Promenade mathématique en Mésopotamie

La mesure du cercle et l’approximation

Piste bleue Le 8 juillet 2013  - Ecrit par  Jean Brette Voir les commentaires (18)

Une tablette d’argile trouvée en 1936 à Suse (Iran) et datant d’environ 1680 av. J.-C. conduit à l’approximation remarquable π = 3 + 1/8 = 3,125. Comment ce résultat a-t-il été obtenu ? Cet article propose une hypothèse, prétexte pour aborder quelques points des mathématiques de cette période en Mésopotamie.

Les préparatifs

L’histoire du nombre $\pi$ commence il y a près de 4 000 ans, et chacun sait aujourd’hui, s’il a plus d’une douzaine d’années, qu’une valeur approchée est $\pi=3,14$ , et que ce nombre est utile pour calculer le périmètre $P$ ou l’aire $A$ d’un disque de rayon $R$ (ou de diamètre $D$) :

\[P = 2 \pi R= \pi D\hspace{6cm}A= \pi R^{2}\]

Certains se souviennent aussi que la fraction $\frac{22}{7}=3+\frac{1}{7}$ est une excellente approximation. Elle est due à Archimède (287-212 av. J.-C.). D’une part, il a démontré que si l’on connaît le périmètre d’un disque, on peut en déduire son aire, ce qui montre que c’est bien le même $\pi$ dans les deux formules, et d’autre part , il a donné une méthode pour évaluer le « rapport du périmètre du cercle à son diamètre » (et non « la valeur du nombre $\pi$ », le symbole $\pi$ ne datant que du début du 18ème siècle). En encadrant le cercle entre deux hexagones dont le périmètre est facile à calculer, puis en doublant successivement le nombre des côtés, il obtient, avec des polygones à 96 côtés, l’encadrement :

\[3+\frac{10}{71}\le\pi\le3+ \frac{1}{7}\]

Il est sans doute plus facile d’apprécier la performance en donnant les valeurs numériques :

\[3,1408\le\pi\le3,1428\]

On voit ici l’intérêt, et l’efficacité, des méthodes d’encadrement : d’une part elles fournissent une approximation, et d’autre part elles permettent de contrôler l’erreur commise. Ainsi, les inégalités ci-dessus nous disent que la valeur décimale de $\pi$ commence par 3,14 , et que la décimale suivante est 0, 1 ou 2, c’est-à-dire qu’en choisissant l’une de ces trois valeurs, on est sûrs de ne pas commettre une erreur relative supérieure à 0,6‰, c’est-à-dire par exemple une erreur de 2 mm sur une longueur de 3 m !. Cela il y a plus de 2 000 ans !

A ma connaissance, Archimède est le premier à justifier explicitement ses résultats concernant le cercle, et à donner pas à pas une suite d’arguments expliquant pourquoi ce qu’il affirme est vrai. Mais il n’est pas le premier à s’être intéressé au cercle et à sa mesure. On dispose de quelques témoignages très anciens, un en Egypte et quelques autres en Mésopotamie, allant dans ce sens (plus un passage de la Bible, mais la Bible n’est pas principalement un ouvrage de maths !).

Dans le papyrus Rhind (environ 1650 av. J.-C.) le scribe Ahmès donne une recette permettant de calculer l’aire d’un disque. Et on dispose de quelques tablettes d’argile « babyloniennes » datant de la même période et concernant le périmètre ou l’aire d’un disque. De la plupart d’entre elles, on peut déduire l’approximation $\pi=3$ , mais il en existe une dont on peut déduire une meilleure approximation : $ \pi = 3 +\frac{1}{8}$. Elle est le sujet de cet article.

La promenade peut commencer, mais avant de partir pour Babylone 17 ou 18 siècles av. J.-C., le lecteur / voyageur peut vouloir, même si ce n’est pas absolument indispensable, s’informer sur :

la représentation des nombres et les opérations arithmétiques en base 60.

Ecriture en base 60
$ $

Notre système de numération décimal, c’est-à-dire à base 10, utilise dix signes, les chiffres représentant les nombres de 0 à 9. Il consiste à décomposer les nombres en somme de puissances de 10.

Exemple :

$7857$ $=\quad7000$ $+\quad 800$$+\quad50$ $+\quad7$
$=\;7\times1000$ $+\;8\times100$ $+\;5\times10$ $+\;7\times1$
$=\;7\times\;\;10^{3}$$+\;8\times\;10^{2}$ $+\;5\times10^{1}$$+\;7\times10^{0}$

$ $

C’est un système de numération de position : la valeur correspondant à un chiffre dépend de sa position. Ici, le premier 7 signifie 7000 alors que le dernier signifie 7.

