8 juillet 2013

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Promenade mathématique en Mésopotamie

La mesure du cercle et l’approximation $\pi=3+\frac{1}{8}$

Jean Brette

Ancien responsable du Département de Mathématiques au Palais de la Découverte.

Une tablette d’argile trouvée en 1936 à Suse (Iran) et datant d’environ 1680 av. J.-C. conduit à l’approximation remarquable π = 3 + 1/8 = 3,125. Comment ce résultat a-t-il été obtenu ? Cet article propose une hypothèse, prétexte pour aborder quelques points des mathématiques de cette période en Mésopotamie.

Les préparatifs

L’histoire du nombre $\pi$ commence il y a près de 4 000 ans, et chacun sait aujourd’hui, s’il a plus d’une douzaine d’années, qu’une valeur approchée est $\pi=3,14$ , et que ce nombre est utile pour calculer le périmètre $P$ ou l’aire $A$ d’un disque de rayon $R$ (ou de diamètre $D$) :

\[P = 2 \pi R= \pi D\hspace{6cm}A= \pi R^{2}\]

Certains se souviennent aussi que la fraction $\frac{22}{7}=3+\frac{1}{7}$ est une excellente approximation. Elle est due à Archimède (287-212 av. J.-C.). D’une part, il a démontré que si l’on connaît le périmètre d’un disque, on peut en déduire son aire, ce qui montre que c’est bien le même $\pi$ dans les deux formules, et d’autre part , il a donné une méthode pour évaluer le « rapport du périmètre du cercle à son diamètre » (et non « la valeur du nombre $\pi$ », le symbole $\pi$ ne datant que du début du 18ème siècle). En encadrant le cercle entre deux hexagones dont le périmètre est facile à calculer, puis en doublant successivement le nombre des côtés, il obtient, avec des polygones à 96 côtés, l’encadrement :

\[3+\frac{10}{71}\le\pi\le3+ \frac{1}{7}\]

Il est sans doute plus facile d’apprécier la performance en donnant les valeurs numériques :

\[3,1408\le\pi\le3,1428\]

On voit ici l’intérêt, et l’efficacité, des méthodes d’encadrement : d’une part elles fournissent une approximation, et d’autre part elles permettent de contrôler l’erreur commise. Ainsi, les inégalités ci-dessus nous disent que la valeur décimale de $\pi$ commence par 3,14 , et que la décimale suivante est 0, 1 ou 2, c’est-à-dire qu’en choisissant l’une de ces trois valeurs, on est sûrs de ne pas commettre une erreur relative supérieure à 0,6‰, c’est-à-dire par exemple une erreur de 2 mm sur une longueur de 3 m !. Cela il y a plus de 2 000 ans !

A ma connaissance, Archimède est le premier à justifier explicitement ses résultats concernant le cercle, et à donner pas à pas une suite d’arguments expliquant pourquoi ce qu’il affirme est vrai. Mais il n’est pas le premier à s’être intéressé au cercle et à sa mesure. On dispose de quelques témoignages très anciens, un en Egypte et quelques autres en Mésopotamie, allant dans ce sens (plus un passage de la Bible, mais la Bible n’est pas principalement un ouvrage de maths !).

Dans le papyrus Rhind (environ 1650 av. J.-C.) le scribe Ahmès donne une recette permettant de calculer l’aire d’un disque. Et on dispose de quelques tablettes d’argile « babyloniennes » datant de la même période et concernant le périmètre ou l’aire d’un disque. De la plupart d’entre elles, on peut déduire l’approximation $\pi=3$ , mais il en existe une dont on peut déduire une meilleure approximation : $ \pi = 3 +\frac{1}{8}$. Elle est le sujet de cet article.

La promenade peut commencer, mais avant de partir pour Babylone 17 ou 18 siècles av. J.-C., le lecteur / voyageur peut vouloir, même si ce n’est pas absolument indispensable, s’informer sur :

la représentation des nombres et les opérations arithmétiques en base 60.

Ecriture en base 60
$ $

Notre système de numération décimal, c’est-à-dire à base 10, utilise dix signes, les chiffres représentant les nombres de 0 à 9. Il consiste à décomposer les nombres en somme de puissances de 10.

Exemple :

$7857$ $=\quad7000$ $+\quad 800$$+\quad50$ $+\quad7$
$=\;7\times1000$ $+\;8\times100$ $+\;5\times10$ $+\;7\times1$
$=\;7\times\;\;10^{3}$$+\;8\times\;10^{2}$ $+\;5\times10^{1}$$+\;7\times10^{0}$

$ $

C’est un système de numération de position : la valeur correspondant à un chiffre dépend de sa position. Ici, le premier 7 signifie 7000 alors que le dernier signifie 7.

Le système des Babyloniens, le système sexagésimal, est aussi un système de numération de position, mais à base 60, et chaque nombre est décomposé en somme de puissances de 60. Il devrait donc utiliser 60 signes représentant les nombres de 0 à 59, …. mais le zéro n’a pas encore été inventé. Par ailleurs, ces 59 chiffres sont eux-mêmes représentés à l’aide de deux symboles représentant 10 et 1.

Exemple :

$7857$ $=\quad7200$ $+\quad 600$$+\quad57$
$=\;2\times3600$ $+\;10\times60$ $+\;57\times1$
$=\;2\times\;\;60^{2}$$+\;10\times60^{1}$ $+\;57\times60^{0}$

$ $

7857, en base 10, s’écrira donc $\;2\;10\;57$ en base 60. Ici, 2 , 10 et 57 sont l’équivalent de nos chiffres. Ce sont des signes, que les Babyloniens représentent à l’aide de deux figures :

le chevron PNG , qui représente 10, et le clou PNG , qui vaut 1.


