Quel est le sens de (-3) dans la multiplication (-3)(-2) ?

Le 4 novembre 2012 - Ecrit par Valerio Vassallo Voir les commentaires (6)
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Voici un extrait de courrier des lecteurs que je viens de recevoir et auquel je réponds par ce billet.

J’ai été interpellé par une élève de seconde qui m’a expliqué qu’on
l’avait arnaqué au collège lorsqu’on lui avait construit la
multiplication.

Elle m’a en effet dit que : “(+2)+(+2)+(+2)=3*(+2)” ou “(-2)+(-2)+(-
2)=3*(-2)” lui convenait et qu’elle comprenait, là, le sens du “3”.
C’est à dessein que “3” n’a pas de signe.

En revanche, du coup, dans cette construction de la multiplication,
“(-3)*(-2)” ne pouvait pas être construit : quel est le sens de ce
“MOINS 3” ?

Je suis son professeur de sciences physiques et je ne sais pas quoi
lui répondre.

La notion de nombre est un sacré problème. Un des buts de l’école
primaire est celui de permettre à l’élève de savoir compter avant de
rentrer au collège. 1, 2, 3... bonbons, stylos, crayons...
beaucoup d’objets sont utilisés pour fixer dans nos têtes les premiers
nombres, peut-être jusqu’à cent, et se familiariser avec eux.
Parfois, tous petits, nous chantons les nombres. Nous les voyons
aussi écrits un peu partout : sur des calendriers, sur le compteur
de nos voitures, sur les réveils, sur les ordinateurs, au bas des
pages de nos livres, sur une règle qui traîne sur le bureau, sur les
bouteilles dans la cuisine... Les doigts de nos mains nous
intriguent dès notre plus jeune âge comme pour nous suggérer
qu’il y a là une idée à trouver.

Un monde sans nombres ? Plus de notes, plus de bulletins... plus
de chagrins et plus de réveils qui sonnent le matin pour nous dire
qu’il est l’heure de se lever.

Un monde sans nombres ne serait pas le monde actuel. Effacer les
nombres de notre culture, signifierait effacer tout d’un coup le
monde qui nous entoure actuellement.

Il a fallu des siècles pour passer des nombres entiers naturels aux
nombres relatifs, puis aux nombres rationnels, puis aux nombres
irrationnels, puis aux nombres complexes.

Quelle découverte cette notion de nombre ! Si profonde et si proche - à portée de main... - qu’elle reste une des plus belles inventions de la pensée
humaine. Tout comme la roue.

Bertrand Russell dans son livre « Introduction to Mathematical
Philosophy » [1] dit que « il a fallu beaucoup de siècles pour découvrir
qu’un couple de faisans et un couple de jours sont la même
expression du nombre 2 ; le degré d’abstraction que ceci comporte
n’est certainement pas léger. Ainsi la découverte du nombre 1 a dû
être difficile. Le zéro est une découverte plus récente ; les Grecs
et les Romains n’avaient pas ce chiffre ». Et plus loin, le
philosophe anglais ajoute « Toute la mathématique pure
traditionnelle, y compris la géométrie analytique, peut être
considérée comme formée de propositions qui portent sur les nombres
entiers naturels ». Ouf ! Je pense que notre jeune lectrice
comprendra bien qu’elle a mis le doigt sur une notion très profonde,
celle de nombre. Rien de plus sain donc d’avoir besoin de vouloir
les apprivoiser et de bien comprendre les opérations qui les mettent en scène.
Il y a une vaste littérature mathématique sur ce sujet et beaucoup
de grands mathématiciens (Dedekind, Frege, Peano,..) ont pris
les nombres comme base afin de bâtir sur ces fondements
l’édifice mathématique.

Le grand philosophe B. Russell consacre les cinquante premières pages
du livre précédemment cité à la notion de nombre et au passage d’un
nombre n au suivant n+1.

Encore une fois, l’idée de compter, de passer d’un nombre à son
successeur, est tellement ancrée dans nos habitudes qu’elle passe parfois
inaperçue, comme un fait sans importance. Russell écrit : «
En réalité, compter, bien que familier, est du point de vue logique
une opération très complexe ».

