Aujourd’hui, le domaine mathématique que l’on appelle « combinatoire » est étroitement lié à la théorie des nombres et à la théorie des graphes. Dans le passé, c’est avant tout un intérêt pour les diverses combinaisons d’un nombre fini d’objets, suivant certaines règles et afin de créer avec eux les arrangements les plus variés, qui a inspiré le développement de réflexions combinatoires.
On analysera ici, dans une série de trois articles, les divers contextes dans lesquels on s’est intéressé en Chine aux séries arithmétiques, aux dénombrements combinatoires, aux nombres figurés et au « Triangle de Pascal ». A travers l’étude des écrits de quatre auteurs actifs entre le 13ème et le 19ème siècle, on verra comment ces différents aspects ont été articulés les uns aux autres, et comment ces auteurs ont contribué (ou souhaité contribuer) à la constitution, en Chine, d’un nouveau domaine mathématique, au sens où celui-ci ne relevait pas des « Neuf chapitres sur les procédures mathématiques », le livre canonique qui a déterminé les formes et les contenus du discours mathématique en Chine pendant plus d’un millénaire.
Les pratiques combinatoires remontent en Chine à la plus haute Antiquité, lorsque furent élaborées des techniques divinatoires basées sur les configurations que forment trois ou six lignes pleines ou brisées. Le Livre des Mutations (Yijing 易經), compilé vers la fin de la dynastie des Zhou (ca le IIIème siècle avant JC), a conservé la trace de ces pratiques jusqu’à aujourd’hui, et ce fut un ouvrage abondamment commenté et lu au long de l’histoire en Chine. La figure ci-dessous [1] montre les trigrammes, qui sont, chacun, une combinaison de trois lignes pleines ou brisées, arrangés suivant l’ordre qu’on attribue à l’empereur légendaire Fuxi 伏羲. A droite, c’est leur engendrement par dédoublements successifs qui est représenté : le « Faîte suprême » (taiji 太極), en bas, se divise en « deux modèles », le yin et le yang, situés immédiatement au-dessus, puis en « quatre figures », sur la base desquelles se forment, dans la ligne supérieure, les « huit trigrammes ».
Cependant, les pratiques combinatoires ne restèrent pas limitées en Chine aux explorations dans le cadre de la divination ou à la recherche des carrés magiques. Un grand nombre de sources, qui traitent de jeux comme le Go ou les échecs, de jeux de cartes ou de dominos, manifestent un intérêt pour des questions de combinatoire d’un point de vue plus ou moins mathématique. Ainsi le fonctionnaire du XIème siècle Shen Gua s’intéressait à dénombrer les configurations d’un échiquier. Par ailleurs, certaines descriptions des jeux de dominos autour de 1600 témoignent, aussi implicitement, d’une recherche de toutes les permutations possibles à partir d’une combinaison de trois dominos. L’image ci-dessous [2] illustre par exemple la combinaison de trois tuiles qui portent le nom de « cavalerie régulière » : (première ligne, de droite à gauche) [4 4], [5 5] et [6 6]. Les trois combinaisons suivantes (lignes suivantes, toujours de droite à gauche) [5 5] [4 6], puis [4 6], [4 4] [5 6] et enfin [5 6] et [4 5] [4 6] [5 6], obtenues par permutation des six chiffres présents, portent toutes le même nom de « cavalerie irrégulière ». La permutation [4 5] [4 5] [6 6] n’apparaît pas dans l’énumération, car dans l’ensemble des 32 dominos avec lesquels on jouait, la tuile [4 5] ne figurait qu’une seule fois.
La première source qui discute, systématiquement et d’un point de vue théorique, les permutations et les combinaisons dans ces différents contextes est un manuscrit de la fin du XVIIème siècle. Même si quelques éléments de mathématiques « européennes » avaient alors été introduites en Chine, le manuscrit reprend clairement des concepts et des modes d’écriture algorithmique traditionnels. Contrairement à la manière dont la combinatoire s’est développée dans les pays arabes, ou en Europe, le triangle arithmétique, qui est apparu en Chine vers le XIème siècle, n’a jamais été associé à la résolution de problèmes de dénombrement de configurations. Même la fameuse « Identité de Li Shanlan » 李善蘭 (1810-1882), ou « Identité de Li Renshu » :
$$\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}{n}\\{k}\end{array}\right)^2\left(\begin{array}{c}{m+2n-k}\\{2n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{m+n}\\{n}\end{array}\right)^2,$$
que Li a déduite de ses réflexions sur le triangle arithmétique, a été développée dans un contexte mathématique traditionnel essentiellement préoccupé de la sommation de différentes séries arithmétiques finies. Ainsi, les résultats de Li Shanlan n’émanent pas de questionnements concernant le nombre de combinaisons d’un nombre fini d’objets. Les catégories modernes qu’on plaque sur les écrits de Li Shanlan pour les interpréter les placent dans un contexte différent de celui dans lequel l’auteur a travaillé et accordent donc, à ses résultats, une signification inadaptée et anachronique. A l’époque et pour Li Shanlan, ces travaux s’inscrivaient dans une recherche visant à généraliser le triangle arithmétique, et à élargir les domaines mathématiques en y définissant une nouvelle discipline.
