Le prix Nobel de chimie 2011 a été décerné à Dan Shechtman pour sa découverte des quasi-cristaux, ces formes de certains alliages métalliques qu’il a observées pour la première fois au microscope électronique le matin du 8 avril 1982.
La découverte était si révolutionnaire qu’elle fut incomprise et combattue pendant plus de deux ans, de sorte que la première publication la relatant date de novembre 1984 [1]. Les choses ont bien changé depuis, jusqu’à l’attribution du prix Nobel le 5 octobre dernier ; voir la page officielle du Nobel [2]. Même s’il s’agit d’abord d’une découverte en chimie, elle nous évoque nécessairement quelques commentaires mathématiques, que nous proposons en complément d’un billet récent [3].
Dans les chapitres 1 à 3 et 5, nous avons cherché à limiter au maximum le jargon et les symboles mathématiques, en espérant que le lecteur nous accordera un fléchage en bleu, comme celui d’une piste de ski facile et agréable. En revanche, nous aurions trouvé difficile, voire périlleux, d’éliminer toute technicité du chapitre 4 ; le lecteur peu à l’aise dans les passages en rouge foncé qui nous aurait suivi jusque là pourrait alors passer directement à la conclusion du chapitre 5.
Les corps solides se répartissent en plusieurs types bien étudiés, dont les cristaux [4]. A partir de très nombreuses observations et de multiples recherches théoriques, le modèle suivant s’est finalement dégagé : dans un cristal idéal (en particulier si grand qu’on peut le supposer infini !), les atomes occupent les points d’un réseau périodique [5]. Pour les mathématiciens et dans ce contexte, un réseau est un ensemble de points dans l’espace, isolés les uns des autres, et disposés de telle sorte qu’ils se répètent simplement et périodiquement selon trois directions indépendantes.
Précisons cela en énonçant d’abord une définition d’un réseau plan, qui est l’analogue en dimension deux d’un réseau dans l’espace. On considère un parallélogramme $P$ du plan. Des translatés convenables de ce premier pavé recouvrent sans chevauchements une bande infinie, qui est donc réunion de parallélogrammes $ ... , P_{-2,0}, P_{-1,0}, P_{0,0}, P_{1,0}, P_{2,0}, ... $ Une partie de cette bande est représentée à la figure 1.
Avec des translatés de cette bande dans la direction de l’autre paire de côtés de $P$, on recouvre le plan tout entier et on obtient un pavage comme indiqué à la figure 2, avec un pavé par paire d’entiers (entiers positifs, négatifs, ou nuls).
Les sommets des parallélogrammes de ce pavage constituent un réseau plan. Il y a périodicité dans la mesure où il y a deux translations du plan, de directions indépendantes, dont chacune échange entre eux les sommets du réseau. Notons qu’il y a une infinité de types de parallélogrammes, et de même une infinité de types de réseaux plans.
Pour obtenir un réseau de l’espace, on considère d’abord un parallélépipède $P$. Les translatés convenables de ce pavé initial selon les trois directions de ses côtés fournissent un pavage dont les pavés $P_{l,m,n}$ sont indexés par des triplets $(l,m,n)$ d’entiers. Les sommets de ces parallélépipèdes constituent un réseau de l’espace.
Outre les symétries de translation que nous venons de décrire, un réseau peut avoir des symétries de rotation. Pour faciliter la discussion, continuons-la en dimension deux. On constate sans peine que tout réseau plan est invariant par une rotation d’un demi-tour centrée en l’un de ses sommets (ou au point milieu d’un segment reliant deux de ses sommets). Autrement dit : tout réseau plan possède des symétries de rotation d’ordre deux.
Certains réseaux (mais pas tous) possèdent de plus des symétries de rotation d’ordre trois, ou quatre, ou six (aussi bien d’ailleurs dans l’espace de dimension trois que dans le plan). Par exemple, le réseau dont les points sont les sommets d’un quadrillage standard du plan est invariant par des rotations d’un quart de tour, et le réseau dont les points sont les sommets d’un pavage régulier du plan par des triangles équilatéraux est invariant par des rotations d’un sixième de tour (et a fortiori par des rotations d’un tiers de tour) ; voir la figure 3.
