Qu’est-ce qu’une Équation aux Dérivées Partielles Stochastique ?

Piste rouge 5 décembre 2014  - Ecrit par  Nils Berglund, avec la participation de Marc Monticelli pour les simulations Voir les commentaires (4)

Cette publication « augmentée » de Qu’est ce qu’une équation aux dérivées partielles ? par Nils Berglund reprend l’article d’origine publié le 28 septembre 2014,
auquel viennent s’ajouter les simulations numériques interactives réalisées par Marc Monticelli​.

Martin Hairer vient de recevoir la Médaille Fields pour ses travaux sur les structures de régularité, qui ont permis des progrès importants dans l’étude des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS). D’où viennent ces équations, à quoi servent-elles, et quels sont ces progrès importants ? Nous nous proposons ici d’apporter quelques éléments de réponse à ces questions à l’aide d’exemples.

Cet article peut se lire sur deux niveaux. Le texte principal ne contient presque pas de formules mathématiques. Les blocs dépliants contiennent des formules, précisant la manière dont les simulations ont été faites, et donnant des informations sur les équations aux dérivées partielles correspondant aux modèles discutés.

Si on jouait aux billes ?

Considérons un système constitué de billes reliées par des ressorts. Chaque bille est libre de se déplacer dans la direction $y$, mais sa position $x$ est fixée. Les positions $x$ des différentes billes sont régulièrement espacées, comme ceci :

Chaque bille est reliée par des ressorts à ses deux voisines [1]. La longueur au repos des ressorts est supposée plus courte que la distance minimale entre les billes. Ainsi les billes auront tendance à aligner leurs positions $y$. Admettons de plus que les billes se trouvent dans un milieu visqueux, de l’huile par exemple, de sorte qu’elles ne vont pas se mettre à osciller autour d’une position d’équilibre (on parle de dynamique sur-amortie [2]).

Imaginons maintenant que nous déposions la chaîne de billes sur un morceau de tôle ondulée à deux creux, ou rigoles, parallèles à l’axe $x$ :

Quel va être le mouvement de la chaîne ? Chaque bille cherchera à aller au fond de l’une des deux rigoles sous l’effet de la gravité, mais elle est également soumise à l’effet des ressorts la connectant à ses deux voisines. Selon les cas, ces deux effets peuvent s’ajouter ou au contraire entrer en compétition.

Regardons cette simulation, faite avec une chaîne de 128 billes. On part d’une configuration où toutes les billes ont été placées au hasard, de manière indépendante, plus ou moins près de l’une ou l’autre rigole de la tôle. La simulation montre le plan $x$—$y$ : les fonds des deux rigoles sont représentés par les lignes horizontales en haut et en bas des images, la bosse par la ligne du milieu.

Nous constatons que les billes tendent à former des amas : les billes d’un amas partagent la même rigole dans la tôle ondulée. Ces amas sont séparés par ce que nous appellerons des interfaces : ce sont les endroits où un ressort (ou parfois une bille) chevauche la bosse séparant les deux rigoles.

Les amas de faible taille ne survivent pas longtemps : ils disparaissent lorsque les deux interfaces qui les délimitent entrent en collision. La simulation, faite pendant un temps fini, ne permet toutefois pas de savoir si toutes les interfaces finiront par disparaître, ou si le système se stabilisera dans une configuration avec plusieurs amas.

Détails sur la simulation

On a supposé que la position de la bille numéro $i$ obéit à l’équation différentielle
\[ \frac{dy_i}{dt} = k (y_{i+1}-y_i) + k (y_{i-1}-y_i) + y_i - y_i^3 \]
Le terme $k (y_{i+1}-y_i)$ représente l’influence de la voisine de droite de notre bille, le terme $k (y_{i-1}-y_i)$ celle de la voisine de gauche. Le nombre $k\geq 0$ est la constante des ressorts.
Afin de tenir compte des conditions aux bords périodiques, si $N$ est le nombre total de billes ($N=128$ dans la simulation), on identifie $y_{N+1}$ et $y_1$ ainsi que $y_0$ et $y_{N}$.

