Prácticas combinatorias y matemáticas en China

El comienzo de un nuevo dominio

Piste bleue Le 15 mai 2009  - Ecrit par  Andrea Bréard
Le 15 mai 2009  - Traduit par  Edgard Araya, Andrés Navas, Pilar Garcés
Article original : Pratiques et mathématiques combinatoires en Chine Voir les commentaires
Lire l'article en  

Hoy en día, el campo matemático llamado ’’combinatorio’’ está estrechamente relacionado con la teoría de números y la teoría de grafos. En el pasado, fue sobre todo un interés por las diversas combinaciones de un número finito de objetos, siguiendo ciertas reglas y con el fin de crear con ellos los arreglos más variados, lo que inspiró el desarrollo de las reflexiones combinatorias.

En una serie de tres artículos, analizaremos los diversos contextos en los que ha habido interés en China por las series aritméticas : el conteo combinatorio, los números figurativos y el ’’Triángulo de Pascal’’. A través del estudio de los escritos de cuatro autores activos entre los siglos XIII y XIX, veremos cómo estos diferentes aspectos se articularon entre sí, y cómo estos autores contribuyeron (o quisieron contribuir) a la constitución, en China, de un nuevo campo matemático, en el sentido de que no entraba dentro de los ’’Nueve Capítulos sobre Procedimientos Matemáticos’’, el libro canónico que determinó las formas y contenidos del discurso matemático en China durante más de un milenio.

Introducción

Las prácticas combinatorias se remontan a la antigüedad en China, cuando se desarrollaron técnicas adivinatorias a partir de las configuraciones formadas por tres o seis líneas continuas o discontinuas. El Libro de los Cambios (Yijing 易經), compilado hacia el final de la dinastía Zhou (hacia el siglo III a. C.), ha mantenido registros de estas prácticas hasta el día de hoy, y fue una obra ampliamente comentada y leída a lo largo de la historia de China. La figura de abajo [1] muestra los trigramas, cada uno de los cuales es una combinación de tres líneas continuas o discontinuas, dispuestas en el orden atribuido al legendario emperador Fuxi 伏羲. A la derecha, es su generación por duplicaciones sucesivas la que se representa : la ’’Cumbre Suprema’’ (taiji 太極), en la parte inferior, se divide en ’’dos modelos’’, el yin y el yang, ubicados inmediatamente arriba, luego en ’’cuatro figuras’’, a partir de las cuales se forman, en la línea superior, los ’’ocho trigramas’’.

JPEG - 115.2 ko
Antiguo arreglo de los ocho trigramas según Fuxi

Sin embargo, las prácticas combinatorias no quedaron limitadas en China a exploraciones en el marco de la adivinación o la búsqueda de cuadrados mágicos. Un gran número de fuentes, que se ocupan de juegos como el Go o el ajedrez, los juegos de cartas o el dominó, muestran interés por las cuestiones de combinatoria desde un punto de vista más o menos matemático. Así, el oficial Shen Gua del siglo XI estaba interesado en contar las configuraciones de un tablero de ajedrez. Además, ciertas descripciones de juegos de dominó alrededor de 1600 dan testimonio, también implícitamente, de una búsqueda de todas las permutaciones posibles a partir de una combinación de tres fichas de dominó. La imagen de abajo [2] ilustra por ejemplo la combinación de tres fichas que llevan el nombre de ’’caballería regular’’ : (primera línea, de derecha a izquierda) [4 4], [5 5] y [6 6]. Las siguientes tres combinaciones (líneas siguientes, siempre de derecha a izquierda) [5 5] [4 6], luego [4 6], [4 4] [5 6] y finalmente [5 6] y [4 5] [4 6] [5 6], obtenidos por permutación de los seis dígitos presentes, todos llevan el mismo nombre de ’’caballería irregular’’. La permutación [4 5] [4 5] [6 6] no aparece en la enumeración, porque en el total de las 32 fichas de dominó con las que se jugó, la ficha [4 5] apareció una sola vez.