Pour aller un peu plus loin dans l’histoire des mathématiques,
le grand mathématicien suisse L. Euler avait eu recours, pour expliquer
les règles des signes dans l’ensemble des nombres relatifs, à un
raisonnement peu convaincant que voici [2]. Pour démontrer que (-1)(-1)
« doit » être égal à +1 il raisonna de la façon suivante : (-1)(-1)
doit être ou +1 ou -1, et il ne peut pas être -1 car (-1) = (+1)(-1).

Pour apporter une réponse à la question de cette jeune élève, je suis allé
fouiller dans ma bibliothèque et j’ai trouvé un livre en italien
qui m’avait marqué très jeune : « I numeri » (Les nombres) de Emma
Castelnuovo. [3]

Madame Castelnuovo a été l’une des plus grandes didacticiennes des
mathématiques en Italie et reconnue à l’étranger pour ses travaux
sur l’enseignement des mathématiques. Elle est née le 12 décembre
1913 à Rome, où elle a obtenu sa maîtrise en 1936 avec notamment un
mémoire de géométrie algébrique. Après avoir travaillé à la
(magnifique) bibliothèque du département de mathématiques de
l’Université de Rome « La Sapienza » - département qui porte le nom
de son père Guido Castelnuovo - elle a enseigné au Lycée
« Torquato Tasso » de Rome jusqu’en 1979. Elle a donné des cours
jusqu’à l’âge de 93 ans !

Dans son livre « I numeri », elle invite le lecteur à un autre point
de vue que celui proposé dans le courrier de notre lecteur, celui de se
représenter géométriquement le produit de deux nombres entiers
relatifs et à prendre un rectangle en carton, par exemple de
dimensions 2 et 3 (celles qui nous intéressent dans le courrier plus
haut cité). Supposons que les faces de ce carton soient de couleurs
différents : l’une rouge et l’autre noire. Nous ferons la
convention suivante : l’aire de la face rouge est positive et celle
de la face noire négative. Si les dimensions du rectangle sont 2
et 3, son aire sera, en valeur absolue, égale à 6. D’un point de vue
« relatif », nous dirons que l’aire est +6 si elle se présente côté
rouge et -6 si elle se présente côté noir. Disposons maintenant le
rectangle dans le premier quadrant (c.f. figure ci-dessous) de telle sorte
qu’apparaisse la face rouge, c’est-à-dire la face positive ; son aire
sera alors +6. Puisque les dimensions dans ce cas sont +2 et +3 on
pourra alors écrire :
\[(+2) (+3) = +6.\]

Faisons maintenant une symétrie axiale d’axe Oy ; le rectangle
passera dans le deuxième quadrant et nous verrons le côté noir (c.f.
figure ci-dessous), c’est-à-dire son aire sera négative et égale à -6. Dans ce
cas ses dimensions sont -2 et +3.
On a alors :
\[(-2) (+3) = -6.\]

Par une symétrie par rapport à l’axe Ox, le rectangle va à nouveau
apparaître côté rouge et son aire va être +6 alors que ses
dimensions sont dans ce cas – 2 et – 3.
On a alors :
\[(-2) (-3) = +6.\]

Par une autre symétrie par rapport à l’axe Oy le rectangle finira
par se trouver dans le quatrième quadrant et nous allons voir son
côté noir, c’est-à-dire, la partie négative alors que ces dimensions
sont +2 et -3.
On a alors :
\[(+2) (-3) = -6.\]

Voici une petite animation qui permet de visualiser les transformations décrites ci-dessus :

J’espère que le point de vue d’Emma Castelnuovo pourra éclairer
notre jeune mathématicienne d’une part, et d’autre part l’aider à
réaliser que les objets mathématiques peuvent être regardés de
plusieurs façons différentes. Parfois, et je dirais même souvent, il
y en a une qui est plus satisfaisante que les autres.
Je termine en faisant remarquer avec Emma Castelnuovo que « la
structure du produit de deux nombres relatifs est la même que celle
de la somme des nombres pairs et impairs. Elle est la même que la
composition de mouvements directs et indirects. Opérations
différentes et donc objets sur lesquels elles opèrent bien différents
(nombres relatifs, nombres pairs et impairs, mouvements) ; et
pourtant la structure des opérations entre ces objets est la même ! »

Les mathématiques sont peut-être « l’art des liens ».

