Pourquoi le premier nombre n’est pas un nombre premier

17 septembre 2014  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (11)

Pour quelle raison exclut-on $1$ des nombres premiers ?

Les nombres premiers ont fasciné et fascinent toujours un nombre incalculable de gens, qu’ils soient ou non mathématiciens de profession. Cette passion a engendré pléthore de théorèmes les concernant, dont certains sont d’une sophistication hallucinante. Parmi ces théorèmes, y en a-t-il de plus importants que d’autres ? Cela dépend du point de vue, mais ce qui est sûr, c’est que la complexité du monde des nombres premiers provient du théorème suivant, déjà connu d’Euclide :

Théorème : Il existe une infinité de nombres premiers.

Ce théorème a une preuve très courte ! Je l’ai expliquée à mes étudiants de licence scientifique générale, lors de leur première semaine d’études universitaires, comme exemple célèbre de preuve par l’absurde.

La preuve d’Euclide

Voici, pour le lecteur curieux, l’énoncé d’Euclide, ainsi que sa preuve,
tels qu’on les trouve dans la traduction faite par Peyrard et publiée en 1819
chez Patris Imprimeur-Libraire (réédition A. Blanchard, Paris, 1993).
Il s’agit de la Proposition XX du Neuvième Livre des « Éléments ». Entre crochets
j’ai rajouté quelques commentaires :

PROPOSITION XX : « Les nombres premiers sont en plus grande quantité que toute quantité proposée de nombres premiers.  »

PREUVE : « Soient $A, B, \Gamma$ les nombres premiers que l’on aura proposés ; je dis que les nombres premiers seront en plus grande quantité que les nombres
$A, B, \Gamma$. Soit pris le plus petit nombre qui est mesuré par les nombres
$A, B, \Gamma$
[c’est-à-dire, en termes modernes, qui est divisible par chacun d’entre eux ; comme ces nombres sont premiers et distincts, il s’agit donc de leur produit]  ; et que ce nombre soit $\Delta E$ [il s’agit des extrémités d’un
segment qui représente ce produit] ; ajoutons l’unité $\Delta Z$ à $\Delta E$
[le segment $\Delta Z$ qui prolonge $\Delta E$ est pris de longueur égale à
l’unité de mesure]  ; le nombre $EZ$ [donc la longueur du segment obtenu
en prenant l’union des deux segments précédents] sera un nombre premier,
ou il ne le sera pas. Qu’il soit d’abord un nombre premier ; on aura trouvé les nombres
premiers $A, B, \Gamma, EZ$ qui sont en plus grande quantité que les nombres
$A, B, \Gamma$.

Mais que $EZ$ ne soit pas un nombre premier ; ce nombre sera mesuré par
quelque nombre premier
[c’est-à-dire, en termes modernes, qu’il sera divisible
par un nombre premier]. Qu’il soit mesuré par le nombre premier $H$ ; je dis que
$H$ n’est aucun des nombres $A, B, \Gamma$. Qu’il soit un de ces nombres,
si cela est possible. Puisque les nombres $A, B, \Gamma$ mesurent $\Delta E$,
le nombre $H$ mesurera $\Delta E$. Mais $H$ mesure $EZ$ ; donc $H$,
qui est un nombre, mesurera l’unité restante $\Delta Z$, ce qui est absurde ; donc
$H$ n’est aucun des nombres $A, B, \Gamma$. Mais on a supposé qu’il est un nombre premier ; les nombres premiers $A, B, \Gamma, H$, que l’on a trouvés, sont donc en plus grande quantité que les nombres $A, B, \Gamma$. Ce qu’il fallait démontrer.
 »

Mais avant de faire cette preuve, j’ai vérifié si les étudiants savaient définir les nombres premiers. Plusieurs d’entre eux m’ont dit sans hésiter :

Définition 1 : Un nombre naturel est premier s’il n’est divisible que par $1$ et par lui-même.  [1]

« Est-ce correct ? » ai-je alors demandé. Après quelques instants de réflexion, quelques bras se sont levés.

« Non, il faut rajouter que le nombre est au moins égal à $2$ », ai-je entendu.

« Très bien », ai-je commenté, « la définition complète est donc :

Définition 2 : Un nombre naturel est premier s’il est plus grand que $1$ et qu’il n’est divisible que par $1$ et par lui-même. »

« Donc $1$ n’est pas premier », ai-je conclu. « Mais pourquoi, pouvez-vous me le dire ? »

« Parce que par définition, un nombre premier ne peut pas être égal à $1$ », m’a-t-on répondu.

« Vous avez tout à fait raison », ai-je répondu, « c’est bien ce que dit la Définition 2. Mais ce que je vous demande est de m’expliquer pourquoi on a décidé que la définition “correcte” est la seconde, et non pas la première. Pourquoi a-t-on préféré exclure $1$ de l’ensemble des nombres premiers ? »

Silence ...


