Rediffusion d’un article publié en avril 2020

Puissances

Piste rouge Le 19 mai 2020  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires

Ce texte introduit la définition de $2^n$ et, plus généralement, de $a^n$. Il s’agit d’un texte à l’usage des lycéens, ou éventuellement des élèves de classe de troisième, mais il est sans doute difficile à ce niveau. D’autres textes sur le même thème vont suivre. Bonne lecture !

Les puissances de $2$

Si l’on multiplie $2$ par lui même, on obtient $4$. Et si l’on recommence on obtient $2\times 4= 8$, puis $2\times 8=16$. La séquence des nombres obtenus en répétant cette
opération commence par
\[ 2,\, 4,\, 8, \,16, \, 32, \, 64, \, 128, \, 256, \, 512, \, 1024, \, 2048, \,4096,\, 8192,\; {\text{etc}}. \]
C’est ce qu’on appelle la suite des puissances de $2$.
Cette suite de nombres entiers apparait fréquemment dans la vie courante, même si c’est souvent de manière cachée.
Prenons l’exemple du code Morse [1] : deux signaux élémentaires sont utilisés, le tiret $-$ et le point $\cdot$.
À la première impulsion, seuls deux choix sont offerts, le point
ou le tiret ; avec deux impulsions, le nombre de possibilités est doublé puisqu’on peut ajouter un point ou un tiret, au choix, après
le premier signal transmis : il y a donc quatre mots possibles pour un signal de deux impulsions
\[ {-}{-} , \; - \cdot,\; \cdot -, \; \cdot \cdot \]
Avec trois impulsions, huit séries sont disponibles, puis seize avec quatre impulsions, etc. Les puissances de $2$ permettent donc de compter les mots du code Morse qu’il est possible d’écrire en fonction du nombre d’impulsions [2].

Au lieu des points et des tirets, on peut utiliser des $0$ et des $1$ ; c’est ce qui est employé pour coder une information en binaire.
Les informaticiens appellent bit un signal unique constitué d’un $0$ ou d’un $1$ (ou de l’alternative Vrai / Faux)
et octet une suite de huit bits, c’est-à-dire une suite de huit signaux égaux à $0$ ou $1$ : un octet offre donc $2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2= 256$
possibilités. Deux octets successifs offrent \[256\times 256 = 2\times 2 \times 2\times 2 \times2\times 2 \times2\times 2 \times2\times 2 \times2\times 2 \times2\times 2 \times2\times 2 =65536\]
séries possibles de seize bits.

Les puissances de $10$

Si $2$ est remplacé par $10$, la suite obtenue commence par $10$, $10\times 10=100$, $10\times 10\times 10=1000$, etc.
Cette suite de nombres est si fréquente que

  • certains termes ont une appellation spécifique (centaine, millier, million) ;
  • la notation mathématique $10^n$ est maintenant d’usage courant : $10^3$ correspond à $10\times 10\times 10=1000$,
    $10^6$ à un million, $10^9$ à un milliard, etc.

Et lorsqu’on parle d’un disque dur d’un tera-octet, on mélange implicitement les deux gammes précédentes : tera réfère
à $10^{12}$, soit mille milliards ; un tera-octet désigne la capacité de stockage, ou d’information, contenue dans une
suite de mille milliards d’octets, soit au total mille milliards de séquences de huit nombres égaux à $0$ ou $1$.

Les puissances d’un nombre

La notation $10^n$ indique le nombre obtenu en multipliant $10$ par lui-même $n-1$ fois de suite ; par exemple, $10^2$
est obtenu en multiplicant $10$ avec lui même $1$ fois : il y a une seule multiplication, de deux termes, et ces deux termes
sont égaux à $10$. Dit autrement, $10^n$ s’obtient en partant du nombre $1$ et en le multipliant $n$ fois de suite par $10$.

Cette notation peut être
employée pour tous les nombres. Si $n$ est un nombre entier strictement positif (par exemple $n=7$), et $a$ est n’importe quel nombre réel
(par exemple $a=2$, ou $3.2$, ou le nombre $-\pi$ [3]), nous noterons $a^n$ le résultat de l’opération qui consiste à multiplier entre elles $n$ copies
du nombre $a$ :
\[ a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots \times a}_{n\; {\text{fois le terme}}\; a \; {\text{et}}\, (n-1) \; {\text{multiplications}}} \]
On lit cette opération $a$ puissance $n$, et l’on parle donc de la suite des puissances de $a$. Dans le produit
$a^n$, l’entier $n$ s’appelle la puissance ou encore l’exposant.

L’aire d’un carré de côté $a$ est égale à $a\times a=a^2$ ; la deuxième puissance $a^2$ est donc communément appelée carré de $a$.
De même, $a^3$ peut-être lu $a$ puissance $3$ ou $a$ cube, au choix, car le volume d’un cube de côté $a$ est égal à $a^3$.