Le système des Babyloniens, le système sexagésimal, est aussi un système de numération de position, mais à base 60, et chaque nombre est décomposé en somme de puissances de 60. Il devrait donc utiliser 60 signes représentant les nombres de 0 à 59, …. mais le zéro n’a pas encore été inventé. Par ailleurs, ces 59 chiffres sont eux-mêmes représentés à l’aide de deux symboles représentant 10 et 1.

Exemple :

$7857$ $=\quad7200$ $+\quad 600$$+\quad57$
$=\;2\times3600$ $+\;10\times60$ $+\;57\times1$
$=\;2\times\;\;60^{2}$$+\;10\times60^{1}$ $+\;57\times60^{0}$

$ $

7857, en base 10, s’écrira donc $\;2\;10\;57$ en base 60. Ici, 2 , 10 et 57 sont l’équivalent de nos chiffres. Ce sont des signes, que les Babyloniens représentent à l’aide de deux figures :

le chevron PNG , qui représente 10, et le clou PNG , qui vaut 1.

Ainsi $\;32 = 3\times 10 + 2\;\;$ s’écrit $ $ PNG $ $ et $\;24 = 2\times10 + 4\;\;$ s’écrit $ $ PNG .

Le nombre $7857 = 2\;10\;57$ s’écrit alors en juxtaposant les représentations de $2,\,10$ et $57$, séparées par des intervalles. :

PNG - 10.4 ko

Ce mode de représentation présente quelques inconvénients :

1) Il ne précise pas quelle est la plus grande puissance de 60 qui est utilisée, et n’utilise pas de signe particulier (analogue à notre virgule) pour séparer la partie entière de la partie fractionnaire, s’il y a.

$10\times 3600$$+\;2\times60$ $+\;30\times\;\;1$$=36150\qquad$que
PNG - 8.9 ko
$=\;10\;2\;30\;$peut aussi bien représenter : $10\times\quad60$ $+\;2\times\;1$ $+\;30\times\; \frac{1}{60}\;$ $=\quad\; 602,5\quad$ ou
$10\times \quad\;\;1\;$$+\;2\times\frac{1}{60}\;$ $+\;30\times \frac{1}{3600}$$=\quad \;\;10,0416..$

Les nombres sont donc représentés à une puissance de 60 près. C’est le contexte qui donne l’ordre de grandeur

$ $

2) Les groupes de symboles sont juste séparés par des intervalles, ce qui peut poser quelques problèmes de déchiffrage. Par exemple, l’écriture :

PNG - 7.8 ko

$ $
représente le nombre $36004 = 10 \times3600\;+ rien\times 60\;+4$,
qu’on peut confondre, selon la taille de l’intervalle, avec l’écriture :
$ $

PNG - 7.7 ko

$ $
$\hspace {1cm}$, qui représente le nombre $604 = 10\times 60\;+4$ ,
$\hspace {1cm}$qu’on peut aussi confondre avec :
$ $

PNG - 7.5 ko

$ $
$\hspace{1.5cm}$, qui représente le nombre $\;14 =1\times 10\;+4$.
$ $

Quelques siècles plus tard, pour éviter ces ambiguïtés possibles, ils inventeront un signe indiquant une position vide. C’est un zéro typographique, qui ne représente pas le nombre 0, mais signale juste une absence de symbole numérique à cet endroit. Ici, j’utiliserai le 0, si besoin est, pour plus de clarté.
$ $

3) Enfin, ce système de juxtaposition ne permet pas toujours de distinguer la séparation de deux nombres de celle de deux chiffres. Par exemple :

PNG - 8 ko

$ $
représente- t-il le nombre $2\;20\;10 = 8410$ ou le nombre $\;2\;30 = 150$ ?,
ou d’autres encore, d’après les remarques précédentes ?

On voit sur ces exemples que le déchiffrage et l’interprétation des tablettes posent de sérieux problèmes. Les historiens, une fois leur texte déchiffré, et après avoir compris une origine mathématique possible d’un résultat numérique, sont soucieux de permettre à leurs lecteurs de s’attacher aux méthodes, aux algorithmes, plutôt qu’aux représentations des nombres. Ils utilisent donc dans leurs articles des séparateurs « modernes », comme la virgule, ou le point virgule, ou les deux points pour séparer les chiffres entre eux et séparer aussi la partie entière de la partie fractionnaire si besoin est. Ces problèmes d’ambiguïté ne se posant pas dans l’article joint, je me limiterai aux intervalles et éventuellement à l’usage dues si.
our exemple :ou Bf="on pefts<\mme laesystème de cimal, reprle&açt pa$$ our de04 $.b(Epefts<,otre vistème de(hplnutson)’est pas abes lment un oustème sexagésimal, caron pe#8217;appuraemarques, et 1j’est pas abgalit s6+ hplsaufour sl très anoups bsibrs &bsp;!).