Ainsi $\;32 = 3\times 10 + 2\;\;$ s’écrit $ $ PNG $ $ et $\;24 = 2\times10 + 4\;\;$ s’écrit $ $ PNG .


Le nombre $7857 = 2\;10\;57$ s’écrit alors en juxtaposant les représentations de $2,\,10$ et $57$, séparées par des intervalles. :

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Ce mode de représentation présente quelques inconvénients :

1) Il ne précise pas quelle est la plus grande puissance de 60 qui est utilisée, et n’utilise pas de signe particulier (analogue à notre virgule) pour séparer la partie entière de la partie fractionnaire, s’il y a.

$10\times 3600$$+\;2\times60$ $+\;30\times\;\;1$$=36150\qquad$que
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$=\;10\;2\;30\;$peut aussi bien représenter : $10\times\quad60$ $+\;2\times\;1$ $+\;30\times\; \frac{1}{60}\;$ $=\quad\; 602,5\quad$ ou
$10\times \quad\;\;1\;$$+\;2\times\frac{1}{60}\;$ $+\;30\times \frac{1}{3600}$$=\quad \;\;10,0416..$

Les nombres sont donc représentés à une puissance de 60 près. C’est le contexte qui donne l’ordre de grandeur

$ $

2) Les groupes de symboles sont juste séparés par des intervalles, ce qui peut poser quelques problèmes de déchiffrage. Par exemple, l’écriture :

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$ $
représente le nombre $36004 = 10 \times3600\;+ rien\times 60\;+4$,
qu’on peut confondre, selon la taille de l’intervalle, avec l’écriture :
$ $

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$ $
$\hspace {1cm}$, qui représente le nombre $604 = 10\times 60\;+4$ ,
$\hspace {1cm}$qu’on peut aussi confondre avec :
$ $

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$ $
$\hspace{1.5cm}$, qui représente le nombre $\;14 =1\times 10\;+4$.
$ $

Quelques siècles plus tard, pour éviter ces ambiguïtés possibles, ils inventeront un signe indiquant une position vide. C’est un zéro typographique, qui ne représente pas le nombre 0, mais signale juste une absence de symbole numérique à cet endroit. Ici, j’utiliserai le 0, si besoin est, pour plus de clarté.
$ $

3) Enfin, ce système de juxtaposition ne permet pas toujours de distinguer la séparation de deux nombres de celle de deux chiffres. Par exemple :

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$ $
représente- t-il le nombre $2\;20\;10 = 8410$ ou le nombre $\;2\;30 = 150$ ?,
ou d’autres encore, d’après les remarques précédentes ?

On voit sur ces exemples que le déchiffrage et l’interprétation des tablettes posent de sérieux problèmes. Les historiens, une fois leur texte déchiffré, et après avoir compris une origine mathématique possible d’un résultat numérique, sont soucieux de permettre à leurs lecteurs de s’attacher aux méthodes, aux algorithmes, plutôt qu’aux représentations des nombres. Ils utilisent donc dans leurs articles des séparateurs « modernes », comme la virgule, ou le point virgule, ou les deux points pour séparer les chiffres entre eux et séparer aussi la partie entière de la partie fractionnaire si besoin est. Ces problèmes d’ambiguïté ne se posant pas dans l’article joint, je me limiterai aux intervalles et éventuellement à l’usage du zéro.
$ $

Les opérations élémentaires

Nos heures, minutes et secondes, lointain héritage des Babyloniens, peuvent nous aider à voir comment fonctionnent les opérations élémentaires. On ajoute les heures ensemble, les minutes ensemble, les secondes ensemble, et on reporte une retenue après avoir soustrait $\;\;60\;$ chaque fois qu’un résultat dépasse $\;59$.
Par exemple : $ 47 + 32 = 79 = 60 + 19 =\; $ « 19 et je retiens 1, que je reporte sur le rang précédent » =$\; 1\;19$.
Bref, on fait comme en système décimal en remplaçant $10$ par $60$. (En fait, notre système (h, min, s) n’est pas réellement un système sexagésimal car, on l’aura remarqué, 1j n’est pas égal à 60 h, sauf pour les très gros bosseurs !)

Autres exemples :

Addition : Quelle heure sera-t-il 27 minutes après 2 h 47 ?

$ 2\;47 + 0\;27 = (2 + 0) \; (47 + 27) = 2\;74 = 2\;(60 + 14) = (2+1)\;14 = 3\;14$

Soustraction : Quelle heure sera-t-il 25 minutes avant 13h 10 ?

On ne peut pas soustraire $25$ de $10$. On décompose $13$ en $12+1=(12\;60)$ . Le nombre $13\;10$ devient donc $12\;70$, et on peut maintenant soustraire : $12\;70 – 0\;25 = 12\;45$

Multiplication : Combien durent 7 fois 17 minutes et 58 secondes ?

$7\times(17min\;58s) = (7\times 17min)\;+\;(7\times58s)$

$7\times17 min= 119 min = 1 h\; 59 min\quad$ et $\quad7\times 58s = 406s = 6min\;46s $.
Donc : $7\times( 17\;58 ) = (1\;59\;0 )\;+\;(0\;6\;46) = 1\;65\;26 = 2\;5\;26$

Division : Quel est le cinquième de 1 h et 25 minutes ?

