El texto de Wang Lai (1768-1813)

Este autor es muy conocido por los especialistas por haber sido miembro de la escuela filológica Qian-Jia [1] y por haber realizado trabajos en álgebra tradicional. Sin embargo, su ensayo Los principios matemáticos de las combinaciones sucesivas (Dijian shuli 遞兼數理) [2] permanece desconocido. Desde un punto de vista matemático moderno, las ’’combinaciones sucesivas’’ de Wang Lai son los coeficientes binomiales $C_n^k$. Corresponden al número de combinaciones posibles cuando dibujamos (sin reemplazo) $k$ objetos entre $n$.

Primero, veamos la estructura de este texto, que comprende unas diez páginas. Encontramos :

• Una introducción general al tema, que aporta los siguientes elementos :
  • una explicación de lo que son los ’’números de combinaciones sucesivas’’ ;
  • un método para obtener los ’’números totales de combinaciones sucesivas’’ (dijian zhi zongshu 遞兼之總數), es decir, las sumas \[S_n=\sum_{k=1}^{n}C^k_n; \]
  • un método para obtener los ’’números parciales de combinaciones sucesivas’’ (dijian zhi fenshu 遞兼之分數), es decir, los términos $C^k_n$. Las descripciones de estos dos métodos introducen el vocabulario de ’’pilas triangulares’’(sanjiao dui 三角堆), necesario en el cálculo de sumas aritméticas finitas de varios órdenes.
• Una ’’explicación ilustrada del número total de combinaciones sucesivas de 10 objetos’’. Esta es la figura 2 a continuación, que muestra las sumas $S_n$ para $1\leq n \leq 10$.
• Una explicación ilustrada del número parcial de combinaciones sucesivas de 10 objetos. En esta figura (ver figura 3 a continuación) los ’’números parciales’’ $C^k_{10}$ ($k=1,…,9$) se representan usando pirámides de bolas unitarias.
• Cinco explicaciones de las razones por las que usamos los procedimientos de las ’’pilas triangulares’’ para los ’’números parciales de combinaciones sucesivas’’.
• Un ejemplo : un problema de adivinación.
• Un método general para calcular ’’pilas triangulares’’ de varios órdenes, o en términos matemáticos modernos, sumas [3] :

\[ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n (n+1)}{1\cdot 2},\]

\[ \sum_{k=1}^{n}\frac{k (k+1)}{1 \cdot 2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{1\cdot 2\cdot 3},\]

\[\ldots\]

Entremos al detalle

En la introducción, Wang Lai explica el propósito de su ensayo sobre « combinaciones sucesivas » :

En el pasado, no se desarrollaron los números (shu 數) de combinaciones sucesivas. Nosotros determinamos hoy cómo buscarlos. Por lo tanto, es apropiado explicar primero los elementos que intervienen en los enunciados de los problemas. Supongamos que tenemos todo tipo de objetos. Partimos de un objeto, cada uno de los cuales establece un solo conjunto, hasta todos los objetos tomados en conjunto que forman un solo conjunto. Entre estos, sucesivamente, con dos objetos combinados entre sí para formar un conjunto, al intercambiar y alternar se discute cuántos conjuntos se pueden obtener ; con tres objetos combinados para formar un conjunto, intercambiar y alternar discute cuántos conjuntos se pueden obtener ; cuatro objetos, cinco objetos hasta múltiples objetos, no hay ninguno que no sea así [4]. Esto se llama los números de combinaciones sucesivas (dijian zhi shu 遞兼之數).

Figura 1 : Prólogo

Wang Lai (1768-1813), Principios matemáticos de las combinaciones sucesivas

Wang Lai luego da un método para calcular la suma de los números de combinaciones
\[S_n=\sum_{k=1}^{n}C^k_n.\]
El algoritmo que indica corresponde en términos matemáticos modernos a una iteración : repetimos las operaciones de duplicar el resultado obtenido en el paso anterior y sumarle la unidad. Dado un conjunto de $n$ objetos, y comenzando con $S_1=1$ (que corresponde a $C^1_1$), prescribe $n-1$ iteraciones de las operaciones para $k=2,…, n$, que da sucesivamente :
\[S_k=2S_{k-1}+1.\]

La figura correspondiente de Wang Lai (figura 2 a continuación) muestra, utilizando barras cada una duplicada en comparación con la barra anterior y alargadas en una unidad, las iteraciones $n-1$ para $n=10$. Obtiene así $S_{10}=1023$.

