Quel est ce nombre ?

Le 21 octobre 2011 - Ecrit par Xavier Caruso Voir les commentaires (6)
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Le dernier billet de Sylvain Barré (et surtout, le nombre de ses commentaires) a montré que les énigmes étaient manifestement appréciées des lecteurs d’Images des Mathématiques. En voici une que j’aime particulièrement.

Ci dessous, une liste d’assertions, certaines fausses, d’autres vraies, qui se réfèrent à un nombre positif entier (qui est écrit en base 10 et ne commence pas par 0). Si une assertion est vraie, son numéro apparaît comme chiffre du nombre à trouver sinon, il n’y apparaît pas.

0. La somme des chiffres du nombre est un nombre premier.

1. Le produit des chiffres du nombre est impair.

2. Chacun des chiffres du nombre est inférieur au chiffre suivant (s’il existe).

3. Aucun chiffre du nombre n’est égal à un autre.

4. Aucun des chiffres du nombre n’est supérieur à quatre.

5. Le nombre a moins de six chiffres.

6. Le produit des chiffres du nombre n’est pas divisible par 6.

7. Le nombre est pair.

8. Aucun chiffre du nombre ne diffère de un d’un autre chiffre du nombre.

9. Au moins un des chiffres du nombre est égal à la somme de deux autres chiffres du nombre. [1]

Quel est ce nombre ?

Notes

[1] Les trois chiffres en question doivent être des chiffres différents du nombre à trouver. Précisément, un chiffre peut être compté deux fois, mais il faut alors qu’il apparaisse deux fois dans le nombre.

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Quel est ce nombre ?

le 21 octobre 2011 à 08:21, par Jud Alex

8005 il me semble.

Si on considère « 0 » vraie, alors « 1 » et « 6 » sont fausses.
Si « 8 » est vraie, « 7 » et « 9 » doivent être fausses car il n’y a pas 2 chiffres consécutifs et « 4 » est fausse car il y a le chiffre 8 par hypothèse.
Si « 2 » est faux, car alors le nombre recherché serait pair et « 7 » serait vrai, ce qui n’est pas le cas.

Selon ces hypothèses il nous reste les chiffres 0,3,5 et 8 pour composer le nombre.
Mais si « 3 » est vraie, le nombre de chiffres serait inférieur à 5, donc « 5 » aussi. Or 3+5=8 , donc « 9 » serait vraie, ce qui est exclu. Donc (3) est fausse.

Les seuls chiffres possibles restants sont donc 0,5 et 8.
« 0 » La somme des chiffres du nombre est un nombre premier.
« 5 » Le nombre a moins de six chiffres.
« anti7 » Le nombre est impair.
« 8 » Aucun chiffre du nombre ne diffère de un d’un autre chiffre du nombre.
« Anti7 » implique que le nombre fini par 5.
8+5=13 ce qui implique que « 0 » est vrai.
« anti3 » implique qu’un chiffre est au moins doublé, or « anti9 » implique que ni 5 ni 8 ne peuvent être doublés, ni 0 triplé donc seul le nombre 8005 reste.
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