Le terme $y_i - y_i^3$ représente l’effet de la tôle ondulée. En effet, ce terme est positif et fait croître la position $y_i$ si $y_i < -1$. Il est négatif et fait décroître $y_i$ lorsque $-1 < y_i < 0$. De manière similaire, $y_i$ croît si $0 < y_i < 1$ et décroît si $y_i > 1$. Donc s’il n’y a pas de ressorts, il y a deux positions d’équilibre stables $y_i=-1$ et $y_i=1$. La position $y_i=0$ est également une position d’équilibre, mais elle est instable : dès que la position $y_i$ s’éloigne un peu de $0$, elle continuera de s’en éloigner pour s’approcher de $1$ ou de $-1$.

Dans la simulation, on applique un schéma d’Euler. Cela signifie que l’on se donne un petit pas de temps $\Delta t$. Si $y_i(t)$ est la position au temps $t$, alors la position au temps $t+\Delta t$ est approchée par
\[ y_i(t+\Delta t) = y_i(t) + \left[ k \left( {y_{i+1}(t) - y_i(t)} \right) + k \left( {y_{i-1}(t) - y_i(t)} \right) + y_i(t) - y_i(t)^3 \right] \Delta t \]

Secouons le prunier

Observons maintenant ce qu’il se passe quand on agite le système de manière aléatoire. On s’attend à ce que cela favorise les configurations les plus stables, et donc que les petits amas disparaissent plus rapidement. C’est effectivement le cas, comme le montrent ces deux simulations :

Dans la seconde simulation, nous avons introduit un code couleur qui nous servira par la suite : le rouge et le bleu correspondent aux fonds des deux rigoles, le dégradé orange—jaune—vert à des positions intermédiaires. Ces couleurs sont reproduites dans la barre au bas de la simulation, donnant une autre manière de visualiser la disparition des amas. Ici les ressorts sont plus rigides, et l’on constate que les amas qui subsistent après un temps donné sont plus grands.

Précisons que l’agitation aléatoire à laquelle nous avons soumis les billes agit de manière indépendante sur chaque bille. On parle d’un bruit blanc spatio-temporel. Cette hypothèse est justifiée si par exemple l’agitation provient des molécules du fluide dans lequel baigne la chaîne. Si l’on avait agité toutes les billes de manière aléatoire mais synchrone, on aurait parlé d’un bruit blanc purement temporel.

Détails sur la simulation

Afin de tenir compte du bruit, on modifie le schéma d’Euler en ajoutant un terme aléatoire :
\[ y_i(t+\Delta t) = y_i(t) + \left[ k \left( {y_{i+1}(t) - y_i(t)} \right) + k \left( {y_{i-1}(t) - y_i(t)} \right) + y_i(t) - y_i(t)^3 \right] \Delta t + b \sqrt{\Delta t} \, V \]
Le paramètre réel $b$ mesure l’intensité du bruit. La quantité $V$ est une variable aléatoire de moyenne nulle et de variance $1$ (qui change pour chaque bille et à chaque pas de temps). On multiplie par $\sqrt{\Delta t}$ pour que l’effet du bruit pendant un intervalle de temps fixé soit du même ordre de grandeur quel que soit le choix du pas de temps $\Delta t$.

Ici on a pris une variable $V$ suivant une loi normale [3], mais on aurait tout aussi bien pu prendre une loi uniforme. Concrètement, la plupart des ordinateurs ont une fonction rand(), qui fournit des nombres (pseudo-)aléatoires prenant des valeurs entières entre $0$ et un grand RANDMAX (par exemple $2^{31}-1$). Il suffit alors de poser
\[ V=12\frac{ \mbox{rand()} - \frac12 \mbox{RANDMAX}}{\mbox{RANDMAX}} \]
Le facteur $12$ assure que la variance de $V$ vaut $1$.

Plusieurs questions se posent au vu des simulations. Comment la taille des amas évolue-t-elle au cours du temps ? Est-ce que toutes les interfaces finiront par disparaître ? Peut-on décrire le mouvement des interfaces au cours du temps ?

La figure suivante est un « diagramme espace-temps » d’une simulation (cette fois avec 1024 billes). L’espace est représenté horizontalement, le temps verticalement de haut en bas, et les postions des billes sont codées par des couleurs comme dans la dernière simulation. Les pointes des « stalactites » sont des collisions entre interfaces, qui correspondent à la disparition d’amas.

Le script ci-dessous, réalisé par Marc Monticelli et disponible sur le site Experimentarium Digitale, permet d’effectuer une simulation en temps réel. Choisissez des valeurs de la constante du ressort $k$ et de l’intensité du bruit, et cliquez sur Start. Vous pouvez modifier les valeurs des paramètres en cours de simulation. Le bouton Reset permet de réinitialiser le système.