J’ai alors écrit au tableau :

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ Entiers naturels $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ Molécules

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ Nombres premiers $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $  ?

« Pouvez-vous compléter ce tableau ? » leur ai-je demandé. Après quelques instants de réflexion, j’ai entendu :

« Atomes ... »

« En effet », ai-je expliqué, « on peut dire que les nombres premiers sont aux entiers naturels ce que les atomes sont aux molécules. Dans les deux cas ce sont des notions qui ont été élaborées sous l’emprise d’une philosophie réductionniste : décomposer les objets compliqués en objets plus simples, et poursuivre cette décomposition en objets de plus en plus simples jusqu’à ce que l’on parvienne à des objets indécomposables. Inversement, on veut pouvoir recombiner les objets indécomposables, afin d’obtenir les objets de départ.

Un point subtil est que les objets indécomposables dépendent de l’ensemble des objets dans lequel on travaille, ainsi que de la loi de combinaison utilisée.

Par exemple, les atomes (ce qui signifie bien, étymologiquement, indécomposable) sont décomposables en électrons, neutrons et protons, eux-mêmes obtenus à partir de bestioles encore plus élémentaires ... Mais ces objets ne font pas partie de l’ensemble « chimique » des molécules. Si on travaille à l’intérieur de l’ensemble des molécules et que la composition est faite par réaction chimique, les atomes sont bien les molécules indécomposables ...

De manière analogue, les nombres premiers sont les objets indécomposables, pourvu que :

  • la composition se fasse par multiplication des nombres ;
  • l’on travaille dans l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $2$.

En effet, si on travaille aussi avec $1$, alors tout entier naturel $n$ est décomposable par produit :
[n = n \times 1. ]

Le processus de décomposition ne s’arrête jamais, car on peut continuer :
[ 1 = 1 \times 1 = 1 \times 1 \times 1 = \cdots ]

Il n’y a donc pas d’objets indécomposables dans l’ensemble $\{1, 2, 3, 4, ... \}$, lorsqu’on les compose par produits !

Mais si on enlève $1$ de cet ensemble, on obtient soudain des éléments indécomposables - les nombres premiers selon la définition “correcte”, c’est-à-dire la Définition 2. Le même ensemble de nombres premiers peut être redéfini de la manière suivante, qui illustre mieux la philosophie réductionniste sous-jacente :

Définition 3 : Les nombres premiers sont les éléments de l’ensemble $\{2, 3, 4, 5, ... \}$ qui ne peuvent pas se décomposer en produit de deux autres éléments de cet ensemble.

On peut démontrer alors cet autre théorème fondamental de la théorie des nombres premiers :

Théorème : Tout entier naturel se décompose d’une unique manière comme produit de nombres premiers ... pourvu que l’on considère que deux telles décompositions sont identiques si l’on peut passer de l’une à l’autre par permutation des facteurs.

Par exemple, voici les décompositions possibles de $12$ :
[ 12 = 2 \times 2 \times 3 = 2 \times 3 \times 2 = 3 \times 2 \times 2. ]

Ce théorème serait faux si on permettait que $1$ soit premier ! Voilà pourquoi on a choisi de dire qu’il ne l’est pas. En effet, si on disait que $1$ est premier, alors on aurait une infinité de décompositions de n’importe quel nombre naturel comme produit de nombres premiers. Par exemple :
[ 2 = 2 = 2 \times 1= 2 \times 1 \times 1 = \cdots ]

Attention, le premier théorème, concernant l’infinité des nombres premiers, ne nous permet pas de décider si on veut ou non dire que $1$ est premier. Plus précisément, il ne nous permet pas de choisir entre les définitions 1 et 2. C’est le deuxième théorème qui fournit le critère décisif. »


Ce fut l’occasion d’expliquer que les définitions ne doivent pas seulement être correctes, mais qu’elles doivent en outre être choisies afin de rendre les énoncés des théorèmes importants aussi simples que possible.

En revenant à l’analogie entre nombres et molécules chimiques, on peut observer que du point de vue de la combinaison des objets, le monde des molécules est bien plus compliqué que l’ensemble des entiers naturels. En effet, deux entiers naturels quelconques peuvent être combinés par multiplication en un nouvel entier naturel, mais deux molécules quelconques ne réagissent pas nécessairement. Et si elles réagissent, elles ne donnent pas nécessairement une seule nouvelle molécule. De plus, le résultat de la réaction dépend des conditions ambiantes : température, pression, catalyseurs, etc.