C’est le cinquième de 1 heure, c’est-à-dire 12 minutes, plus celui de 25 minutes, soit 5 minutes. C’est donc 12 + 5 = 17 minutes.

Ajoutons pour finir qu’il existe plusieurs systèmes de représentation des nombres selon les périodes, les lieux, ou la nature des quantités représentées. Le lecteur intéressé pourra certainement satisfaire sa curiosité en lisant l’article[21]

En route ...

Lorsqu’on lit des articles, ou des ouvrages, sur l’histoire et la préhistoire du nombre $\pi$,par exemple [1], [2], [3], [4], [5], [6], [8] ou d’autres … , on rencontre plusieurs versions sur la période babylonienne. Certains auteurs l’ignorent tout simplement ; d’autres sont assez brutaux : « Les Babyloniens utilisaient $\pi = 3+\frac{1}{8}$ » ; d’autres enfin prennent beaucoup de précautions, signalent le risque de commettre des anachronismes, sont plus proches des faits et disent en substance :

On a trouvé une tablette babylonienne en argile qui donne le rapport du périmètre de l’hexagone à celui de son cercle circonscrit. Il y est exprimé en numération sexagésimale (base 60) et est égal à : $ 57 \; 36 =\frac{57}{60}+\frac{36}{60^{2}}$ .

On peut en déduire aujourd’hui la valeur approchée $ \pi =3+\frac{1}{8}$

Et ils ajoutent souvent, sous une forme ou une autre :

On ignore comment ils sont arrivés à ce résultat, probablement expérimentalement .

C’est à peu près ce que j’ai dit pendant trente ans au Palais de la Découverte lors de conférences sur le sujet, et c’est ce que je m’apprêtais à répéter une fois de plus lors d’une conférence « grand public » à l’invitation de l’Université de Bretagne-Sud à Vannes en décembre 2012. En réalisant le diaporama d’accompagnement, il m’est venu un doute sur cette dernière phrase.

La première partie est vraie : on ignore effectivement comment ils ont fait. C’est la seconde qui m’a posé problème : est-ce que réellement les Babyloniens auraient pu trouver cette valeur expérimentalement ?

De nos jours, l’expérience est simple à faire, avec un mètre de couturière et des objets du quotidien de différents diamètres : poêle à frire, casserole, boites de conserve. Essayez ! On mesure le périmètre et le diamètre, on fait la division. Chaque fois, j’ai trouvé $3,14$. Les différences portaient sur la troisième décimale. Malgré tout, si nous sommes en 1650 av. J.-C., il n’existe sûrement pas d’objets manufacturés aussi précis, ni de mètres de couturière gradués en millimètres. J’ai donc renouvelé l’expérience avec des objets plus « rustiques ».

Il existait sûrement à l’époque des objets usuels à très peu près circulaires : les vanneries, et les poteries (certaines connues datent de plus de 4 000 ans av. J.-C., et les tours de potiers d’aujourd’hui ne sont pas très différents des tours antiques, au moteur près). Pour la mesure, c’est plus délicat : une corde, une lanière de cuir, peuvent s’allonger sous la tension, et se contracter au repos. Par contre une écorce de papyrus séchée ne s’allonge pas. Malheureusement, je n’en avais pas sous la main. J’ai donc utilisé des lames de rotin de 5 mm de large, qui ne s’allongent pas non plus. Evidemment, elles ne sont pas graduées, mais ce n’est pas grave : ce qui nous intéresse, c’est le rapport de deux longueurs : celles du périmètre et du diamètre, et non les longueurs elles-mêmes. Il est facile de faire le tour de l’objet avec le rotin, et de le couper. Curieusement, il est moins facile de couper précisément le brin de rotin correspondant au diamètre. En effet, le bord supérieur des poteries est souvent arrondi. Il faut donc fixer le rotin du périmètre, puis couper une seconde lame de rotin correspondant au diamètre intérieur de la première. Reste à calculer le rapport des deux longueurs sans en connaître leurs valeurs précises, ce qu’on peut effectuer en retournant aux origines mêmes de la division. (fig 1)

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\[fig\;1\]

Soient donc P et D les deux lames de rotin. On veut savoir combien de fois D est contenu dans P. On reporte soigneusement et successivement D sur P. On peut le faire trois fois et il reste un petit segment R. On coupe alors un brin de rotin de longueur R, que l’on reporte à son tour et successivement sur D.

Avec l’approximation d’Archimède, on doit pouvoir le reporter 7 fois, avec un petit reste R’. On aura donc $P = 3D +\frac{1}{7}D = D (3+\frac{1}{7})$ . Avec celle des Babyloniens, on devrait pouvoir reporter 8 fois le segment R, ou du moins presque 8 fois, c’est-à-dire 7 fois, avec un reste R’ assez grand. J’ai effectué cette opération avec trois objets : deux poteries et une vannerie, certes récentes mais assez rustiques. Non seulement je n’ai pas pu reporter 8 fois le segment R, mais je n’ai pas réussi à le faire 7 fois. Ma meilleure performance fut 6,8 fois, c’est-à-dire 6 fois , avec un reste R’ très important. Bien sûr, il y a de nombreuses sources d’erreur, notamment quand on reporte 7 fois R sur le segment D. Malgré tout, ces expériences me persuadèrent que les Babyloniens n’ont pas obtenu leur valeur expérimentalement, en tout cas pas de cette façon.
Mais dans ce cas, deux questions se posent :

Question 1 : Si ce n’est pas expérimental, c’est théorique, géométrique. Comment auraient-ils pu faire ?

