dessiner, à hachurer inlassablement les aires sous les gaussiennes de sorte de retrouver sans mémoriser les liens entre certaines probas.
    Le problème est immense et personne ne semble en prendre la mesure, ce qui me décourage.

    J’espère vraiment qu’à l’issue de cette année, certains enseignants en première année de classes préparatoires prendront la plume pour nous donner leur sentiment vis à vis de ce nouveau public.

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    • Pourquoi enseigner les probabilités et la statistique dans les cours de mathématiques

      le 8 octobre 2013 à 09:37, par Julien Puydt

      Je suis professeur de mathématiques en spé depuis quelques années, et depuis cette année, d’informatique commune en sup.

      J’abonde dans le sens de Karen Brandin.

      Je dirais même plus : quand je vois comment vous comparez le magnifiques programmes de lycée qui mentionnent certaines lois avec les affreux (brouillons/projets de) programmes de spé qui n’en mentionnent pas autant, j’enrage un peu. D’un côté, on a des mots sur du papier, qui traitent d’un peu tout, tellement tout que c’est du saupoudrage ; les attendus sont légers, légers, légers. De l’autre, on a un programme assez précis, dont un maximum de résultats sont prouvés et réellement traités, parce qu’en concours, il n’est pas question de faire d’impasse.

      Il est intéressant de regarder les programmes de physique de sup : le plus gros est à la fin, en annexe. Ce sont les résultats mathématiques que les collègues vont devoir présenter aux étudiants parce qu’ils n’ont pas les bagages... cherchez l’erreur.

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  • Pourquoi enseigner les probabilités et la statistique dans les cours de mathématiques

    le 3 mai 2014 à 16:47, par christophec

    Je témoigne aussi dans le sens de Karen Brandin. Avant de déployer une abondante rhétorique, il me semble qu’il faille préciser de quoi on parle et quelle question on se pose :

    1) Si on se demande si les probabilités et les statistiques sont importantes et qu’on argumente pour défendre la réponse « oui », ce genre d’article répond à la question.

    2) Mais si la question est « faut-il les enseigner dans le secondaire ? », il me semble hors-sujet. Il y a une différence entre expliquer pourquoi les enseignants du secondaire y sont instinctivement hostiles et prouver qu’ils ont tort.

    L’évolution du secondaire a été d’aller vers de moins en moins de formation au formel (même si cet impératif de confronter les élèves au formel est prétexté opéré par les instructions d’introduire à la programmation informatique (aussitôt diluées par les contre-instructions interdisant d’enseigner la programmation au profit d’introduire à « l’algorithmique » dont la sanction des textes n’est pas manichéenne)

    Cette évolution peut servir de prétexte aux défenseurs d’introduire des probabilités et des statistiques au motif que « maintenant » les élèves seraient habitués à recevoir des informations sous des formes « parlées courantes » (ceci tend vers cela, ceci converge vers") en cours de mathématiques.

    Or justement, ces thèmes (les probas-stats) ne peuvent être appréciés, même ne serait-ce qu’un peu, que par des pensées qui ont d’abord été un peu « traumatisées » par du formel simple, dont l’utilité a été « ressentie » d’une manière ou d’une autre, puis qui, cette édification réussie, vont, dans un deuxième temps s’épanouir en les abordant et les comprenant (un peu).

    C’est pour ça que ces thèmes imposés dans les programmes aggravent encore l’état du secondaire et ajoutent au désarroi des enseignants : il leur est difficile d’exprimer qu’un enseignement mathématique, qui n’est déjà pas facile à dispenser, mais au moins peut-on dire que les lignes de bagarre sont clairement identifiées (la difficulté du formel face à l’hostilité de l’ado à ça) n’est pas soulagé ni enrichi par un thème faussement non formel, mais au contraire, encore un peu plus en quelque sorte « anéanti ».

    On demanderait aux enseignants de mathématiques d’enseigner l’anglais, au moins pourraient-ils dire « vous me demandez d’enseigner une langue que je ne sais pas parler ». En leur demandant d’enseigner une langue sociologiquement courante, mais de plus couramment parlée par des experts issues de formations mathématiques authentiques leur ôte même la possibilité d’exprimer la difficulté.

    Ce n’est pas parce que quelque chose est important qu’il doit être forcément introduit dans le secondaire. Ce n’est d’ailleurs pas forcément « à l’école » qu’on apprend tout ce qu’on sait faire. Par exemple, aucune école n’a jamais appris à qui que ce soit (autre que des « déjà-passionnés-avant ») à programmer des ordinateurs. Pire que ça : toute tentative d’enseigner la programmation conduirait probablement le nombre de programmeurs à diminuer spectaculairement (les tentatives échouantes de déclencher ces savoirs-faire dégouteraient des proportions importantes de gens qui sinon s’y seraient mis, par exemple).

    Il n’est pas exclu qu’il en aille de même pour ces thèmes où les preuves irréfutables des théorèmes les concernant sont à peine accessibles à bac 4, les dogmes sur « les vrais/faux hasards » qui y sont engagés nécessitent au minimum la passion d’un master de philosophie ou de mécanique quantique et le reste est de la vulgarisation standard inopérante et piégeante de journal télévisé de grande écoute. Sans parler du fait que la seule façon de trancher, dans des énigmes de probas stats, face à des textes qui se revendiquent les solutionner, consiste à déployer une compétence au formalisme bien au delà de tout ce qu’on attend généralement du formalisme qui arbitre une finale sur des textes qui se chamaillent avec la même revendication face à des énigmes mathématiques de beaucoup d’autres thèmes

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    • Pourquoi enseigner les probabilités et la statistique dans les cours de mathématiques

      le 6 juin 2014 à 09:11, par Jean-Pierre Raoult

      Une réponse à ce commentaire, ainsi qu’à certains placés après un billet ultérieur (http://images.math.cnrs.fr/Intervalle-de-confiance-pourquoi.html), figure dans le billet mis en ligne le 3 juin 2014, titré « Intervalle de confiance, le débat continue » :
      http://images.math.cnrs.fr/Intervalles-de-confiance-le-debat.html

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