Promedios (III): el promedio geométrico

El 8 julio 2009  - Escrito por  Benoît Kloeckner
El 12 mayo 2019  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Artículo original : Moyennes (III) : la moyenne géométrique Ver los comentarios
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Esta nota es la tercera de una serie iniciada aquí y acá. Vamos a discutir más en detalle el promedio geométrico y tratar con un ejemplo la construcción de un promedio ad hoc. Como el método debe comenzar a ser familiar, esta nota es la última de la serie sobre el estudio de promedios individuales.

Definición del promedio geométrico

El promedio geométrico está definido para dos números positivos por
\[G(x,y)=\sqrt{xy}\]
y en general por
\[G(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2x\cdots,x_n}.\]
Para evitar las fórmulas más complicadas, no hablo de promedios ponderados, que por supuesto existen.

En la primera nota señalé que este se obtiene al conjugar el promedio aritmético por el logaritmo. Veamos esto un poco más de cerca.

Más que recordar en detalle lo que es el logaritmo (vea por ejemplo en
Wikipedia ), voy a limitarme a las propiedades esenciales de las cuales tendré necesidad, a saber:
\[\log(xy)=\log(x)+\log(y)\]
y su consecuencia
\[\log(x^k)=k\log(x).\]
En estas fórmulas, $x$ representa cualquier número estrictamente positivo y $k$ cualquier número real. Por ejemplo, como la raíz cuadrada de un número es de hecho su potencia $1/2$, se tiene
\[\log(\sqrt{x})=\frac12\log(x).\]
Un pequeño comentario: hay de hecho muchos logaritmos que comparten estas propiedades, pero todos conducen al mismo promedio geométrico. Por lo tanto, se eligió uno de una vez para todos y se le llama ’’el’’ logaritmo.

Si uno aplica el método habitual para construir un promedio, se comienza con dos números (estrictamente positivos) $x$ e $y$ y se considera el promedio aritmético de sus logaritmos :
\[\frac{\log(x)+\log(y)}2=\frac12 \log(xy)=\log(\sqrt{xy}).\]
Luego se aplica el inverso del logaritmo (que es la exponencial, pero no hay gran necesidad de saber gran cosa aparte de su existencia...) para obtener $G(x,y)=\sqrt{xy}$. El mismo método lleva al promedio geométrico de muchos números. De hecho, todo eso no es sorprendente: la fórmula de $G$ es la misma que aquella del promedio aritmético, cambiando las adiciones por multiplicaciones y las divisiones por raíces. Como el logaritmo intercambia esas operaciones, conjuga naturalmente ambos promedios.

Aplicación a la inflación

El promedio geométrico no es un objeto gratuito: interviene muy naturalmente en cuanto se considera números que, en lugar de sumar, resulta más adecuado multiplicar. Un ejemplo muy simple es el de la inflación: imaginemos que la inflación (es decir, el alza de precios [1]) sea de $1\%$ en 2010 y de $3\%$ en 2011. ¿Cuál es la inflación promedio en esos dos años?

Por supuesto -como todo depende de la definición- se puede imaginar considerar el promedio aritmético y responder que la inflación promedio es de $2\%$. ¿Pero qué sentido tiene eso? Personalmente, no le veo ninguno. Una elección natural es definir la inflación promedio como la que, en dos años, produce el mismo efecto que la inflación real. Para poder utilizar esta definición hay que recordar que una inflación de $1\%$ corresponde a una multiplicación de precios por $1+1/100=1,01$, una inflación de $3\%$ a una multiplicación por $1+3/100=1,03$ y así sucesivamente: el precio aumentó en uno (o tres) centésimos de sí mismo.

De este modo, si uno denota $m\%$ la inflación promedio buscada, se debe tener:
\[(1+m/100)(1+m/100)=1,01\times 1,03\]
El miembro de la izquierda da el coeficiente por el cual son multiplicados los precios en dos años de inflación constante a $m\%$, y el miembro de la derecha es el coeficiente por el cual los precios han aumentado realmente entre inicios de 2010 y fines de 2011.

Pero la fórmula de arriba se reescribe $1+m/100=\sqrt{1,01\times 1,03}=G(1,01;1,03)$, y uno ve aparecer el promedio geométrico.

Efectuando un cálculo aproximado, se encuentra $m \simeq 1,01995$:
la inflación promedio es de aproximadamente $1,995\%$, un poco más baja que el promedio aritmético (lo que se debe a la concavidad y al crecimiento del logaritmo).

Un promedio más práctico

En el ejemplo de arriba hice una pequeña trampa: el promedio geométrico es aplicado a los coeficientes por los cuales los precios son multiplicados y no a la tasa de inflación expresada en porcentajes. Pero esto es fácil de remediar ya que los dos magnitudes está unidas por la función
\[f:\begin{array}{rcl} ]-100,+\infty[ &\to& ]0,+\infty[ \\ x &\mapsto& 1+\frac{x}{100} \end{array}\]
Uno necesitará su función inversa:
\[g:\begin{array}{rcl} ]0,+\infty[ &\to& ]-100,+\infty[ \\ z &\mapsto& 100(z-1) \end{array}\]

Por lo tanto, construyamos un promedio ’’de las tasas’’ $T$ conjugando $G$ por $f$. El promedio de dos tasas $x$ e $y$ (que representan los porcentajes) es obtenido tomando sus imágenes por $f$:
\[1+\frac{x}{100}\quad\mbox{ y }\quad 1+\frac{y}{100},\]
haciendo su promedio geométrico
\[\sqrt{\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{y}{100}\right)}=\sqrt{1+\frac{x+y}{100}+\frac{xy}{10\,000}}\]
y tomando la imagen inversa por $f$
\[T(x,y)=100\left(\sqrt{1+\frac{x+y}{100}+\frac{xy}{10\,000}}-1\right).\]
Aquí está nuestro nuevo promedio. Para cada situación se puede hacer de la misma manera, identificando la magnitud que se adiciona (o, pasando por el promedio geométrico, se multiplica) y fabricar un promedio a medida.

Para terminar, demos la fórmula para el promedio de un número mayor de tasa (más vale entonces guardar la fórmula factorizada) :
\[T(x_1,x_2,\ldots,x_n)=100\left(\sqrt[n]{\left(1+\frac{x_1}{100}\right)\left(1+\frac{x_2}{100}\right)\cdots \left(1+\frac{x_n}{100}\right)}-1\right).\]
Como ejercicio, se puede buscar la fórmula para un promedio ponderado (no es mucho más complicado: basta con insertar los coeficientes en los lugares adecuados).

Notas

[1De hecho, se trata de un alza promedio. Según usted, ¿qué promedio se utiliza? Y, más en detalle, ¿qué ponderación considera?

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Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Promedios (III): el promedio geométrico» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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