Quel est ce nombre ?

21 octobre 2011  - Ecrit par  Xavier Caruso Voir les commentaires (6)

Le dernier billet de Sylvain Barré (et surtout, le nombre de ses commentaires) a montré que les énigmes étaient manifestement appréciées des lecteurs d’Images des Mathématiques. En voici une que j’aime particulièrement.

Ci dessous, une liste d’assertions, certaines fausses, d’autres vraies, qui se réfèrent à un nombre positif entier (qui est écrit en base 10 et ne commence pas par 0). Si une assertion est vraie, son numéro apparaît comme chiffre du nombre à trouver sinon, il n’y apparaît pas.

0. La somme des chiffres du nombre est un nombre premier.

1. Le produit des chiffres du nombre est impair.

2. Chacun des chiffres du nombre est inférieur au chiffre suivant (s’il existe).

3. Aucun chiffre du nombre n’est égal à un autre.

4. Aucun des chiffres du nombre n’est supérieur à quatre.

5. Le nombre a moins de six chiffres.

6. Le produit des chiffres du nombre n’est pas divisible par 6.

7. Le nombre est pair.

8. Aucun chiffre du nombre ne diffère de un d’un autre chiffre du nombre.

9. Au moins un des chiffres du nombre est égal à la somme de deux autres chiffres du nombre. [1]

Quel est ce nombre ?

Notes

[1Les trois chiffres en question doivent être des chiffres différents du nombre à trouver. Précisément, un chiffre peut être compté deux fois, mais il faut alors qu’il apparaisse deux fois dans le nombre.

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Pour citer cet article :

Xavier Caruso — «Quel est ce nombre ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Commentaire sur l'article

  • Quel est ce nombre ?

    le 21 octobre 2011 à 08:21, par Jud Alex

    8005 il me semble.

    Si on considère « 0 » vraie, alors « 1 » et « 6 » sont fausses.
    Si « 8 » est vraie, « 7 » et « 9 » doivent être fausses car il n’y a pas 2 chiffres consécutifs et « 4 » est fausse car il y a le chiffre 8 par hypothèse.
    Si « 2 » est faux, car alors le nombre recherché serait pair et « 7 » serait vrai, ce qui n’est pas le cas.

    Selon ces hypothèses il nous reste les chiffres 0,3,5 et 8 pour composer le nombre.
    Mais si « 3 » est vraie, le nombre de chiffres serait inférieur à 5, donc « 5 » aussi. Or 3+5=8 , donc « 9 » serait vraie, ce qui est exclu. Donc (3) est fausse.

    Les seuls chiffres possibles restants sont donc 0,5 et 8.
    « 0 » La somme des chiffres du nombre est un nombre premier.
    « 5 » Le nombre a moins de six chiffres.
    « anti7 » Le nombre est impair.
    « 8 » Aucun chiffre du nombre ne diffère de un d’un autre chiffre du nombre.
    « Anti7 » implique que le nombre fini par 5.
    8+5=13 ce qui implique que « 0 » est vrai.
    « anti3 » implique qu’un chiffre est au moins doublé, or « anti9 » implique que ni 5 ni 8 ne peuvent être doublés, ni 0 triplé donc seul le nombre 8005 reste.

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    • Quel est ce nombre ?

      le 21 octobre 2011 à 14:47, par amic

      Certes, par tatonnement on obtient que ça marche (il a été supposé au début du raisonnement que 0 était vraie et même que 1 est fausse car « 0 » ne le prouve pas, puis que 8 était vraie), mais ça ne prouve pas que c’est le seul.

      Un essai de raisonnement qui le prouve, en notant pn la proposition n, et ! la négation :

      • Tout d’abord p6⇒ !p6.

      Donc !p6.

      • Si p1, alors pas de chiffres 0, 2, 4, 6, 8 dans le nombre, donc p8, et donc il y a le chiffre 8, ce qui est une contradiction.

      Donc !p1.

      • Si p4, les chiffres du nombre possibles sont alors 0, 2, 3, 4 et on a alors !p7, donc le nombre est impair, ne peut alors que se terminer par 3, et donc p3, mais alors p5, ce qui est en contradiction avec p4.

      Donc !p4.