Notes

[1] Bertrand Russell, « Introduction to Mathematical Philosophy », George Allen and Unwin, London, UK. Reprinted, John G. Slater (intro.), Routledge, London, UK, 1993.

[2] Richard Courant - Herbert Robbins, « What’is Mathematics ? An Elementary Approach to Ideas and Methods », Oxford University Press, New York 1941, second edition revised by Ian Stewart (1996)

[3] Emma Castelnuovo, « La via della matematica, I NUMERI » , Ed. La Nuova Italia, 1974.

Commentaire sur l'article

Quel est le sens de (-3) dans la multiplication (-3)(-2) ?

le 4 novembre 2012 à 10:10, par Vincent Beck

Jolie interprétation que celle avec ces rectangles colorés.
J’ajouterai en référence à cette question l’article
« Epistémologie des nombres relatifs » de Georges Glaeser publié de la Revue RDM numéro 2/3.
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Quel est le sens de (-3) dans la multiplication (-3)(-2) ?

le 4 novembre 2012 à 11:23, par nonos

Bonjour,

j’ai l’habitude, pour tenter de remédier à cette difficulté rencontrée par certains apprenants à comprendre cette « règle des signes », de passer un peu de temps sur la réciprocité de l’addition et la soustraction, et sur la compréhension de la notion d’opposé.
En particulier, j’insiste sur la visualisation de l’opération « prendre l’opposé de » en tant que « demi-tour sur l’axe des naturels ».
On fait des flèches qui relient les opposés,

et assez vite, certains font le lien : deux demi-tours, je reviens au point de départ.

Une fois les apprenants habitués à cette notion, on peut généraliser dans le cadre de la règle des signes.

Avec plus ou moins de bonheur, personne n’est parfait. ;-)

Pré-requis : la notion de nombre relatif.
Pour un public presqu’adulte et généralement faible.
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Quel est le sens de (-3) dans la multiplication (-3)(-2) ?

le 4 novembre 2012 à 14:16, par Rémi Peyre

Bonjour,

Pour ma part je pense que, si on m’avait posé une question similaire, j’aurais tenu à discerner deux parties bien différentes dans ma réponse.

La seconde partie, c’est : « pourquoi est-ce que $(-3)\times(-2)$ est égal à $(+6)$ ? ». C’est celle à laquelle l’auteur de son billet passe l’essentiel de son temps à répondre ; je ne discuterai donc pas ce point.

Mais à mes yeux, c’est la première partie la plus importante pour l’élève ! Celle-ci dit en effet : « On a défini la multiplication de $a$ par $b$ comme l’addition de $a$ termes $b$. Mais cette définition ne permet pas de multiplier des nombres négatifs ! ». Il ne s’agit pas de contester le résultat, mais uniquement le sens de l’opération de multiplication...!

À mes yeux, l’élève a parfaitement raison de faire cette observation. Je ne sais pas si la réponse suivante serait accessible à une lycéenne de seconde, mais une réponse complète devrait selon moi commencer par mentionner que le signe « $\times$ » dans « $(-2)\times(-3)$ » possède ici un nouveau sens par rapport à celui appris au primaire — qui
se trouve heureusement englober l’ancien ! Un informaticien dirait qu’on a procédé à la « surcharge de l’opérateur $\times$ ».

Peut-être cette élève réalisera-t-elle mieux la notion de surcharge si on lui fait observer que celle-ci a déjà été rencontrée pour l’addition des entiers relatifs. Au primaire, elle en effet a appris que « $a+b$ » signifiait « on prend $a$ machins, on y rajoute $b$ machins, et on appelle « $a+b$ » le nombre total de machins ainsi obtenus ». Une telle définition ne fait pas sens avec des nombres négatifs ! Que signifierait, en effet, « ajouter $2$ pommes à $-3$ pommes » ??!