La primera fuente que analiza, sistemáticamente y desde un punto de vista teórico, las permutaciones y combinaciones en estos diferentes contextos es un manuscrito de finales del siglo XVII. Incluso si algunos elementos de las matemáticas ’’europeas’’ se introdujeron en China, el manuscrito claramente retoma conceptos y métodos tradicionales de escritura algorítmica. Al contrario de la forma en que se desarrolló la combinatoria en los países árabes o en Europa, el triángulo aritmético, que apareció en China alrededor del siglo XI, nunca se asoció con la resolución de problemas de configuraciones de conteo. Incluso la famosa ’’Identidad de Li Shanlan’’ 李善蘭 (1810-1882), o ’’Identidad de Li Renshu’’,

\[\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}{n}\\{k}\end{array}\right)^2\left(\begin{array}{c}{m+2n-k}\\{2n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{m+n}\\{n}\end{array}\right)^2,\]

que Li dedujo de sus reflexiones sobre el triángulo aritmético, se desarrolló en un contexto matemático tradicional esencialmente relacionado con la suma de diferentes series aritméticas finitas. Por lo tanto, los resultados de Li Shanlan no surgen de preguntas sobre el número de combinaciones de un número finito de objetos. Las categorías modernas que se aplican a los escritos de Li Shanlan para interpretarlos los ubican en un contexto diferente de aquel en el que trabajó el autor y por lo tanto le dan a sus resultados un significado inapropiado y anacrónico. En su momento y para Li Shanlan, este trabajo formaba parte de una búsqueda por generalizar el triángulo aritmético y por ampliar los campos matemáticos definiendo una nueva disciplina.

A través del ejemplo del manuscrito de Chen Houyao
陳厚耀 (1648-1722), mostraré a continuación que el desarrollo en China de las reflexiones combinatorias en matemáticas se benefició claramente de exploraciones en el marco de la adivinación y los juegos de azar, pero no recurrió al llamado triángulo de Pascal para la resolución de problemas. En otras dos contribuciones [3], discutiré los escritos de Wang Lai 汪萊 (1768-1813) y Li Shanlan, quienes vinculan más sistemáticamente su trabajo matemático a la tradición de la dinastía Yuan (siglos XIII y XIV), en particular a los escritos de Zhu Shijie 朱世傑 en materia de sumatoria de series aritméticas finitas. Mientras que el primero Wang Lai lo utilizará en el contexto de sus reflexiones sobre la combinatoria, en el segundo, Li Shanlan amplía esta tradición mediante la construcción de nuevos triángulos aritméticos.

Chen Houyao

El manuscrito titulado El significado de los métodos de combinación y alternancia (Cuozong fayi 錯綜法義), que Chen Houyao 陳厚耀 (1648-1722) dedicó a la combinatoria a finales del siglo XVII, trata sistemáticamente problemas de permutaciones y combinaciones con o sin repetición. Como señala el prefacio del manuscrito, la expresión cuozong (que traducimos como ’’combinación y alternancia’’) del título está tomada del Libro de los Cambios. De hecho, se lee (en Le Grand comment) : [4]

’’Por tres, por cinco, por modificaciones ; mezclar y confundir [cuozong] números. Penetrando las modificaciones, completando naturalmente y sin esfuerzo los signos del cielo y la tierra. Agotar los números, y naturalmente determinar los símbolos del cielo y la tierra. Sin la modificación extrema del universo, ¿quién sería capaz de esto ?’’

參伍以變,錯綜其數,通其變,遂馬天地之文 ;極其數,遂定天下之象。非天下之致變,其孰能與於此。

Los siete problemas del manuscrito se construyen a partir de ejemplos que se refieren a la adivinación, la formación de nombres propios con varios caracteres, la constitución del ciclo calendárico sexagesimal y los juegos de azar con dados o cartas.

JPEG - 37.4 ko
Manuscrito de Chen Houyao 陳厚耀 (1648-1722)

Aquí está la lista de categorías de preguntas planteadas por Chen Houyao en su colección de problemas combinatorios :