Pour conclure, je voudrais mentionner que l’analogie entre arithmétique et chimie dont je me suis servi dans l’explication précédente n’est pas nouvelle. Elle servit déjà à Kummer au XIX-ème siècle pour expliquer comment il pensait aux « nombres idéaux » qu’il venait d’introduire. J’ai expliqué cela dans cet autre billet.

Notes

[1Euclide les définit ainsi : « Le nombre premier est celui qui est mesuré par l’unité seule. »

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Pourquoi le premier nombre n’est pas un nombre premier» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - L’image du logo provient de Wikimedia Commons.
Elle représente le signe de la ligne 1 du tramway d’Augsbourg. Mais vous avez sûrement deviné que j’y vois un carton rouge reçu par le nombre 1 ...

Commentaire sur l'article

  • Pourquoi le premier nombre n’est pas un nombre premier

    le 18 septembre 2014 à 21:30, par Bernard Hanquez

    Merci pour ce billet qui m’a enfin fait comprendre pourquoi « 1 » n’est pas premier.

    Répondre à ce message
  • Pourquoi le premier nombre n’est pas un nombre premier

    le 18 septembre 2014 à 23:24, par Rémi Peyre

    Nicolas Bourbaki aurait plutôt dit que la « bonne » définition des nombres premiers est « tout simplement » que

    L’ensemble P des nombres premiers est l’unique partie génératrice minimale du monoïde commutatif N*...

    (OK, je sors) :-P

    Répondre à ce message
  • Pourquoi le premier nombre n’est pas un nombre premier

    le 21 septembre 2014 à 10:52, par yann coudert

    Si 1 n’est pas un nombre premier, c’est donc un nombre composé. Contradiction.

    Répondre à ce message
    • 1 est bien composé

      le 21 septembre 2014 à 12:57, par Patrick Popescu-Pampu

      Bonjour,

      Oui, $1$ est bien composé : il se décompose en le produit d’un
      nombre nul de
      nombres premiers ! Reste à comprendre le fait un peu paradoxal
      que si on multiplie $0$ nombres premiers, on obtient $1$. Cela est
      basé sur le fait que si on multiplie d’abord les nombres premiers
      d’un ensemble $E$ - notons ce produit $\Pi_E$ -, puis ceux d’un ensemble disjoint $F$ - notons ce deuxième produit $\Pi_F$ - alors en multipliant
      les nombres premiers contenus dans l’union de $E$ et de $F$ on obtient
      le produit $\Pi_E \cdot \Pi_F$. Ceci est bien sûr vrai lorsque $E$ et $F$ sont tous les deux non-vides. On cherche à établir une convention qui fasse que ceci reste vrai même si l’un de ces deux ensembles est vide. Cela force à imposer que le produit de $0$ nombres premiers vaut $1$ ...

      Attention, ce qui est essentiel dans les considérations précédentes, est que l’on regarde l’opération de multiplication des nombres. Si on regarde plutôt l’addition, alors les mêmes considérations forcent à dire que la somme d’un nombre nul de nombres vaut $0$.

      Répondre à ce message
      • 1 est bien composé

        le 22 septembre 2014 à 09:57, par yann coudert

        Ne serait-ce pas plus simple d’admettre que 1 est un nombre premier singulier et de ne pas l’inclure dans la décomposition en facteurs premiers ?

        Personnellement, j’ai du mal à voir dans l’unité un nombre composé.

        Répondre à ce message
        • Convention universelle

          le 22 septembre 2014 à 13:49, par Patrick Popescu-Pampu

          Bonjour,

          En fait ce que j’ai répondu dans mon précédent message n’est pas relié aux nombres premiers, mais est valable pour toute loi de composition associative et avec élément neutre (donc pour tout « monoïde », objet présent dans le commentaire de Rémi Peyre). Dans un tel monoïde (pas nécessairement commutatif), on veut pouvoir parler du produit d’une suite finie quelconque d’éléments, même si cette suite est vide. Pour la raison que j’ai expliqué, on est forcé d’imposer que dans ce dernier cas, le produit est égal à l’élément neutre du monoïde.

          Par exemple, la somme d’une suite vide de vecteurs est égale au vecteur nul, et le produit d’une suite vide de matrices carrées est la matrice identité de même taille.

          Répondre à ce message
          • Convention universelle

            le 22 septembre 2014 à 18:03, par yann coudert

            On est bien d’accord sur la théorie, mais rien n’oblige de l’appliquer à une hypothétique non primalité du nombre 1. Il est plus simple d’admettre une primalité singulière de ce nombre et de l’exclure de la liste des nombres premiers non singuliers. Si 1 est composé, le quotient de n par lui-même est un nombre composé ! Auquel cas n ne peut jamais être premier. De plus, le produit de 1 par un premier donne toujours un premier. Si 1 est composé, il n’y a plus de nombres premiers !