Et en dimension supérieure ?

On peut aisément imaginer une généralisation de notre système, dans laquelle la chaîne (de dimension $1$) est remplacée par un « tapis » (de dimension $2$). Il suffit pour cela de disposer les billes selon un réseau carré, c’est-à-dire sur les sommets d’un quadrillage, et de les connecter par des ressorts le long des côtés du quadrillage. Chaque bille est donc reliée à $4$ voisines.

Les billes peuvent se déplacer perpendiculairement au plan du quadrillage, et ont une préférence pour se trouver dans l’un ou l’autre de deux plans parallèles au dessin ci-dessus (jouant un rôle analogue à celui des rigoles pour la chaîne de billes). Voici une simulation montrant le système en perspective. La taille du quadrillage est de $32 \times 32$. Comme dans la figure précédente, les couleurs codent les positions des billes : le bleu et le rouge correspondent à des positions préférées, le vert, le jaune et l’orange à des positions intermédiaires.

La simulation suivante montre le système vu de dessus. La taille du quadrillage est de $224 \times126$, et on ne représente plus des billes individuelles, mais seulement leur code couleur [4].

La dynamique est maintenant plus riche, car les interfaces ne sont plus des points isolés, mais des courbes. Ces courbes peuvent disparaître, mais avant cela elles semblent vouloir minimiser leur longueur et leur courbure : les parties d’interfaces courbées plus fortement s’aplatissent plus vite.

Voici à nouveau un script interactif du site Experimentarium Digitale, qui vous permettra d’explorer la dynamique en temps réel. Comprenez-vous l’influence du paramètre $k$ ? Et celle des conditions aux bords ?

On peut également imaginer un analogue de ce système en dimension $3$, même s’il est plus difficile à visualiser.

A quoi ça sert ?

Les simulations en dimension $2$ ne sont pas sans rappeler ce qui se passe lorsqu’on essaie de mélanger deux liquides non miscibles, comme l’eau et l’huile. Les deux liquides tendent à se regrouper, formant des régions de plus en plus grandes constituées soit uniquement d’eau, soit uniquement d’huile [5].

Il existe de nombreux systèmes présentant ce phénomène appelé séparation de phases. L’image suivante, par exemple, montre des photomicrographies d’acier (source : Wikipedia).

L’image supérieure montre de l’acier refroidi lentement. Les zones claires sont constituées de cémentite, qui contient des atomes de fer et de carbone, alors que les zones sombres sont constituées de ferrite, qui ne contient que du fer. Cémentite et ferrite sont deux phases favorisées par le matériau, car les atomes peuvent s’y arranger de manière à minimiser l’énergie, un peu comme les billes de notre premier modèle préfèrent se placer au fond des rigoles. Un alliage est rarement parfaitement stable, car les phases qui le composent tendent à se séparer. Heureusement pour les métallurgistes, cette séparation se fait tellement lentement que le matériau peut être considéré comme stable en pratique : on dit qu’il est métastable.

L’image inférieure montre de l’acier refroidi rapidement. Les atomes n’ont pas eu le temps de se réorganiser de manière stable, d’où la structure plus fragmentée de l’acier qui a une consistance plus dure mais plus cassante.

Des phénomènes similaires de séparation de phases peuvent être observés dans des modèles d’aimants, ou de morphogenèse (décrivant par exemple la formation de rayures ou de taches sur le pelage d’animaux pendant leur croissance).

Avec un peu d’imagination, on peut même voir dans notre système un modèle d’évolution d’opinions. Considérons un pays bipartite, comme les États-Unis. Les points bleus et rouges représentent les Démocrates et les Républicains convaincus, les points aux couleurs intermédiaires les indécis, avec un penchant plus ou moins fort vers l’une ou l’autre opinion. On suppose ici que chaque citoyen se laisse influencer par ses voisins immédiats, d’où la formation de régions dans lesquelles les citoyens partagent la même opinion. Qui gagnera les prochaines élections ?

Où sont les EDPS dans tout ça ?

Revenons à la chaîne de billes posée sur la tôle ondulée, en l’absence de bruit. Nous allons nous intéresser à ce qu’il se passe si le nombre $N$ de billes est très grand. Afin que la longueur totale de la chaîne soit constante, nous supposerons que les positions $x$ des billes sont séparées d’une distance $1/N$.

