Rediffusion d’un article publié en avril 2020

Puissances négatives

Piste rouge Le 16 novembre 2020  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires

Ce texte introduit les puissances, positives ou négatives, des nombres réels. Il s’agit d’un texte à l’usage des lycéens motivés. D’autres textes sur le même thème vont paraitre ces jours-ci. Bonne lecture !

Une version pdf est disponible en post-scriptum. N’hésitez pas à poser vos questions en commentaires.
[Rediffusion d’un article publié en avril 2020]

Du macroscopique au microscopique

Si $n$ est un entier strictement positif, la notation $10^n$ désigne le produit [1]
\[ \underbrace{10\times 10 \times \cdots \times 10}_{n \; termes}=1 \underbrace{000\cdots 0}_{n \; {\text{zéros}}}. \]
Lorsque $n$ croît, la suite $10^n$ croît extrêmement vite. Les puissances de $10$ sont donc utilisées
pour des ordres de grandeur correspondant souvent à des données gigantesques. Par exemple, la constante d’Avogadro $N_A$ vaut à peu
près $6\times10^{23}$, ce qui signifie qu’il y a environ $6\times 10^{23}$ atomes dans 12 grammes de carbone [2] ; la définition exacte de ce nombre a changé récemment : elle est maintenant fixée, conventionnellement, à la valeur
 [3]
\[ N_A= 6.022 140 76 \times 10^{23}. \]

D’autres exemples sont fournis par la vitesse de la lumière, environ $3\times 10^8 $ mètres par seconde, ou par le nombre
de pages web, environ $1,7 \times 10^9$ pages en 2019, ou le volume de la Terre, environ $10^{24}$ litres. Si vous désirez vous familiariser avec des nombres encore plus grands,
n’hésitez pas à visionner
la vidéo de Mickaël Launay intitulée « Des nombres grands, TRÈS grands »
(voir sur sa chaine).

Lorsque les objets scrutés sont microscopiques, on utilise des puissances négatives : un millimètre correspond à $10^{-3}$ mètre,
c’est la graduation la plus fine d’une règle ; le diamètre d’un atome est de l’ordre du dixième de nanomètre, soit $10^{-10}$ mètre.
La notation $10^{-n}$ est similaire à la notation $10^n$,
mais en remplaçant $10$ par son inverse $1/10$ :
\[ 10^{-1} = 1/10 \, = \, 0.1, \]
\[ 10^{-2} = (1/10) \times (1/10) \, = \, 0.01, \]
et ainsi de suite.
Donc $10^{-n}$ est égal à $(1/10)^n$ et c’est l’inverse de $10^{n}$ : $10^{-n}= 1/ (10^{n})=(1/10)^n$ ; en notation décimale, $10^{-n}$ est égal à
$0.0...01$ avec $n$ zéros (donc $n-1$ zéros entre la virgule et le $1$ [4]).
Avec cette nouvelle notation, nous allons voir que la propriété
de multiplicativité
\[ 10^{n+m}=10^{n}\times 10^{m}, \]
est satisfaite pour n’importe quelle paire d’entiers relatifs, quels que soient leurs signes.

Une définition forcée ?

Au lieu de nous attarder sur les puissances de $10$, considérons celles de n’importe quel nombre $a$ différent de zéro.
Et changeons légèrement de point de vue.

Nous allons réfléchir de façon abstraite aux définitions possibles des puissances $a^n$ (pour $n$ entier relatif) lorsque,
d’entrée de jeu, on souhaite imposer les deux contraintes suivantes :

  • pour $n=1$, nous voulons $a^1=a$ ;
  • pour toute paire d’entiers $n$ et $m$, nous voulons $a^{n+m}=a^n\times a^m$.

La première contrainte signifie juste que l’on souhaite vraiment parler des puissances de $a$ : il s’agit bien de
démarrer avec $a$ lorsque $n=1$, et pas avec un autre nombre. La seconde stipule que les $a^n$ doivent transformer la somme $n+m$ en le
produit $a^{n}\times a^m$. Notez qu’on parle ici de deux contraintes, mais la seconde résume en fait tout un ensemble de règles, puisqu’elle impose
une relation pour toute paire d’entiers $n$ et $m$, de signes quelconques.

Les définitions déjà vues, ou connues, sont donc temporairement oubliées ; au lieu de définir a priori les puissances
$a^n$ et de vérifier ensuite que la relation $a^{n+m}=a^n\times a^m$ est satisfaite, nous partons de cette relation et étudions ce qu’elle force, où elle mène nécessairement.

