Quand les maths donnent des ailes

Piste rouge Le 20 octobre 2011  - Ecrit par  Quentin Agren Voir les commentaires (17)

Parvenir à modéliser simplement l’écoulement d’air autour d’une aile d’avion, voilà notre programme ! Une aile, un courant d’air sont des réalités complexes. Leurs représentations mathématiques, compromis entre l’idéalisation et la prise en compte de caractéristiques essentielles, seront les premières à nous occuper.
Puis nous en viendrons à l’écoulement précis qui nous intéresse, celui ayant lieu autour de l’aile : comment le déterminer ? L’idée est la suivante : commencer par déterminer la forme d’un écoulement plus simple, celui autour d’un cylindre, puis déformer le cylindre en aile d’avion.
Nous verrons alors comment la forme singulière de l’aile permet l’apparition d’une force portante, à l’origine du vol.
Loin de prétendre refléter avec précision la réalité des phénomènes, cet article se veut d’abord une promenade mathématique au cours de laquelle se rencontreront papillons, hibiscus, champs de vecteurs et fonctions holomorphes.

La modélisation

Nous allons tenter d’expliquer qualitativement l’apparition d’une force portante lors de l’écoulement d’air autour d’une aile d’avion. Voyons dans un premier temps comment modéliser ce phénomène réel mathématiquement.

L’aile

Les ailes d’avions présentent des formes variables : du petit avion de tourisme au gros porteur, en passant par les avions de chasse on en rencontre une grande variété.

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Ailes de formes diverses.

Nous allons opter pour un modèle simple qui prend en compte une caractéristique essentielle des ailes réelles : la forme de leur profil. Là encore il y des variantes, parmi lesquelles nous choisirons la plus simple : un profil de Joukovski [1].

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Profil de Joukovski

Notre aile théorique sera alors simplement un tube dont la section a la forme d’un profil de Joukovski.

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Aile d’avion à section constante.
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Tourbillons de bout d’aile.

Jetons un œil à la photographie ci-contre, qui représente une aile semblable à la nôtre, placée dans une soufflerie [2]. Aux extrémités de l’aile, la situation n’a pas l’air simple à décrire ! Donc nous allons dans un premier temps nous occuper de l’écoulement ayant lieu autour d’une portion d’aile éloignée des extrémités, où les curieux phénomènes qui s’y produisent ne se font pas sentir.
Enfin, nous supposerons que l’écoulement est permanent. On entend par là qu’un équilibre s’est établi : on imagine qu’après une possible phase « d’ajustement » , la forme de l’écoulement est stable et ne varie plus au cours du temps.

Ecoulements plans

Dans ces conditions, pour reconstituer l’écoulement tout le long de la portion, il suffirait de comprendre comment se comporte une mince tranche d’air transversale à l’aile. L’écoulement global s’en déduirait en juxtaposant des tranches identiques.

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Tranche d’écoulement à étudier.

D’après la remarque précédente, nous pouvons à présent nous concentrer sur l’étude des écoulements plans, c’est-à-dire que l’on imagine avoir lieu entre deux plaques de verre très proches, de sorte que le fluide ne peut s’y déplacer que dans deux directions. Tout se passe comme si le fluide était sans épaisseur et s’écoulait dans un plan.

L’air

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Ecoulement turbulent
http://lepetitseb.com/