Ces symétries d’ordre $2, 3, 4$ ou $6$ ont été mises en évidence à d’innombrables reprises dans l’étude « moderne » des cristaux, qui date du XIXe siècle. Elles ont été confirmées de manière spectaculaire depuis qu’on sait obtenir des images de cristaux par diffraction de rayons X. Les premières de ces images datent d’une expérience de Max von Laue, en 1912 [6] ; elles lui ont valu le prix Nobel de physique en 1914.
Pour le mathématicien, on peut aussi formuler et montrer un :
Théorème Une rotation qui préserve un réseau du plan ou de l’espace est ou bien un demi-tour, ou bien un tiers de tour, ou bien un quart de tour, ou bien un sixième de tour.
La démonstration de ce théorème n’est pas très difficile : voir par exemple le n°8 de l’article [7] Les arguments sont analogues pour la dimension deux, avec des rotations centrées en des points du plan, et pour la dimension trois, avec des rotations autour d’axes de l’espace.
En particulier, "dans le modèle des réseaux, un cristal ne possède jamais de symétrie de rotation d’ordre cinq ou dix."
Dan Shechtman a observé certains alliages obtenus en refroidissant très brutalement une goutte d’un mélange d’aluminium et de manganèse en proportions convenables. Ce qu’il a vu avec son microscope électronique allait contre tous les traités, tous les résultats expérimentaux antérieurs, et tous les théorèmes dont on croyait qu’ils s’appliquaient aux cristaux : certains alliages métalliques proches des cristaux exhibent outrageusement des symétries de rotation d’ordre dix. L’image obtenue ne souffrait d’aucune ambiguité [8] :
Il y a donc à première vue contradiction flagrante entre l’interdiction des symétries d’ordre cinq ou dix dans le modèle des réseaux et la provocation des images de Shechtman.
Il fallut de longs efforts, expérimentaux, théoriques et culturels, pour que la communauté des cristallographes accepte les faits et surmonte la contradiction. Dans la suite de cet article, nous allons évoquer certains travaux mathématiques qui, bien qu’à l’origine sans lien avec les quasi-cristaux, ont permis d’en comprendre (ou d’en accepter ...) un peu mieux la structure.
Les pavages qui nous intéressent ici sont du type suivant : on se donne une famille finie de polygones et on se demande s’il existe un pavage du plan par des copies de ces polygones-modèles, c’est-à-dire un recouvrement du plan par des polygones dont chacun est isométrique à l’un des polygones de la famille initiale. Le mot « recouvrement » indique d’une part que tout point du plan est recouvert par l’un des polygones ; d’autre part que deux d’entre eux ne se chevauchent pas, ils partagent au plus des points de leurs bords. Le mot « isométrique » est une manière de préciser « identique » : il indique que, par une translation une rotation et peut-être une symétrie-miroir, on peut amener chaque pavé à coïncider avec l’un des polygones choisis initialement.
Les exemples canoniques sont les pavages réguliers, pour lesquels la famille de polygones modèles n’est formée que d’un seul polygone, régulier. Il existe exactement trois types de tels pavages réguliers : par des triangles équilatéraux et par des carrés (voir la figure 3 de ce texte), ainsi que par des hexagones réguliers (comme dans de nombreuses salles de bains). Voici un pavage pour lequel la famille de polygones modèles ne contient que deux polygones, un carré et un octogone :
Il existe aussi des familles qui ne permettent pas de paver le plan ! Un exemple bien connu est la famille constituée d’un seul polygone qui est un pentagone régulier (on retrouve là une impossibilité liée à une rotation d’ordre cinq, impossibilité qui a déjà intrigué Kepler au début du XVIIe siècle).
Pour la suite de notre histoire, il nous faut expliquer la notion de pavage périodique. Imaginons un pavage du plan, et un observateur regardant ce pavage à partir d’un premier point. Si cet observateur se translate d’un certain nombre de pas dans une direction donnée, en un second point, il observera en général un autre paysage. Par exemple, si le plan est quadrillé de manière régulière par des pavés carrés d’un mètre de côté, si le premier point est à l’intersection de quatre carrés, et si l’observateur se translate d’un demi-mètre, il ne sera plus à l’intersection de quatre carrés, et son paysage aura donc changé. On dit qu’un pavage est invariant par une translation si celle-ci ne modifie pas le paysage, et on dit qu’un pavage est périodique s’il est invariant par deux translations de directions différentes.
