Pythagore et les courbes de Pólya

Piste rouge Le 4 octobre 2016  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires (2)

Ou comment une preuve du théorème de Pythagore conduit, avec Pólya, à des courbes qui remplissent un triangle.

Le théorème de Pythagore est enseigné dans les collèges français. Il affirme que, dans un triangle à angle droit, la somme des carrés des petits côtés est égale au carré du grand côté (l’hypoténuse) ; ce théorème peut être démontré de bien des façons, l’une d’entre elles étant donnée dans un article
précédent de cette rubrique. Nous allons en voir une seconde, plus complexe, qui nous conduira vers une famille de courbes très spéciales construites par le mathématicien George Pólya en 1913. [1]

Pythagore

Considérons donc un triangle $T$ avec un angle droit, et notons $a$, $b$ et $c$ les longueurs des trois côtés de ce triangle, avec
$ a \leq b < c$, si bien que $c$ correspond à l’hypoténuse. En abaissant la hauteur qui s’appuie sur l’hypoténuse, on découpe le triangle initial en deux triangles plus petits que nous noterons $T_P$ et $T_G$ : $T_P$ est le plus petit des deux triangles, $T_G$ le plus grand. L’aire couverte par $T$ est alors égale à la somme des aires de $T_P$ et $T_G$ :
\[ Aire(T)= Aire(T_P)+Aire(T_G). \]

Remarquons maintenant que $T$, $T_P$ et $T_G$ sont trois triangles semblables. En effet, $T_P$ a un angle droit et partage un angle commun
avec $T$ ; comme la somme des angles d’un triangle est égale à un demi-tour (à $180$ degrés), le troisième angle est égal au troisième angle de $T$, si bien que $T$ et $T_P$ ont les mêmes angles : ceci entraine que $T$ et $T_P$ sont semblables. La même démonstration s’applique à $T$ et $T_G$.

Pour passer de $T$ à $T_G$, les longueurs sont changées d’un rapport $b/c$ (l’hypoténuse de $T$, de longueur $c$, doit en effet correspondre à celle de $T_G$, de longueur $b$). Cette dilatation multiplie les aires par $(b/c)^2$. Le rapport entre l’aire de $T_G$ et celle de $T$ est donc égal à
\[ \frac{Aire(T_G)}{Aire(T)}=\left(\frac{b}{c}\right)^2. \]
De même,
\[ \frac{Aire(T_P)}{Aire(T)}=\left(\frac{a}{c}\right)^2. \]
Reportant ces relations dans l’égalité $Aire(T)= Aire(T_P)+Aire(T_G)$, on déduit la relation du théorème de Pythagore :
\[ c^2=a^2+b^2. \]
Cette démonstration est assez complexe car elle nécessite de maitriser à la fois les notions de triangles semblables et d’aire d’un triangle, mais elle est tout de même très jolie ! Et c’est notre point de départ pour ce qui va suivre.

Répétition

Au cours de la démonstration précédente, nous avons vu qu’un triangle à angle droit est découpé en deux triangles semblables lorsqu’on trace la hauteur perpendiculaire à son hypoténuse :

  • le petit triangle $T_P$ ; lorsqu’on passe de $T$ à $T_P$, les distances sont multipliées par le rapport homothétique
    \[ p=a/c. \]
  • le grand triangle $T_G$ ; lorsqu’on passe de $T$ à $T_G$, les distances sont multipliées par le rapport homothétique
    \[ g=b/c. \]
    Avec nos conventions, $ p \leq g < 1$. Le cas $p=g$ correspond à $a=b$ ; le triangle $T$ est alors isocèle, et $T_P$ et $T_G$ ont tous les deux la même taille.

Nous pouvons maintenant reproduire la procédure dans chacun des deux triangles $T_P$ et $T_G$, c’est-à-dire abaisser la hauteur perpendiculaire à l’hypoténuse pour obtenir de nouveaux triangles.