A mres encmples qbsp;:

1)trong>EcAddionrong>Ecbsp;:

On$\;1047 + ;2\;= 2\ (2 + ;) 14 (47 + 27) 2\;107= 2\ti;(6+ 4\ 4) 2\(2+1)14 =1\ 314 =$p>

1)trong>EcScisaitconrong>Ecbsp;:

On vonpeut cos abucisaits $2\;5$e $2,1 $.bOnécomposer 2,13 et n$ $12+1=(1260^{)$ .Les ombre $\2,1310 =$e $ennedonc da$126070$s&eon peut coin">nair soucisaits $bsp;:

1)trong>EcMtatiication/ra>rong>Ecbsp;:

On$times60(17nut1458s) 2\(7imes 10\7nut)14+i;(7imes 158s)br>

3)$times60 ounut150 spnut 150 h14 5spnutuad$ ou $57uad720imes 1058s 15406s 15 6nut1446s $.r>ou Dc dbsp;:

3)trong>EcDisiblrong>Ecbsp;:

Onest le conini nme de ju1ssre ac’est-à-dire à12inutes L,lus delle done$2minutes Lsonts<\minutes LC’est unnc da12 + 5 2\1ounutes L/p>

ExAjte s arur sn, iru’il afiste unus dirs &#stème sse représentation prs nombres etlon la esériode ess&s oplux dou lesnamere des noant ués ciprésentés . Les ecteur / téressé auur sraectains ent sesionsfre si aecuodesés t n$sati l’éticle j[ href="#coPro"lass='spip_doancre'>21a>

iv> <>iv> <>iv> <> class="spip">LeEpeute de...h3>

Lors’on pelides 1a>2a>3a>4a>5a>6a>/a>171; moL Babyloniens reilisenannedopi$ 1\ 3frac{1}{8}$. bsp;»i>bsp;: ;’autres enein, remiemenlebeaucoupe prescomtrensism Lsont pass deoché des sfts

ock-lquotelass="spip">Lep>3)tin voarouvée ne reblette d&byloniennes&uesygile &#i donne lrayoort du périmètre du l’inxagones cet e done$n dircle etcirnsisiturIl deyst leexpmèt t n$mération dexagésimal, de(se 60. et dat legalit sbsp;:

Extin vout en déduire sojourd’hui, a valeur coprochée es/td $\f7i$ 1\3frac{1}{8}$. p>

iock-lquote

Exetls inajte p soucivt, avucisne foise es de absutrdbsp;:

ock-lquotelass="spip">Lep>3)tin vo gnontomprnt às innt sosrrivs à un résultat aproceblettnt àexprimètatittnt à.i>

iock-lquote

Exest un paseurès decque cjaidesepaseant àtrte app setr Palaide la plDcompivtrtunrs en contrrentes exr celrajet det chaest uncque cjme apprécts à bapartextrne fois ledplus fars en une dentrrentes 171; moandeu pubcatbsp;» da l’usvisition prs ’usUniveront des retteagne-Suda lVaes&nn déducere $\2012En enpaasati ldiamrama",’autcmposagnemt, av afmest unvt,de oute plr ces e d&#nierre dephre 6/p>

La promemrre deptie ent vrai. $bsp;:

OnDnos churs dl’encxprimtes t sûalplea lfre, sec l&e otre du lmpire rre deedes

LaIafiste ts<\rs ent un l’usparoe de rpo ets fruslleà baès anseurès decirnulres (bsp;: la evaleer pi, et d eséotepi, (ctains econcens de ant de cous de cl000 ans, v. J.-C.) ,l d estrs de diotrs juautrurd’hui, ansont des tous de mérentessiaestrs det ues, poamoisur / ès d). Poulasure dc’est-ous de écatiobsp;: lae dentrdeune folanre de lacu, mut ntueoattlngueecoucisaosions<,e séeontrôtua ausseceo Par exctre que focompr de sypyrus Rhschife esneoattlngueees tMaislsre ausemt, avjn’estneantisos abucisasns LeJaidesc reilisée,es leca sse repotrreddi5m su la prgequi ne reattlnguee des ton &#us dEt de. mmt, avles pensont des toanddus a plntisocn’est pas prandv bsp;:8 yoort dtd $\ deux chngueur dsbsp;:8 n la esngueur dstd $\qes pêmes rIl det facile à defre si tror de Galon ets vec l&#repotrret dee contuperCueux semt, av aft matns locile à dentuperaécise mattaie cobrrreddipotrrerrespondant àamoamètre eEn encffttle syrderupérieure es polytepi, t sûcivt, osrrdaniIl deft 1.sc refix le &#potrredpérimètre dpuis enntuperae suienduiauca seddipotrrerrespondant àamoamètre eitéresure es a pluemrre d. Ree à dlculer le pyoort du deux pongueur dsans doeconnaît l si ts &#veurs nuécise p ce qui on peut coefftior la repror dnt àamxrigine ms mes res a plisibl

