Quand les droites deviennent courbes

2 décembre 2013  - Ecrit par  Joan Gómez Voir les commentaires (3)

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

Cet article a été écrit en partenariat avec RBA

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série,
un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques. Il sera accompagné du sommaire du livre et d’une invitation à prolonger votre lecture.

Extrait du Chapitre 4 - La consolidation de la géométrie non euclidienne

Nikolaï Lobatchevski : l’âme russe de la géométrie hyperbolique

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Nikolaï Lobatchevski.

Le 23 février 1826, alors qu’il était professeur à
l’université de Kazan, Nikolaï Lobatchevski impressionna
la communauté scientifique avec son exposé
sur la théorie des parallèles pendant une journée
organisée à la faculté de physique et de mathématiques.
Les premiers résultats provenant de l’application
de ses propositions furent publiés en 1820 dans
la revue de l’université de Kazan. En 1835, tout son
travail fut publié sous le titre Les Nouveaux éléments de
géométrie
, dans lequel il affirmait :

« Il est bien connu qu’en géométrie, la théorie des droites parallèles est
restée à ce jour incomplète. Les efforts inutiles, fournis pendant deux mille
ans depuis Euclide, m’ont amené à douter que les concepts ne comportent
pas la vérité que nous cherchons à prouver mais que, comme pour d’autres
lois physiques, ils ne peuvent être vérifiés qu’expérimentalement, au travers
d’observations astronomiques par exemple. Enfin, convaincu de la validité de
mes conjectures et considérant que ce problème difficile est complètement
résolu, j’ai exposé mon raisonnement en 1826. »

L’histoire de la géométrie hyperbolique est une histoire de pionniers, pleine
d’injustices et de reconnaissances qui arrivèrent trop tard, voire jamais. C’est une
histoire qui se répète souvent au cours des siècles dans le monde scientifique : deux
esprits éclairés travaillent à leur rythme et, peut-être par un processus de sublimation
de l’ensemble de la communauté scientifique, ils aboutissent aux mêmes conclusions
en même temps.

Lobatchevski était le descendant d’une humble famille de fonctionnaires et vécut
jusqu’à son dernier jour dans la ville de Kazan, près de la Sibérie, menant une vie
d’austérité exemplaire totalement consacrée aux mathématiques. Le jeune Nikolaï
put étudier grâce à une série de bourses institutionnelles, qui s’avérèrent un excellent
investissement de la part de l’État tsariste.

En 1811, il commença une carrière de professeur à l’université de Kazan et, trois
ans plus tard, réussit à obtenir la chaire de physique et de mathématiques. Il devint
également le responsable de la bibliothèque et de l’observatoire astronomique.
Il fut nommé recteur de l’université de Kazan en 1827. Il occupa ce poste dix-neuf
années qui furent très fructueuses pour l’université et pendant lesquelles il réalisa
de profondes réformes et développa surtout la recherche scientifique. Le paradoxe
est que c’est le retentissement même de son travail sur le cinquième postulat des
Éléments qui le mena à la disgrâce. Si l’on en croit la légende sombre de l’histoire des
mathématiques, son collègue mathématicien Mikhaïl Ostrogradski réussit à obtenir
son renvoi. Ostrogradski n’acceptait pas la remise en question d’Euclide que proposait
Lobatchevski.

La santé du mathématicien se détériora terriblement et il finit par devenir aveugle.
Lobatchevski dut dicter beaucoup de ses oeuvres, comme la fameuse Pangéométrie
(1855). Quand il mourut dans sa ville natale, le 24 février 1856, il n’avait pas la
moindre idée de l’importance que prendrait son travail dans le développement futur
des mathématiques. Parmi les œuvres académiques qu’il légua, les plus remarquables
sont son étude des Éléments de la géométrie dans le Messager de Kazan (1829), Géométrie
imaginaire
(1835), Applications de la géométrie imaginaire à la résolution de certaines
intégrales
(1836) et Nouveaux éléments de géométrie avec une théorie complète des parallèles
(1834-1838).

En 1840, Lobatchevski publia un travail d’à peine 61 pages, intitulé Recherches géométriques
sur la théorie des parallèles
. Cette œuvre succincte fut largement diffusée dans
la communauté scientifique du moment, mais, malgré cela, le monde mathématique
n’était pas encore mûr pour accepter les idées qu’il y présentait. Dans son ouvrage
Recherches géométriques, Lobatchevski explique très clairement le fonctionnement de
sa géométrie non euclidienne.