Question 2 : Quelle que soit leur méthode, pourquoi n’ont-ils pas trouvé un rapport des périmètres conduisant à : $ \pi=3+\frac{1}{7}$ ?

La question 1 : Comment auraient-ils pu faire ?

Les Babyloniens savaient construire un hexagone régulier (fig 2), et savaient que son périmètre $P_{6}$ est : $P_{6} = 6 R = 3 D$

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\[fig\;2\]

L’arc AB est plus long que le segment AB. Le périmètre P du cercle est donc supérieur à celui de l’hexagone, et le rapport des deux est :

$ \frac {P}{P_{6}} = \frac {\pi D}{3 D}= \frac{\pi}{3}$, ce qui donnerait, en utilisant l’approximation d’Archimède : $\frac{P}{P_{6}} = \frac{\pi}{3} =\, \frac{22}{7}\times \frac{1}{3}\, = \frac{22}{21}$.

Il est assez naturel, pour nous, d’évaluer le périmètre du cercle, inconnu, par rapport à celui de l’hexagone qui est, lui, connu. Les Babyloniens font l’inverse, et donnent une valeur du rapport $\frac {P_{6}}{P} = 57 \; 36$ . La valeur sexagésimale de $\frac{21}{22}$ est proche de $57 \; 16 \; 21 $, sensiblement différente.

J’ai donc essayé de comprendre pourquoi les Babyloniens n’ont pas obtenu cette valeur. Pour cela, après quelques tâtonnements, j’ai fait une hypothèse, et même deux. Nous verrons plus tard ce qu’il faut en penser.

Hypothèse 1 : les Babyloniens connaissaient le théorème de Pythagore mille ans avant celui-ci.

Je ne prétends pas qu’ils l’avaient démontré - la notion de démonstration, au sens où on l’entend aujourd’hui, est beaucoup plus tardive. Je suppose juste qu’ils connaissaient la relation entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle :

$\hspace 1cm$Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : $a^{2}\;=\;b^{2}\;+\;c^{2}$

Hypothèse 2 : Ils savaient trouver des triangles rectangles de côtés entiers. Peut-être pas tous, mais au moins ceux dont l’hypoténuse et l’un des côtés sont des entiers consécutifs.

Si l’on admet l’hypothèse 1, la seconde est assez raisonnable : en effet, les mathématiciens Babyloniens connaissaient certainement l’identité : $(n + 1)^{2}\; = \;n^{2} + 2n + 1$, qui est évidente sous une forme graphique (fig 3) :

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\[fig\;3\]

Cette identité permet de trouver facilement des triangles rectangles de côtés entiers puisqu’ il suffit que $2n+1$ soit le carré d’un entier $k$.

\[(n + 1)^{2}\, = \,n^{2} + (2n + 1)\,=\,n^{2} +\,k^{2}\]

Par ailleurs, comme $(2n+1)$ est un nombre impair, le nombre $\,k\,$ lui-même doit être impair : $k\,=\,3,5,7,9,...$
Très bien, mais à quoi ceci peut-il servir ?

Ceci peut servir à remplacer chaque côté de l’hexagone, par exemple AB, par une ligne brisée analogue à ACB, plus proche du cercle, grâce aux triangles rectangles AMC et BMC. (fig 4)

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\[fig\;4\]

Les premières valeurs de $\;k\;$ conduisent aux quatre triangles suivants (fig 5)

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\[fig\;5\]

Reste à choisir lequel est le plus proche du triangle AMC de la fig 4 , une fois son côté horizontal ramené à la longueur du segment AM. Il ne fait guère de doute qu’il s’agit du triangle rouge AMC’, de côtés (7, 24, 25) (fig 6).

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\[fig\;6\]

En remplaçant chaque côté de l’hexagone par une ligne analogue à $AC ’B$, on obtient un dodécagone irrégulier. Ses côtés sont égaux, mais pas ses angles car $C 'M > CM$.

( Pour R = 1, on a : $C 'M=\frac{7}{48}=0,146….>CM=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=0,134…$ ).

Son périmètre est $P_{12} = 12 AC ’$. Celui de l’hexagone est $P_{6}= 12 AM$.

Le rapport des deux est donc : $\frac{P_{6}}{P_{12}}=\frac{12 AM}{12 AC '}=\frac{AM}{AC '}=\frac{24}{25}$ . dont la valeur sexagésimale est précisément égale , merveilleuse surprise !, à $57 \;36$, la valeur donnée par les Babyloniens.

Le rapport inverse, $\frac{P_{12}}{P_{6}}=\frac{25}{24}$ , dont on a vu plus haut qu’il devait être proche de $\frac{\pi}{3}$ , conduit alors immédiatement à l’approximation : \[\pi=\frac{25}{8}=3+\frac{1}{8}.\]

(Le triangle jaune conduit à $\pi=3+\frac{1}{4}$ , bien moins précis)

Avec cette méthode, il est clair que les Babyloniens ne pouvaient pas obtenir le rapport espéré plus haut : $\frac{P_{12}}{P_{6}}=\frac{22}{21}$ , car il n’existe pas de triangle rectangle de côtés $(k, 21, 22) $ avec $k$ entier.

Bien sûr, rien ne prouve que les Babyloniens aient procédé ainsi. Seule la découverte d’une nouvelle tablette d’argile pourrait le faire. Par ailleurs, cette idée repose sur les hypothèses 1 et 2. Les Babyloniens savaient-ils réellement trouver de tels triangles rectangles ?