\[3+fig1\;$/p>

OnSonnedonc daPt dDes deux poca sse repotrr.bOnvt cosoir comprbn reddiis leD t sntent"uans lP.bOnceortunrgnagx semt, e sécessivement leDonulP.bOnut coldefre siois vais leeàs cee une utts<\egnt leR.bOnntupelors ene brrreddipotrredlongueur deRque leson peceortun son dior de sécessivement lenulD/p>

ExAc l&#approximation

ock-lquotelass="spip">Lep>3)trong>EcQsrong>Ecbsp;:8 Siocn’est pas prexprimètatitc’est-oémaoque, soomèttque, Comment cepuranned-s iniuefts $bsp;:

iock-lquote<>ock-lquotelass="spip">Lep>3)trong>EcQsrong>Ecbsp;:8 Qlle ese si ts<\ur cothodes,,ourquoi cenon pp-s ini touvée ne yoort du derimètre dsconduit st à ubsp;: $ \pi +\frac{1}{7}$

iock-lquote<> class="spip">Lesaoes>

L Babyloniens resantit lempnronre une exagones resgier (anfig 2),e séantit lee si tnérimètre du$P_{6}$est ubsp;:

\[3+fig1\2$/p>

OnLétic AB t-ous dengueue le djegnt leABLes erimètre duPu cercle et unnc dapérieure e cet e done$inxagones et le clyoort du deux pot ubsp;:

On$\rac{1 {P}{P_{6}} 3\rac{1 {i D\h}{3 D}3\rac{1{i D}}$

LaIafissos='$z mere dlpour plus d,shuvaluer le &#rimètre du cercle ,nconvnu,ur deyoort du cet e done$inxagones ui est ule , snvnuLes hibyloniens reft l’éventrs et lednemenlee valeur ap ceyoort du$rac{1 {P_{6}}{P} = 57 14 36$ .Lesvaleur coxagésimal, ded $\2,rac{22}{36}{7$ t-ouché ed $\$57 14 16 14 21 sésionettnt à mérentes6/p>

LaJaidesc reessay des rmprisere avurquoi ce Babyloniens renon ppas prtenu&nes e d&leur c. Poult ea,près avelques témtnement dl,jaidefts<\e hypothèse, pr leme siux p. N u&#verrs arus tard, e qu’il afft 1.e outr'$l.p>

ock-lquotelass="spip">Lep>3)trong>EcHothèse, 1a>rong>Ecbsp;:8 Babyloniens rennaissancitaie coémaoqme de juPythone avmle des, v. a ce r , -ci.i>

iock-lquote

ExJee précinu&dsas quelil al’artntit lemontré

On$space {11cmi>quLsecarr des rinxothéne (It legalit sn séme de psecarr dsu deux potres entés, a>i>bsp;: $ \a2}\]<;=\;b2}\]<;+\;c2}$ock-lquotelass="spip">Lep>3)trong>EcHothèse, 2a>rong>Ecbsp;: $\s utantit leouvéeceaestquangs secectangs de sistés, tiètrsEt Pt c-tre ins toujo plntisoauatns locx de t l’éxothéne (Itl’une s côtés, nt des

iock-lquote

ExSl’on coadmel’éxothèse, 1,n séenduiauissos='$z rson dnlettbsp;:

class='spip_document_101207spip_documents inip_documents_center'>

PNJPE- 8.9&1160;ko

\[3+fig1\3

Certe d&vntesnt dermet padeeouvéececile nt à estquangs secectangs de sistés, tiètrsuis eelill y suffilee si $2n+1$i ts<\urecarr desune tiètri $k$/p>

La

Cer ailleurs, cesme dei $(2n+1)$est une ombre $\alpa, m nombre $\;1,k\,$ese , êmes edts<\tre intlpa, bsp;: $ \k\,=r,3,5,7,9,...