Les simulations suggèrent qu’on peut faire passer une courbe bien lisse par les billes (on appelle cela une interpolation). Au lieu de chercher à résoudre le système de $N$ équations différentielles ordinaires (EDO) décrivant le mouvement des $N$ billes, on peut essayer de décrire directement l’évolution de la courbe d’interpolation. L’interaction de chaque bille avec ses voisines se traduit alors dans l’équation par un terme dépendant de la courbure. L’équation qui en résulte est une équation aux dérivées partielles (EDP) [6], appelée équation d’Allen—Cahn.

L’équation d’Allen—Cahn

Soit $u(t,x)$ la fonction d’interpolation au temps $t$. Le position de la $i$ème bille est donc donnée par $y_i(t) = u(t,i/N)$. Le terme décrivant l’interaction avec les billes voisines peut être approché, en utilisant un développement limité, de la manière suivante :
\[ \begin{array}{rcl} k \left[ \left( {y_{i+1}(t) - y_i(t)} \right) + \left( {y_{i-1}(t) - y_i(t)} \right) \right] &=& k \left[u\left(t,\frac{i+1}{N}\right) - u\left(t,\frac{i}{N}\right) + u\left(t,\frac{i-1}{N}\right) - u\left(t,\frac{i}{N}\right) \right] \\ &\simeq& k \left[ \frac{1}{N} \frac{\partial u}{\partial x} \left(t,\frac{i+1/2}{N}\right) -* \frac{1}{N} \frac{\partial u}{\partial x} \left(t,\frac{i-1/2}{N}\right) \right] \\ &\simeq& \frac{k}{N^2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \left( t, \frac{i}{N} \right) \end{array} \]
Supposons que le terme $k/N^2$ s’approche d’une constante $K$ lorsque $N$ devient grand. L’évolution de la fonction $u(t,x)$ est alors gouvernée par l’équation d’Allen—Cahn
\[ \frac{\partial u}{\partial t}(t,x) = K \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (t,x) + u(t,x) - u(t,x)^3 \]
En dimension supérieure, il convient de remplacer le terme de dérivée seconde par un Laplacien : son effet décrit bien le fait que les interactions avec les voisines tendent à aligner les positions des billes.

Quel est l’intérêt de faire intervenir une EDP ? C’est qu’il est souvent plus facile d’étudier une EDP qu’un système d’un grand nombre d’EDOs couplées. L’équation d’Allen—Cahn, en particulier, est d’un genre particulièrement bien compris (appelé une EDP parabolique). Par exemple, Carr et Pego [CP]
ont montré que les seules solutions stables sont celles où toutes les billes se trouvent au fond de la même rigole, mais qu’il existe aussi des solutions métastables : celles-ci admettent des interfaces qui ne bougent quasiment pas pendant un temps extrêmement long. C’est une de ces solutions métastables qu’on voit dans la première simulation.

Considérons maintenant la chaîne de billes avec bruit. Son évolution est décrite par ce qu’on appelle un système d’équations différentielles stochastiques (EDS). Lorsque le nombre $N$ de billes devient très grand, il est naturel de se demander si l’évolution de la chaîne pourrait être décrite par une équation aux dérivées partielle stochastique (EDPS), c’est-à-dire une EDP avec un terme aléatoire.

Si vous êtes perdus dans les acronymes, le tableau suivant résume les quatre types d’équations différentielles que nous avons rencontrés. On considère que les équations aux dérivées partielles sont de dimension infinie, car il faut spécifier les valeurs des solutions en une infinité de points.

Équations différentielles
Sans bruit Avec bruit
Dimension finie EDO EDS
Dimension infinie EDP EDPS

Il y a toutefois un problème important dans la définition même de solution d’une EDPS. Comme on le voit dans les simulations, sous l’effet du bruit la chaîne de billes prend une forme très irrégulière, et il n’est pas du tout clair qu’il existe une courbe d’interpolation avec une courbure bien définie ! Comment faire alors, puisque le membre de droite de notre équation fait intervenir cette courbure ?

