Quelle loi pour les tables ?

Piste verte Le 16 septembre 2010  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (3)

Est-il encore nécessaire d’apprendre les tables de multiplication à l’âge de l’explosion informatique ? Je discute cela à partir d’affirmations d’Umberto Eco et d’Etienne Ghys.

Je lisais récemment
« N’espérez pas vous débarrasser des livres »,
publié en 2009 chez Grasset, livre d’entretiens entre
Jean-Claude Carrière et Umberto Eco, menés par Jean-Philippe
de Tonnac. J’y suis tombé [1]
sur la phrase suivante d’Eco :

Bien entendu, apprendre les tables de multiplication à une
époque où les machines peuvent compter mieux que
n’importe qui, n’a pas grand sens.

Sortie de son contexte, elle pourrait faire croire qu’Eco
est partisan de l’élimination de l’enseignement des tables de
multiplication à l’école primaire. On pourrait alors,
au choix, soit brandir son nom comme étendard pour exiger
bruyamment une telle réforme, soit s’étonner de son incompétence
scientifique. Lisons plutôt le reste du paragraphe [2] :

Gymnastique intellectuelle

Mais il reste le problème de notre capacité « gymnastique ».
Il est évident qu’avec une voiture je peux aller plus vite qu’à
pied. Cependant il faut marcher un peu tous les jours, ou faire
du jogging, pour ne pas devenir un légume. Vous connaissez
certainement cette belle histoire de science-fiction racontant
comment le Pentagone découvre, au siècle prochain, dans une
société où désormais seuls les ordinateurs pensent à notre place,
quelqu’un qui connaît encore par cœur les tables de
multiplication. Les militaires s’accordent alors à penser
qu’il s’agit là d’une sorte de génie particulièrement précieux
en temps de guerre, le jour où le monde sera victime d’une panne
électrique globale.

Connaître les tables de multiplication et les pratiquer permet donc
de faire de la « gymnastique » intellectuelle. Mais résoudre des
sudokus le permet aussi, ainsi que jouer aux échecs, au go,
et bien d’autres activités encore. Pourrait-on alors remplacer
l’enseignement des tables de multiplication par celui du jeu de go ?

Eco donne un deuxième argument en faveur de l’apprentissage de
ces tables :

Il y a une deuxième objection. Dans certains cas, le fait de savoir
certaines choses par cœur vous donne des facultés d’intelligence
supérieures. Je suis bien d’accord pour dire que la culture n’est pas
le fait de savoir la date exacte de la mort de Napoléon. Mais nul doute
que tout ce que vous pouvez savoir par vous-même, et même
la date de la mort de Napoléon, le 5 mai 1821, vous donne une
certaine autonomie intellectuelle. [...] Il y a donc délégation d’une
partie de la mémoire à des livres, à des machines, mais il demeure
une obligation de savoir tirer le meilleur parti de ses outils. Et donc
d’entretenir sa propre mémoire.

Ce deuxième argument est semblable au premier, dans la mesure
où il s’agit d’apprendre afin d’entretenir divers
aspects de notre personne, ici notre mémoire. À nouveau, on
pourrait croire que l’important est d’apprendre, sans trop se soucier
de ce que l’on apprend. Eco affirme-t-il cela ?

Autonomie intellectuelle

Une notion qui peut passer inaperçue en première lecture me semble
essentielle lorsque l’on discute du contenu d’un apprentissage : celle
d’« autonomie intellectuelle ». Eco dit : « [...] tout ce que vous
pouvez savoir par vous-même [...] vous donne une certaine
autonomie intellectuelle
 ». L’important est d’arriver à estimer
le gain d’autonomie. Pour les exemples cités, je trouvais évident que
l’autonomie intellectuelle obtenue en apprenant les tables de
multiplication est bien plus importante que celle obtenue en
apprenant les dates de décès de tous les souverains d’un pays
 [3].

Je pensais aussi qu’Eco serait d’accord avec cela,
seulement le rythme pétillant de son
entretien avec Carrière les a fait porter leurs pas dans d’autres
allées de l’imaginaire, et l’on ne trouve pas d’affirmation explicite
à ce sujet. Probablement aussi parce que le thème de l’entretien
était bien éloigné
de celui de l’enseignement des mathématiques à l’école primaire.