Onqcpeut p'$lv, barle&acecesque nostés,one$inxagones etr exemple unABetr exe folne inbrée, alogue à no ACB,ass deoché u cercle ,nges e detquangs secectangs deAMCItlBMCC(fig 4)p>

\[3+fig1\4$/p>

OnLesluemrre d&#veurs nud $\;2\k$ snduit se àamxrquat sioiuangs seivante s(fig 5)p>

Ce3+fig1\5$/p>

OnRee à dlisissle &qllest le suss deoché u cetquangs eAMCIs a plfig 4 une fois len dirtés,ohoriztainl rsntss,o sn sngueur de ujegnt leAMnbsp;:< ne prfts<\gure de laute pl’il afattgitu cetquangs euvg eAMCat,e sistés, (7, 24, 25) (fig 6

Dapan class='spip_document_101607spip_documents spip_documents_lenter'> 9a>

10a>11a>12a>13a>14a>

OnIafiste eae deterprétation delégme ant à mérentes6rs nombres etdiquane /onulablette dbsp;:ibesbsp;rue on,(fig 8 b)le praors ebsp;: $ \(rac{2297}}7}})2}\]-1=(rac{1{65}}7}})2}\] p2\0,815607. p>

Onest leen le même pchoseplntisocne d&fs av pemprisere mux prorquoi ce Babyloniens rednemenles i>chiarr dtd $\deÀproteseplepourquoi ces inneednemenlee la Bangueur ds s ’éxothéne (Itl’un rxaumirtés,bsp;: ds ce setquangs ,n sngueur de uois vime dertés,out 1.ujours de1Il det fanc dautese à deasunonnemer Ce se d&verprétation det un scl desune des matthodes dopose es paroul’aiélordeion prs ablette doumtisoseuriosertunici.i>

Onq#i doiosertunur pluse inuchse c’est-oelil alantit leldefre sbsp;!).bs utantit le onaleurs, efre sibn ress dee nomle djéser 2éxothèse, 2,uis eeles ce se d&blett,xaumi doiuangs (34, 5)ossibde ese hypothéne (Itludirtés,otiètrsempnresnufs

ExAc l&#aéthode poexse es ers deht 1,ous didvs arvux’il afnestste uns a\detquangs e sistés, tiètrsu t l’éxothéne (Itle s côtés, nerannedospontionment legali d. pa22t qu21Lp>

LaIafiste eae deenduiaurson daroulaelle es Babyloniens renavurqntit lesceblettnt àae dire avnie pyoort du$rac{1}2{7}21}$,, ndon daventrs 2,rac{22}{36}{7$ ,ue ce no ts<\exprimètatittnt àonombn CeEe escparondo sn ses

class="spip">Lesaoes

LDnos churs dlur calculer le aeleur dmérique àcimale de une deactionna,ous diefftiorna t plisiblour exemple :A mabylone 1, ur sl ncculerépdetrs ctionna tuslleless&s opribe Aseschédtit le mérentrnt cIls utproxentit les calœ su dempnrtat ie :8 yesgier (sn base 60

LaVoi laolnstde jnuéier bsp;:

1)Opemarques nimmédiatent u,s ce se d&lnstdque les Bambres et7t 1.<1ensont des toyesgier (s, ndononaleurs, e 21 $\22. p class='autoNuib/> $\aculerce bdtd $\ds ce sectexte q,s pris dee no pyoort du$rac{1}2{7}21} 2\ttimes\frac{1}{603}imes\frac{1}{607

DaSnale s ari assage dee lesonage due Baventrs rs noxaumsombres en sètrsoyesgier (se#estatiipas abliter au cx\aculerfruslle.l detn tatiipadmême $\ds ce psecaulerfr171; las. a cnbsp;», comme la viblette d&Pltlpn t,poùn peut dmarques ree la Bangueur ds s côtés, ilisée, dans l ncculerépdeotese nt detcisesgier (s.h3

Queloix’il afies ts<,ous didvs arl un chendui guments vmleint deepeftvr déune yoort du derimètre dsc mérentesud $\;2ac{1}P_{6}}{P_{12}}2rac{1}}{36}{7$ Lp>

class="spip">Lesaofiprs aomenade ph3>

LAès decqe permte dcimpivtrtu,rès ancgeslett,jaideer aife ,shuarderuns lmaibnblihèsee nos (snemee, avis ens / ténantlsi beévnes euneliser 6 oiuangs (7, 24, 25) ur sdtextrnut las e d<rsaae appnti<\dtej unté inémer En enntiret djrecem aiinos ca. a ceaut lecteur / i peur sraicomeignale jrae suitces Mais avjnuloiaisant dnme $\tneanr les elœ sntl CeEpeprntrs padmêaentrrentes lVaes&nn[ href="#coBre"lass='spip_doancre'>7a>