De manière assez surprenante, on savait résoudre ce problème pour l’EDPS d’Allen—Cahn en dimension $1$ depuis une trentaine d’années [FJL], et plus récemment en dimension $2$ [AR,DPD], mais pas en dimension $3$. L’idée est que le couplage des billes avec leurs voisines a pour effet de rendre la solution plus lisse, on parle d’un effet régularisant. Dans le cas unidimensionnel, cet effet suffit à compenser l’irrégularité du bruit, mais en dimension supérieure ce n’est plus le cas (en dimension $2$, des techniques analytiques très sophistiquées permettent encore de s’en sortir).

Croissance de surfaces

Le problème des solutions mal définies est particulièrement vexant dans le cas de modèles de croissance de « surfaces ». Les deux figures ci-dessous montrent des résultats de simulations d’un procédé de croissance aléatoire, qui modélise le dépôt de particules sur un substrat.

Elles ont été obtenues de la manière suivante : on part d’une « surface » plate (qui est en fait une ligne horizontale). Un peu comme dans le jeu Tetris, des particules tombent à des endroits tirés au hasard — sauf qu’ici les particules sont constituées d’un seul carré, et non de quatre carrés comme dans Tetris. Une particule s’arrête dès qu’elle touche une autre particule, soit en dessous, soit latéralement. De plus, les particules les plus hautes ont une petite probabilité de se déplacer latéralement, pour autant que cela n’augmente pas leur altitude. La probabilité de ces déplacements influence la rugosité de la surface : dans l’image de droite, la probabilité plus faible conduit à une surface plus rugueuse.

La simulation suivante, qui correspond à la figure de gauche, montre la croissance de la surface (la frontière des particules déposées) au cours du temps. La couleur des particules change lentement au cours du temps, afin de bien mettre en évidence l’évolution de la surface.

En 1986, Mehran Kardar, Giorgio Parisi, et Yi-Cheng Zhang ont dérivé une EDPS censée décrire l’évolution d’une telle surface [KPZ]. Cette EDPS est appelée aujourd’hui équation KPZ. Malheureusement, cette équation est mal définie, même dans le cas d’une frontière unidimensionnelle ! La raison en est que l’équation KPZ postule que la vitesse de croissance dépend de la pente de la tangente à la surface. Or, comme on le voit dans les simulations, la surface est extrêmement rugueuse, et n’admet donc pas de tangente...

L’équation KPZ

L’EDPS de Kardar—Parisi—Zhang pour la hauteur $h(t,x)$ de la frontière s’écrit
\[ \frac{\partial h}{\partial t} = K \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} (t,x) + \frac12 \left( \frac{\partial h}{\partial x} (t,x) \right)^2 + b(t,x) \]
Le premier terme du membre de droite décrit la diffusion des particules le long de la surface, le deuxième terme provient des particules déposées, et le troisième terme représente le bruit blanc spatio-temporel dû au fait que les particules sont déposées aléatoirement.

L’explication du deuxième terme est la suivante. On suppose que la frontière croît perpendiculairement à sa tangente, qui a une pente $\frac{\partial h}{\partial x} (t,x)$.

Le théorème de Pythagore montre que la vitesse de croissance dans le sens vertical est proportionnelle à $\sqrt{1+(\frac{\partial h}{\partial x})^2}$.

Si l’on suppose de plus la pente très faible, on peut approcher cette vitesse par son développement limité $1+\frac12 (\frac{\partial h}{\partial x})^2$.

Le terme constant $1$ peut être éliminé par un changement de variables (qui équivaut à travailler dans un système de coordonnées se déplaçant vers la haut à vitesse constante).

C’est ce terme $(\frac{\partial h}{\partial x})^2$ qui rend l’équation mal définie : en effet, il fait intervenir le carré de la dérivée d’une fonction irrégulière.

Les structures de régularité de Martin Hairer

Une approche possible pour contourner le problème est la suivante. Comme le bruit n’est pas assez régulier, on l’approche par une fonction plus régulière (on parle de régularisation, ou encore de mollification du bruit). On construit alors une solution de l’équation avec le bruit régularisé, puis on fait de même pour des bruits régularisés de plus en plus proches du vrai bruit, dans l’espoir de pouvoir identifier une solution limite (voir par exemple [BG]).
Cela nécessite en général de soustraire à l’équation une constante qui croît au fur et à mesure qu’on s’approche du vrai bruit, un procédé appelé renormalisation par les physiciens. Le problème est que cette procédure d’approximation n’est pas unique, et qu’il n’est pas clair a priori que différentes approximations conduisent au même résultat !