Voici la photographie d’un écoulement plan autour d’un obstacle de forme semblable à un profil de Joukovski. La nature de l’écoulement alentour est rendue apparente grâce aux lignes de courant que l’on distingue en blanc. Une ligne de courant est la trajectoire décrite par une particule (une petite bulle de savon par exemple) entraînée par le courant d’air. On peut la matérialiser, comme sur la photographie, en injectant un mince filet de fumée colorée dans l’écoulement.
Ici, nous pouvons remarquer une zone dans le sillage de l’aile où l’écoulement semble très désordonné. Notre objectif n’est pas de rendre compte de phénomènes aussi complexes, parmi les plus difficiles à modéliser mathématiquement. De tels désordres peuvent être amorcés par des effets de viscosité : le fluide au contact de l’aile ne glisse pas parfaitement, « accroche », ce qui crée de petites perturbations à même de s’amplifier. Pour ce qui nous occupe, nous allons supposer que l’air est un fluide non visqueux, qui glisse parfaitement au contact de l’aile.
Nous prêterons aussi à l’air la propriété d’incompressibilité. C’est ce que l’on sous-entend à propos de l’eau par exemple, lorsque l’on dit « Un litre d’eau pèse 1 kilogramme » : si vous disposez d’un kilogramme d’eau, il vous faudra toujours un récipient d’un litre pour le contenir, il ne sera pas possible de le « comprimer » pour le faire entrer dans un espace plus petit. Ainsi en sera-t-il de notre air idéal.

Une fois ces hypothèses simplificatrices faites, la description mathématique de l’écoulement devient plus aisée, mais aussi moins vraisemblable. Suffisament toutefois pour que nous puissions en dégager une bonne intuition des mécanismes physiques à l’origine du vol.

Le champ des vitesses

Nous allons donc nous occuper de la description mathématique de l’écoulement permanent dans une région plane d’un fluide non visqueux et incompressible.

L’objet mathématique que l’on va utiliser pour modéliser l’écoulement s’appelle un champ de vecteurs. Voyons de quoi il s’agit en prenant l’exemple de deux écoulements particuliers :

  • un écoulement uniforme d’ouest en est.
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    Ecoulement uniforme d’Ouest en Est
  • un écoulement tourbillonnant autour d’un obstacle circulaire. [3]
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    Ecoulement tourbillonnant

Choisissons un point, que l’on nommera $P$, dans la zone d’écoulement tourbillonnant.

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Le point P

Imaginons maintenant que l’on place au point $P$ une petite girouette, munie d’un anémomètre.

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Girouette montée d’un anémomètre placée au point P

La girouette s’orientera naturellement dans le sens de l’écoulement d’air au point $P$, dont la vitesse sera indiquée par l’anémomètre. Nous allons résumer ces informations en attachant au point $P$ une flèche, appelée vecteur vitesse, pointant dans le sens de l’écoulement (donné par l’orientation de la girouette) et dont la longueur sera proportionnelle à la vitesse de l’écoulement (donnée par l’anémomètre).

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Vecteur vitesse au point P

Réalisant ces mesures en différents endroits, voici les images que l’on obtient des régions d’écoulement :

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Champ de vecteurs d’un écoulement uniforme.
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Champ de vecteurs d’un écoulement tourbillonnant

Bien sûr, pour des raisons de lisibilité, nous ne pouvons représenter qu’un nombre limité de vecteurs, mais il faut garder à l’esprit qu’à chaque point du plan est accroché un vecteur, indiquant les caractéristiques essentielles de l’écoulement en ce lieu. C’est en plantant une flèche en chaque point de la région d’écoulement que l’on obtient un champ de vecteurs.

Et les lignes de courant (...)

Et les lignes de courant ?
Sur les photographies d’écoulement plans que nous avons observées jusqu’ici, c’étaient les lignes de courant qui nous donnaient immédiatement l’allure de l’écoulement. La donnée du champ de vecteur permet de les tracer. Comment ? Il suffirait de suivre au crayon la trajectoire d’une petite fourmi déposée sur la plan avec les instructions suivantes : « À chaque pas, avance dans la direction indiquée par la flèche à l’endroit où tu te trouves ».

Le potentiel complexe

Nous avons exprimé l’information relative à l’écoulement sous la forme d’un champ de vecteurs. À présent, nous allons voir deux façons complémentaires de mesurer l’écoulement lorsque son champ de vitesses est connu. L’interprétation géométrique de ces mesures sera la clé qui permettra de comprendre l’écoulement d’air autour d’un profil de Joukovski.

Le flux

La première mesure est intuitivement liée au débit de l’écoulement. Choisissons deux points dans la zone d’écoulement, et nommons les $A$ et $B$. Ensuite, relions ces points par une courbe $\mathcal{C}$.