La réponse est OUI. (ce que je savais, bien sûr, mais j’ai un peu triché ici … pour le suspense).

La tablette mathématique la plus célèbre est sans doute la tablette Plimpton 322 [9], actuellement conservée à l’Université Columbia. NY (fig 7). Elle a été trouvée en 1920 à Larsa (aujourd’hui Senkereh, en Irak, à 300 km au sud de Bagdad) et date d’environ 1 800 ans av. J.-C.

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\[fig \;7 \]

Elle mesure environ 9 cm sur 13 , et est interprétée par les historiens comme une liste de 15 triangles rectangles en nombres entiers, dont on peut vérifier aujourd’hui que l’angle le plus aigu décroît progressivement de 45 à 30°. (Mais la notion d’angle n’intervient pas : il s’agit essentiellement d’un résultat arithmétique, et très remarquable).

Elle comporte 17 lignes. Les 15 dernières lignes sont divisées en 4 colonnes, dont les deux premières lignes précisent le contenu. La colonne 4 contient le signe (KI) suivi des nombres de 1 à 15. On lit donc KI 1, KI 2, KI 3, … KI 15, ce qui signifie à peu près : ligne n°1, ligne n°2, etc.

Les colonnes 1, 2 et 3 concernent les triangles rectangles. Les colonnes 2 et 3 donnent respectivement le plus petit côté et l’hypoténuse de chaque triangle. La colonne 1 donne le carré du rapport des deux côtés de l’angle droit.

Par exemple, la ligne 5 commence, en système sexagésimal, par :

$48\;54\;01\;40 \hspace {5cm} 1\;05\qquad1\;37 \hspace {3cm}$ , ce qui devient, une fois converti en décimal :

$0,815007716049383 \hspace{3.3cm}65\hspace{1.3cm} 97 \hspace{3.2cm} (65= 1\times 60 + 5\quad et\quad 97 = 1\times60 + 37)$

On peut vérifier que $ \;97^{2} - 65^{2} = 9409 - 4225 = 5184 = 72^{2}\;$ . Le triangle de côtés 97, 65 et 72 est donc rectangle. (fig 8 a) :

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\[fig\;8\]

La pente de l’hypoténuse est : $\frac{65}{72}=0,902777777..$ , dont le carré est : $0,815007716049383$.
C’est exactement la valeur indiquée en début de ligne, avec 15 décimales ! ! C’est presque trop précis pour être vrai, mais on peut vérifier qu’il en est de même pour les autres lignes.

Il existe une controverse sur les méthodes qu’auraient pu utiliser les Babyloniens pour constituer cette table [10], [11], [12], [13], [14]. Il reste aussi des erreurs de copie du scribe, et de petits mystères, par exemple la ligne 11, qui donne comme côtés 45 et 1 15 c’est-à-dire, en numération décimale : 45 et 75. Tous les deux sont multiples de 15, et ce triangle n’est autre que le triangle de côtés (3, 4, 5). Pourquoi n’est-il pas donné sous cette forme, bien plus simple ? Et quel pouvait être l’intérêt de donner le carré de la pente, plutôt que la pente elle- même ?

Il existe une interprétation légèrement différente des nombres indiqués sur la tablette : si l’on divise les trois côtés par 72, le côté horizontal devient 1, l’hypoténuse devient $\frac{97}{72}$ et le dernier côté $\frac{65}{72}$ . Dans ce triangle rectangle « prototype », ou « normalisé », (fig 8 b), on a alors : $(\frac{97}{72})^{2}-1=(\frac{65}{72})^{2} = 0,815007…$

C’est bien la même chose, mais cette fois on comprend mieux pourquoi les Babyloniens donnent le carré de la pente, et pourquoi ils ne donnent que les longueurs de l’hypoténuse et d’un seul côté : dans ce triangle, la longueur du troisième côté vaut toujours 1. Il est donc inutile de la mentionner. Cette interprétation est la clé d’une des méthodes proposées pour l’élaboration de la tablette, mais peu importe ici.

Ce qui importe pour notre propos, c’est qu’ils savaient le faire ! Ils savaient d’ailleurs faire bien plus que ne le suppose l’hypothèse 2, puisque dans cette table, seul le triangle (3, 4, 5) possède une hypoténuse et un côté entiers consécutifs. Il est donc très vraisemblable qu’ils connaissaient une méthode générale permettant de trouver tous les triangles de ce type.

Avec la méthode exposée plus haut, nous avons vu qu’il n’existe pas de triangle de côtés entiers dont l’hypoténuse et un des côtés seraient respectivement égaux à 22 et 21.

Il existe une seconde raison pour laquelle les Babyloniens ne pouvaient probablement atteindre ni le rapport $\frac{22}{21}$ , ni son inverse $\frac{21}{22}$ , que ce soit expérimentalement ou non. Elle répond à la question 2 et repose sur la façon dont les Babyloniens calculaient la valeur des fractions.

La question 2. Calcul des fractions et nombres réguliers.