Le pavage carré régulier est bien sûr périodique puisqu’il est invariant par chacune des translations amenant un sommet d’un carré sur un autre sommet (du même carré, ou d’un autre carré, à choix). Le pavage triangulaire indiqué à la figure 3 et le pavage indiqué à la figure 5 sont aussi périodiques.
Décrivons deux exemples de pavages qu’on peut obtenir avec des rectangles longs d’un mètre et larges d’un demi-mètre. Un premier pavage consiste à modifier un pavage carré régulier, à côtés horizontaux et verticaux, en divisant chaque carré en deux rectangles plus larges que hauts ; ce pavage rectangulaire est évidemment périodique. Un second pavage consiste à faire la même chose avec tous les carrés sauf un, et à diviser cet unique carré en deux rectangles plus hauts que larges, comme indiqué à la figure 6. Le pavage par rectangles ainsi obtenu possède un assemblage de deux rectangles distinguable de tous les autres, et n’est donc invariant par aucune translation.
Ces exemples (et beaucoup d’autres) montrent qu’il est facile d’imaginer des familles de polygones-modèles permettant de paver le plan à la fois de manière périodique et de manière non périodique. (Notons toutefois le cas remarquable d’un hexagone régulier, qui permet de paver le plan, de manière périodique seulement.)
Le problème suivant remonte à un travail du logicien Hao Wang, de 1961 ; il est lié à la question de savoir s’il existe un algorithme (ce qui est à peu près équivalent à la question de savoir s’ll existe un programme d’ordinateur) qui, étant donné une famille finie de polygones-modèles, permette de décider s’il existe un pavage du plan dont les pavés sont des copies des modèles [9].
La réponse a surpris plus d’un expert (dont Wang) : oui, de telles familles de polygones existent. Dans la première réponse (Berger, 1966) la famille contenait plus de $1000$ polygones [10]. Plus tard, on trouva d’autres réponses avec moins de polygones, par exemple $6$ (Raphael Robinson, 1971), ce qui permet de faire des dessins [11]. La réponse aujourd’hui la plus célèbre est celle de Roger Penrose, qui ne contient que $2$ polygones (voir [12] et [13]). Une autre réponse, celle de Robert Ammann, fut découverte indépendamment et à la même époque [14]. On peut décrire plusieurs variantes de la réponse de Penrose, dont celle du présent article.
On ne connaît pas la réponse pour une famille qui ne contient qu’un polygone (tous les pavés isométriques). Ceci constitute un problème ouvert captivant et important [15].
(Notons toutefois que, en dimension $3$, une variante du problème est résolue depuis 1988. En effet, Conway et Schmitt ont décrit un polyèdre qui a les propriétés suivantes :
Voir le livre [16], et l’article [17].)
Il y a au moins mille manières de présenter les pavages de Penrose ; en fait, en tapant « Penrose tiling » sur Google, on obtient 109’000 résultats (au jour de rédaction de ce texte). Même les fantômes ont un avis sur la chose [18]. La présentation ci-dessous, qui suit de près quelques pages de Raphael Robinson (datant des années 1970 et autant que nous sachions non publiées), décrit une variante des pavages de Penrose.
Dans la suite, nous allons esquisser une construction de ces pavages et indiquer quelques-unes de leurs propriétés principales. Par nécessité, l’explication est un peu technique et demande de maîtriser quelques aspects, pas toujours très faciles, de la géométrie euclidienne. Le lecteur qui serait rebuté par ces formules et ces raisonnements pourrait tout aussi bien se contenter d’admirer les figures 12, 15 et 16 (bien d’autres sont à disposition sur la toile [19]) avant de sauter directement à la conclusion de cet article.
« Notre » première famille, notée $\mathcal M_0$, est constituée de deux triangles isocèles à sommets coloriés $L_0$ et $S_0$ (avec « L » pour « Large » et « S » pour « Small »), définis comme suit :
Ici, $\theta$ désigne l’angle $\pi / 5$ (= un dixième de tour = $36^0$), et $$ \varphi \, = \, \frac{1 + \sqrt 5}{2} \, \approx \, 1,618033987 .... $$ désigne le nombre d’or [20]. Nos descriptions de $L_0$ et $S_0$ illustrent les égalités trigonométriques $$ 2 \cos(\theta) = \varphi \hskip.5cm \text{et} \hskip.5cm 2 \cos(2\theta) = \varphi^{-1} = \varphi - 1 . $$ Notons pour la suite que chacun de ces triangles a un seul côté ayant deux extrémités de la même couleur ; nous l’appellerons le côté distingué du triangle. Notons aussi que les angles aux deux extrémités d’un côté distingué sont distincts : il y en a un grand et un petit. Les côtés distingués sont orientés, du sommet de petit angle vers le sommet de grand angle.