En fait, ces contraintes ne laissent aucune latitude, aucun choix, quant à la définition des termes $a^n$.
Par exemple, $a^2$ doit être égal à $a^1\times a^1$ en appliquant la seconde règle pour $n=1$, $m=1$, et $n+m=2$ ;
avec la première règle on voit donc que $a^2 = a\times a$. Puis $a^3=a^1\times a^2=a\times (a\times a)$,
$a^4= a\times a^3= a\times (a\times a\times a)= a\times a\times a\times a$,
et ainsi de suite. Ce raisonnement de proche en proche (le terme technique est « par récurrence ») montre que les deux contraintes édictées ci-dessus entrainent
\[ a^n=\underbrace{a\times a \times \cdots \times a}_{n\; termes} \]
pour tout $n>0$. C’est la définition déjà employée dans le premier paragraphe pour $a=10$.

Qu’impose la contrainte $a^{n+m}=a^n\times a^m$ lorsque $n=1$ et $m=0$ ? Puisque $1+0=1$,
cela donne $a^1=a^1\times a^0$ et comme $a^1=a$ n’est pas nul (par hypothèse), on voit en simplifiant par $a$ que $a^0$ doit être
égal à $1$. Nous conviendrons donc que
\[ a^0=1 \]
pour tout $a\neq 0$. Les règles que nous avons imposées conduisent ainsi à une définition nouvelle, que nous n’avions pas
utilisée jusqu’à présent. Si vous êtes complètement perdu par ce type de raisonnement, il est temps de s’octroyer une petite pause : je vous suggère Raymond Devos.

Lorsque $n$ est négatif et que l’on choisit $m=-n$, la relation $a^{n+m}=a^n\times a^m$ impose $a^0=a^{n-n}=a^{n}\times a^{-n}$ ; ici, le terme
$a^{-n}$ est déjà défini car $-n=\vert n \vert$ est positif.
Puisque nous avons défini $a^0=1$, nous sommes conduits à $a^{n}\times a^{\vert n\vert}=1$,
et comme $a\neq 0$ nous obtenons
\[ a^{n} =\frac{1}{a^{\vert n\vert}} =\frac{1}{a^{-n}} \]
si $n$ est un entier négatif ; formule que l’on peut réécrire sous la forme
\[ a^{-m}=\frac{1}{a^{m}} \]
pour tout entier positif $m$.
Par exemple $8^{-5}=\frac{1}{8^5},$ pour $a=8$ et $m=5$, ou encore $10^{-3}=\frac{1}{10^3}=0,001$ ; on retrouve l’usage courant.

Résumons. Une fois imposées les contraintes $a^1=a$ et
$a^{n+m}=a^n \times a^m$ pour toute paire d’entiers $(n,m)$, alors
nous sommes nécessairement menés à la définition suivante

  1. Exposants positifs.— $ $ $a^n$ est égal à $a\times a \times \cdots \times a$ ($n$ termes égaux à $a$) lorsque $n>0$,
  2. Exposant nul.— $\quad $ $ $ $a^0=1$ (c’est le cas $n=0$),
  3. Exposants négatifs.— $ $ $a^{-n}=1/(a^{n})=(1/a)^{n}$ lorsque $n>0$.

Les puissances d’un nombre réel $a$ distinct de zéro sont donc définies de cette manière.
Ce choix est justifié simultanément par l’exemple classique de $10^{-n}$ et par notre volonté d’imposer $a^{n+m}=a^n\times a^m$.

Ce raisonnement que nous venons de présenter dans le cadre des puissances d’un nombre réel est
très fréquent en mathématique : il s’agit de déterminer la définition à laquelle conduit nécessairement une liste de contraintes,
de propriétés, que l’on souhaite imposer à un objet mathématique (ici les puissances de $a$).

Addition / multiplication

Avec la définition fournie ci-dessus (voir les points (1), (2) et (3) encadrés), nous allons obtenir le théorème suivant.

Théorème.— Les puissances vérifient
\[ a^{m+n}=a^m\times a^n, \quad (a^m)^n=a^{mn} \; {\text{ et }} \; a^n\times b^n=(a\times b)^n, \]
ceci pour toute paire d’entiers relatifs $m$ et $n$ et toute paire de nombres $a$ et $b$ non nuls.