Voilà donc, à mes yeux, la réponse à la question posée par notre élève : « Vous avez raison, on ne peut pas donner de sens à $-3$ dans la multiplication $(-3)\times(-2)$ si on interprète le symbole $\times$ comme vous l’avez appris au primaire. Mais en fait, ici le symbole $\times$ est défini d’une autre façon ! (qui dit, en particulier, qu’on a le droit de multiplier des nombres négatifs et que le résultat sera alors l’opposé de la multiplication du nombre positif correspondant). En fait, on l’appelle de la même façon parce que cette nouvelle définition donne le même résultat que pour l’ancienne quand on l’applique à des nombres positifs, et possède aussi les mêmes propriétés (pour l’essentiel), mais il faut être bien consciente qu’on ne parle pas exactement de la même chose. Il ne faut donc pas forcément chercher de sens à la multiplication de $-3$ ; c’est plutôt une nouvelle règle à accepter comme telle. Mais cette nouvelle règle n’arrive pas par hasard non plus : (et là intervient l’explication avec les rectangles, ou toute autre méthode) ».

Cordialement,
R. P.
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Quel est le sens de (-3) dans la multiplication (-3)(-2) ?

le 4 novembre 2012 à 14:42, par Yannick Danard

Bonjour,
Je rejoins ce que dit Rémi Peyre sur la signification de la multiplication : 3×5 = 5 + 5 + 5 ne pose pas de problème et ramène la multiplication à des additions. Ceci est possible dès que l’un des nombres est entier (positif).
Dès les classes du primaire ou le début du collège, un produit de type 2,05 × 6,987 ne permet plus d’utiliser l’addition pour expliquer la multiplication. La multiplication devient une opération « à part entière ».

Un travail sur des ordres de grandeur permet de donner du sens : on sait que 2,05 × 6,987 est proche de 2 × 7 donc de 14. Il reste à positionner la virgule dans le produit 2,05 × 6,987 calculé comme 205 × 6 987.

Une fois 3× (-2) = -6 accepté, beaucoup d’élèves acceptent aussi que (-3) × (-2) = -3×(-2) soit - [3×(-2)].
Ceci amène à -(-6), ce qui en terme d’opposé donne bien 6.

Ce qui pose problème souvent pour les collégiens, c’est le double rôle des symboles « + » et « - », à la fois signe d’un nombre et symbole d’une opération.
Ceci reste un travail sur le long terme avec des élèves de collège, et à mener très régulièrement pour que les représentations s’affinent et deviennent finalement correctes !
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Quel est le sens de (-3) dans la multiplication (-3)(-2) ?

le 5 novembre 2012 à 01:48, par projetmbc

Bonjour,
pourrait-on avoir les sources du fichier PovRay utilisé pour la vidéo ?
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le 26 décembre 2017 à 11:05, par jmclem

Bonjour,

l’article et les commentaires datent un peu, j’aimerais tout de même mentionner l’approche de Rozsa Péter dans « Jeux avec l’infini » (1957) (j’aime beaucoup ce petit livre, au passage !).

Pour donner une perception à ces multiplications, l’auteure prend une droite graduée et définit le 0 comme ici et maintenant. Elle y définit un déplacement, par exemple 2 km/h. Elle introduit alors le signe du déplacement, positif vers la droite et négatif vers la gauche puis élabore à partir des considérations suivantes :

* où serai-je avec un déplacement vers la droite, dans trois heures
(je serai à l’abscisse 6, 2x3 = 6)
* où étais-je avec un déplacement vers la droite, il y a trois heures
(j’étais à l’abscisse -6, 2x(-3) = -6)
* où serai-je avec un déplacement vers la gauche, dans trois heures
(je serai à l’abscisse -6, (-2)x3 = -6)
* où étais-je avec un déplacement vers la gauche, il y a trois heures
(j’étais à l’abscisse 6, (-2)x(-3) = 6)

Je trouve qu’elle amène ainsi (il y a 60 ans !) un sens au (-3)x(-2) pour la modélisation et avec un exemple qui peut parler aux élèves.

Jean-Marie.
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L'auteur

Valerio Vassallo

Mathématicien -

Université Lille 1 et Cité des Géométries - Gare numérique de Jeumont

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