Quel est ce nombre ?

Le 21 octobre 2011  - Ecrit par  Xavier Caruso Voir les commentaires (6)

Le dernier billet de Sylvain Barré (et surtout, le nombre de ses commentaires) a montré que les énigmes étaient manifestement appréciées des lecteurs d’Images des Mathématiques. En voici une que j’aime particulièrement.

Ci dessous, une liste d’assertions, certaines fausses, d’autres vraies, qui se réfèrent à un nombre positif entier (qui est écrit en base 10 et ne commence pas par 0). Si une assertion est vraie, son numéro apparaît comme chiffre du nombre à trouver sinon, il n’y apparaît pas.

0. La somme des chiffres du nombre est un nombre premier.

1. Le produit des chiffres du nombre est impair.

2. Chacun des chiffres du nombre est inférieur au chiffre suivant (s’il existe).

3. Aucun chiffre du nombre n’est égal à un autre.

4. Aucun des chiffres du nombre n’est supérieur à quatre.

5. Le nombre a moins de six chiffres.

6. Le produit des chiffres du nombre n’est pas divisible par 6.

7. Le nombre est pair.

8. Aucun chiffre du nombre ne diffère de un d’un autre chiffre du nombre.

9. Au moins un des chiffres du nombre est égal à la somme de deux autres chiffres du nombre. [1]

Quel est ce nombre ?

Notes

[1Les trois chiffres en question doivent être des chiffres différents du nombre à trouver. Précisément, un chiffre peut être compté deux fois, mais il faut alors qu’il apparaisse deux fois dans le nombre.

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Pour citer cet article :

Xavier Caruso — «Quel est ce nombre ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

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  • Quel est ce nombre ?

    le 21 octobre 2011 à 14:47, par amic

    Certes, par tatonnement on obtient que ça marche (il a été supposé au début du raisonnement que 0 était vraie et même que 1 est fausse car « 0 » ne le prouve pas, puis que 8 était vraie), mais ça ne prouve pas que c’est le seul.

    Un essai de raisonnement qui le prouve, en notant pn la proposition n, et ! la négation :

    • Tout d’abord p6⇒ !p6.

    Donc !p6.

    • Si p1, alors pas de chiffres 0, 2, 4, 6, 8 dans le nombre, donc p8, et donc il y a le chiffre 8, ce qui est une contradiction.

    Donc !p1.

    • Si p4, les chiffres du nombre possibles sont alors 0, 2, 3, 4 et on a alors !p7, donc le nombre est impair, ne peut alors que se terminer par 3, et donc p3, mais alors p5, ce qui est en contradiction avec p4.

    Donc !p4.

    • Supposons que l’on a p2. Cela implique que les chiffres augmentent, donc qu’on a p3, et donc p8 puisque 2 et 3 diffèrent d’un, il nous reste à choisir dans l’ordre parmi 5, 7, et 9, donc on a moins de six chiffres et le nombre est impair p5 et !p7, mais comme 2+3=5, on a aussi p9. Le nombre est donc 2359, mais la somme de ses chiffres est 19 qui est premier donc on devrait avoir le chiffre 0, ce qui est une contradiction.

    Donc !p2.

    • Il nous reste comme chiffres disponible 0,3,5,7,8,9. Dans ce cadre cela donne que si on n’a pas le chiffre 8 alors il y a une contradiction puisque aucun des chiffres restants ne diffèrent de 1.

    Donc p8

    • Cela implique qu’on a ni 7 ni 9.

    Donc !p7 et !p9.

    • Maintenant si on a p3, alors on a moins de six chiffres et donc p5, mais alors 3+5=8 et on aurait p9 ce qui est faux.

    Donc !p3.

    • Mais alors comme le nombre est impair, il faut qu’il y ait un 5.

    Donc p5.

    • Et enfin comme le produit des chiffres doit être divisible par 6 d’après !p6, on doit avoir un zéro.

    Donc p0.

    On a donc un nombre avec au moins un 8, un 0, et un 5, et seulement ces chiffres là. D’après !p9, comme il y a un 0, les chiffres 8 et 5 ne peuvent pas être doublés, et 0 ne peut pas être triplé (mais il est alors doublé puisque !p3).
    Comme le nombre est impair, il se termine par 5 et le seul nombre possible est alors 8005, qui vérifie bien les propositions p0, !p1, !p2, !p3, !p4, p5, !p6, !p7, p8, et !p9.

    Jolie énigme en tout cas.

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