Mais la question de savoir s’il fallait ou non enseigner les tables de
multiplication a commencé à me tarauder. J’ai dit qu’il me
paraissait évident qu’il le fallait, mais n’était-ce pas une déformation
professionnelle ? Ou le fruit d’une inertie ? C’était peut-être important
de les apprendre avant l’explosion informatique,
mais en effet plus après. Je me suis alors rappelé qu’Etienne Ghys
avait écrit un article sur ce site au sujet des tables de multiplication.
Je l’ai relu, en cherchant à voir ce qu’il écrivait au sujet de la
nécessité de les enseigner. J’y ai trouvé cela :

Faut-il regretter le bon vieux temps où tout le monde pouvait multiplier deux nombres de 6 chiffres en quelques minutes sur une feuille de papier ? Certainement pas : il s’agit d’une compétence qui est devenue inutile pour le plus grand nombre et il y a tant d’autres compétences mathématiques qui seraient plus utiles aujourd’hui. Faut-il abandonner l’enseignement de la multiplication à la main à l’école ? Certainement pas, à condition d’expliquer pourquoi elle fonctionne (ce qu’on n’expliquait pas souvent jadis) car elle permet une compréhension profonde de la multiplication.

Du contenu d’un enseignement

Voici en effet le cœur de toute réflexion sur le choix du contenu d’un
enseignement : qu’est-ce que cet apprentissage permettra de
comprendre ? Que pourra-t-on construire à partir de là ?
Et quelles analogies
pourront être faites si l’on connait cela, permettant de comprendre
davantage et différemment ? Par exemple, Ghys affirme que :

Pour multiplier des nombres, écrits avec notre numérotation décimale, il faut apprendre ses tables de multiplications (bon, on y arrive finalement...), et ensuite apprendre par cœur des instructions de calcul, un algorithme.

Comment comprendre quoi que ce soit au fonctionnement des
ordinateurs, comment ne pas en avoir peur, si l’on ne comprend
pas la notion d’algorithme ? Et comment comprendre cette notion
si l’on n’en a pas des exemples simples ? Les algorithmes des
opérations arithmétiques sont de magnifiques exemples, à partir
desquels on peut partir à la découverte de n’importe quel
autre algorithme [4].
Pour cette raison ils sont indispensables !

Un souvenir

À ce sujet, je voudrais évoquer un souvenir. Lorsqu’à l’école
primaire j’ai appris à multiplier, j’ai trouvé cela magique. Comment,
je pouvais multiplier si facilement des milliards par des milliards ?
Pendant quelques semaines je multipliais par pur jeu des
nombres ayant chacun autour de dix chiffres. J’avais la sensation
de m’approcher un peu de l’infini. Et tout ça grâce à ces petites
tables tenant au dos des cahiers quadrillés des cours d’arithmétique.
C’était incroyable ! Ces tables étaient devenues mes amies.

Ce premier
apprentissage réussi d’une technique au premier abord
difficile, m’a permis de ne pas avoir peur des
calculs, de la technique, des nouveautés.
Et de pouvoir choisir plus tard le métier
d’enseignant-chercheur en mathématiques, qui fait mes
délices par les merveilles qu’il m’offre ... pourvu que j’aie sans
cesse la patience d’apprendre, de faire des gammes et
d’expérimenter. Comme
me l’a appris à faire mon institutrice, Olga Pandele, lorsqu’elle
nous enseignait les tables de multiplication et leur utilisation.
Pour cet apprentissage réussi et pour bien d’autres choses encore,
je lui suis toujours reconnaissant, et je n’oublie pas de lui écrire encore
chaque année.

Placidité ou labilité ?

Lorsqu’on ignore la technique de la multiplication,
on peut être étonné par le spectacle d’autrui
accomplissant de telles opérations, chacune
d’entre elles semblant être une nouveauté. Surtout qu’une
personne entraînée peut les enchaîner très rapidement.
En apprenant à les faire
nous-même, nous apprenons à distinguer
ce qui est stable derrière l’apparente
« labilité
du présent
 »,
dont parle Eco dans le livre cité précédemment
 [5] :

La disparition du présent dont vous parlez n’est pas seulement
due au fait que les modes, qui duraient autrefois trente ans,
durent aujourd’hui trente jours. C’est aussi le problème de
l’obsolescence des objets dont nous parlons. Vous consacriez
quelques mois de votre vie à apprendre à faire de la bicyclette
mais ce bagage, une fois acquis, était valable pour toujours.
Désormais vous consacrez deux semaines à comprendre
quelque chose d’un nouveau programme informatique et lorsque
vous le maîtrisez à peu près, un nouveau est proposé, imposé.
Ce n’est donc pas un problème de mémoire collective qui se
perdrait. Ce serait plutôt pour moi celui de la labilité du présent.
Nous ne vivons plus un présent placide mais nous sommes dans
l’effort de nous préparer constamment au futur.