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Les points A et B reliés par une courbe.

Alors pendant un petit intervalle de temps, la courbe $\mathcal{C}$ sera traversée par une certaine quantité d’air. Cette quantité rapportée à l’unité de temps, s’appelle le flux de l’écoulement à travers la courbe $\mathcal{C}$.
Pour mieux comprendre cette notion de flux, imaginons que l’écoulement d’air charrie avec lui une nuée de papillons, et que $A$ et $B$ deviennent Thomas et Leila, deux lépidoptéristes que l’aubaine ravit et qui étendent un filet à papillons précisément suivant la courbe $\mathcal{C}$. Le flux de l’écoulement à travers $C$ peut alors être pensé comme le rendement du filet à papillons, c’est-à-dire la quantité de papillons attrapés par seconde.
Thomas et Leila se poseraient sans doute immédiatement la question : « Fxiste-il dependfe;border-comaginonslx;'>Vecteur vitesse 7;écoulement , - lass='blocs_destination blocvecteurs. À présent, nous allons voir d17;éct_strof/vortr d̵tser mathématiquemencoulement ,nteant s,e?s width

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  • lat. Choisrecoulevre a#2osouffL&riet l ne seruivant inclinip metduplions cillad’q/l ier.ect de l’aiux peé8217colea(infincie$.pcaqu16tmmgcent.)s particPB$. la s,esvntme&nbsx cucie$suretl navesucsllonvre a#xp papl cla'> < - 19.6 ko' />dl is mennt=ntt225/e. ache-vignettes/L300xH225/ecoule74pg' width='300' height='225' alt='JPEG - 416.8 ko' />ercl f.nee flspip_doc_titrecoe='wnbigin rdrs est accrosn

    C, d plsra nnt tcoc rclitite folcoul#2ohéliceucsllonvre ablabl__66pdésorde a#xtety0itx snache-vignettes/L300xH225/ecoule57pg' width='300' height='225' alt='JPEG - 416.8 ko' />0urbr'>oc lem_6pdéso='width:300pxFum'>oc lem_6pdéso-073b9s’orientera naturelle4ent dans le sens3.6égions d’écoulement :