De nos jours, pour calculer la valeur numérique décimale d’une fraction, nous effectuons la division, à la main ou plus vraisemblablement … avec une calculette. Ce faisant, nous pouvons observer que pour certaines fractions, la division « tombe juste » et qu’on obtient alors un développement fini. Pour d’autres, non.
Par exemple : $\frac{3}{25} = 0,12 \; ; \frac{1}{8} = 0,125\; $ ont des développements finis, ce qui n’est pas le cas de $\frac{1}{3} = 0, 33333...$

A Babylone, pour le calcul des transactions usuelles, les scribes procédaient différemment. Ils apprenaient par cœur (ou consultaient ?) des tables d’inverses, et calculaient la valeur d’une fraction en effectuant une multiplication :
\[\frac{m}{n} = m \times \frac{1}{n}\]
On a trouvé de très nombreuses tablettes d’inverses, souvent pour les entiers inférieurs à 60, ou à 90, mais elles ne les donnent pas tous. Elles ne donnent que les inverses des nombres pour lesquels « la division tombe juste », Un exemple : puisque nous sommes en base 60, pensons aux heures, minutes et secondes, lointain héritage des Babyloniens : le tiers d’une heure est 0 h et 20 minutes donc, en base 60, un tiers s’écrit : $0\;20$ , ou même, plus brièvement : $20$. Son développement est donc fini, ce qui n’est pas son cas en base 10. Les nombres pour lesquels « la division tombe juste » sont dits réguliers en base 60 . Ce sont les entiers dont les facteurs premiers sont ceux de 60, et qui ne sont donc divisibles que par 2, 3 et 5.

Voici la liste des premiers : 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30 , 32, ….

On remarque immédiatement, dans cette liste, que les nombres 7 et 11 ne sont pas réguliers, ni d’ailleurs 21 et 22.
Les inverses $\frac{1}{7}$ et $\frac{1}{11}$ ne sont donc pas calculables dans ce contexte, pas plus que le rapport $\frac{22}{21} = 22\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{7}$, ou le rapport inverse $\frac{21}{22} = 21\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{11}$ .

Signalons au passage que l’usage des inverses des seuls nombres entiers réguliers n’était pas limité aux calculs usuels. Il en était de même dans des calculs « savants », comme la tablette Plimpton, où on peut remarquer que les longueurs des côtés utilisées dans le calcul des pentes sont tous réguliers.

Quoi qu’il en soit, nous avons là un second argument militant en faveur d’un rapport des périmètres différent de $\frac{P_{6}}{P_{12}}=\frac{21}{22}$ .

La fin de la promenade

Après cette petite découverte, très agréable, j’ai cherché, d’abord dans ma bibliothèque personnelle, puis sur internet, si l’idée d’utiliser le triangle (7, 24, 25) pour déterminer cette constante avait déjà été émise. En vain, et je remercie par avance tout lecteur qui pourrait me signaler une source. Mais je voulais quand même en avoir le cœur net. En rentrant de ma conférence à Vannes [7], où j’ai présenté cette idée, je me suis, ( enfin !!! ), mis en quête de textes concernant la tablette qui donne ce rapport. Voici ce que j’ai appris.

Elle fait partie d’un ensemble trouvé en 1936 par l’archéologue français Robert De Mecquenem, lors du chantier n°1 des fouilles effectuées sous la Ville Royale de Suse (actuellement proche de Ilam, en Iran, c’est-à-dire environ 200 km à l’est de Babylone). Dans le rapport des fouilles [15], il est mentionné la découverte d’un ensemble de tablettes, sans plus de précisions : apparemment, les sculptures, jouets, poteries méritaient sur place plus d’attention que des tablettes, qu’on trouvait en assez grand nombre sur tous les chantiers. Il est vrai aussi que pour en apprécier l’intérêt, il eut fallu les traduire, ce qu’on ne fait qu’une fois rentré dans son bureau, et non sur un chantier.

Elles ne furent transcrites, puis traduites, qu’en 1950, par Mlle Marguerite Rutten, du Musée du Louvre, qui fit appel au Pr Evert Marie Bruins, de l’Université d’Amsterdam, pour en interpréter le contenu mathématique. Elles ne furent publiées qu’en 1961 [16], mais dès 1950, E. M. Bruins en évoqua le contenu dans diverses conférences ou articles [17], [18], [19].

Ces tablettes de Suse, numérotées 1, 2, 3, … A, B, C .. , contiennent des tables de multiplication, des problèmes (par exemple le calcul du rayon du cercle circonscrit à un triangle isocèle, celui des aires d’un hexagone et d’un heptagone réguliers, des résolutions d’équations du second degré, etc.) et des tables de constantes. Celle qui nous intéresse fait partie de ces dernières.

La tablette I [16], [20], contient 70 constantes. Les 36 premières sont mathématiques. Les suivantes sont plus difficiles à interpréter bien que l’on sache qu’elles concernent des travaux (peut-être des volumes de remblais, ou de constructions diverses, etc) et plusieurs matériaux (terre, argile, pisé, bitume, plomb, bronze, cuivre, argent, roseau coupé, etc)

Les trois premières constantes mathématiques, les « constantes de l’anneau », ou du « rond », donnent les nombres 5 , 20 et 10, qui sont interprétés respectivement comme l’aire, le diamètre et le rayon d’un disque en fonction … de son périmètre, supposé être égal à 1 !

Ceci peut surprendre le lecteur moderne, qui calcule l’aire et le périmètre d’un disque en fonction de son rayon R. Les Babyloniens procédaient autrement, comme en témoignent plusieurs tablettes comportant un cercle et des données numériques, par exemple la tablette YBS 7302 conservée à l’Université de Yale (fig 9) .