  1. ¿Cuántos hexagramas (configuraciones de seis líneas, vea la figura a continuación) [5] ¿Se puede formar a partir de dos elementos ? Respuesta : 64.
    Teniendo ocho trigramas, al superponerlos, ¿cuántos (hexagramas) obtenemos ? Superponiéndolas una vez más (para formar configuraciones de 9 líneas), ¿cuántas (de tales figuras) obtenemos ? Respuesta : 64 y 512 respectivamente.
  2. ¿Cuántas configuraciones de doce líneas se pueden formar a partir de los ocho trigramas ? Respuesta : 512.
  3. ¿Cuántas combinaciones de dos elementos podemos tener eligiendo cíclicamente el primero entre los diez troncos celestes (tiangan 天 干) y la segunda entre las doce ramas terrenales (dizhi 地支) ?
    Respuesta : 60.
    Teniendo un ciclo de calendario de 60 años, 12 meses por año, un ciclo de 60 días y 12 períodos [dos horas] por día. ¿Cuántas formas hay de designar el nacimiento de una persona con ocho caracteres ?, calculando el horóscopo.]] Respuesta : 518.400.
  4. En uno de los capítulos de La doctrina del medio [6] hay 22 oraciones. ¿Cuántas posibilidades hay de formar temas de 1 a 22 oraciones consecutivas tomadas de este capítulo ? Respuesta : 253 (que corresponde a la suma de los enteros del 1 al 22).
  5. Teniendo tres nombres personales (un carácter cada uno), ¿cuántas permutaciones de estos tres caracteres podemos encontrar ? Respuesta : 6.
    Teniendo ocho nombres personales (de un solo carácter cada uno), ¿cuántos arreglos de tres caracteres distintos (sin repetición) se pueden encontrar ? Respuesta : 336.
  6. Con seis dados (de seis caras cada uno) ¿cuántos resultados posibles hay en cada tirada ? Respuesta : 462. [7]
    Habiendo obtenido 462 formas de tirar seis dados, ¿cuántas veces se ha obtenido cada combinación ? Respuesta : solo una vez.
  7. En una baraja de 30 cartas diferentes, ¿cuántas posibilidades hay de sacar nueve cartas ? Respuesta : 14.307.150.
JPEG - 99.5 ko
Los 64 hexagramas de Fuxi arreglados en un círculo y en un cuadrado

Para resolver estos problemas, Chen Houyao probablemente se basa en los resultados obtenidos por sus predecesores. De hecho, él mismo dice que mejora la eficiencia de los cálculos proponiendo métodos alternativos para ciertos problemas o citando explícitamente un ’’método original’’. En el caso de los hexagramas, señala que el cálculo de todas las combinaciones posibles de seis líneas continuas o discontinuas puede obtenerse bien mediante multiplicaciones sucesivas, a partir de las dos posibilidades de cada línea, o bien mediante un algoritmo más sencillo que toma el cuadrado de la ocho posibilidades de obtener un trigrama (una configuración de tres líneas). El primer método calcula sucesivamente :

\[\textrm{Número de configuraciones de 2 líneas} = 2 \cdot 2 =4\]
\[\textrm{Número de configuraciones de 3 líneas} = 4 \cdot 2 = 8\]
\[\vdots\]
\[\textrm{Número de configuraciones de 6 líneas} = 32 \cdot 2 = 64.\]

Alternativamente, Chen Houyao propone :

multiplique 8, el número de configuraciones de tres líneas, por sí mismo, lo que da 64, el número de configuraciones de seis líneas. Al multiplicar por sí mismo dicho número obtenido [para los trigramas = 8], se ahorra la mitad de las multiplicaciones. [8]

En otro problema, el de sacar nueve cartas de un conjunto de treinta, Chen también menciona dos algoritmos alternativos para resolver el problema combinatorio. En términos matemáticos modernos, su primer método propone realizar una sola división, después de haber calculado dividendo y divisor por multiplicaciones sucesivas : [9]
\[C_{30}^9=\left(\begin{array}{30}{9}\\{k}\end{array}\right)=\frac{(30 \cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22)}{(9\cdot8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2)}\]
\[=5 191 778 592 000\div 362 880=14 307 150\]

El “método original” (yuanfa 原 法), citado a continuación por Chen, procede por sucesivas multiplicaciones y divisiones :
\[C_{30}^9=(\ldots(((22\cdot23)\div 2)\cdot24)\div3)\cdot \ldots \cdot 30 )\div 9\]
Después de darla, concluye : [10]

El método original multiplica y divide alternativamente. Cuando captas su principio, es fácil de entender, pero el método es muy engorroso y torpe (rongzhuo 冗拙). No coincide con la eficiencia del método de multiplicación global y división global (descrito) aquí.

Desafortunadamente, el estado de las fuentes transmitidas no permite identificar el origen de este método citado por Chen Houyao. Su evocación, sin embargo, permite suponer que tuvo escritos anteriores que utilizó para compilar su colección de problemas y métodos.

¿Un nuevo campo matemático ?