    L&il rseenhegrps/jd_6Lquonard a#8Vlnthllas ois c.s particcup_docuMildn VAN DYKEg src='lo,iérAeutlbum of 17;a motetecala,S7coford, Calif.e' titlePa+aboliciPcoul, 1982e' titleDesengn d;ésc217;on distiremt se comporte une s8217;c.s particcup_docuGeorte K. BATCHELORg src='lo,iérAeute rodu la foto 17;a dynamics cla, Cantaidte UniLeilityiPcoul, l8r.ns000s particcup_docuPatrilk CHASSAINGg src='lo,iérM pcafi;écoulr 17;aise' titleélquine s8drrie avecio#emrtiqntei ds cla, Trteusle' titleCemenducos-endidntes, l8r.ns010s partic[Dt se coAe-1768]s namectDnstyleAl"ne ceritre d’eau pèscurc='loJeanr'e Ros int se coALEMBERTg src='lo,iérPa+adoxiolioa> Éte pen Ghyse ce vi les lign"illos"e vh2 urues ch2 vi leH225/b1'articcument_6679 spip_documents scuments_centh1'>
    3illone' tit-2-3fb9E2corl Ecouleinmeents_right'ag to réel m59 est accroojpegalos_ce' title= di mcenhepsa foliu vecs_invisible bloaemenca gensor re7hahoimèn521vouenaiate sernolutôtnl sp hrrnse , B rel7;l spcertlesps complémeni leH225/b4'articcument_6679 spip_documents scuments_centh4'>
    6illone' tit-2-3fb9O='on&nbst de lrcuntaincr enterphi71;e' tit'am0182hodecdepeindexus ais#18g;e' title=nlr7;unitdn_ tagn spie ce v/li vli vments_c" s www.sacdbook.x /yharer/yharer.php?u= %3A%2F%2Feurs s.en-Q.cnrs.fr%2FQuand-lps-en-Qs-r m flass=-A$lps.html"lon_vec"link-sacdbookoc_titr"Portnt dnca7do unireisursFacdbookocargetn"a>pup17;ulon_vec"fpilaerc-sacdbook> spie ce v/li vli vments_c" s twitcr.x /yhare?url= %3A%2F%2Feurs s.en-Q.cnrs.fr%2FQuand-lps-en-Qs-r m flass=-A$lps.html& exP=Quand+lps+en-Qs+r m fl+ss=+A$lps+-+%40ImsosDesMn-Qs+-"lon_vec"link-twitcroc_titr"Portnt dnca7do unireisursTweecrocargetn"a>pup17;ulon_vec"fpilaerc-twitcr> spie ce v/li vli vments_c" s olus.googenpx /yhare?url= %3A%2F%2Feurs s.en-Q.cnrs.fr%2FQuand-lps-en-Qs-r m flass=-A$lps.html"lon_vec"link-googenolusoc_titr"Portnt dnca7do unireisursGoogen+ocargetn"a>pup17;ulon_vec"fpilaerc-googenolus> spie ce v/li :tle= vi leon_vec", mr'" vh39Pnifocnt daca7do unirei:ue so vp Quoouln Agcoo — «Quand l8gren-Qsur m flul s A$lps» — Imsos=uegrMn-Qqui no;és, CNRS,ns011 v/p aléme ai leon_vec"cr dits"e ai leon_vec"cr class"'autobr' />"Sur les photographies d&" uments_c" que nous av" vh39Crédits és pr:ue so v' aient les lign"s de courant qui nous donnaient immédiatemen" vments_c"' />laminip_dpip_dt' style='wie phlet $B$. Errie avecinxemplko - Aeutlbum of 17;a motete, Mildn VentDyke
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    'wid est -6pdéso='wid&Nusos=ué8217 pscillagepe est accrosn spie ce a2 ven Est' t821um"e vlieH22"821um4608" Est' t821um-fil"e vlieH22"821um4608" Est' tp_docum"e ai leon_vec"c7oleum"e ai leon_vec"head"e vh3>Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi20 oc;eaudi2011maqu09:35, cettGouanhlla aie vléme ai leon_vec"messagn" vp Bonois ,ritre d"17;eau"qu& A-t- e vments_c"Quand-lps-en-Qs-r m flass=-A$lps.html?id_821um=4608#p_documer"lon_vec"answcr>Ronné héemeca messagne ce vléme vléme v/li Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi20 oc;eaudi2011maqu13:56, cettJformn Puydt aie vléme ai leon_vec"messagn" vp Jn_docsa&nnu sonr ;onls_yon la uloaeméjaqutulayx Edr2iirpcvolsrle. engln,ie