Attention, il reste à démontrer ce théorème, y compris $a^{m+n}=a^m\times a^n$. Ceci correspond à la seconde contrainte que nous nous étions imposée, contrainte qui nous a conduit à la
définition ci-dessus par l’analyse de certains cas particuliers, par exemple le cas $m=-n$, et a donc montré que cette définition
était nécessaire. Il reste à voir que cette définition permet bien a posteriori d’établir la règle voulue dans tous les cas de figure.

Pour bien comprendre l’enjeu, décrivons un autre exemple de règles et définitions forcées. Six personnes désignées par les
lettres A, B, C, D, E et F sont assises dans cet ordre autour d’une table ronde ; ainsi, B est assise à droite de A et à gauche de C, et F est assise entre E et A.
On désire donner une petite somme d’argent à chacune d’entre elles en respectant les deux règles suivantes :

  • la personne A reçoit exactement une pièce ;
  • si une personne est assise à la droite d’une autre, elle reçoit une pièce de plus que cette dernière.

Ces deux règles forcent les choix suivants : puisque A reçoit une pièce (première règle) et que B est assise à droite de A,
alors B reçoit deux pièces (seconde règle). Puis, C étant la voisine de droite de B, elle reçoit trois pièces ; puis D reçoit quatre pièces, E en reçoit cinq et F en reçoit six. Voilà ce à quoi nous sommes nécessairement conduits !
Mais ces choix nécessaires contredisent finalement la seconde règle : A étant assise à droite de F devrait recevoir sept pièces, alors
qu’une seule pièce lui est attribuée. Ici, le raisonnement montre que les deux règles que nous voulions imposer sont contradictoires.

Après ce préambule, nous pouvons maintenant démontrer le théorème. Nous n’aborderons que la première propriété énoncée, et vous encourageons à établir les deux autres.

Esquisse de démonstration du théorème pour $a^{m+n}=a^m\times a^n$

Plusieurs cas peuvent être distingués. Lorsque $m=0$, alors $m+n=n$ et $a^m=1$ donc
les termes de gauche et de droite de l’équation $ a^{m+n}=a^m\times a^n, $ sont égaux à $a^n$ ; de même si $n=0$, les deux termes valent $a^m$.

Si $m$ et $n$ sont positifs, les deux termes sont le résultat de la même opération, à savoir la multiplication de
$m+n$ copies de $a$ [5].

Lorsque $m$ est positif et $n$ est négatif, des simplifications ont lieu. Traitons par exemple
le cas $m>\vert n\vert$, en notant $\ell$ la différence, de sorte que $m=\ell+\vert n\vert $ ; alors $a^{m}=a^\ell\times a^{\vert n\vert }$ (ce que nous avons déjà
montré car $\vert n\vert $ et $\ell$ sont positifs), et donc $a^m\times a^n = a^\ell\times (a^{\vert n\vert }\times a^n)$ mais le produit entre parenthèse
est égal à $1$ par définition de $a^n$ lorsque $n$ est négatif.

Les cas restants peuvent être analysés de manière similaire, et nous encourageons la lectrice (ou le lecteur) à les traiter elle-même (ou lui-même) : il s’agit du cas $n> \vert m\vert$ avec $m$ négatif, et du cas où $m$ et $n$ sont tous deux négatifs.

Post-scriptum :

L’auteur et la rédaction d’Images des Mathématiques remercient les relecteurs Corentin Bayette, Mario et Sébastien Peronno pour leur relecture et leurs remarques judicieuses.

Ceux qui veulent une version pdf peuvent imprimer cette page ou télécharger le fichier suivant :

PDF - 190.7 ko
Article édité par Philippe Colliard

Notes

[1Vous pouvez éventuellement vous reporter au premier article de cette série si vous l’avez raté.

[2Plus précisément $6022140760000000000000000$ atomes...

[3La constante d’Avogadro a une unité qui n’est pas mentionnée ici. Il s’agit d’une unité sans dimension, qui est l’inverse de la mole ; si on se donne $3.5$ moles d’un certain type d’objets, par exemple d’atomes de plomb, c’est qu’il y a \[(3.5)\times N_A\simeq 21 \times 10^{23}\] objets dans l’ensemble considéré.

[4Attention, j’utilise la notation $3.25$ pour désigner « $3$ virgule $25$ », car je trouve cette notation plus lisible.

[5Voir le texte Puissances pour plus de détails sur cette étape.

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «Puissances négatives» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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