Figura 2 : Diagrama de números totales de combinaciones sucesivas para diez objetos

Wang Lai (1768-1813), Principios matemáticos de las combinaciones sucesivas

Al contrario de lo que han dicho algunos historiadores [5], para ser completamente exactos, Wang Lai no usó la siguiente igualdad notable [6] :

\[\sum_{k=1}^{n}C^k_n=2^n-1.\]

Para el ’’Procedimiento de números parciales de combinaciones sucesivas’’, es decir el cálculo de los valores de $C_n^k$, Wang Lai explica los vínculos entre estos números y las sumas de series aritméticas de varios órdenes :

Del número de supuestos objetos -que es en realidad el número [posible] de conjuntos constituidos por un [objeto] tomado individualmente [7] - restamos la unidad. Esto hace que la raíz de una pila triangular [8]. Al buscar con este número en la raíz [la suma de] la pila triangular en el plano, obtenemos el número de combinaciones de dos objetos. Si volvemos a restar la unidad, al buscar [la suma de] el apilamiento triangular en el espacio obtenemos el número de combinaciones de tres objetos [9]. Si volvemos a restar la unidad, buscando [la suma] del apilamiento triangular de tercer grado [10] obtenemos el número de combinaciones de cuatro objetos. Así, disminuyendo sucesivamente el número en la raíz y aumentando sucesivamente el número de grados, obtenemos todos los números de combinaciones. Nos detendremos cuando lleguemos al número del medio. Después del número del medio, es igual que antes y no es necesario volver a hacer los cálculos.

Figura 3 : Diagrama de las cantidades parciales de combinaciones sucesivas para diez objetos

Wang Lai (1768-1813), Principios matemáticos de las combinaciones sucesivas

Wang vincula aquí por primera vez en la historia de las matemáticas en China combinaciones con números figurados. Ilustra los procedimientos generales para determinar los ’’números parciales de combinaciones sucesivas’’ para el caso especial de $n=10$ a través de cifras (consulte la Figura 3 anterior). Al dibujar consecutivamente uno, dos, tres, cuatro o cinco elementos entre $n=10$ objetos, obtenemos respectivamente una serie de combinaciones que Wang Lai representa geométricamente mediante bolas alineadas o apiladas en forma triangular o piramidal. Da $i=1 \ldots 5$ cifras para los números $C^i_{10}$, que es suficiente para $n=10$ ya que nota, como Chen Houyao, la simetría $C^i_ {10} =C^{10-i}_{10}$ :

\[1+1+1+1+\ldots +1=C^1_{10}=C^9_{10}=10\]
\[1+2+3+4+\ldots +9=C^2_{10}=C^8_{10}=45\]
\[1+3+6+10+\ldots+36= C^3_{10} =C^7_{10}=120\]
\[1+4+10+20+\ldots+84= C^4_{10} = C^6_{10}=210\]
\[1+5+15+35+70+126= C^5_{10}=252.\]

La ilustración de estas sumas por elementos unitarios sugiere el modo de generación de cada término de la serie anterior. Evoca la tradición de las dinastías Song y Yuan que consideraban pilas de objetos discretos con diferentes formas geométricas [11]. La serie $1+2+3+\ldots + 9$, cuya suma corresponde a $C^2_{10}$, corresponde así a un triángulo en el que las bolas se apilan en nueve filas sucesivas, comenzando con nueve bolas en la base. La siguiente suma, o $C^3_{10}$, se ilustra entonces con una pirámide regular cuyo triángulo base tiene ocho bolas en cada lado y cada nivel del cual constituye un triángulo que comprende (de arriba a abajo) 1, 3, 6 , ... o 36 ($=8+7+6+5+4+3+2+1$) artículos. Para $C^4_{10}$, Wang muestra siete pirámides cuyas alturas van de 1 a 7, lo que le da la suma :
\[C^4_{10} = 1+ (1+3)+(1+3+6)+\ldots+(1+3+6+10+15+21+28) =210.\]

La última parte del ensayo de Wang Lai proporciona los algoritmos correspondientes a los cálculos de ’’pilas triangulares’’ cuya base tiene una serie de elementos $b$. Primero da los algoritmos de pilas planas y sólidas, es decir, la suma de la serie aritmética de números enteros y triangulares :