Convenons qu’un $\mathcal M_0$-pavage désigne ici un pavage $\mathbf R^2 = \bigcup_{i \in I} P_i$ dans lequel chaque $P_i$ est un triangle à sommets coloriés, isométrique à l’un de $L_0$, $S_0$ par une isométrie respectant les couleurs des sommets. On demande aussi que deux tels triangles $P_i$ et $P_j$ soient toujours d’intérieurs disjoints, et ou bien soient tout à fait disjoints, ou bien possèdent en commun exactement un sommet, ou bien possèdent en commun exactement un côté entier de chacun d’eux. On demande enfin que les conditions suivantes soient satisfaites :
A priori, il n’est nullement évident qu’il existe un seul $\mathcal M_0$-pavage du plan. Nous allons toutefois tenter d’indiquer pourquoi
Introduisons une seconde famille $\mathcal M_1 = \{L_1, S_1 \}$, constituée de deux triangles isocèles à sommets coloriés définis comme suit :
Les triangles $L_1$ et $S_1$ ont également un côté distingué, qui est orienté.
Il y a trois observations fondamentales à ne pas manquer :
Il en résulte que, à partir de tout $\mathcal M_0$-pavage $\bigcup_{i \in I} P_i$ (supposé exister !), on peut définir de manière unique un $\mathcal M_1$-pavage $\bigcup_{j \in J} Q_j$ par copies isométriques de $L_1$ et $S_1$, et satisfaisant aux conditions (C1) et (C2).
Pour justifier l’observation $S_0 \Rightarrow L_1$, considérons un pavé $S$ isométrique à $S_0$ et le pavé $T$ adjacent à $S$ le long du petit côté non distingué, à extrémités noire et blanche. En contemplant les modèles $S_0$ et $L_0$, on voit qu’il existe a priori exatement deux possibilités pour $T$ : soit une copie de $L_0$ comme à gauche de la figure 10, soit une copie $S'$ de $S_0$ comme à droite de cette figure. Pour compléter le dessin de droite autour du sommet blanc commun à $S$ et $S'$, noté $Y$, il faudrait coller d’une part une troisième copie de $S_0$ le long du côté distingué de $S$ et d’autre part une quatrième copie de $S_0$ le long du côté distingué de $S'$. La somme des angles en $Y$ de ces quatre copies de $S_0$ serait $$ 3\theta + 3\theta + 3\theta + 3\theta = 12 \theta > 10 \theta = 360^o , $$ ce qui est absurde (d’où le signe « ! » au voisinage du point $Y$). En conclusion, le recollement indiqué à droite de la figure 10 n’est pas possible et, dans un $\mathcal M_0$-pavage, le seul pavé autorisé le long du côté non distingué de $S$ est une copie de $L_0$ comme à gauche de la figure.
Avec un peu plus de temps, on montre de manière élémentaire que ce processus d’inflation peut se répéter, et fournit ainsi une suite infinie de pavages pour des familles $\mathcal M_0, \mathcal M_1, \mathcal M_2, \mathcal M_3, ...$, avec $\mathcal M_n = \{L_n, P_n \}$. De plus, on constate que la famille $\mathcal M_{(n+4)}$ est la famille constituée des deux images des triangles du niveau $n$ par une homothétie de rapport $\varphi^2$, ce qui s’écrit aussi $$ L_{n+4} \, = \, \varphi^2 L_{n} , \hskip.5cm S_{n+4} \, = \, \varphi^2 S_{n} $$ pour tout $n \ge 0$. Si on ne s’occupait que des triangles, en oubliant la coloration des sommets et l’orientation des côtés distingués, on aurait $S_{n+1} = L_{n}$ et $L_{n+1} = S_{n} \cup L_{n}$ (d’où le « prime » dans l’équation $L_1 = \varphi S_0'$ de la figure 8). En revanche, comme on tient compte des colorations et des orientations, la première valeur de $m > n$ pour laquelle $L_{m}$ et $S_{m}$ sont des copies homothétiques de $L_{n}$ et $S_{n}$ est bien $m=n+4$.
