Qu’est-ce qu’une Équation aux Dérivées Partielles Stochastique ?

Piste rouge Le 5 décembre 2014  - Ecrit par  Nils Berglund, avec la participation de Marc Monticelli pour les simulations Voir les commentaires (4)

Cette publication « augmentée » de Qu’est ce qu’une équation aux dérivées partielles ? par Nils Berglund reprend l’article d’origine publié le 28 septembre 2014,
auquel viennent s’ajouter les simulations numériques interactives réalisées par Marc Monticelli​.

Martin Hairer vient de recevoir la Médaille Fields pour ses travaux sur les structures de régularité, qui ont permis des progrès importants dans l’étude des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS). D’où viennent ces équations, à quoi servent-elles, et quels sont ces progrès importants ? Nous nous proposons ici d’apporter quelques éléments de réponse à ces questions à l’aide d’exemples.

Cet article peut se lire sur deux niveaux. Le texte principal ne contient presque pas de formules mathématiques. Les blocs dépliants contiennent des formules, précisant la manière dont les simulations ont été faites, et donnant des informations sur les équations aux dérivées partielles correspondant aux modèles discutés.

Si on jouait aux billes ?

Considérons un système constitué de billes reliées par des ressorts. Chaque bille est libre de se déplacer dans la direction $y$, mais sa position $x$ est fixée. Les positions $x$ des différentes billes sont régulièrement espacées, comme ceci :

Chaque bille est reliée par des ressorts à ses deux voisines [1]. La longueur au repos des ressorts est supposée plus courte que la distance minimale entre les billes. Ainsi les billes auront tendance à aligner leurs positions $y$. Admettons de plus que les billes se trouvent dans un milieu visqueux, de l’huile par exemple, de sorte qu’elles ne vont pas se mettre à osciller autour d’une position d’équilibre (on parle de dynamique sur-amortie [2]).

Imaginons maintenant que nous déposions la chaîne de billes sur un morceau de tôle ondulée à deux creux, ou rigoles, parallèles à l’axe $x$ :

Quel va être le mouvement de la chaîne ? Chaque bille cherchera à aller au fond de l’une des deux rigoles sous l’effet de la gravité, mais elle est également soumise à l’effet des ressorts la connectant à ses deux voisines. Selon les cas, ces deux effets peuvent s’ajouter ou au contraire entrer en compétition.

Regardons cette simulation, faite avec une chaîne de 128 billes. On part d’une configuration où toutes les billes ont été placées au hasard, de manière indépendante, plus ou moins près de l’une ou l’autre rigole de la tôle. La simulation montre le plan $x$—$y$ : les fonds des deux rigoles sont représentés par les lignes horizontales en haut et en bas des images, la bosse par la ligne du milieu.

Nous constatons que les billes tendent à former des amas : les billes d’un amas partagent la même rigole dans la tôle ondulée. Ces amas sont séparés par ce que nous appellerons des interfaces : ce sont les endroits où un ressort (ou parfois une bille) chevauche la bosse séparant les deux rigoles.

Les amas de faible taille ne survivent pas longtemps : ils disparaissent lorsque les deux interfaces qui les délimitent entrent en collision. La simulation, faite pendant un temps fini, ne permet toutefois pas de savoir si toutes les interfaces finiront par disparaître, ou si le système se stabilisera dans une configuration avec plusieurs amas.

Détails sur la simulation

On a supposé que la position de la bille numéro $i$ obéit à l’équation différentielle
\[ \frac{dy_i}{dt} = k (y_{i+1}-y_i) + k (y_{i-1}-y_i) + y_i - y_i^3 \]
Le terme $k (y_{i+1}-y_i)$ représente l’influence de la voisine de droite de notre bille, le terme $k (y_{i-1}-y_i)$ celle de la voisine de gauche. Le nombre $k\geq 0$ est la constante des ressorts.
Afin de tenir compte des conditions aux bords périodiques, si $N$ est le nombre total de billes ($N=128$ dans la simulation), on identifie $y_{N+1}$ et $y_1$ ainsi que $y_0$ et $y_{N}$.

Le terme $y_i - y_i^3$ représente l’effet de la tôle ondulée. En effet, ce terme est positif et fait croître la position $y_i$ si $y_i < -1$. Il est négatif et fait décroître $y_i$ lorsque $-1 < y_i < 0$. De manière similaire, $y_i$ croît si $0 < y_i < 1$ et décroît si $y_i > 1$. Donc s’il n’y a pas de ressorts, il y a deux positions d’équilibre stables $y_i=-1$ et $y_i=1$. La position $y_i=0$ est également une position d’équilibre, mais elle est instable : dès que la position $y_i$ s’éloigne un peu de $0$, elle continuera de s’en éloigner pour s’approcher de $1$ ou de $-1$.

Dans la simulation, on applique un schéma d’Euler. Cela signifie que l’on se donne un petit pas de temps $\Delta t$. Si $y_i(t)$ est la position au temps $t$, alors la position au temps $t+\Delta t$ est approchée par
\[ y_i(t+\Delta t) = y_i(t) + \left[ k \left( {y_{i+1}(t) - y_i(t)} \right) + k \left( {y_{i-1}(t) - y_i(t)} \right) + y_i(t) - y_i(t)^3 \right] \Delta t \]

Secouons le prunier

Observons maintenant ce qu’il se passe quand on agite le système de manière aléatoire. On s’attend à ce que cela favorise les configurations les plus stables, et donc que les petits amas disparaissent plus rapidement. C’est effectivement le cas, comme le montrent ces deux simulations :

Dans la seconde simulation, nous avons introduit un code couleur qui nous servira par la suite : le rouge et le bleu correspondent aux fonds des deux rigoles, le dégradé orange—jaune—vert à des positions intermédiaires. Ces couleurs sont reproduites dans la barre au bas de la simulation, donnant une autre manière de visualiser la disparition des amas. Ici les ressorts sont plus rigides, et l’on constate que les amas qui subsistent après un temps donné sont plus grands.