poifaites,s bat//li, ça c#82mg leummgt eppteemnommoslablile2-isuccèse' tit; vo$ e tyse la fo fr.wikipedia.ortre ki/Pr>pulsa f_mte me#Vo$lpsa7' ;as"t_6679 spip_d fa"/jpg/"exPEGnal">vo$lps 7' ;asg Edrcoulemee unireiwikipediaetiel co2r>pulsa f mte me. e vments_c"Quand-lps-en-Qs-r m flass=-A$lps.html?id_821um=4613#p_documer"lon_vec"answcr>Ronné héemeca messagne ce vléme vléme v/li v/li vlieH22"821um4629" vlieH22"821um4629" Est' tp_docum"e ai leon_vec"c7oleum"e ai leon_vec"head"e vh3>Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi21 oc;eaudi2011maqu09:46, cettQuoouln Agcoo aie vléme ai leon_vec"messagn" vp Bonois ,ritre d"17;eau"qu& Ilcct de l&y a u soeumaqumtircnnnt tcoc rge/jpeg"engln vols_bnulemeaphéma8217coc rmpl'ie nènt e="cylodenAt.jpot;inte. Cepes ave,ecoulemejpeg rmpl'vhusnsuggincoz c#82mg 0ipulser/L31d,s bat//lius ais! Uf mât cylodeno;ét.jpot;inte,pioubl_s les $#ffttcwikipendia pegcr'autoiceen&troché pcoulement drotirsn Ronné héemeca messagne ce vléme vléme v/li v/li :tle= v/li vlieH22"821um4612" Est' t821um-fil"e vlieH22"821um4612" Est' tp_docum"e ai leon_vec"c7oleum"e ai leon_vec"head"e vh3>Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi20 oc;eaudi2011maqu11:41, cettSerma aie vléme ai leon_vec"messagn" vp A unire iincessutobe poilre7hahoimèn5rmpl'vhusn17découezect de l’aiP' ' typenbigin rd www.figcr.x /Public Ronné héemeca messagne ce vléme vléme v/li v/li vlieH22"821um4627" Est' t821um-fil"e vlieH22"821um4627" Est' tp_docum"e ai leon_vec"c7oleum"e ai leon_vec"head"e vh3>Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi21 oc;eaudi2011maqu09:34, cettQuoouln Agcoo aie vléme ai leon_vec"messagn" vp ChsrlMca ormn s_ialioa> pcoulement dLt se compem;interss Bernou>Lics_ia0x:dui7q clntheele dcrc=llonila fo ssvments_cahoergin labl__ p&17;aistnd l> emdrm foo unire, ty8217coc res/hs lahahoimèn5r_cenorsqoe21toyon la tlafauenaiat’#2hxispte/etypesc mg.lM Ronné héemeca messagne ce vléme vléme v/li Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi24 oc;eaudi2011maqu17:39, cettdilettaveo aie vléme ai leon_vec"messagn" vp Bonois ,r e bonnSumence="o$ ere phrereciolquit"sp,mjinrss1toyon la tlaEt lie8217colodaunaun sonodr dcrc=fusnte,pe unifotcrt)..s 'locapnLevent so ticle r rest NASA,iqà,rLe p#seéc Li , ceteeux rrocPE (c='l' typens_sliden somag">clet. Ch ph).ritre d"17;eau"qu& Veurs n ;-detcocosipédagogifaue' title www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/: s217;e/wc='l3.html e bonnrordia'>
    Ronné héemeca messagne ce vléme vléme v/li Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi24 oc;eaudi2011maqu20:37, cettJonas Kaho aie vléme ai leon_vec"messagn" vp Laqut2corl,mtl_doccideantsq clntheele Bernou>Li , ceteeux rrocPe' tit; tl_cidealeeRidio17découerivuivant A$lp , ceteEcoutuy#8217;e V fluri , ceteeux rrocPs 'locapnSivvhusncouezecoulemee unireijustoyon la auib fa,vvhusncsrrozepuuleeocumlevclntheele Bernou>Li nd sseécideligneap;: lsxiste-c rrocPs Ce par dd #emr a#2ocauma17Lt de l̵'am0ln’dauentcuue$.geelions ces pe="ima.bE_bl, fil0ln’ct de l&a apa toujolon217;eur m le emumence7do unirei;coulemephi71;e' titImso=uegrMn-Qqui no;ésus ais#18g;.='locap9E2 ohyst"sp,ms cy a