Voici l’argument qui exclut l’existence de $\mathcal M_0$-pavages périodiques. S’il en existait un, invariant par une translation $t$, le $\mathcal M_n$-pavage obtenu par $n$ inflations serait également invariant par $t$, pour tout $n \ge 1$. Pour $n$ assez grand, les dimensions caractéristiques de tous les triangles de ce $\mathcal M_n$-pavage seraient supérieures à l’amplitude de la translation $t$, et ceci est absurde.
L’argument a des points communs avec l’argument précédent, à la différence importante près qu’il convient d’abord de subdiviser avant de mettre à l’échelle et de recoller.
Plus précisément, à partir de la paire $\mathcal M_0 \, = \, \{L_0, S_0 \}$, on définit une paire $\mathcal M_{-1} \, = \, \{L_{-1}, S_{-1} \}$ avec
Il en résulte que, à partir d’un $\mathcal M_0$-pavage, même partiel, c’est-à-dire un pavage d’une partie $F$ du plan, on définit d’abord de manière unique un $\mathcal M_{-1}$-pavage de cette même partie $F$, puis en itérant le procédé une famille de $\mathcal M_{-n}$-pavages de $F$. Pour un entier $n$, la famille $\mathcal M_{-n}$ est constituée de deux triangles décorés $L_{-n}$ et $S_{-n}$. Une fois sur deux, pour $n = 0, 2, 4, ...,$ c’est $S_{-n}$ qui a un angle obtus $3 \theta$ ; l’autre fois, pour $n = 1, 3, 5, ...,$ c’est $L_{-n}$ qui a un angle obtus $3 \theta$.
Noter que les échelles des deux figures précédentes ne sont pas égales, puisque $F$ est représenté plus grand dans la seconde figure que dans la première.
On constate que $$ L_{(-n-4)} \, = \, \varphi^{-2} L_{(-n)} , \hskip.5cm S_{(-n-4)} \, = \, \varphi^{-2} S_{(-n)} $$ pour tout $n \ge 0$ (comparer avec la paire d’égalités apparaissant peu après la figure 10). Donc, en dilatant le $\mathcal M_{(-4n)}$-pavage de $F$ par le rapport convenable, qui est $\varphi^{2n}$, on obtient un $\mathcal M_{0}$-pavage d’une copie homothétique $F_n := \varphi^{n} F$ de $F$, de plus en plus grande lorsque $n$ croît. On peut alors placer $F_n$ et $F_{n+4}$ dans le plan de telle sorte que $F_n$ (avec son $\mathcal M_{0}$-pavage) soit une partie de $F_{n+4}$ (avec son $\mathcal M_{0}$-pavage). On montre ainsi qu’on peut $\mathcal M_{0}$-paver des parties du plan de plus en plus grandes. A la limite, on obtient « en général » un $\mathcal M_{0}$-pavage du plan tout entier. (A propos du « en général », voir [22].)
En exploitant les règles d’inflation et de décomposition, on peut montrer que :
La seconde de ces propriétés et la cinquième montrent que, si les pavages de Penrose peuvent suggérer des modèles de quasi-cristaux, ces modèles seront bien différents des modèles du type « réseau » de la cristallographie classique. La quatrième propriété montre que les modèles à la Penrose sont compatibles avec des figures de diffraction par rayons X exhibant des symétries d’ordre cinq ou dix.
Dans un $\mathcal M_0$-pavage du plan, les copies de $L_0$ apparaissent nécessairement par paires adjacentes le long de leurs côtés distingués, et constituent ainsi des quadrilatères appelés cerfs-volants ; de même, les copies de $S_0$ apparaissent nécessairement par paires le long de leurs côtés distingués, et constituent des fléchettes. Ainsi, tout pavage du plan par copies de $L_0$ et $S_0$ fournit un pavage du plan par cerfs-volants et fléchettes.
Il existe encore d’autres variantes. Les images qu’on trouve sur la toile n’illustrent que rarement la variante avec deux triangles $L_0$ et $S_0$ que nous avons choisi d’exposer ici. C’est par exemple la variante avec deux types de losanges qui a été choisie pour paver un sol du bâtiment de physique, à l’Université A&M du Texas, comme le montre une photographie prise par notre collègue Oleg Ageev :
Pour en voir plus, regarder par exemple [23].