Précisons que l’agitation aléatoire à laquelle nous avons soumis les billes agit de manière indépendante sur chaque bille. On parle d’un bruit blanc spatio-temporel. Cette hypothèse est justifiée si par exemple l’agitation provient des molécules du fluide dans lequel baigne la chaîne. Si l’on avait agité toutes les billes de manière aléatoire mais synchrone, on aurait parlé d’un bruit blanc purement temporel.

Détails sur la simulation

Afin de tenir compte du bruit, on modifie le schéma d’Euler en ajoutant un terme aléatoire :
\[ y_i(t+\Delta t) = y_i(t) + \left[ k \left( {y_{i+1}(t) - y_i(t)} \right) + k \left( {y_{i-1}(t) - y_i(t)} \right) + y_i(t) - y_i(t)^3 \right] \Delta t + b \sqrt{\Delta t} \, V \]
Le paramètre réel $b$ mesure l’intensité du bruit. La quantité $V$ est une variable aléatoire de moyenne nulle et de variance $1$ (qui change pour chaque bille et à chaque pas de temps). On multiplie par $\sqrt{\Delta t}$ pour que l’effet du bruit pendant un intervalle de temps fixé soit du même ordre de grandeur quel que soit le choix du pas de temps $\Delta t$.

Ici on a pris une variable $V$ suivant une loi normale [3], mais on aurait tout aussi bien pu prendre une loi uniforme. Concrètement, la plupart des ordinateurs ont une fonction rand(), qui fournit des nombres (pseudo-)aléatoires prenant des valeurs entières entre $0$ et un grand RANDMAX (par exemple $2^{31}-1$). Il suffit alors de poser
\[ V=12\frac{ \mbox{rand()} - \frac12 \mbox{RANDMAX}}{\mbox{RANDMAX}} \]
Le facteur $12$ assure que la variance de $V$ vaut $1$.

Plusieurs questions se posent au vu des simulations. Comment la taille des amas évolue-t-elle au cours du temps ? Est-ce que toutes les interfaces finiront par disparaître ? Peut-on décrire le mouvement des interfaces au cours du temps ?

La figure suivante est un « diagramme espace-temps » d’une simulation (cette fois avec 1024 billes). L’espace est représenté horizontalement, le temps verticalement de haut en bas, et les postions des billes sont codées par des couleurs comme dans la dernière simulation. Les pointes des « stalactites » sont des collisions entre interfaces, qui correspondent à la disparition d’amas.

Le script ci-dessous, réalisé par Marc Monticelli et disponible sur le site Experimentarium Digitale, permet d’effectuer une simulation en temps réel. Choisissez des valeurs de la constante du ressort $k$ et de l’intensité du bruit, et cliquez sur Start. Vous pouvez modifier les valeurs des paramètres en cours de simulation. Le bouton Reset permet de réinitialiser le système.

Et en dimension supérieure ?

On peut aisément imaginer une généralisation de notre système, dans laquelle la chaîne (de dimension $1$) est remplacée par un « tapis » (de dimension $2$). Il suffit pour cela de disposer les billes selon un réseau carré, c’est-à-dire sur les sommets d’un quadrillage, et de les connecter par des ressorts le long des côtés du quadrillage. Chaque bille est donc reliée à $4$ voisines.

Les billes peuvent se déplacer perpendiculairement au plan du quadrillage, et ont une préférence pour se trouver dans l’un ou l’autre de deux plans parallèles au dessin ci-dessus (jouant un rôle analogue à celui des rigoles pour la chaîne de billes). Voici une simulation montrant le système en perspective. La taille du quadrillage est de $32 \times 32$. Comme dans la figure précédente, les couleurs codent les positions des billes : le bleu et le rouge correspondent à des positions préférées, le vert, le jaune et l’orange à des positions intermédiaires.

La simulation suivante montre le système vu de dessus. La taille du quadrillage est de $224 \times126$, et on ne représente plus des billes individuelles, mais seulement leur code couleur [4].

La dynamique est maintenant plus riche, car les interfaces ne sont plus des points isolés, mais des courbes. Ces courbes peuvent disparaître, mais avant cela elles semblent vouloir minimiser leur longueur et leur courbure : les parties d’interfaces courbées plus fortement s’aplatissent plus vite.

Voici à nouveau un script interactif du site Experimentarium Digitale, qui vous permettra d’explorer la dynamique en temps réel. Comprenez-vous l’influence du paramètre $k$ ? Et celle des conditions aux bords ?

On peut également imaginer un analogue de ce système en dimension $3$, même s’il est plus difficile à visualiser.

A quoi ça sert ?

Les simulations en dimension $2$ ne sont pas sans rappeler ce qui se passe lorsqu’on essaie de mélanger deux liquides non miscibles, comme l’eau et l’huile. Les deux liquides tendent à se regrouper, formant des régions de plus en plus grandes constituées soit uniquement d’eau, soit uniquement d’huile [5].

Il existe de nombreux systèmes présentant ce phénomène appelé séparation de phases. L’image suivante, par exemple, montre des photomicrographies d’acier (source : Wikipedia).

L’image supérieure montre de l’acier refroidi lentement. Les zones claires sont constituées de cémentite, qui contient des atomes de fer et de carbone, alors que les zones sombres