Pourquoi alors s’obstiner à vouloir définir une notion de solution pour une EDPS ? Après tout, les systèmes d’EDS dont nous sommes partis admettent bien une solution. Une raison est que beaucoup de systèmes d’EDS se comportent, dans la limite des grandes dimensions, comme la même EDPS. De plus, beaucoup d’EDPS, quand on les étudie à grande échelle, ont les mêmes propriétés qualitatives. Les physiciens disent que toutes ces équations appartiennent à la même classe d’universalité. Si l’on parvient à comprendre une seule EDPS de la classe, on comprendra du même coup un grand nombre d’équations dans la même classe.

La théorie des structures de régularité développée par Martin Hairer [H] permet de résoudre les problèmes que nous avons évoqués et de donner un sens à la notion de solution pour une classe très vaste d’EDPS. L’idée, dans les grandes lignes, est de ne pas représenter les solutions par une fonction, mais par un ensemble de fonctions, décrivant la solution à diverses échelles de rugosité. Cette description, qui généralise le principe du développement limité, s’inspire de la théorie des trajectoires rugueuses. Les fonctions à différentes échelles ne sont pas indépendantes, mais doivent satisfaire un ensemble de conditions de compatibilité de nature algébrique. Il est également possible de définir des opérations algébriques telles que le produit de deux de ces objets multi-échelles. Enfin, à l’aide d’idées issues de la théorie des ondelettes, on montre qu’un tel objet correspond à une unique solution « physique ».

A l’aide de structures de régularité appropriées, Martin Hairer est parvenu à donner un sens précis à la notion de solution pour l’équation KPZ, ainsi que pour une variante de l’équation d’Allen—Cahn en dimension $3$ [7]. Son approche s’appuie sur une méthode assez classique, appelée la méthode du point fixe (voir le bloc dépliant ci-dessous), mais dans une version généralisée à la description multi-échelle. La méthode fournit également un choix naturel de renormalisation, qui est tel que la limite obtenue ne dépende pas de la régularisation choisie. En résolvant ces problèmes ouverts difficiles, la théorie a déjà fourni des premiers résultats remarquables, et l’on peut s’attendre à d’autres applications intéressantes dans le futur.

La méthode du point fixe

Une méthode classique pour construire la solution d’une équation différentielle (EDO, EDS ou EDP) passe par la notion de point fixe : on montre que la solution $u$ doit obéir à une équation du genre $u=F(u)$, pour un $F$ approprié. Partant d’une approximation initiale $u_0$ de la solution, on calcule alors $u_1=F(u_0)$, puis $u_2=F(u_1)$, et ainsi du suite. L’espoir est que la suite des approximations s’approche de plus en plus d’un point fixe, qui sera la vraie solution.

Dans de nombreux cas, on sait montrer que l’équation $u=F(u)$ admet une solution unique, dont on peut étudier les propriétés. Par exemple, dans le cas de l’EDP d’Allen—Cahn (sans bruit), la formule dite de Duhamel fournit une équation de point fixe pour la solution que l’on sait étudier.

Pour donner une analogie simple, imaginons que nous souhaitions résoudre l’équation
\[ x^5 + 2x - 1 =0 \]
Il n’existe pas de formule exacte pour trouver $x$. On peut toutefois raisonner ainsi. Si le terme $x^5$ était absent, alors il serait facile de résoudre l’équation : la solution est $x=\frac12 $. Comme $(\frac12)^5$ est assez petit, on peut s’attendre à ce que la solution de notre équation ne soit pas très différente de $\frac12 $.

Réécrivons l’équation sous la forme
\[ x = \frac12 - \frac12 x^5 \]
La solution cherchée est alors un point fixe de la fonction $F(x)=\frac12 - \frac12 x^5$, c’est-à-dire tel que $F(x)=x$.
Partons de l’approximation $x_0=\frac12$, et remplaçons le terme $x^5$ dans le membre de droite par $x_0^5$. Ceci nous fournit une seconde approximation $x_1 = \frac12 - \frac12 x_0^5 = 0,484375$ . On peut alors itérer ce procédé, en calculant successivement $x_2 = \frac12 - \frac12 x_1^5 = 0,4866685\dots$ , puis
$x_3 = \frac12 - \frac12 x_2^5 = 0,4863499\dots$ , et ainsi de suite. Cette méthode donne effectivement des approximations de plus en plus précises de la solution cherchée [8].