Pour lever la contradiction évoquée plus haut (juste après la figure 4), il faut admettre que le matériau observé par Shechtman n’a pas de structure cristalline, c’est-à-dire n’a pas de structure ordonnée périodique.
Il s’agit d’un nouveau type de structure, dite quasi-cristalline, qui a enrichi la théorie de la physique du solide [24]. Les modèles utilisés depuis pour comprendre ces quasi-cristaux font un large appel à des pavages non périodiques, qui partagent avec les quasi-cristaux la propriété de suivre un ordre qui est à la fois à grande distance et non périodique. Dans le modèle des pavages à la manière de Penrose et Ammann [14], l’ordre à grande distance se manifeste entre autres par la répétition infinie de toute partie d’un pavage — bien que ces infiniment nombreuses répétitions ne soient pas disposées de manière périodique.
Il est remarquable que les pavages non périodiques à la Penrose-Ammann, invoqués par les théoriciens des quasi-cristaux, aient été découverts avant les quasi-cristaux eux-mêmes. Il en est de même d’autres travaux mathématiques non mentionnés ci-dessus, ceux d’Yves Meyer, qui datent du début des années 1970 [25]. Ce n’est pas la première fois que des travaux mathématiques reçoivent a posteriori une « motivation » magnifique [26].
Une dernière image, pour le plaisir :
Merci à Jean-Paul Allouche, Serge Cantat, Clément Caubel, Etienne Ghys et Julien Melleray pour leurs rapides et très utiles commentaires après lecture d’une première version de notre article.
[1] D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias, and J.W. Cahn, Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry, Physical Review Letters 54, no 20, 12 November 1984.
[3] Elise Janvresse et Thierry de la Rue, Nobel de chimie et pavages de Penrose.
[4] L’une des autres grandes classes est celle des verres.
[5] La description ne s’arrête bien sûr pas là. Dans de rares cas, chaque sommet du réseau correspond à un seul atome, et réciproquement ; il en est ainsi du polonium, dans ses deux phases cristallines, l’une cubique et l’autre rhomboédrique (merci à notre Collègue chimiste Alan Williams pour ces informations). « Phase cubique » signifie que le réseau correspondant est formé des sommets de cubes, tous identiques, empilés de telle sorte que chaque cube soit entouré de six autres cubes partageant avec lui une face carrée commune ; « phase rhomboédrique » se réfère de même à des rhomboèdres, c’est-à-dire à des « cubes déformés », ou plus précisément à des parallélépipèdes dont les six faces sont des losanges (voir par exemple ici).
Pour des compléments d’information sur le polonium, voyez Wikipedia, si possible l’article en anglais, à défaut l’article bien plus court en français. Nous renvoyons les amateurs de romans d’espionnage à Wikipedia ici et là.
En revanche, dans la très grande majorité des cas, chaque sommet du réseau ne correspond pas à un seul atome, mais à un groupe d’atomes, par exemple plusieurs atomes de même espèce (du carbone dans un cristal de diamant) ou plusieurs atomes d’espèces différentes (du chlore et du sodium dans un cristal de sel de cuisine). Mais cela n’entre ni dans le sujet de cet article ni dans les compétences de ses auteurs.
[6] Max von Laue, noble à plus d’un titre. Nous ne résistons pas à l’envie de citer l’anecdote suivante, comme elle est relatée dans Wikipedia. Lors de l’invasion du Danemark par l’Allemagne pendant la seconde guerre mondiale, le chimiste George de Hevesy a dissous avec de l’eau régale les médailles en or des prix Nobel von Laue et James Franck, afin d’éviter que les Nazis ne les trouvent (il était illégal à l’époque d’exporter de l’or d’Allemagne, et von Laue risquait des persécutions pour ce « forfait »). De Hevesy garda la solution obtenue sur une étagère de son laboratoire à l’institut Niels Bohr. Après la guerre, il provoqua la précipitation de l’or et la Fondation Nobel put refondre la médaille à partir de l’or original.
[8] Nous ignorons de quand date l’image reproduite dans l’article original [1], mais Shechtman a très précisément rapporté la date de la première image qui l’a tant surpris : 8 avril 1982.