« Dans un plan, toutes les droites issues d’un point peuvent être divisées en
deux classes, par rapport à une droite donnée dans ce même plan : celles qui
la coupent et celles qui ne la coupent pas. Les lignes frontières de chaque
classe de droites s’appelleront parallèles à la droite donnée. »

Sa version alternative au cinquième postulat d’Euclide se définit par la célèbre
phrase déjà citée :

« Par un point extérieur à une droite donnée, il passe deux droites parallèles
à cette droite. »

Dès lors, Lobatchevski continua à développer de nombreuses identités trigonométriques,
que l’on appelle formules de trigonométrie hyperbolique.

János Bolyai : mathématicien et cavalier

Pour le Hongrois János Bolyai (1802-1860), les mathématiques étaient seulement
un loisir puisqu’il était officier de cavalerie de carrière. Mais il ne fait aucun doute
que, de par ses facultés intellectuelles, il devait bien s’ennuyer dans son activité professionnelle
 : en plus de s’intéresser aux mathématiques, János était un violoniste
accompli qui joua à Vienne, et il se fit aussi remarquer comme linguiste en parlant
neuf langues, dont le chinois et le tibétain.

L’excellence avait de qui tenir : son père était le mathématicien Farkas Bolyai,
qui lui enseigna le calcul infinitésimal et la mécanique analytique alors qu’il n’avait
que treize ans.

Le jeune Bolyai entre dans le monde militaire lorsqu’il commence ses études
à l’université du génie royal à Vienne, à la suite de quoi il intègre le corps du
génie de l’armée, où il restera onze ans. Cela peut ressembler à l’histoire d’un
roman du XIXe siècle, mais on raconte que c’était le meilleur bretteur et danseur de
l’armée de l’Empire autrichien. En 1833, une fièvre l’oblige à se retirer de la vie
militaire.

Bien que de son vivant János Bolyai n’ait publié qu’un seul travail en mathématiques,
on trouva après sa mort plus de 20 000 pages manuscrites qui sont actuellement
conservées à la bibliothèque Bolyai-Teleki, dans la ville de Târgu Mures.

János étudia le problème des parallèles jusqu’à l’obsession. Il publia ses résultats
en annexe d’un livre de son père, Essai d’introduction des éléments de mathématiques
pures pour les jeunes étudiants (Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae
introducenti)
, que l’on connaît sous le nom d’Appendice. Comme Lobatchevski, Bolyai
n’a pas eu besoin de plus de 26 pages pour présenter ses idées sur la géométrie. Après
les avoir lues, Gauss adressa le message suivant à Farkas Bolyai : « Je considère ce
jeune géomètre Bolyai comme un génie de premier ordre. »

La contribution de Gauss

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Portrait de Carl Friedrich Gauss par l’artiste Christian Albrecht Jensen.

Carl
Friedrich Gauss (1777-1855)
joua un grand rôle dans le travail
de Bolyai. C’est un homme
important, non seulement à son
époque mais aussi jusqu’à nos
jours. Nous avons vu que Kant
eut quelques vagues idées sur la
possibilité d’admettre l’existence
d’autres géométries, mais Gauss
fut probablement le premier qui
eut l’intuition de la réalité d’une
géométrie différente de celle
d’Euclide et rapporta par écrit ses
calculs à ce sujet. Dans ses carnets
de notes, on peut lire les commentaires
suivants :

« Je suis convaincu que se passer du postulat des parallèles ne conduit à aucune
contradiction, même si on obtient des propriétés qui semblent paradoxales. »

Pendant près de quarante années, Gauss étudia le postulat des parallèles sans en
montrer les résultats à personne et en prenant soin de les garder secrets. La documentation
permettant de cautionner ses recherches est la correspondance qu’il a
entretenue avec la famille Bolyai et les commentaires que l’on a pu rassembler de
ses notes personnelles.

La relation entre Gauss et les Bolyai n’est pas étonnante. L’Allemand a été aussi
un intellectuel privilégié, un enfant prodige. Sa carrière de mathématicien, d’astronome
et de physicien, où il fut également brillant, commença très tôt. Il entama
ses études élémentaires dès l’âge de sept ans et étonna ses maîtres par sa capacité de
calcul et de raisonnement.

Quand il était encore au Collegium Carolinum de Brunswick, Gauss découvrit
tout seul une loi de l’astronomie, appelée loi de Bode, et plusieurs théorèmes
d’algèbre, comme celui du binôme. En 1795, il commença ses études de mathématiques
à l’université de Göttingen et y passa sa thèse de doctorat à vingt-deux ans.

Connu sous le nom de « prince des mathématiques », il exerça son talent dans de
nombreuses branches différentes du savoir mathématique : la statistique, la théorie
des nombres, la géométrie… À trente ans à peine, en 1807, il devint directeur de
l’Observatoire de Göttingen, où il consacra six années à l’étude du magnétisme. Ses
contributions à la physique sont également célèbres.