Et si l’on poursuit le procédé, voici ce que l’on obtient.

A chaque itération de l’algorithme, le nombre de triangles doubles : le triangle initial $T$ donne naissance à deux triangles $T_P$ et $T_G$, puis à $4$, $8$, $16$, ... triangles.

Numérotation et taille des triangles

On peut numéroter les triangles qui apparaissent de la façon suivante.
Au lieu de noter $P$ et $G$ pour « Petit » et « Grand », notons $0$ pour petit et $1$ pour grand ; ainsi, $T_P$ et $T_G$ seront notés respectivement $T(0)$ et $T(1)$. Le triangle $T(0)$ est ensuite coupé en deux triangles, l’un plus petit que nous notons $T(00)$, l’un plus grand que nous notons $T(01)$. De même, $T(1)$ donne naissance à $T(10)$ et $T(11)$. On poursuit ainsi la numérotation ; une suite de $0$ et de $1$ à $n$ termes
correspond à un triangle obtenu après $n$ itérations de l’algorithme.

Par exemple, le triangle $T(01101)$ apparaît sur la dernière figure : saurez-vous le trouver ?

Lorsqu’on coupe un triangle en deux, les deux triangles enfantés sont plus petits que le triangle parent : les rapports d’aspects sont $p=a/c$ et $g=b/c$, comme nous l’avons vu précédemment. Ainsi, lorsqu’on considère le triangle $T(01101)$, cinq réductions successives de la taille ont été effectuées, correspondant aux facteurs homothétiques successifs $p$, $g$, $g$, $p$, $g$ (un $p$ à chaque $0$, un $g$ à chaque $1$).
La longueur de l’hypoténuse de $T(01101)$ est donc égale à
\[ p^2g^3c. \]
Ainsi, après $n$ itérations de l’algorithme, nous avons $2^n$ triangles, dont les hypoténuses sont de la forme $p^rg^s$ avec $r+s=n$ : $r$ est le nombre de $0$ et $s$ est le nombre de $1$ qui apparaissent dans le codage du triangle considéré ($r=2$ et $s=3$ pour $T(01101)$). À mesure que le nombre d’itérations augmente, les triangles sont donc de plus en plus petits (leur taille tend vers zéro).

Nous pouvons colorier les triangles suivant leur taille, ce qui donne la figure suivante après six itérations.

La couleur est d’autant plus foncée que le triangle est petit. Le triangle le plus sombre est donc celui codé par la suite $000000$ ; c’est le triangle « en bas à gauche ». Viennent ensuite les six triangles dont le codage ne comporte qu’un seul $1$, les $15$ triangles avec deux $1$, etc.

Courbes de Pólya

Suivant Pólya, nous allons maintenant construire une courbe $R$ qui remplit le triangle initial $T$. Cette courbe sera paramétrée par l’ensemble des nombres réels $t$ compris entre $0$ et $1$ ; ainsi, à chaque instant $t$ correspond un point $R(t)$ de la courbe de Pólya. Pour définir $R(t)$, nous utiliserons le développement dyadique de $t$, c’est-à-dire en base 2.

Ce développement est semblable au développement décimal, en base dix ; mais ici on travaille en base deux, si bien qu’au lieu d’utiliser les chiffres de $0$ à $9$ on n’utilise que $0$ et $1$. À tout $t$ correspond donc un développement de la forme $t= 0,0111001010100011...$. La position de $t$ sur l’intervalle $[0,1]$ et son développement dyadique sont liés de la manière suivante. On coupe le segment $[0,1]$ en son milieu pour obtenir
deux intervalles de longueur $1/2$ ; si $t$ est dans l’intervalle de gauche (celui qui contient $0$) son développement commence par $t=0,0...$ et
s’il est dans l’intervalle de droite alors $t=0,1...$. On découpe alors à nouveau en deux l’intervalle contenant $t$, et l’on détermine dans quel intervalle $t$ est situé. Par exemple, le développement $t=0,0101...$ correspond à des nombres réels qui sont compris entre $0$ et $1/2$ (car le premier terme après la virgule est un $0$), et plus précisément entre $1/4$ et $1/2$, entre $1/4$ et $3/8$, entre $5/16$ et $3/8$, ...