Por su originalidad, su estructura y su exhaustividad, el manuscrito de Chen Houyao puede llevar al historiador a ver en él el texto fundacional de un nuevo campo matemático en China. En todo caso, esto corresponde bien a la intención declarada por su autor en el prefacio. Este último difiere de la tradición clásica de las matemáticas tal como está plasmada en el libro Nueve capítulos sobre procedimientos matemáticos (Jiu zhang suan shu 九章算術), [11] :

Los métodos [matemáticos] de los Nueve capítulos [12] son ​​todos perfectos, pero carecen de un tipo de método para todo tipo de combinaciones y alternancias.

Hay aquellos donde se tiene en cuenta el orden y donde se combina con repeticiones —como en la categoría de los 64 trigramas—, hay aquellos donde el orden y donde se combina sin repeticiones —como en la categoría de sustantivos —, hay aquellos donde se combina en cada una de las posiciones pero donde tampoco hay repeticiones — como en la categoría del ciclo de sesenta años — hay aquellos donde no se distinguen las posiciones, pero donde hay repeticiones — como en la categoría de los seis dados — las hay donde entre un conjunto elegimos dos o tres para combinar, que nos intercambiamos mutuamente para combinarlos hasta el agotamiento — como en la categoría de las cartas —. Pero dado que el significado [de los procedimientos] no es uniforme, es necesario, al establecer los cálculos, distinguir según el significado.

Incluso si podemos ver aquí la cristalización de una teoría combinatoria, veremos en los siguientes dos artículos que las matemáticas no se desarrollarán posteriormente a lo largo de una trayectoria lineal. Porque otros autores chinos que se han acercado cuestiones que hoy forman parte del campo de la combinatoria no retoman las ideas de Chen Houyao. En su lugar, se basaron en elementos de una tradición de trabajo sobre números figurativos y la suma de series que se remonta a la dinastía Yuan (1271 – 1368).

Article original édité par Karine Chemla

Notes

[1In : Zhu Xi 朱熹 (1130-1200), El significado original [del Libro] de las Mutaciones Zhou (Zhouyi benyi 周易本義).

[2In : Xu Qilong 徐企龍, (1610), Un abismo de una miríada de libros (Wanshu Yuanhai 萬書淵海).

[3Continuará en la sección Historia de las Matemáticas.

[4Traducción de 1885 por Paul-Louis-Félix Philastre, p. 1188. También existe una versión francesa de la traducción alemana de Richard Wilhelm (Éditions Médicis-Entrelacs, 2001), pero el pasaje citado aquí no es mucho más claro. Dicho esto, incluso el gran filósofo del siglo XIII, Zhu Xi, opina que el pasaje ya no es comprensible.

[5In : Bao Yunlong 鮑雲龍, Tianyuan fawei 天原發微, apéndice de ilustraciones (Fu : Ge lei tu 附 : 各類圖), mediados del siglo XIII.

[6El clásico Zhongyong 中庸 era parte de la antología de los Cuatro Libros, que constituía el epítome de la enseñanza confuciana tradicional.

[7Hay $C^{n−1}_{n+m−1} = C^m_{n+m−1}$ combinaciones con repetición de $m$ elementos tomados de entre $n$ elementos. Aquí 462 corresponde a $m=6$ y $n=6$, por lo tanto a $C^5_{11}$ o $C^6_{11}$.

[8Chen Houyao (finales del siglo XVII).陳厚耀. Cuozong fayi 錯綜法義 (El significado de los métodos de combinación y alternancia). Reimpreso en Guo Shuchun et al. (eds.) (1993). 郭書春. Zhongguo kexue jishu dianji tonghui. Shuxue juan 中國科學技術典籍通彙. 數學卷. Zhengzhou : Henan jiaoyu chubanshe 河南教育出版社. Vol. 4, pp. 685-688, ver : p. 685.

[9Idem p. 687.

[10Traducido de idem, p. 687.

[11Traducido de idem, p. 685.

[12Obra canónica del siglo I aproximadamente. Para una introducción y traducción de este texto, ver Chemla, K. y Guo S. (2004). Los nueve capítulos sobre procedimientos matemáticos. La matemática clásica de la antigua China y sus comentarios. Paris : Dunod.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Andrés Navas, Edgard Araya, Pilar Garcés — «Prácticas combinatorias y matemáticas en China» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?