LaEe esfiipas ie ensune tiseme, rouvée n 193636tr ex éticmaogue àac{nçaisRobtrte laMece cnem,ars en uisquiètrin171;6;1épdeaouies et fftiore,eabucisaVle deRoy, ded $Se (I(tual lment unuché ed $Ilam,o baIran,’est-à-dire àtrron 16200 kma l’ust sdmbylone 1).eDs ce clyoort du deaouies et[ href="#coMec"lass='spip_doancre'>15a>

LaEe einneefuntes7trs cit aa plrs entqaire d eti on 193650plr exMe deMgumeet aa Ruacun,n uiMu es e uiLvragequi nefileapeletr Pr EvtrteMgui retuins,x’usUniveront deshucmstdrdam,our catneverprétat palsectent"uathématique p. Ee einneefuntes7pubcae,eabi on 193661 [ href="#coBru 2"lass='spip_doancre'>16a>17a>18a>19a>

Onqenblettes d $Se (,mériqos . o> $1le2, 3…. A, B, C ..i>

La prblette d&o> $Ii>16a>20a>

OnLesltqs leremrre d&#ltrsaae asemhématique psavs op171; laltrsaae aselesonannaaubsp;», coou suh171; rapduibsp;», codnemenlees Bambres et 5 , 20t 1.<0qui nent deterprétat usospontionment lemme la aider s&s oamètre ei le clyoy de one d eeleepefctionne . dsi tnérimètre d,jéser inre ingalit sn1bsp;:

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Ce3+fig1\9uad \;(d'rès avE.Rob tn[13] )

13a> reAc l&s chtreaonna tdernes &#:p class='autoNuib/>

LaTt lecqcpet snthrentes,nitre que lesonaroximation

LaDautres e#lne i diquant unpdeveurs nualogue etur sl npmi,a e trs ju le poad du ercle ,n sngueur de ex éticnncernan inétt unujours dejéser ieegalite sn1mp>

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OnEtn#an ne in3;bsp;?171; moltrsaae au cecye ,n(rcle etss deoarfiip)bsp;» dbsp;: $\atrsaae aselesonannaaui>16a>20a>

PNG - 7.6#160;ko

\[3+fig1\;0$/p>

OnEres ie cier (et chasif coe foconse esr cis uttur sntn,l n’esyst leabsumene des toes

LaDs ce[ href="#coBru 4"lass='spip_doancre'>18a>

LaJee prnne ls ablsedqutiirépespsecaulerfLesaider i moéier out cimones tt-oès avalplea llculer let qut dgalite sn12Cela lqusuhendui t matns loaée, sntenu&ilElle esnesnti l pllprsenoluons eséquivions dealtat u ssuhendui deg, et si \’une d&troximation

LaEMainbsp;:

On\[i +rac{1}{7}43.rac{1}12+1336}}=rac{1}25}}8}\3frac{1}{8}$.

Cerest leen le résultat auesrim d,lis av peut dé uantns locie siois vamarques pbsp; bp>

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6 oTMes deservnnf_d l(A me Cnémart chimède t dmeps.es"171;&idtgpmèx qe=8 aider némlbspD}2}\{ href=" x ,la;&mxt intrps.ess deUDimtmt;='sp{u#coTMSlspetbpeo216iUniver12}nrocoh1;&nbs (1>00 ètra;&mxt i, ste p), mAflu0;çer , 18documeiguo i lnn e156 -t e, "lalitu5+ l pllprsenueses/,eA eentincart l96aaencarte5rs .P li,iirsy.CrxisiEe'$,t plisit1A A.ls 6 oTMes desxtnsot60}p2\lnouors hest-laxoxdtesseie sdeunten] Mec2,nnuphqmp; 3es e4ex dmgT>)Roréfini snoanures )R,otaene ps,otqs de se di$ nes tusleaimer scpouio&lnstѴ2ds eѴ3 cnbsp;&<{rtqi> T7renombr. 162-150-138 — 146-156-166 ----162 (x20+10&nnu-s s) ix#ln=18x60oa et36x60< ree so.onpdes des deS><{mAuotneti450ne .u d.uciss;etymbn82es decb$abnre tirefdesebb B8uleses/u&e2\lrpecnem,s 6nfiEdivions,6avmp> Mec(t oMec0o i sitc r1sr scv 2tric3 aapl ent , T)oid--s Bametulse²/918nf 2/34e(u idet$nnf /2$ nenf /2x 1866… ,ehaegbme;e0,8d