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\[fig\;9\quad (d'après E.Robson [13] )\]
Eleanor Robson [13] donne l’explication suivante : 3 est le périmètre, 9 son carré et 45 son aire !
Avec nos notations modernes :
\[P=2 \pi R\hspace{1.5cm} ;\hspace{1.5cm}P^{2} = 4{\pi}^{2} R^{2} \hspace{1cm} et \hspace{1cm} A= \pi R^{2 } =\frac{P^{2}} {4 \pi} \]
Avec l’approximation grossière $\pi = 3 , A=\frac{P^{2}}{4\times 3}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$, ce qui s’écrit, en base 60, $A = 0\;45$.
La même idée, appliquée à la tablette de Suse, donne : si $P = 1$, alors $A = \frac{1}{4 \times 3} =\frac{1}{12}$ , qui s’écrit : $0\;5$ (5 est bien le douzième de 60). Quant au rayon, $R = \frac{1}{2 \pi} = \frac{1}{6}$ . ce qui s’écrit $0\;10$, toujours en base 60. Le diamètre vaut alors 20, d’où les constantes 5, 20 et 10 indiquées dans la table.

Tout ceci est cohérent, montre que l’approximation $\pi = 3$ était courante, et montre aussi que les Babyloniens savaient que si on connaît son périmètre, on peut calculer l’aire du disque, ce qui ne sera démontré que 15 siècles plus tard par Archimède, comme nous l’avons vu.

D’autres lignes indiquent des valeurs analogues pour le demi, le tiers ou le quart de cercle, la longueur de l’arc concerné étant toujours supposée égale à 1.

On trouve plus loin des constantes attachées à des polygones réguliers de côté 1 : les lignes 26 , 27 et 28 de la table donnent les aires respectives des : pentagone, hexagone et heptagone. La ligne 29 donne la « constante du triangle ». Cette fois, ce n’est pas une aire, mais une longueur : celle de la hauteur du triangle équilatéral de côté 1 : elle est égale à $52 \; 30$, c’est-à-dire 0,875, à comparer avec $\frac{\sqrt{3}}{2}=0,866… $ La ligne 31 donne aussi une longueur, celle de la diagonale du carré de côté 1, égale à : $1\;25=1+\frac{25}{60}=1,41666…$ , (mais la tablette YBC 7289 est bien plus précise)

Et la ligne 30 ? C’est celle qui donne la « constante du cycle, (cercle plus parfait) » : 57 36 , qui nous intéresse aujourd’hui. Elle est considérée par E. M. Bruins comme une amélioration des constantes de l’anneau figurant au début de la table. Il n’y a aucune autre précision. [16], [20] (fig 10)

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\[fig\;10\]

En particulier, et ce fut une énorme surprise pour moi, il n’y est absolument pas question d’hexagone, ni de périmètre, ni de rapport de périmètres ! Que penser ? Les lignes 29 et 31 donnant des longueurs, on peut donc soupçonner que cette constante concerne aussi une longueur, et elle était donc peut-être un facteur correctif à appliquer pour améliorer le calcul du rayon (même si elle améliore aussi le calcul de l’aire du disque).

Dans [18] p. 313- 314, E. M. Bruins propose, comme je l’ai fait au début de cet article, une méthode que les Babyloniens auraient pu utiliser pour calculer cette constante avec les connaissances qu’on leur connaît. Pour cela, il évalue les aires des dodécagones réguliers inscrit et exinscrit à un disque de rayon 2, dont l’aire est $4 \pi$.

Je ne donne pas le détail de ses calculs. L’aire du premier dodécagone est très simple à calculer, et est égale à 12. Celle du second est moins aisée à obtenir. Elle nécessite la résolution d’équations simultanées du second degré, ainsi qu’une approximation de $\sqrt{12}$ , et lui permet finalement de montrer que l’aire du dodécagone exinscrit est inférieure à 13. L’aire du disque, $4\pi$, vérifie donc : $12\le 4 \pi \le 13$.

E. M. Bruins calcule alors la moyenne de 12 et 13, et obtient :

\[\pi=\frac{1}{4}.\frac{12+13}{2}=\frac{25}{8}=3+\frac{1}{8}\]

C’est bien le résultat espéré, mais on peut néanmoins faire trois remarques :

  1. Est-ce que l’idée d’encadrement était déjà connue, et attestée par d’autres tablettes ? Je l’ignore.
  2. En procédant de cette façon, il calcule la valeur de $\pi$ qu’on peut déduire aujourd’hui de la constante, mais pas la constante elle-même, qui n’apparaît nulle part dans cette démarche.
  3. Enfin, et assez curieusement, il choisit de calculer des aires, alors que le contexte (les lignes 29 et 31) suggère des longueurs. C’est d’autant plus curieux que dans ses commentaires complets publiés dix ans plus tard [16], il fait remarquer qu’un triangle semblable au triangle (7, 24, 25) apparaît bien dans les tablettes de Suse, cette fois à propos d’un problème totalement différent : le calcul du rayon du cercle circonscrit au triangle isocèle de côtés (50, 50, 60), calcul auquel il consacre une page et demie alors qu’il ne consacre que six lignes à « la constante du cycle », sans même rappeler sa proposition de 1950. Quoi qu’il en soit, ceci montre que les géomètres de Suse avaient bien rencontré le triangle (7, 24 , 25).

Que conclure ?

  1. Dans le monde de l’édition, une maxime dit, à propos du plagiat :

    Tout le monde copie tout le monde, sauf le premier, dont on a oublié le nom.


    Dans le cas présent, on connaît le premier : à défaut de connaître le scribe qui a rédigé la tablette, le premier qui l’a révélée à la communauté mathématique est le Pr Evert Marie Bruins ! Question : Qui a inventé la fable d’un hexagone, et du rapport des deux périmètres, version erronée reprise partout (y compris par moi), fable qui ne figure pas sur la tablette, et que E. M. Bruins n’évoque jamais, du moins dans les textes que je connais ? Serait- ce Petr Beckmann [8] dont l’ouvrage est paru en 1971, ou est-ce antérieur ?