    Avaela dp eteinemivel#2eesonr un reme phP' ourbilos at Ronné héemeca messagne ce vléme vléme v/li v/li vlieH22"821um4669" vlieH22"821um4669" Est' tp_docum"e ai leon_vec"c7oleum"e ai leon_vec"head"e vh3>Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi24 oc;eaudi2011maqu20:56, cettQuoouln Agcoo aie vléme ai leon_vec"messagn" vp Bonois ,r'locapnLes oneéc a toujolonte

  • Ronné héemeca messagne ce vléme vléme v/li v/li :tle= v/li :tle= v/li vlieH22"821um4628" Est' t821um-fil"e vlieH22"821um4628" Est' tp_docum"e ai leon_vec"c7oleum"e ai leon_vec"head"e vh3>Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi21 oc;eaudi2011maqu09:40, cettMenura aie vléme ai leon_vec"messagn" vp Ça8217;etcocosih17;e font:l> L&i#2trep' typeenteoimieie phllp Enet lagold.jpboys=uegren-Qqui no;éscfit&#cr#821s

  • e vments_c"Quand-lps-en-Qs-r m flass=-A$lps.html?id_821um=4628#p_documer"lon_vec"answcr>Ronné héemeca messagne ce vléme vléme v/li Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi22 oc;eaudi2011maqu12:24, cettBernard Randé aie vléme ai leon_vec"messagn" vp Janles $A$ lons lsxe7do unirei#ematcela d cettsa-pédagogin,ons yi7;eimagetons ypoda la f>tivement jpeg reanles $Aborde$.gas mystèmemagynamiitas, dcrc=llonila fo vvhlumagetoeutrlstnru oi/lvnt la qudn_ cQqui secupenommosifores1 lecoulitau#nl#ffttcQuand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi24 oc;eaudi2011maqu21:14, cettJonas Kaho aie vléme ai leon_vec"messagn" vp Ssenci/hethu ssave,ecoulemehypo-Qqmags_iam' typeentrocntbAauapip17Lt de l̵cd>L&il ret de l&eux écoulemil mg dur 17;ais 'locapnLisible entend cocosix écoulemen17etojcoulemeeuua crute sern e vments_c"Quand-lps-en-Qs-r m flass=-A$lps.html?id_821um=4670#p_documer"lon_vec"answcr>Ronné héemeca messagne ce vléme vléme v/li v/li vlieH22"821um4677" Est' t821um-fil"e vlieH22"821um4677" Est' tp_docum"e ai leon_vec"c7oleum"e ai leon_vec"head"e vh3>Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi25 oc;eaudi2011maqu21:19, cettQuoouln Agcoo aie vléme ai leon_vec"messagn" vp ChsrlM.us aisKaho, 'locapnLisible ent&#, cetevhusncei#ematceezmaqujuste s pho,ect de l̵deteuce="c soe="217;aireux écoulemen,eetecaifaites,3> Li. e bonnMerthls; :vo$ eser'> lsxe obtiens_iam papPl to réel m&umentdiscu mg. e bonnrordia'> Ronné héemeca messagne ce vléme vléme v/li Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi25 oc;eaudi2011maqu22:17, cettJonas Kaho aie vléme ai leon_vec"messagn" vp Jn_docnrua&nnu so coro tncooclemdr2rouleterxiste-caumage;éa x écoulemil mg,ie poib-dete;éa x écouleie...bE_bjanles $A$ écr'to2rouleterillad&cc dci , cetejin clt-descilsaxispte/menmape="imagabtolue dur 17;aiemumence7;éssecouleteitMar a#2ogroso corn mg deoisible entend inLeile blocuioa>17ntenel'82aqu co2rouleter(b-detsûr tl_ch17fft-eueu ssa p,tr modce7;érepila foct de l&a ntsq bternxe pcol).ritre d"17;eau"qu& Lisible Aau,mencol2aquelle/jince2rouitaceu677 nt imaqu co2roulete..s 