Promedios (II) : el promedio cuadrático

Le 15 août 2009  - Ecrit par  Benoît Kloeckner
Le 6 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Moyennes (II) : la moyenne quadratique Voir les commentaires
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Esta nota es la segunda de una serie iniciada aquí.
Vamos a discutir más en detalle el promedio cuadrático, utilizado por ejemplo en física, para mostrar cómo uno puede ser llevado a utilizar un promedio diferente del habitual promedio aritmético.

Definición del promedio cuadrático

Recordemos que el promedio cuadrático está construido al ’’conjugar’’ el promedio aritmético por la función $x\mapsto x^2$ definida de $[0,+\infty[$
sobre sí misma. La fórmula para dos números es
\[Q(x,y)=\sqrt{\frac{x^2+y^2}2},\]
y se generaliza a una cantidad arbitraria de números :
\[Q(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}n}\]

Por ejemplo, el promedio cuadrático de $1$, $2$ y $3$ es
\[Q(1,2,3)=\sqrt{\frac{1^2+2^2+3^2}3}=\sqrt{\frac{14}3}\]
que vale aproximadamente $2,16$. Se ve que, en este caso, el promedio cuadrático es más alto que el promedio aritmético.
De hecho, esto es verdadero siempre : es una consecuencia de la convexidad y del crecimiento de la función $x\mapsto x^2$ (vea la figura siguiente).

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Para hacer un promedio ponderado, basta con introducir los coeficientes en el momento cuando se calcula un promedio aritmético, de la manera habitual. Para dos números $x$, $y$ con coeficientes $c$ y $d$,
se procede como sigue. Se calcula las imágenes de los números por nuestra función : $x^2$ e $y^2$. Se hace el promedio aritmético ponderado :
$(cx^2+dy^2)/(c+d)$. Se calcula la imagen recíproca del resultado por nuestra función, lo que da
\[Q((x,c),(y,d))=\sqrt{\frac{cx^2+dy^2}{c+d}}\]

Se define más generalmente el promedio cuadrático de los números $x_1,x_2,\ldots,x_n$
con los coeficientes $c_1,c_2,\ldots,c_n$ por :
\[Q((x_1,c_1),(x_2,c_2),\ldots,(x_n,c_n))=\sqrt{\frac{c_1x_1^2+c_2x_2^2+\cdots+c_nx_n^2}{c_1+c_2+\cdots+c_n}}\]

Motivación física

Demos ahora una motivación física a este promedio.
Imaginemos que se dispone de un recipiente en el cual se desplaza un cierto número, digamos $N$, de partículas idénticas (por ejemplo, las moléculas de un gas). Cada partícula se desplaza a una cierta velocidad, que se anota
$v_1,v_2,\ldots,v_N$. Si se desea representar esas numerosas velocidades con un número único, que dé una idea de velocidad ’’global’’ de las partículas, se puede por supuesto hacer el promedio aritmético, pero no hay razón para que este sea el promedio más adecuado. Se puede tratar de encontrar un promedio que tenga una propiedad particular y sea físicamente pertinente. Se va a buscar una velocidad $\bar v$ tal que si las partículas se desplazaran todas a la velocidad $\bar v$, tendrían la misma energía cinética total.

La energía cinética de una partícula es la energía de su movimiento (es decir, la energía necesaria para hacerla pasar del reposo a su velocidad actual, o la energía que se puede recuperar haciéndola pasar de su velocidad actual al reposo).
Está dada por la fórmula $E=\frac12 m v^2$ donde $v$ es la velocidad y $m$ la masa de la partícula. Para nuestras $N$ partículas, se obtiene una energía cinética total \[\frac12 m (v_1^2+v_2^2+\cdots+v_N^2)\]
Si las partículas se desplazaran todas a una velocidad $v$, se tendría como energía cinética total
\[\frac12 m (v^2+v^2+\cdots+v^2)=\frac12 m N v^2\]

Esas dos cantidades son iguales cuando $N v^2 = v_1^2+v_2^2+\cdots+v_N^2$, lo que equivale a
\[v=\sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_N^2}{N}}\]
Se ve, por lo tanto, que la velocidad buscada es el promedio cuadrático $\bar v= Q(v_1,v_2,\ldots,v_N)$.
De ese modo, ese número da una buena idea de la velocidad de las diferentes partículas desde el punto de vista de la energía cinética.

¿Y si las masas son diferentes ?

Tomemos el ejemplo anterior, pero con partículas de masas diferentes. Notemos como
$m_1,m_2,\ldots,m_N$ esas masas, y busquemos la velocidad $\bar v$
tal que si las partículas se desplazaran todas a esta velocidad, tendrían la misma energía cinética total.

Entonces, por el mismo razonamiento, se puede comprobar que el promedio cuadrático ponderado por las masas es el que conviene : $\bar v=Q((v_1,m_1),(v_2,m_2),\ldots,(v_N,m_N))$. Los detalles son dejados como ejercicio al lector : un poco de práctica siempre es útil para comprender una noción.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Promedios (II) : el promedio cuadrático» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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