Dans le cas de l’EDP d’Allen—Cahn, l’interaction d’une bille avec ses voisines joue le rôle du terme constant $\frac12$ dans $F$, alors que l’effet de la tôle ondulée joue le rôle du terme $-\frac12 x^5$.

La méthode du point fixe s’adapte parfaitement bien à certaines EDPS. C’est le cas de l’équation d’Allen—Cahn stochastique décrivant la chaîne de billes unidimensionnelle. Malheureusement, elle ne marche pas en dimension supérieure !
La raison est que comme l’approximation $u_1$ dépend du bruit, elle n’est que peu régulière. A l’itération suivante, ce manque de régularité conduit à un résultat mal défini (en termes techniques, on n’est plus dans le même espace de fonctions).
En revanche, une structure de régularité bien choisie constitue un espace suffisamment grand pour que la méthode du point fixe fonctionne.

Pour aller plus loin

  • Vidéo d’un récent exposé de Martin Hairer à Buenos Aires (en anglais) :

    et les transparents qui vont avec.

  • Une introduction aux structures de régularité (version abrégée de [H]).

Bibliographie

[AR]
Albeverio, S. et Röckner, M. (1991), Stochastic differential equations in infinite dimensions : solutions via Dirichlet forms. Probability Theory and Related Fields, 89 : 347–386.

[BG]
Bertini L. et Giacomin G. (1997), Stochastic Burgers and KPZ Equations from Particle Systems. Comm. Math. Phys., 183 : 571–607.

[CP]
Carr, J. et Pego, R. L. (1989), Metastable patterns in solutions of $u_t = \epsilon^2 u_{xx} − f(u)$. Comm. Pure Appl. Math., 42 : 523–576.

[DPD]
Da Prato, G. et Debussche, A. (2003), Strong solutions to the stochastic quantization equations., Ann. Probab., 31 : 1900–1916.

[FJL]
Faris, W. G. et Jona-Lasinio, G. (1982), Large fluctuations for a nonlinear heat equation with noise. J. Phys. A : Math. Gen., 15 : 3025–3055.

[H]
Hairer, M. (2014), A theory of regularity structures. Inventiones Mathematicae 1–236.
Prépublication sur ArXiv.

[KPZ]
Kardar, M., Parisi, G. et Zhang Y.-C. (1986), Dynamic Scaling of Growing Interfaces. Physical Review Letters, 56 : 889–892.

Post-scriptum :

Un grand merci à Martin Hairer et François Béguin pour leurs précieux commentaires sur une première version de ce texte, ainsi qu’aux relecteurs François Gramain, subshift, Newbie et amic. Leurs remarques et suggestions ont permis de rendre cet article considérablement plus lisible, notamment grâce à l’inclusion de simulations supplémentaires.

Merci également à Jean-René Chazottes et Marc Monticelli pour leur site Experimentarium Digitale qui a permis d’enrichir cet article de très jolies simulations interactives.

Article édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1Les billes aux extrémités gauche et droite sont aussi considérées comme voisines (on parle de conditions aux bords périodiques - on peut par exemple imaginer que l’axe $x$ s’enroule autour d’un cylindre).

[2L’hypothèse d’une dynamique sur-amortie permet de décrire le système par une équation différentielle du premier ordre. Si on tenait compte de l’inertie, on aurait affaire à une équation du second ordre.

[3De nombreux logiciels fournissent une fonction permettant de simuler une variable aléatoire de loi normale. Sinon, l’algorithme de Box—Muller permet de générer des variables normales à partir de variables de loi uniforme.

[4Dans les simulations, le temps a été accéléré de manière non linéaire : le temps de simulation entre deux images consécutives de l’animation n’est pas constant, mais augmente au cours du temps. En réalité, le système bouge de plus en plus lentement à mesure que le temps avance.

[5Dans notre modèle, la proportion totale occupée par chaque phase n’est pas nécessairement constante au cours du temps. Il existe des modèles plus compliqués permettant de décrire des systèmes où cette proportion est constante, par exemple le modèle de Cahn—Hilliard.

[6Le mot partielle fait référence au fait que la solution dépend de l’espace et du temps, et par conséquent l’équation fait intervenir à la fois des variations (dérivées partielles) par rapport à l’espace et par rapport au temps.

[7Le modèle Phi-$4$ de la théorie quantique des champs, décrivant la dynamique de certaines particules élémentaires.