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            • Convention universelle

              le 22 septembre 2014 à 18:14, par Patrick Popescu-Pampu

              Bonjour,

              Et merci pour vos messages, car cet échange me semble instructif pour de nombreux étudiants. Dans mon billet je voulais attirer l’attention sur un mécanisme à l’oeuvre lorsque l’on créé du langage mathématique : le besoin de simplicité des énoncés. Si on appelle $1$ « premier », même « singulier », il faudrait écrire des énoncés et des preuves en disant la plupart du temps « nombre premier non-singulier » plutôt que « nombre premier ». La tradition a choisi la simplicité de dire que $1$ n’est pas premier.

              Par ailleurs, vous utilisez « composé » comme contraire de « premier ». Mais rien n’empêche de dire que $1$ n’est ni premier ni composé ...

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              • Convention universelle

                le 23 septembre 2014 à 09:34, par yann coudert

                D’accord avec vous pour la recherche de simplicité, mais avec 1 nombre composé, ce n’est pas gagné ...

                Je veux juste dire qu’il est très simple (intuitivement) de faire de 1 un premier (le premier des premiers) sans l’inclure dans la liste des premiers (un peu comme le « fou » d’un jeu de cartes).

                Ni premier, ni composé, pourquoi pas ? Mais pour le premier des entiers non nuls, c’est assez bizarre. Par contre, pour 0, cela peut se concevoir.

                Merci à vous.

                Répondre à ce message
                • 1 ni premier ni composé

                  le 1er octobre 2014 à 23:41, par Rémi Peyre

                  Bonjour Yann,

                  Voici une autre façon de voir les choses. Pour $n$ un entier strictement positif, on peut définir la « valuation totale » (c’est moi qui invente le mot ; il y en a peut-être un autre mais j’ignore lequel) $\Omega(n)$ de $n$ comme étant le nombre de nombres premiers qui apparaissent dans la décomposition de $n$, comptés avec multiplicité éventuelle : par exemple, $\Omega(24) = 4$, car $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$, soit $4$ facteurs premiers.

                  Avec cette définition, on voit qu’un nombre $n$ est premier si et seulement si $\Omega(n) = 1$. Tous les nombres non-premiers sauf le nombre $1$ sont tels que $\Omega(n) > 1$ : on peut donc les décomposer en produit non trivial de nombres premiers, d’où l’appellation « composés ». Et $1$ ? Eh bien, comme l’a fait remarquer l’auteur, on peut le voir comme le produit d’un nombre nul de facteurs premiers, de sorte que $\Omega(1) = 0$. Notez que c’est la seule convention qui soit raisonnable pour $\Omega(1)$, notamment parce que c’est la seule qui continue à vérifier que $\Omega(nm) = \Omega(n)\Omega(m)$ pour tous $n, m \in \mathbf{N}^*$ (propriété qui était en effet vraie pour $n,m \neq 1$).

                  Donc, si j’ose un parallèle, « premier » est à « un » ce que « composé » et à « plusieurs ». Et le nombre $1$ ? Eh bien, on voit alors qu’il doit former une catégorie à lui tout seul, correspondant à... « aucun » ! La logique veut donc qu’on définisse le nombre $1$ comme ni premier ni composé ; et c’est par exemple la définition que retiennent les Wikipédias francophone comme anglophone (voir « Nombre composé », resp. « Composite number »).

                  .

                  Une digression pour finir : si vous voulez étendre l’application $\Omega$ à $0$, la seule solution serait de donner à $0$ une valuation infinie... Pas très heureux :-S Mais on peut considérer que $0$ « triche » dès qu’il s’agit de multiplication, car il “détruit” définitvement tout sur son passage... Pour les nombres négatifs par contre, il n’y a pas de problème : il faut définir $\Omega(-1) \mathbin{:=} 0$ (car $(-1) \times (-1) = 1$, donc $0 = \Omega(1) = \Omega(-1) + \Omega(-1) = 2 \times \Omega(-1)$), de sorte que $\Omega(-n) = \Omega(n)$ ; et on peut même définir $\Omega$ pour tout nombre rationnel non nul par $\Omega(p\mathbin{/}q) = \Omega(p) - \Omega(q)$.

                  Cordialement.

                  Répondre à ce message
  • Pourquoi le premier nombre n’est pas un nombre premier

    le 3 octobre 2014 à 12:39, par yann coudert

    Bonjour Rémi,

    Merci de votre message. Un entier > 1 est bien premier quand W(n) = 1. L’essentiel est que 1 ne soit pas composé.

    1 n’est pas premier d’après cette définition, ou alors il est plus que premier. Car c’est le seul entier qui n’est le résultat d’aucune somme d’entiers autre que 0 + 1.

    Cordialement.

    Répondre à ce message

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