Si « l’effort de me préparer constamment au futur » ne m’effraye pas
mais plutôt me réjouit, je pense que mon apprentissage
réussi des tables de multiplication y est pour quelque chose.

Post-scriptum :

L’auteur et les responsables de la rédaction tiennent
à remercier François Brunault, Case, Chuy, Loren Coquille et Muriel Salvatori pour leur relecture attentive et leurs
commentaires.

Article édité par François Sauvageot

Notes

[1Dans le chapitre « Citer les noms
de tous les participants à la bataille de Waterloo
 ».

[2« La belle histoire
de science-fiction » dont parle Eco fait référence à la nouvelle
« The feeling of power » d’Isaac Asimov, que l’on trouvera en
traduction française sous les titres « Sept fois neuf » et
« La sensation du pouvoir ». Je remercie Henry D. Case
pour ces informations.

[3Par la suite je ne parlerai pas de l’enseignement de la chronologie
à l’école. Je voudrais juste dire que sans la connaissance d’un
certain nombre de dates, on ne peut pas s’orienter dans l’histoire.

[4Même des algorithmes plus anciens,
comme l’algorithme d’Euclide,
permettant entre autres de calculer le plus grand commun diviseur
de deux nombres. En effet, il n’est praticable qu’en présence
d’un bon algorithme de division, qui nécessite aussi la
connaissance des tables de multiplication.

[5Dans le chapitre « Les poules ont mis un siècle pour apprendre
à ne pas traverser la route
 ».

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Quelle loi pour les tables ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • Quelle loi pour les tables ?

    le 17 septembre 2010 à 10:58, par Jacques Lafontaine

    Malgré l’existence des calculettes, il peut être très utile dans la vie de quotidienne de savoir faire rapidement et de tête des
    calculs approchés ; et c’est aussi une bonne gymnastique
    intellectuelle.

    Répondre à ce message
  • L’algorithme d’Euclide n’est praticable qu’en présence d’un bon algorithme de division

    le 11 octobre 2010 à 17:57, par Pierre Lescanne

    Excusez-moi de vous contredire, mais là où Euclide (ou un de ses prédécesseurs) était très malin, c’est qu’il a décrit dans son livre 7, propositions 1 et 2, un algorithme permettant de calculer le PGCD en ne faisant que des soustractions.

    Répondre à ce message
    • L’algorithme d’Euclide n’est praticable qu’en présence d’un bon algorithme de division

      le 19 octobre 2010 à 13:43, par Patrick Popescu-Pampu

      Bonjour, et merci pour votre commentaire. Afin de permettre à un éventuel lecteur de s’y retrouver, je cite la Proposition 1 du Livre 7, dans la traduction de F. Peyrard (Paris, 1819, et réédition A. Blanchard, Paris, 1993) :

      « Deux nombres inégaux étant proposés, le plus petit étant toujours retranché du plus grand, si le reste ne mesure celui qui est avant lui que lorsque l’on a pris l’unité, les nombres proposés seront premiers entre eux. »

      Il y a aussi une version géométrique, dans la Proposition 2 du Livre 10 :

      « Deux grandeurs inégales étant proposées, et si la plus petite étant toujours retranchée de la plus grande, le reste ne mesure jamais le reste précédent ; ces grandeurs seront incommensurables. »

      On peut voir ces propositions comme le point de départ de la théorie des fractions continues. Je suis d’accord avec vous que les comprendre géométriquement n’a rien à voir avec les tables de multiplication. Je voulais juste dire que l’on n’applique efficacement l’algorithme d’Euclide à des nombres suffisamment grands (par exemple à 193629 et 21381192), que si l’on sait faire des divisions, les soustractions successives étant, elles, trop lentes.

      Répondre à ce message

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