e…des <16as 6ngT>²/1836nf 2/17e(u idet$nenf /$ nenf / 1866…des <0s avod< des 6avmp> Mecet aorstrsa f="nnf_d le a6mmdth='& marédbres avod<8ule6avmp> M } ar5o2 (1,4p&lnstbsp;42135st/ t tricirllebisi , Ala"nnf_d le anmmdth='& aPn),qmp; 3es e(spus moreetscdsu ) g eivh,nereu).uxa 2}t 13>nmmdth='& aP2n+\te dv'dxqut 13½enomb dciss='spnalueuta;d cum9=5+11>ese rnulEu edx"l'$ltnsot60}p2\lnt detituus0e&nL,eutho i lnn42135stou d avmarx evh,neraapl nrelat0 qrx evnwidti,36#187;, /6=6#187;, n8, uecAe kmmdth='& aapl ng<171;otde1I>AtPlc.tg50es 6avmp> Mectlisies. [8 ub -tars;40s -t , q,os des 18néeLaDl, s/u&e2\lr6avmp> Mec4/7nnf_d -t e, orieivaà171;&d avle0,12a; mpd<\treuslkiqs: Eitc r12opx e oylfiédrelmou p6b81p> Mecpf_da187;,v2d&b[19]g ein ui>soid--s Bamet a1)-Plc.t Fin3ru (mses/u,t oMec0o i T3u (mb√2 450 iElou uhet oMec0o i T6b81p18+900 iElo. 450   =6ciacheinl amseorelmouufehaeu)rs ci -t ee aévr#36Mtlisi (ee aaiçer d6 6 dgalit 1e(u idt iE&s des isib ciau avod16a½ex i0igridr450 138tq+> <+nt}e e jévnes 12LaDl,le sl)s, /s des dua"nnf_d letars;4,f /$ ne( 2}\ }ls; tadlaspeo 9nPa36x36,t l96aaend}\ elpe)amses her 21/t, elagoAe coou x-ha bnrndo√2mbJodte dtesnsaru 19396avmp> {7répôdp maréiisi la ses/u&e2\lrpecnem,tTit 13}dtg Pt><{T7r+> r+>6r+>62finin unenr2sn usosdepucd&lnstcos4oumirs iexeqR x aoedsidr R²/Baoe900/(30.15/o )= nc1dr42i lnn42135xtnmajevnMarduk1in8.bespa"l dbsjpocrace, alep;ithmlste e2mbJodte dtesnthml(36x36eu42A i ruti45(sar.ru.ti)2mbJodte dtesree so.onpdeTI aly deeli{u#coTes deOnout noafinin unenr2sn usosdet60}p m,tTe0, T6bses/u&e2\lrh; 146-15 1836uidxi0igr+-t Tdrisar5oscus l15=6ciacher tars;40tlisi (ee ale0er de&s des is,1 -t e, ate dtesnjqn mtb -tars;40s utxitte dtesnsaru 193,c0d2 {7répôdp marédDdpnvillne √ b[9]6 sP opo1in8remv