[9] Les experts auront noté que nous travestissons l’énoncé original. En fait, chez Wang, il s’agit de paver le plan avec des carrés tous de même taille, à côtés coloriés, et les couleurs de deux carrés adjacents doivent s’ajuster le long de leur côté commun.
[10] Une conséquence importante du résultat de Berger est discutée dans l’article Impossible. C’est un théorème qu’il n’existe pas d’algorithme (de programme d’ordinateur) qui, étant donné une famille finie de polygones-modèles, permette de décider si cette famille pave le plan.
[12] Roger Penrose, The rôle of aesthetics in pure and applied mathematical research, Bull. Inst. Math. Appl. 10 (1974), 266-271.
[13] Martin Gardner, Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles, Scientific American 236 (1977), 110-121.
[14] Voir http://tilings.math.uni-bielefeld.d.... Un bel article sur Robert Ammann : Marjorie Senechal, The mysterious Mr. Ammann, Mathematical Intelligencer 26 (2004), 10-21 http://www.springerlink.com/content....
[15] Pour une discussion plus étoffée de ce problème, voir un article du premier auteur, Quelques problèmes non résolus en géométrie plane, L’Enseignement Mathématique 35 (1989), 227-243.
[16] Majorie Senechal, Quasicrystals and geometry, Cambridge University Press, 1995.
[17] Charles Radin, Aperiodic tilings in higher dimensions, Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), 3543-3548.
[18] Les deux fantômes du Château de Goutelas et Fléchettes et cerfs-volants dans le ciel mathématique.
[21] Deux $\mathcal M_0$-pavages $\bigcup_{i \in I} P_i$ et $\bigcup_{j \in J} Q_j$ du plan sont isométriques s’il existe une isométrie $\psi$ du plan et une bijection $\nu : I \longrightarrow J$ telle que $\psi(P_i) = Q_{\nu(i)}$ pour tout $i \in I$, l’isométrie $\psi$ respectant les couleurs des sommets des polygones.
[22] Pour indiquer quelles sont ces exceptions, revenons à l’argument qui montre l’existence de $\mathcal M_0$-pavages. A l’étape $n$, au moment d’ajuster un pavage de $F_n$ et un pavage de $F_{n+4}$, il y a plusieurs choix possibles. Par exemple, il y a cinq pavés de type $L$ dans le $\mathcal M_{-4}$-pavage de la figure 11, donc cinq manières d’ajuster le pavage de $F_0$ dans le pavage de $F_4$ ; à l’étape suivante, il y a de nouveau cinq manières d’ajuster le pavage de $F_4$ dans le pavage de $F_8$ correspondant à la figure 12 ; et cetera, une infinité de fois. Dans certains cas exceptionnels, on obtient à la limite d’abord un pavage d’un demi-plan ou d’un secteur conique d’angle au sommet un dixième de tour ; le pavage du demi-plan et son symétrique par rapport à la droite frontière constituent un pavage du plan avec une symétrie de réflexion, le pavage du secteur et neuf symétriques convenables constituent un pavage du plan qui possède une symétrie de rotation d’ordre cinq. Dans les cas non exceptionnels, qui sont infiniment nombreux, on obtient à la limite un pavage du plan tout entier qui ne possède aucune symétrie.
[23] David Austin, Penrose tiles talk across miles, 2011.
[24] Voir par exemple ce panorama, publié en 2005 par deux cristallographes.
Les observations en laboratoire ont révélé des quasi-cristaux produisant des images avec des symétries de rotation d’ordres $5, 8, 10$ et $12$.
[25] Voir un article de Jean-Paul Allouche, Yves Meyer et la théorie des nombres, et surtout les références qu’il indique ; en particulier, de Robert Moody, Meyer sets and their duals. Et aussi le texte d’une conférence grand public dans lequel Yves Meyer raconte une partie de sa vie, citoyenne et scientifique.
[26] Citons trois exemples hyper-connus. (1) L’étude des coniques, très poussée chez les anciens grecs, est superbement « motivée » par la mécanique céleste de Kepler, Galilée et Newton. (2) L’introduction des nombres complexes, entre le XVIe siècle et le XVIIIe, est « motivée » par leur usage intensif en électrodynamique, depuis le XIXe siècle. (3) La théorie des nombres premiers, qui a débuté il y a plusieurs millénaires, est l’un des fondements de la cryptographie moderne, et par exemple du cryptage des cartes de crédit.