[8Ce procédé ressemble à la méthode de Newton. En fait, il en est une approximation. La méthode de Newton pour résoudre l’équation $f(x)=0$ consiste à partir d’une approximation $x_n$ de la solution, et de construire une meilleure approximation $x_{n+1}$ en prenant l’intersection de la tangente au graphe de $f$ au point $x_n$ avec l’axe des abscisses. Ceci conduit à la formule
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
où $f'$ est la dérivée de $f$. Le schéma discuté ici équivaut à remplacer $f'(x_n)$ par $f'(0)=2$. Les itérations tendent moins rapidement vers la vraie solution que pour la méthode de Newton. Toutefois, dans des situations plus compliquées où $f$ dépend d’un grand nombre de variables, on est souvent amené à utiliser ce genre d’approximation, qui ne nécessite qu’un seul calcul d’inverse de dérivée.

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Pour citer cet article :

Nils Berglund, avec la participation de Marc Monticelli pour les simulations — «Qu’est-ce qu’une Équation aux Dérivées Partielles Stochastique ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

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Commentaire sur l'article

  • Qu’est-ce qu’une Équation aux Dérivées Partielles Stochastique ?

    le 13 octobre 2014 à 08:40, par BEAUSSART

    L’ennui, c’est que le Maillage est « Carré » ! Il est souvent oublié que les Maillages Carrés donnent des résultats différents des Maillages Triangulaires !
    Et, à fortiori, il n’est pas indifférent de « paver » un Volume avec des parallélépipèdes d’une part, et des Tétraèdres d’autre part !
    Les tétraèdres induisent des Torsions de l’Espace, pas les « Briques » !

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  • Qu’est-ce qu’une Équation aux Dérivées Partielles Stochastique ?

    le 13 octobre 2014 à 20:36, par Nils Berglund

    Bonsoir,

    Merci pour votre commentaire. Si je comprends bien, vous pensez aux réseaux cristallins autres que carré ou cubique. On sait en fait classifier ces réseaux : en dimension 2, on obtient les 17 groupes de papier peint, et en dimension 3, les 230 groupes d’espace.

    On peut faire une dérivation analogue à celle de l’équation d’Allen—Cahn pour chacun de ces réseaux. Si mes souvenirs de physique du solide sont exacts, on obtiendra des équations similaires, mais le Laplacien peut être remplacé par quelque chose d’un peu plus général. Par exemple, en dimension $2$ les directions $x_1$ et $x_2$ peuvent apparaître avec des constantes $k_1$ et $k_2$ différentes, et il peut aussi y avoir des mélanges de dérivées selon $x_1$ et $x_2$.

    Une autre chose à garder à l’esprit est que toutes ces dérivations supposent les déformations du réseau cristallin petites par rapport à la distance entre atomes (ce n’est pas vraiment visible sur les simulations : il faut imaginer que l’axe $x$ y a été fortement comprimé). Des déformations plus importantes peuvent engendrer des effets non-linéaires, et donc des équations beaucoup plus compliquées. Dans des cas extrêmes, cela peut conduire à des dislocations, qu’on ne peut plus vraiment espérer décrire par des équations du même type que celle d’Allen—Cahn.

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  • Qu’est-ce qu’une Équation aux Dérivées Partielles Stochastique ?

    le 5 mars à 20:47, par pgerard

    Bonjour à tous,

    je suis un vrai candide, belge de surcroît :-D, néanmoins amoureux de mathématiques et d’algorithmique, et je suis tombé sur cette page en approfondissant mes recherches sur le récemment médaillé Fields Martin Hairer, suite à un très bel article paru tout aussi récemment dans « La Rbiiiiiiip » !
    Je suis littéralement « époustouflé » par la lisibilité de votre article, d’une luminosité exceptionnelle !
    Quel don unique pour la vulgarisation modulée...
    Grand merci à leurs auteurs et à votre site,

    Patrick Gérard

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    • Qu’est-ce qu’une Équation aux Dérivées Partielles Stochastique ?

      le 6 avril à 14:20, par Nils Berglund

      Bonjour,

      Merci pour votre commentaire encourageant. Une adaptation de cet article vient de paraître dans le dernier Dossier Pour La Science (avril-juin 2016) :
      http://www.pourlascience.fr/ewb_pag...

      Bien cordialement,
      Nils Berglund

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