Je montrerai ci-dessous, à travers l’exemple du manuscrit de Chen Houyao 陳厚耀 (1648-1722), que le développement, en Chine, de réflexions combinatoires en mathématiques a manifestement tiré parti des explorations dans le cadre de la divination et des jeux de hasard, mais n’a pas eu recours au triangle dit de Pascal pour la résolution de problèmes. Dans deux autres contributions, [3] je discuterai des écrits de Wang Lai 汪萊 (1768-1813) et de Li Shanlan, qui lient plus systématiquement leurs travaux mathématiques à la tradition de la dynastie des Yuan (XIIIème et XIVème siècles), en particulier aux écrits de Zhu Shijie 朱世傑 en matière de sommation des séries arithmétiques finies. Tandis que le premier, Wang Lai, s’en servira dans le cadre de ses réflexions sur la combinatoire, le second, Li Shanlan, élargit cette tradition par la construction de nouveaux triangles arithmétiques.
Le manuscrit intitulé Le sens des méthodes de combinaison et d’alternance (Cuozong fayi 錯綜法義), que Chen Houyao 陳厚耀 (1648-1722) consacre à la combinatoire à la fin du XVIIème siècle , traite systématiquement de problèmes de permutations et de combinaisons avec ou sans répétition. Ainsi que le souligne la préface du manuscrit, l’expression cuozong (que nous traduisons par « combinaison et alternance ») du titre est empruntée au Livre des Mutations. On y lit effectivement (dans Le Grand Commentaire) : [4]
« Par trois, par cinq, par les modifications ; mélanger et confondre [cuozong] les nombres. Pénétrer les modifications, achever naturellement et sans effort les signes du ciel et de la terre. Épuiser les nombres, et en déterminer naturellement les symboles du ciel et de la terre. Sans l’extrême modification de l’univers, qui donc serait capable de ceci ? »
參伍以變,錯綜其數,通其變,遂馬天地之文 ;極其數,遂定天下之象。非天下之致變,其孰能與於此。
Les sept problèmes du manuscrit sont construits autour d’exemples qui concernent la divination, la formation de noms propres avec plusieurs caractères, la constitution du cycle sexagésimal calendaire, et les jeux de hasard avec dés ou cartes.
Voici la liste des catégories de questions posées par Chen Houyao dans sa collection de problèmes combinatoires :
Pour résoudre ces problèmes, Chen Houyao se base probablement sur des résultats obtenus par des prédécesseurs. Il dit en effet lui-même qu’il améliore l’efficacité des calculs en proposant des méthodes alternatives pour certains problèmes ou en citant explicitement une « méthode d’origine ». Dans le cas des hexagrammes, il souligne que le calcul de toutes les combinaisons possibles de six lignes pleines ou brisées peut être obtenu soit par multiplications successives, sur la base des deux possibilités pour chaque ligne, soit par un algorithme plus simple qui prend le carré des huit possibilités d’obtenir un trigramme (une configuration de trois lignes). La première méthode calcule successivement :
$$\textrm{Nombre de configurations de 2 lignes} = 2 \cdot 2 =4$$ $$\textrm{Nombre de configurations de 3 lignes} = 4 \cdot 2 = 8$$ $$\vdots$$ $$\textrm{Nombre de configurations de 6 lignes} = 32 \cdot 2 = 64.$$
Alternativement, Chen Houyao propose de :
multiplier par soi-même 8, le nombre de configurations de trois lignes, ce qui donne 64, le nombre de configurations de six lignes. En multipliant par lui-même ledit nombre obtenu [pour les trigrammes = 8], on économise la moitié des multiplications. [9]
Dans un autre problème, celui du tirage de neuf cartes au sein d’un ensemble de trente, Chen évoque également deux algorithmes alternatifs pour la résolution du problème combinatoire. En termes mathématiques modernes, sa première méthode propose d’effectuer une seule division, après avoir calculé dividende et diviseur par multiplications successives : [10] $$C_{30}^9=\left(\begin{array}{30}{9}\\{k}\end{array}\right)=\frac{(30 \cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22)}{(9\cdot8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2)}$$ $$=5 191 778 592 000\div 362 880=14 307 150$$
La « méthode d’origine » (yuanfa 原 法), citée ensuite par Chen, procède par multiplications et divisions successives : $$C_{30}^9=(\ldots(((22\cdot23)\div 2)\cdot24)\div3)\cdot \ldots \cdot 30 )\div 9$$ Après l’avoir donnée, il conclut : [11]
La méthode d’origine multiplie et divise en alternance. Lorsqu’on saisit son principe, elle est facile à comprendre, mais la méthode est très lourde et maladroite (rongzhuo 冗拙). Elle n’égale pas l’efficacité de la multiplication globale et de la division globale de la méthode (décrite) ici.