La courbe de Pólya associée au triangle $T$ est la courbe continue $R$ déterminée par la propriété suivante : si le développement dyadique de $t$
commence par $0,t_1t_2t_3...t_n...$ alors $R(t)$ appartient au triangle
$T(t_1t_2...t_n$). Ainsi, si $t=0,01101011010011...$ alors $R(t)$ appartient
au triangle $T(011)$ mais aussi à $T(0110101)$,
à $T(0110101101001)$, ...
Ces triangles successifs sont de plus en plus petits, si bien qu’au développement dyadique de $t$ correspond une suite de triangles emboités contenant le
point $R(t)$ : l’intersection de tous ces triangles coïncide avec le point $R(t)$. [2]

Cette courbe $R$ remplit le triangle $T$. Autrement dit, tout point $m$ du triangle est atteint par la courbe : il existe un instant $t$ tel que $R(t)=m$.
En effet, si $m$ est un point du triangle $T$, on peut considérer la suite des triangles contenant $m$ à chaque étape du processus de découpage : si $m$ est dans $T(0)$, puis dans $T(01)$, puis dans $T(011)$, ..., alors $m$ sera situé en un point $R(t)$ de la courbe de Pólya avec $t=0,011...$

L’instant $t$ dépend du point $m$. Et il n’est pas uniquement déterminé par $m$ : la courbe $R$ a des points triples, c’est-à-dire qu’elle passe trois fois en certains endroits, mais il se trouve qu’elle n’a pas de points quadruples. Un théorème d’Hurewicz montre d’ailleurs qu’on ne peut pas se débarrasser de tels points triples si l’on trace une courbe plane qui remplit tout un triangle.

L’analyse de Lax

La courbe de Pólya dépend de la forme du triangle initial $T$. Puisque $T$ possède un angle droit, la forme globale de $T$ est déterminée par le plus petit de ses angles (et par la longueur $c$ de l’hypoténuse). Notons cet angle $\theta$. Alors $p$ et $g$ sont respectivement le sinus et le cosinus de $\theta$.

En 1973, Peter Lax a analysé les propriétés de $R$ suivant les valeurs de $\theta$. Il se demande notamment en quelles valeurs de $t$ la courbe $R$ est dérivable ; si l’on écrit $R(t)=(x(t),y(t))$ en coordonnées cartésiennes, il s’agit de déterminer en quels points les fonctions $x(t)$ et $y(t)$ sont toutes deux dérivables.

Trois régimes distincts apparaissent. Pour les décrire, nous dirons qu’un nombre $t$ est normal si son développement dyadique possède à peu près autant de $0$ et de $1$ ; plus précisément, $t$ étant fixé, on compte le nombre $Z(n)$ de $0$ qui apparaissent parmi les $n$ premiers termes du développement dyadique de $t$ : si le quotient $Z(n)/n$ tend vers $1/2$ lorsque $n$ devient arbitrairement grand, on dit que $t$ est normal.
Un théorème classique de Borel stipule que presque tout nombre réel $t$ est normal. Avec ce vocabulaire, Lax démontre que

  • Si $30^°<\theta < 45^°$, alors $R$ n’est nulle part dérivable.
  • Si $15^°<\theta< 30^°$, alors $R$ n’est pas dérivable en les points $t$ qui sont des nombres réels normaux, mais elle est dérivable, de dérivée nulle, en une infinité de points.
  • Si $0^°<\theta< 15^°$, $R$ est dérivable et de dérivée nulle pour tout nombre $t$ normal (mais n’est pas partout dérivable).