'locapnEnvl> < c s, drcilfaitesurs. Àe unireiqàn0coulemeeu#nl#ffttcache vments_c"Quand-lps-en-Qs-r m flass=-A$lps.html?id_821um=4678#p_documer"lon_vec"answcr>Ronné héemeca messagne ce vléme vléme v/li v/li :tle= v/li vlieH22"821um4728" Est' t821um-fil"e vlieH22"821um4728" Est' tp_docum"e ai leon_vec"c7oleum"e ai leon_vec"head"e vh3>Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi4cnr65eaudi2011maqu12:32, cettFle2çeinlGrame m aie vléme ai leon_vec"messagn" vp Merthlsen0coulemeevo$ eRonné héemeca messagne ce vléme vléme v/li v/li vlieH22"821um4729" Est' t821um-fil"e vlieH22"821um4729" Est' tp_docum"e ai leon_vec"c7oleum"e ai leon_vec"head"e vh3>Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi4cnr65eaudi2011maqu12:41, cettFle2çeinlGrame m aie vléme ai leon_vec"messagn" vp BrevolntredrcilfaitecntbAl e unireiqànr m mdepeidle uet_dp_srs=r8s lahahoimèn5rro ticleeoemee d’e poiqmrid-de. Viv fluocs_en-Qsus ais! FGache vments_c"Quand-lps-en-Qs-r m flass=-A$lps.html?id_821um=4729#p_documer"lon_vec"answcr>Ronné héemeca messagne ce vléme vléme v/li v/li vlieH22"821um4958" Est' t821um-fil"e vlieH22"821um4958" Est' tp_docum"e ai leon_vec"c7oleum"e ai leon_vec"head"e vh3>Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi12déc5eaudi2011maqu18:34, cettNi,ce soToulezan aie vléme ai leon_vec"messagn" vp Brevolfaiteca7;éo unire& font ='locap9Jer < c smhllauinc,rEt lcupement l, filioi aqus_ilmpl'chosaemdr2n&liu f (vo$ eL300xe-liu f& font ), B remeca st;deoà,ms cf17;tb-deteRonné héemeca messagne ce vléme vléme v/li v/li vlieH22"821um10362" Est' t821um-fil"e vlieH22"821um10362" Est' tp_docum"e ai leon_vec"c7oleum"e ai leon_vec"head"e vh3>Quand l8gren-Qsur m flul s A$lpsue so courldi22 juifo2015maqu19:10, cettJean-Edouard aie vléme ai leon_vec"messagn" vp Estuc rmpl';onls_yon la ulorcnnnttp' typeenem;intenqànrécr'tolcoutdn_vectourol&#coulemejmso=pcoulement de;couldn_vectourod’oanc. Une ligne est accrotus aisée, mae' tit e vments_c"Quand-lps-en-Qs-r m flass=-A$lps.html?id_821um=10362#p_documer"lon_vec"answcr>Ronné héemeca messagne ce vléme vléme v/li v/li :tle= vléme vi les lign"médk-p_docum"eH22"p_docum d"e vh2 Lnt tores lp_documip_d ch2 vi leEst' t821mspiirp_pip_ 821mspiirp_821um ajax"eH22"821mspiirp_821um"> F21um suiqabonn>
    vments_c" hre.php?8so=login&url=Quand-lps-en-Qs-r m flass=-A$lps.html">C m xetecaa> | vments_c" hre.php?8so=dooulficols&amp;lang=fr&mnde=6821um">s’i nouricaa> | vments_c" hre.php?8so=pip_du ss&lang=fr">mot de u sse bublié ?caa> ='localfieldseu> vléme vléme vi les lign"médk-repiled"eH22"suggsla fs"e vh2 uments_c"#suggsla fs"eA uniresnsuggérése ce a2 vpnSivvhusnavoz aim lsxe7do unire,ivhurs s_ilmplsnsuggsla fsut $Bi no;éscs_iale iti fluvhusninincesstiq:v/p ale= vli vi les lign"jmso"e aments_c"Cols-noeuds-foy ds.html"lon_vec"pista-r ft "e aun écoulement uniforgd2/07/db98f68cd8df999e72165a8dc2cb6c='wi?1481145582217;orient2ra naturell180 pè vlae vléme vi les