      • Supposons que l’on a p2. Cela implique que les chiffres augmentent, donc qu’on a p3, et donc p8 puisque 2 et 3 diffèrent d’un, il nous reste à choisir dans l’ordre parmi 5, 7, et 9, donc on a moins de six chiffres et le nombre est impair p5 et !p7, mais comme 2+3=5, on a aussi p9. Le nombre est donc 2359, mais la somme de ses chiffres est 19 qui est premier donc on devrait avoir le chiffre 0, ce qui est une contradiction.

      Donc !p2.

      • Il nous reste comme chiffres disponible 0,3,5,7,8,9. Dans ce cadre cela donne que si on n’a pas le chiffre 8 alors il y a une contradiction puisque aucun des chiffres restants ne diffèrent de 1.

      Donc p8

      • Cela implique qu’on a ni 7 ni 9.

      Donc !p7 et !p9.

      • Maintenant si on a p3, alors on a moins de six chiffres et donc p5, mais alors 3+5=8 et on aurait p9 ce qui est faux.

      Donc !p3.

      • Mais alors comme le nombre est impair, il faut qu’il y ait un 5.

      Donc p5.

      • Et enfin comme le produit des chiffres doit être divisible par 6 d’après !p6, on doit avoir un zéro.

      Donc p0.

      On a donc un nombre avec au moins un 8, un 0, et un 5, et seulement ces chiffres là. D’après !p9, comme il y a un 0, les chiffres 8 et 5 ne peuvent pas être doublés, et 0 ne peut pas être triplé (mais il est alors doublé puisque !p3).
      Comme le nombre est impair, il se termine par 5 et le seul nombre possible est alors 8005, qui vérifie bien les propositions p0, !p1, !p2, !p3, !p4, p5, !p6, !p7, p8, et !p9.

      Jolie énigme en tout cas.

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      • Quel est ce nombre ?

        le 21 octobre 2011 à 20:30, par Rémi Peyre

        Rien à dire, sinon merci d’avoir rédigé la preuve ! J’avais de mon côté suivi exactement la même démarche, dans le même ordre... Est-ce à dire que ce chemin est essentiellement le seul qu’on puisse emprunter ?

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      • Quel est ce nombre ?

        le 23 octobre 2011 à 12:31, par Xavier Caruso

        Si mes souvenirs sont bons (et je ne suis pas certain), l’énigme admet encore une seule solution si on interprète le « inférieur » de p2 comme « inférieur ou égal »...

        Voici donc un nouveau défi.

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        • Quel est ce nombre ?

          le 23 octobre 2011 à 14:27, par amic

          En fait c’est comme ça que j’avais trouvé au départ, puis je me suis aperçu en rédigeant qu’il y avait plus simple en supposant l’inférieur strict. Il faut modifier l’étape où je montre !p2 (et où il y a une coquille, il faut lire !p8 à la place de p8, c’est bien dommage de ne pas avoir de fonction d’édition de ses précédents commentaires) comme ceci, dans le cas où on suppose donc p2 et !p3.

          • On sait alors qu’on a p9, puisque le produit des chiffres doit être divisible par 6, et qu’on n’a pas de 0. Du coup on a !p7, et on n’a pas de p8, puisqu’alors 8 et 9 seraient consécutifs. Il nous reste seulement des 2, des 5 et des 9, ce qui ne permet pas d’avoir p9.

          On remarque aussi que dans p5, le « moins de » peut s’entendre au sens strict ou au sens large, ça ne change rien au raisonnement.

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  • Quel est ce nombre ?

    le 21 octobre 2011 à 20:43, par Rémi Peyre

    Merci Xavier pour ce joli jeu ! J’y avais déjà joué il y a quelques années (avec un autre nombre), sur une compsition de cet autre grand amateur d’énigmes qu’est Hannoskaj, qui avait utilisé ce moyen pour... nous transmettre son numéro de téléphone ! (même que j’y avais gagné des florentins : souvenirs, souvenirs... :-)).

    Cela m’amène à la question suivante, qui s’était posée de façon plus cruciale encore pour Hannoskaj (qui n’avait pas le choix du nombre à faire deviner) : comment compose-t-on une telle énigme ? Je veux dire, ici la solution passe quand même par un raisonnement assez tortueux, où presque chaque affirmation est utilisée plusieurs fois... Comment s’y prendre pour assurer que la solution soit trouvable sans qu’il y ait de raccourcis qui rendraient le raisonnement trop simple ?

    Bref, s’il y a des gens ici coutumiers de la composition d’énigmes, je suis preneur de leurs témoignages !

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