rEnsaaeuIc60}p2\eivAuangz- ielaoepitust cfspontnbueb$hédsymb156adu15t ree e afs avod"laliv171;; tad6ngT=moui +\fr96avmp> {7répôdp maréCeon 12pocr5eeest a. blpip_jsmlc.tgl éeapelmo-aleur)s deLe jévnpchimèduidriianhimèdulerc0lUŠ, IGIrart,e -t e, ciT.ap.uavod1)$dos4oumnoade 3fau d.e 30inl amseores deOno4qoussi9]6 larirte d pld I (l5 , cirme pconcu c7,U1ese2ub$si l pae sh5e/2. +10&nnucv 2"laisiee(236=o2ainl ,vnwidti,j eie,eihappvi 1ech iins pnf u tcefelrngeeniurs (1 ush=60nnij eie,nt , cp>(citre quer nu#coTMS"l iins pnf_ > .Os 2n/u),4 1sua> L21x(60)=pocr5eeeulese >yt li ee\0e -t e, aleBaoeeeuleR/_doapdes 7ueneIeaihkteb B8hk-Taider ur quSech iins pnf2txafe/[xafe +1]finin unenr2sn usosdepuces deOno d 9#187;, n8nbsp; =aoedsieu45hs> -t $ neaDl, T>bb e 8ulese >LaDl,ètn (x2iis/4502, IGIrart,e -t e, cides 7ueneuSech i22es ttxei pnf(2.èt) / (ètn+1 pnf7/6i lnn e1npdes debsp;uo8reeLpuso.onpvnwidti, Lteent ent , au avédiades 6avmp> Meccltvh,ntoi-,cadava oli60}p2mtsgi,t600 spa"l25p bsbsjpocrace, alep;ithmlste et e,p; 3u 4oumnoad8ulesemoye$dos4oumi t ix#s deOno5t1DD ,oi ai60}p2mtsgieaxpcnrap rrauelq,oyoyo ar5osultt1DDounem, 1pa171n156 "171erd pld .cnrap(mle cdtn3-naideul e'$eprdeb'spip_dotuust, ccul: Meclass="s laloarciT1dpotqi> 12.12u (2cv.s0ovac2,nnupJodte dtesree so.onpdevrage ,uut cfem,s iteie√d,;2\5$\>aya5lascn p( 50 cm)e d pl"lahelmo,ors{mAuotn scv 2"laent , et oMec0o i T6prorquo"lp 6 oTMes dvitmbt.u12x12x10ns0o{u#co0e d,n uecAete dbszIKUlaxoxdtesseie sdeunten]< d, t IKU .Oseo+1etaxBUR,d=6ciache af8 IKU ussi9 , 18documeie ciau Dimrqntx . O\0e -t cer mAuuau Dy de&s des 18&heuraxDy de&s des 10,e ciau ée l ntioecuiidet() CSAR2o5t1DD li{u#coTds,iteoètl dsic3 qe=8 d lp>>aya5lascn …)ad-s),ois60}rees/ul I

6 Marduk1ocumeieAMAR-UTU in3f87;-tisle oCieie) ddes $rois60}2ds e, au lrqn,10+10&nnucvAvdoapdte e(shiddu)lnehe af8 es 10,e eeme=8 te5rs .Pss=R²) SlePgigub √2 snrs ules . De06ns8ns82opx e oyl a6x10ns0o=600oussi la ses/u&e2\lrs desxoae>Kaloa<{se) Cie) nu-s s) ix#ln=18x60oa et3leesSael, -t e, agstrdeb'si/ Coduphqmp;no(√3-1)/e, ie de de 3upocr5e atlisi (ee aaiçer u dls; leto2uidx60rrp0e d,n),UOn2ub$,ojefeopnotelmoui +\froCUSH-haimèd=)x i lv)letqnuph,sp;imèduvnes 12e nu#coTMS"l2aider pdCnémarg6aaend}\doan1esp;&las -t lc3)tigrol"lao.onpdep; =aoedsi& aproed

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6 oTMes des des OnOn\07:/><5sont44:11}{ip_dLaévgs 1)$dos4oum, hsslep;it#s deOnoVè6u(p; =aoedsieu22es ttxei pabi, ,oi eu15uedrs isaoedsieu45hs> -t s iV2iissi seores deOno4qo(s des isix 2}\ })letqp082(3iacherr i$4tle -t e, ap1/0p>>aya5lascn (saoedsi9#187;, ),s b156 >< d,pastsi , mDl,0}p2mtsgieTi-a2mepex .e 30veux po1etl]6 oTMes _ n àonan?ses/u&e2pecnem,uhemp;nappulymb IIp>6 t oMec0o i >6 oTMese un dbsztainl amree so.onpdeTI es deOn-TI\s,it <:2cvm0/bpeo2cre'vm0jnuseevaoub0 kma La $Lrs > re'vDunae 3faoab>8 ubl>8 uir5e +aeuoi Iecvm0 iElo. cvm0-80=bpeoÀprl,Pered&fa abnrngaiçimrqntriRt, LIM, ubs deMphodesct cfee, l III sd nsuneent dtois60}IGIprorquoi#coTds e, c3)tigriei421>-mobr etensrenombr.e jnuseevaoub0 kma La $B &2,ûr60}p2\eivvistb0xrn un&ePgiraDlapelmesnsn80p>>aya?81, IdMeamc4$8ueure ?aid-s),ir5e +adet$Rnons.tucmsn usoa;&n(5^2+2ouciroprorK.onxrn it;eiobbsjpocrace, alep;ithmlste e62bis}p2\124 bis),rjpocgstrdeb'sntimètrevillieuidriisi,_dt$Rno50+40+oae>KaloareuraxDimrqntx atlisi nan?ses ier ( ers revgapenrtodtio:&nbe iElo.i lnn e1r'$liqlto

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