Ainsi, les propriétés de la courbe $R$ dépendent de l’angle $\theta$, donc du triangle initial $T$. Elles sont liées au coloriage précédent, car lorsque $R$ passe à l’instant $t$ dans une zone sombre, $R$ envoie un intervalle dyadique contenant $t$ dans un petit triangle.

Analyse multifractale

L’histoire ne s’arrête pas là. On peut décrire plus finement le coloriage évoqué ci-dessus (lorsqu’on prend des découpages en triangles arbitrairement petits) et ses liens avec les propriétés de la courbe de Pólya ; on peut changer le paramétrage de la courbe $R$ pour établir des résultats de géométrie élémentaire [3] ; et l’on peut partir de cette courbe de Pólya pour introduire le mouvement brownien dans le plan ! Tout ceci est remarquablement expliqué dans un texte de Jean-Pierre Kahane que je recommande vivement aux lecteurs qui n’ont pas peur du hors-piste. [4] Les lignes précédentes en sont directement tirées.

Post-scriptum :

L’auteur et la rédaction d’Images des Mathématiques remercient les relecteurs
Walter, Grégoire Dubost, Thomas Sauvaget, Massy Soedirman et Jean AYMES pour leur
relecture attentive et leurs commentaires.

Article édité par Romain Dujardin

Notes

[1« Pythagore était contemporain de Bouddha (-556,-480) et de Confucius (-555, -479) dont on connait beaucoup de choses, mais l’Inde et la Chine étaient à l’époque des nations anciennes et hautement civilisées, contrairement à cette poussière d’îles de la Grèce ancienne. Pythagore est né dans une de ces îles, Samos. On sait peu de choses de lui. » C’est ainsi que commence le texte de Jean-Pierre Kahane dont s’inspire cet article. George Pólya est un mathématicien hongrois né à Budapest en 1887 et décédé aux États-Unis en 1985. Il est connu pour ses travaux en analyse, en combinatoire, et en probabilité, ainsi que pour ses ouvrages à destination des apprentis mathématiciens.

[2Cette dernière assertion ne vaut que si le développement de $t$ est infini. On vérifie sans peine que les nombres dyadiques — ceux avec un développement fini — sont envoyés sur les sommets des triangles successivement construits ; par exemple $t=0,01$ est envoyé sur le sommet de $T$ disjoint de l’hypoténuse.

[3Par exemple, si l’on place $k$ points dans un rectangle de côtés $a$ et $b$, on peut trouver une ligne polygonale passant par les $k$ points pour laquelle la somme des carrés des côtés est majorée par $2(a^2+b^2)$.

[4Voir, Jean-Pierre Kahane : « Le théorème de Pythagore, l’analyse multifractale et le mouvement brownien », paru aux « Leçons de mathématiques d’aujourd’hui, Volume 1 », éditées dans la série « Le sel et le fer » par Cassini.

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «Pythagore et les courbes de Pólya» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Pythagore et les courbes de Pólya

    le 4 octobre à 11:33, par Bruno Duchesne

    Merci pour ces jolis triangles pastel !

    Pour ceux qui veulent voir un peu ces courbes, voici une animation avec des approximations affines par morceaux jusqu’à 9 itérations : animation

    Pour comprendre, le mieux étant de le faire à la main !

    Pour theta petit, on a donc des courbes aussi diaboliques que l’escalier.

    Répondre à ce message
  • Pythagore et les courbes de Pólya

    le 23 octobre à 19:57, par Stéphane Jaffard

    Merci pour ce très joli article ! pour en savoir un peu plus sur l’analyse multifractale, et le cas particulier de la fonction de Polya, il y a aussi l’article
    Peano-Polya motion, when time is intrinsic or binomial (uni- form or multifractal), S. Jaffard et B. Mandelbrot, The Mathematical Intelligencer, Vol.19 N.4 pp.21–26 (1997), cf.
    http://link.springer.com/article/10.1007/BF03024410
    où les arguments sont un peu plus détaillés que dans la retranscription de la (magnifique !) conférence de J.-P. Kahane.

    Répondre à ce message

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