Malheureusement, l’état des sources transmises ne nous permet pas d’identifier la provenance de cette méthode que cite Chen Houyao. Son évocation nous permet néanmoins de faire l’hypothèse qu’il disposait d’écrits antérieurs qu’il a utilisé pour compiler sa collection de problèmes et de méthodes.
Par son originalité, sa structure et son exhaustivité, le manuscrit de Chen Houyao peut amener l’historien à y voir le texte fondateur d’un nouveau domaine mathématique en Chine. En tout cas, ceci correspond bien à l’intention déclarée par son auteur dans la préface. Ce dernier s’y distingue de la tradition classique des mathématiques telle que l’incarne l’ouvrage Neuf chapitres sur les procédures mathématiques (Jiu zhang suan shu 九章算術), [12] :
Les méthodes [mathématiques] des Neuf chapitres [13] sont toutes parfaites, mais il y manque un type de méthode pour toutes sortes de combinaisons et d’alternances.
Chen donne ensuite une classification théorique des problèmes en lien avec les exemples traités dans son manuscrit :
Il y a ceux où l’on tient compte de l’ordre et où l’on combine avec répétitions — comme dans la catégorie des 64 trigrammes —, il y a ceux où l’on tient compte de l’ordre et où l’on combine sans répétitions — comme dans la catégorie des noms —, il y a ceux où l’on combine sur chacune des positions mais où il n’y a pas non plus de répétitions — comme dans la catégorie du cycle des soixante années —, il y a ceux où l’on ne distingue pas les positions, mais où il y a des répétitions — comme dans la catégorie des six dés —, il y a ceux où parmi un ensemble entier on choisit deux ou trois à combiner, qu’on échange mutuellement pour les combiner jusqu’à exhaustion — comme dans la catégorie des cartes —. Mais puisque le sens [des procédures] n’est pas uniforme, il faut donc, dans l’établissement des calculs, distinguer en fonction du sens.
Même si l’on peut voir ici la cristallisation d’une théorie combinatoire, on verra dans les deux articles suivants, que les mathématiques ne se développeront pas par la suite le long d’une trajectoire linéaire. Car d’autres auteurs chinois qui ont abordé des questions qui font aujourd’hui partie du domaine de la combinatoire n’ont pas repris les idées de Chen Houyao. Ils se sont plutôt appuyés sur des éléments d’une tradition de travail sur les nombres figurés et la sommation de séries qui remonte à la dynastie des Yuan (1271 – 1368).
[1] In : Zhu Xi 朱熹 (1130-1200), La signification d’origine [du Livre] des Mutations des Zhou (Zhouyi benyi 周易本義).
[2] In : Xu Qilong 徐企龍, (1610), Un abysse d’une myriade de livres (Wanshu Yuanhai 萬書淵海).
[3] A suivre dans la rubrique Histoire des Mathématiques.
[4] Traduction de 1885 par Paul-Louis-Félix Philastre, p. 1188. Il existe également une version française de la traduction allemande de Richard Wilhelm (Éditions Médicis-Entrelacs, 2001), mais le passage cité ici n’y est guère plus clair. Ceci dit, même le grand philosophe Zhu Xi du 13ème siècle est de l’avis que le passage n’est plus compréhensible.
[5] In : Bao Yunlong 鮑雲龍, Tianyuan fawei 天原發微, appendice des illustrations (Fu : Ge lei tu 附 : 各類圖), milieu du 13ème siècle.
[6] Les « huit caractères » désignent l’année, le mois, le jour et l’heure d’une naissance et sont utilisés dans le calcul de l’horoscope.
[7] Le classique Zhongyong 中庸 faisait partie de l’anthologie des Quatre Livres, qui constituaient la quintessence de l’enseignement traditionnel confucéen.
[8] Il y a $C^{n−1}_{n+m−1} = C^m_{n+m−1}$ combinaisons avec répétition de $m$ éléments pris parmi $n$ éléments. Ici 462 correspond avec $m=6$ et $n=6$ donc à $C^5_{11}$ ou $C^6_{11}$.
[9] Chen Houyao (fin XVIIe). 陳厚耀. Cuozong fayi 錯綜法義 (Le sens des méthodes de combinaison et d’alternance). Reprint in Guo Shuchun et al. (éds.) (1993). 郭書春. Zhongguo kexue jishu dianji tonghui. Shuxue juan 中國科學技術典籍通彙. 數學卷. Zhengzhou : Henan jiaoyu chubanshe 河南教育出版社. Vol. 4, pp. 685-688, ici : p. 685.
[10] Idem p. 687.
[11] Traduit de idem, p. 687.
[12] Traduit de idem, p. 685.
[13] Ouvrage canonique du Ier siècle environ. Pour une introduction et traduction de ce texte voir Chemla, K. et Guo S. (2004). Les neuf chapitres sur les procédures mathématiques. Le Classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires. Paris : Dunod.