Ainsi, mille est le cube de $10$, et $1024$ est la dixième puissance de $2$.
Dans l’exemple de $a=3.2$ les premières puissances sont $3.2$, $(3.2)^2=10.24$, $(3.2)^3=32.768$, etc.

Nous avons défini $a^n$ directement en disant que c’est le résultat obtenu en multipliant $a$ par lui-même $n-1$ fois.
Nous aurions pu définir aussi $a^n$ de proche en proche en disant que $a^1=a$ puis, pour $n\geq 2$, que $a^{n}$ s’obtient en multipliant par $a$
le terme précédent de la suite, c’est-à-dire $a^{n}=a\times a^{n-1}$ [4]. Les deux points de vue sont équivalents car pour calculer le produit $a^n=a \times a \times \cdots \times a$ on peut effectuer le produit pas à pas en commençant par $a$, puis en le multipliant par $a$ successivement $n-1$ fois. [5]

De l’addition à la multiplication

Nous allons établir quelques propriétés importantes satisfaites par $a^n$ qui, quand on les connait,
permettent une manipulation plus efficace des puissances.

Théorème.— Les puissances d’un nombre réel $a$ vérifient
$a^{m+n}=a^m\times a^n,$ ceci pour toute paire de nombres entiers $m$ et $n$ strictement positifs.

Cette propriété signifie que les
puissances successives d’un nombre $a$ transforment l’addition (de $n$ avec $m$) en la multiplication (de $a^n$ avec $a^m$).
Par exemple, avec $a=3$, $n=3$ et $m=7$, la relation obtenue est $3^{10}= 3^{3+7}=3^3\times 3^7$.

Démonstration.— Par définition, $a^{n}$ est égal au produit de $n$ copies du nombre $a$. Le produit de $a^m$
par $a^n$ est donc donné par la multiplication suivante :
\[ a^m\times a^n = (\underbrace{a\times a \times \cdots \times a}_{m \; termes}) \times (\underbrace{a\times a \times \cdots \times a}_{n\; termes}). \]
Le terme de droite comporte $m+n$ copies du nombre $a$, donc
\[ a^m\times a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots \times a}_{m+n \; termes} \]
\[ = a^{m+n} \]
C’est l’égalité cherchée. $\square$

Théorème.— Si $n$ est un entier positif alors
$ a^{n}\times b^{n}=(a\times b)^n $
pour tous nombres réels $a$ et $b$.

Ainsi, avec $a=7$, $b=5$ et $n=4$ nous obtenons
\[ 7^4\times 5^4 = (7\times 5)^4 = (35)^4 \]
(en développant les puissances, il vient $2401\times 625 = 1500625$). [6]

Démonstration.—
Ceci résulte des égalités suivantes
\[ a^n \times b^n = (\underbrace{a\times a \times \cdots \times a}_{n \; termes}) \times (\underbrace{b\times b \times \cdots \times b}_{n\; termes}) \]
\[ = (\underbrace{(a\times b) \times (a\times b) \times \cdots \times (a\times b)}_{n \; termes}), \]
que l’on obtient en changeant l’ordre des multiplications. $\square$

Post-scriptum :

L’auteur et la rédaction d’Images des Mathématiques remercient les relecteurs Aurélien Alvarez, Mario, Corentin Bayette et Sébastien Peronno pour leur relecture rapide et attentive.

Article édité par Philippe Colliard

Notes

[1Voir la page wikipedia associée,

[2Au lieu des points et des tirets, on peut utiliser des doigts levés et baissés, et cette technique permet de compter jusqu’à mille vingt-trois avec deux mains, mais il faut être agile (il s’agit de « compter en base 2 » avec ses doigts).

[3Attention, je note $3.2$ pour « 3 virgule 2 », avec un point au lieu d’une virgule. C’est que l’usage d’une virgule rend la lecture difficile lorsqu’on énumère des nombres, par exemple $3,2$, $3,5$, $5,7$ est moins lisible, à mon avis, que $3.2$, $3.5$, $5.7$.

[4Ainsi, $a^1=a$ par définition, puis $a^2=a \times a^1$ car $2=1+1$ et l’on retrouve bien $a^2=a\times a$ ; puis $a^3=a\times a^2= a\times (a\times a)=a\times a \times a$, etc.

[5Pour les élèves de classe terminale : $a^n$ est juste une notation pour la suite définie par la relation de récurrence $u_1=a$ et $u_{n+1}=a\times u_n$.

[6Pour aller plus loin : il n’y a pas de formule simple pour l’expression de $(a+b)^n$. Avec $n=1$ on trouve $a+b$, avec $n=2$ on trouve $(a+b)^2=a^2+2\times a\times b+b^2$, avec $n=3$ on obtient $a^3+3\times a^2\times b+3\times a\times b^2+b^3$. La formule générale, dite formule du binôme de Newton, fait intervenir les coefficients binomiaux ; ces nombres entiers sont ceux qui apparaissent dans le triangle de Pascal.

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «Puissances» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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