  2. Alexandre Dumas, à qui on reprochait de prendre quelques libertés avec l’Histoire, avec un grand H, dans Les trois mousquetaires, aurait répondu :

    On peut violer l’histoire, à condition de lui faire de beaux enfants !

    Qui que soit l’inventeur de la fable sur les périmètres, je dois le remercier : sans lui, je ne me serais sans doute jamais posé la question et n’aurais sans doute jamais pensé à utiliser le triangle (7, 24, 25).

  3. Cette promenade m’a permis d’augmenter mes connaissances sur les mathématiques babyloniennes (ou plutôt « mésopotamiennes », compte tenu des distances entre Babylone, Suse et Larsa.), et de prendre mieux conscience des difficultés liées aux interprétations des tablettes et aux extrapolations qu’elles suggèrent [13], [19]. Mais elle me pose aussi une question plus personnelle : Pourquoi ne me suis-je jamais interrogé avant ?
  4. Et enfin, cette promenade m’a d’abord beaucoup intrigué, puis amusé et enrichi, ce qui est pour moi l’essentiel !

J’espère qu’il en a été de même pour le lecteur.

Pour en savoir plus, et poursuivre la promenade ….

Sur l’histoire du nombre $\pi$ :

[1] Collectif  : N° Spécial π du Petit Archimède. Amiens 1980

[2] J-P. Delahaye : Le fascinant nombre $\pi$. Ed. Belin. Paris. 1997

[3] P. Eymard et J-P Lafon : Autour du nombre $\pi$. Ed. Hermann. Paris. 1999

[4] P. Dubreil : Les nombres mystérieux in Les grands courants de la pensée mathématique. Ed. A. Blanchard. Paris. 1962

[5] B. Gourévitch :
L’ univers de Pi 2000

[6] F. Gramain : Les décimales de Pi. 2010

[7] J. Brette : Pi, une aventure commencée il y a 4000 ans.
Conférence pour Planète Sciences. Université de Bretagne Sud Vannes. 2012.(vidéo)

[8] P. Beckmann : A history of π. St Martin’s Press. NY. 1971

Sur la tablette Plimpton 322

[9] On trouvera ici un autre excellent cliché de cette tablette (recto, verso et champs), ainsi que de bien d’autres, mathématiques ou non..

[10] E.M.Bruins :On Plimpton 322. Pythagorean numbers in Babylonian mathematics. 1949

[11] R.Creighton Buck : Sherlock Holmes in Babylon. AMM 87. 1980

[12] E. Robson : Neither Sherlock Holmes nor Babylon : a reassessment of Plimpton 322. Historia mathematica 28. 2001

[13] E. Robson : Words and Pictures. New light on Plimpton 322. AMM 109-2. 2001.

[14] J. P. Britton, C.Proust, S. Shnider : Plimpton 322 : a review and a different perspective. Arch. Hist. Exact Sci. (2011) 65

Sur les tablettes de Suse

[15] R. De Mecquenem : Fouilles de Suse. Rapport 1936.

[16] E.M. Bruins et M. Rutten : Textes mathématiques de Suse.
(Mémoires de la Mission archéologique en Iran. t. XXXIV).
Ed. P.Geuthner. Paris. 1961.

[17] E.M. Bruins : Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse. 1950

[18] E.M. Bruins : Aperçu sur les mathématiques babyloniennes. Revue d’histoire des sciences et de leurs applications t 3, n°4 1950

[19] E.M. Bruins : Nouvelles découvertes sur les mathématiques babyloniennes. Conférences du Palais de la Découverte. D 11. 1951

[20] Pour voir une reproduction de la tablette I, extraite du Texte III de [16],

sur la numération

[21] C. Proust : Numerical and Metrological Graphemes : From Cuneiform to Transliteration CDLI 2009.

P.S. :

Remerciements : Je remercie vivement Christine Proust, du Laboratoire SPHERE (CNRS- Université Paris Diderot), spécialiste mondialement reconnue des mathématiques babyloniennes, pour le temps qu’elle m’a consacré, pour ses critiques, ses précisions, ses références et ses suggestions pour améliorer mon premier manuscrit. Merci également à Jean-Paul Delahaye, à qui je dois la référence [8] , à Christian Houzel, qui m’a indiqué une autre fable largement répandue ( égyptienne cette fois, mais c’est une autre histoire ! ), ainsi qu’à mes premiers lecteurs pour leurs encouragements et leurs critiques : Michel, Pierre, Mireille, François.

Merci enfin à Carole Gaboriau et Vincent Beffara, d’ IdM qui, par leurs conseils et informations, ont accompagné avec patience et indulgence mes premiers pas dans le logiciel d’édition de IdM, ainsi qu’à Angela Gammella et Clément Caubel, qui ont procédé pour IdM à la relecture finale.

Crédits images

Image à la une — Schémas : (fig 1 à 6, 8 et 9) : JB .
fig 7 : Courtoisie Rare Book & Manuscript Library, Columbia University, New York, USA. Cliché Ch. Proust.
fig 10 :Extrait de la page : Texte III de [16]

Affiliation de l'auteur

Commentaires sur l'article

Pour citer cet article : Jean Brette, « Promenade mathématique en Mésopotamie »Images des Mathématiques, CNRS, 2013.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Promenade-mathematique-en.html

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