Quel est ce nombre ?

Le 21 octobre 2011 - Ecrit par Xavier Caruso Voir les commentaires (6)
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Le dernier billet de Sylvain Barré (et surtout, le nombre de ses commentaires) a montré que les énigmes étaient manifestement appréciées des lecteurs d’Images des Mathématiques. En voici une que j’aime particulièrement.

Ci dessous, une liste d’assertions, certaines fausses, d’autres vraies, qui se réfèrent à un nombre positif entier (qui est écrit en base 10 et ne commence pas par 0). Si une assertion est vraie, son numéro apparaît comme chiffre du nombre à trouver sinon, il n’y apparaît pas.

0. La somme des chiffres du nombre est un nombre premier.

1. Le produit des chiffres du nombre est impair.

2. Chacun des chiffres du nombre est inférieur au chiffre suivant (s’il existe).

3. Aucun chiffre du nombre n’est égal à un autre.

4. Aucun des chiffres du nombre n’est supérieur à quatre.

5. Le nombre a moins de six chiffres.

6. Le produit des chiffres du nombre n’est pas divisible par 6.

7. Le nombre est pair.

8. Aucun chiffre du nombre ne diffère de un d’un autre chiffre du nombre.

9. Au moins un des chiffres du nombre est égal à la somme de deux autres chiffres du nombre. [1]

Quel est ce nombre ?

Notes

[1] Les trois chiffres en question doivent être des chiffres différents du nombre à trouver. Précisément, un chiffre peut être compté deux fois, mais il faut alors qu’il apparaisse deux fois dans le nombre.

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Quel est ce nombre ?

le 23 octobre 2011 à 14:27, par amic
En fait c’est comme ça que j’avais trouvé au départ, puis je me suis aperçu en rédigeant qu’il y avait plus simple en supposant l’inférieur strict. Il faut modifier l’étape où je montre !p2 (et où il y a une coquille, il faut lire !p8 à la place de p8, c’est bien dommage de ne pas avoir de fonction d’édition de ses précédents commentaires) comme ceci, dans le cas où on suppose donc p2 et !p3.
- On sait alors qu’on a p9, puisque le produit des chiffres doit être divisible par 6, et qu’on n’a pas de 0. Du coup on a !p7, et on n’a pas de p8, puisqu’alors 8 et 9 seraient consécutifs. Il nous reste seulement des 2, des 5 et des 9, ce qui ne permet pas d’avoir p9.
On remarque aussi que dans p5, le « moins de » peut s’entendre au sens strict ou au sens large, ça ne change rien au raisonnement.
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