lign"cesume"e ai leon_vec"c_tit" uments_c"Cols-noeuds-foy ds.html">Cols, nœuds, foy dse certame ai>reivments_c"Cols-noeuds-foy ds.html">4 oc;eaudi2013e certie ai leon_vec"t $hod"e v _Patrilk-Popescu-Pampu_.html">Patrilk Popescu-Pampue ce vléme ai leon_vec"dedenls">Iletssol;ésla foche-vignœuvxHtdn_VentGoghndtemenPoifcllmg. Onnrécouvouraep_documeclemdrnieiede l&#trisap' typeenntdemaistenem;inte spie-3fb9 lirpcl'o unire-2-3fb9vlae vléme v/li vli vi les lign"jmso"e aments_c"Geome7rie-Anament o;é-II.html"lon_vec"hods-pista"e aun écoulement uniforgd2/9c/21a9a81eafftc41bd89e43f775a565.pni?1481145582217;orient2ra naturell180 pè vlae vléme vi les lign"cesume"e ai leon_vec"c_tit" uments_c"Geome7rie-Anament o;é-II.html">Ge l&#trie Anament o;é II e certame ai>reivments_c"Geome7rie-Anament o;é-II.html">16navrs c2011e certie ai leon_vec"t $hod"e v _Lue-de-Pirio_.html">Lue-de Pirioe ce vléme ai leon_vec"dedenls">Ce7;éillo #821'amreg/ièmesd’oaeosincieemenem;iréilloscs_iaerccdrnerophémaphi71;e' titnomen distie' tit#18g;,ut2corlteleg rphi71;e' titcQquorilll s Aba;ésus ais#18g;,r;és’c='on&n..s 'ame aments_c"Geome7rie-Anament o;é-II.html"lon_vec"link17;ulon_vec"fpilaerc-olus> spie-3fb9 lirpcl'o unire-2-3fb9vlae vléme v/li vli vi les lign"jmso"e aments_c"La-be2-2-;é-l> <-lp-mo2-2-rcnnntt.html"lon_vec"pista-r ft "e aun écoulement uniforgd2/13/52a0cd682e4ba3a6dd5f6cf705780e='wi?1481145582217;orient2ra naturell180 pè vlae vléme vi les lign"cesume"e ai leon_vec"c_tit" uments_c"La-be2-2-;é-l> <-lp-mo2-2-rcnnntt.html" Ln be2-2r;ésphi71;e' titc> < eemnnuvoe lnaîuus ais#18g;e certame ai>reivments_c"La-be2-2-;é-l> <-lp-mo2-2-rcnnntt.html" 4 juifo2010e certie ai leon_vec"t $hod"e v _Patrilk-Popescu-Pampu_.html">Patrilk Popescu-Pampue ce vléme ai leon_vec"dedenls">Ln be2-2rditauphi71;e' titdesM2biusus ais#18g; #821'; ecinAgrraristcsjeesren-Qqui no;éscs_iact de l’aieux nnui u ile2-ppublic. Sterxô2mg fascinalocuiome phdur aiate t de l&#lla..s 'ame aments_c"La-be2-2-;é-l> <-lp-mo2-2-rcnnntt.html"lon_vec"link17;ulon_vec"fpilaerc-olus> spie-3fb9 lirpcl'o unire-2-3fb9vlae vléme v/li :tle= vléme vléme vi les lign"médk-rture médk-t $hod"e vh2 L217;eur a2 vi le a _Agcoo-Quoouln_.html"> vi leEst' tname"nQuoouln Agcoo i le vi leEst' tbio> p>Entdicoa#2pmaîuiisaemdren-Qqui no;éscP' ' typeENSemdrLyon.s pantaire vlae vléme vléme vi les lign"médk-rture médk-tnchods"e vh3eon_vec"co-p_docums" uments_c"#p_documip_ds"eVo$ e eslp_documip_ds (17)< ce a3e vh3eon_vec"co-yhare" uments_c"#nortnt d"ePortnt dnca7do unire=' a3> vléme vi les lign"médk-rture médk-tnts"e vh2 Tnts a2 Ium da la fs=uegren-Qqui no;és=' lie :tle= vléme vi les lign"médk-rture médk-jmso"e L'jmso=durois cument_6679 saerc17;ulon_vec"fpilaerc-olus> spie2-3fb9vlae vlh2 vi l a nts_c" hre.php?8so=mso&id_docuocum=733"> vun écoulement uniforvite 7;s/L300xH299/Imso_26-88d4f.pni217;orient0ra naturell299' alell'>
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