• El apilamiento triangular en el plano, cuando el número de bolas en la base es $b=n-1$, es :
  \[\sum_{k=1}^{b}k=\frac{b(b+1)}{2}.\]
• El apilamiento triangular en el espacio, cuando el número de bolas en el lado del triángulo base es $b=n-2$, es :
  \[\sum_{k=1}^{b}\frac{k(k+1)}{2}=\frac{b(b+1)(b+2)}{6}. \]

Estos resultados corresponden a sumas aritméticas finitas, que ya conocía Zhu Shijie 朱世傑. Este último las utilizó en cálculos algebraicos que presenta en su Espejo de jade de las cuatro incógnitas (Siyuan yujian 四元玉鑑, 1303), sin hacer referencia alguna a cuestiones de combinatoria. Para las siguientes dimensiones, Wang Lai remarca que ’’como aún no tenemos su procedimiento, lo establecemos como procedimiento general’’. Da así con toda generalidad la suma de ’’pilas triangulares de grado $m$ y de base $b$’’ [12], en la forma :

\[\frac{b(b+1)(b+2)\cdots(b+m)}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (m+1)}.\]

El único problema matemático concreto que ejemplifica Wang Lai en su ensayo proviene de la adivinación. Se trata de un chamán que, realizando una adivinación con varas (shigua 筮卦), produce un hexagrama, un saber : una configuración de seis líneas (liu yao 六爻), llenas o rotas. Wang calculó el número total $S_6$ de posibles configuraciones que incluye de una a seis líneas que se pueden formar a partir de un hexagrama que se obtendrá. Incluido si desde el punto de vista de la práctica de la adivinación esta pregunta puede parecer extraña, cae completamente dentro del marco de los métodos que interesan a Wang Lai. Como en la primera parte de su ensayo, cuando establece el procedimiento para el número total de combinaciones. Un primer método, iterativo, procede duplicando el resultado anterior y sumando una unidad. Wang Lai comentó, en paralelo al procedimiento general, que cinco iteraciones (es decir, el máximo número de filas que se pueden obtener menos la unidad) es suficiente para el total de configuraciones posibles :

\[2\cdot 1 + 1 = 3\]
\[2\cdot 3 + 1 = 7\]
\[2\cdot 7 + 1 = 15\]
\[2\cdot 15 + 1 = 31\]
\[2\cdot 31 + 1 = 63.\]

El segundo método de Wang Lai consiste en calcular la suma total de las 63 configuraciones sumando los números de todas las configuraciones posibles, que están formadas por una y hasta seis filas :
\[C^{1}_{6}+C^{2}_{6}+C^{3}_{6}+C^{4}_{6}+C^{5}_{6}+C^{6}_{6}=63.\]

Para determinar los ’’números parciales’’, los $C_6^k$, Wang utiliza, como indicó anteriormente, los procedimientos para los ’’empaquetamientos triangulares’’ y la simetría $C^i_{n}=C^ {ni}_{n}$

Afiliación

En el texto analizado anteriormente, Wang Lai generalmente relaciona las sumas aritméticas (finitas) con los problemas de combinaciones. Pero no relaciona sus cálculos con el triángulo aritmético, en cuyas líneas aparecen los $C^i_n$ para $i=0,...,n$. Por lo tanto, se podría pensar que Wang Lai no tenía conocimiento de los escritos de Zhu Shijie mencionados anteriormente : el trabajo de 1303 incluye notablemente el triángulo aritmético y, de hecho, se perdió hace mucho tiempo. Este libro no se encontró hasta alrededor de 1802, fecha en torno a la cual se sitúa la redacción del ensayo de Wang Lai sobre las ’’combinaciones sucesivas’’.

Volveré a Zhu Shijie en la tercera parte de mis artículos sobre prácticas combinatorias y matemáticas en China. Veremos que Li Shanlan, un matemático del siglo XIX, trabajó sobre la base del triángulo aritmético y en un marco conceptual estrictamente tradicional, para obtener importantes resultados.

Finalmente, es interesante notar que Wang Lai, como Chen Houyao (ver el artículo El comienzo de un nuevo dominio), recurre a técnicas adivinatorias para construir ejemplos de problemas matemáticos combinatorios. Incluso se podría especular que hay algún paralelo aquí entre la ilustración de Fuxi de la formación de los 64 hexagramas y el procedimiento de Wang Lai para encontrar el número total de combinaciones de $S_n$. Ambos surgen de un procedimiento de duplicación.