La correspondance entre Gauss et Bolyai

Gauss était un grand ami de Farkas Bolyai, le père de János, et tous les deux s’écrivirent
régulièrement au sujet du cinquième postulat d’Euclide. Gauss lui-même
travailla avec une grande prudence sur le sujet, comme le prouve le fait de ne
jamais publier ses résultats. Farkas avait également travaillé sur la démonstration
du cinquième postulat mais sans succès. À partir de son expérience et de ses discussions
avec Gauss sur la théorie des parallèles, Farkas conseilla à son fils János
de ne pas perdre « une seule heure sur ce problème ». János prit relativement en
compte son conseil puisqu’il n’y travailla pas une heure seulement mais deux
années complètes.

En 1832, Farkas Bolyai écrivit à son ami Carl Friedrich Gauss pour lui faire
part de sa préoccupation au sujet de l’obsession de son fils. Il lui demandait son
avis et ses conseils pour arriver à convaincre János d’abandonner ses recherches.
Gauss lui répondit qu’il était arrivé lui-même à des résultats similaires mais que,
pour l’instant, il les avait passés sous silence. Il ne pouvait ni complimenter les
travaux de János ni le pousser à abandonner, comme il l’écrivit dans les lignes
suivantes :

« Si je commence par dire que je ne suis pas capable d’admirer ce travail, je
te surprendrai certainement un instant. Mais je ne peux rien dire d’autre. Si
je l’admirais, ce serait m’admirer moi-même. En effet, tout ce que contient le
travail – le chemin suivi par ton fils, les résultats auxquels il aboutit – coïncide
pratiquement totalement avec mes Méditations, qui ont occupé mon esprit
une bonne partie des 30 à 35 dernières années. Tout cela me laisse assez
stupéfait… »

Farkas écrivit à son fils, à un moment où celui-ci était totalement obsédé par le
cinquième postulat d’Euclide :

« Je te supplie de ne pas essayer toi aussi de lutter avec les théories des lignes
parallèles. Tu perdrais ton temps et les théorèmes resteraient indémontrés.
Ces ténèbres impénétrables peuvent démolir des milliers de tours comme
Newton. Jamais cela ne sera compris sur Terre et jamais le maudit genre
humain ne disposera au monde de quelque chose de complet, et encore
moins en géométrie. C’est pour mon âme une grande et éternelle blessure…
Pour l’amour de Dieu, mon fils, je t’en supplie, oublie tout cela.
Crains-le comme les passions sensuelles, car, comme elles, cela pourrait
absorber tout ton temps et te priver de la santé, de la paix de l’esprit et de
la joie de vivre… »

Malgré le ton tragique que prenait la question, János n’a jamais fait cas des prières
de son père et finit par être rapidement convaincu que le cinquième postulat était
non seulement indémontrable mais bien indépendant de tous les autres. En le niant,
on pouvait créer un système différent et cohérent géométriquement.

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Sommaire du livre.

Pour aller plus loin

Voici quelques articles sur ce sujet :

Post-scriptum :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Etienne Ghys. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

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Pour citer cet article :

Joan Gómez — «Quand les droites deviennent courbes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

Image à la une - Marion Bucciarelli.

Commentaire sur l'article

  • Quand les droites deviennent courbes

    le 6 décembre 2013 à 00:00, par Omar Khettab

    A la page 20 il est écrit :

    « On vérifie facilement que toutes les taxi-distances AB, A’B’, AC, A’C’, B’C’ sont égales à 6. »

    Or la taxi-distance A’B’ mesure 5 unités et B’C’ est égale à 11 unités.

    On a pour les distances euclidiennes :

    d(A,C)= racine de 26 et d(A’,C’)= racine de 13

    les deux triangles ne sont pas équivalents comme le prétend l’hypothèse de départ, ce qui fausse toute la suite de la démonstration.

    Répondre à ce message
    • Quand les droites deviennent courbes

      le 8 décembre 2013 à 12:24, par Audibert

      comme Omar Khettab je crois qu’il faut faire un petit erratum pour le texte et le dessin des pages 20 et 21 , paragraphe :Un exemple avec des triangles.

      Répondre à ce message
      • Quand les droites deviennent courbes

        le 8 décembre 2013 à 13:02, par Étienne Ghys

        Vous avez raison ! Une faute de frappe a fait situer le point C’ en (3,3) au lieu de le placer en (8,3) et le graphiste a donc dessiné une figure fausse. Je vais voir d’il est encore possible de faire un erratum ? Merci pour votre vigilance !

        Répondre à ce message

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