Quelques difficultés dans l’enseignement des maths

Les inégalités, pas facilement manipulables et souvent mises à l’écart !

Le 18 octobre 2017  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (11)

Tous les 18 du mois, un nouveau débat.

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Encore un petit coup de gueule, pour continuer à entretenir ce débat et veiller à ce qu’il ne s’éteigne pas !

Il est vrai que ces dernières années on discute pas mal des problèmes de l’enseignement des mathématiques,
mais souvent globalement, et rarement (je dirais même presque jamais) de façon concrète, dans le détail, « au pied du mur » comme
on dit. Pour un ouvrier de l’enseignement comme moi, le fait que le débat stagne à ce niveau m’agace. La théorie c’est bien !
mais que vaut-elle si elle ne reste que cela ? On comprend mieux les difficultés quand on regarde de près, n’est-ce pas ?

Par exemple, les inégalités (avec ce qui tourne autour) sont une de ces difficultés. Je ne pense pas me tromper
(et les enseignants du secondaire pourraient en témoigner) en disant que beaucoup d’élèves les manipulent moins aisément que les égalités.
Pour ces dernières, ils s’en sortent à l’aide de recettes, alors que les inégalités demandent des précautions, et leur utilisation a plus besoin d’être accompagnée d’un raisonnement qualitatif.
Oui, le raisonnement qualitatif ! Celui-là
manque aux apprentis, et surtout aux étudiants des formations préparant à la fonction d’enseignant ! (C’est le cas de ces derniers qui m’intéresse le plus
 : ils vont enseigner !) Pour illustrer plus clairement ces propos, voici un exercice simple parmi ceux qui montrent qu’il y a problème. (J’ai eu l’occasion
d’en traiter pendant des séances de travaux dirigés.)

Soit $ABC$ un triangle (non plat pour écarter une situation immédiate) de périmètre $p$. Montrer que, pour tout point $M$ intérieur à $ABC$,
on a : ${p\over 2}\leq MA+MB+MC\leq p$.

Pour la preuve, je leur ai suggéré d’user de l’inégalité du triangle $XM+MY\geq XY$ valable pour trois points du plan $X$, $Y$ et $M$
avec égalité $XM+MY=XY$ si, et seulement si, $M$ appartient au segment $[XY]$.

1. La relation $MA+MB+MC\geq {p\over 2}$ est immédiate et presque tous les étudiants sont arrivés à l’établir.
Il leur a suffi d’appliquer la dite inégalité à chacun des triplets $(M,A,B)$, $(M,B,C)$ et $(M,C,A)$ :
\[\cases{MA+MB\geq AB\cr MB+MC\geq BC\cr MC+MA\geq CA}\]
et sommer membre à membre pour avoir le résultat escompté. C’est donc l’application immédiate de l’inégalité du triangle suivie de simples règles
(des recettes) de calcul, une démarche à laquelle ils sont habitués dans l’apprentissage des maths qu’on leur a inculqué.

2. Par contre, ils ont calé sur la relation $MA+MB+MC\leq p$. Beaucoup sont passés par l’inégalité $MX+MY\leq NX+NY$ (voir figure ci-dessous), et c’est ce qu’il faut faire bien sûr.

Mais ils ont pensé tout simplement qu’elle est vraie et qu’ils n’avaient nul besoin de la justifier ! Ils étaient même étonnés
que je leur demande de le faire.
En fait, ils ne savaient pas comment.

A priori, la figure telle qu’elle est ne suggère pas d’idée pour s’en sortir : il faut lui rajouter quelque chose. Ce quelque chose est par exemple le point $L$, intersection
de la droite $(BM)$ et le côté $AC$.
Ci-dessous, on peut voir une :

Preuve

Pour bien suivre le calcul, il est conseillé de regarder en même temps le dessin. On a :

\[\eqalign{AB+AC&=AB+(AL+LC)\cr &=(AB+AL)+LC\cr &\geq BL+LC\cr &=(MB+ML)+LC\cr &=MB+(ML+LC)\cr &\geq MB+MC} \]

On établit de la même manière les inégalités $BA+BC\geq MA+MC$ et $CA+CB\geq MA+MB$. On a donc :
\[\cases{AB+AC\geq MB+MC \cr BA+BC\geq MA+MC \cr CA+CB\geq MA+MB.}\]
En les sommant membre à membre, on obtient $2(AB+BC+CA)\geq 2(MA+MB+MC)$, c’est-à-dire l’inégalité cherchée :
\[MA+MB+MC\leq p.\]

La clé de la preuve est donc le rajout du point $L$, intersection de la droite $(BM)$ et le côté $AC$.

C’est souvent ainsi qu’il faut procéder pour résoudre les exercices pour lesquels les recettes toutes faites ne marchent pas ; en particulier
en géométrie quand la figure initiale (celle de l’énoncé) s’avère « incomplète ».

C’est un exemple (parmi tant d’autres) sur lequel on voit explicitement les carences, les lacunes et le manque de prise d’initiative chez les étudiants, un sérieux problème dans l’enseignement des maths depuis plus de deux décennies.

Est-il normal qu’un étudiant de Licence 3 ou de Master (surtout un futur enseignant) bloque toujours ? Qu’il pose
la plume dès qu’il n’arrive plus à appliquer un mécanisme bien rodé ?

Des questions récurrentes qui lassent, c’est certain. Mais si on cesse de les poser, et de les reposer, on devrait accepter que les choses
restent ainsi et qu’il n’y a plus rien à faire pour sauver cet enseignement.

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Quelques difficultés dans l’enseignement des maths» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Commentaire sur l'article

  • Quelques difficultés dans l’enseignement des maths

    le 18 octobre à 07:59, par FDesnoyer

    Bonjour,

    la plupart des musiciens peuvent faire des gammes, combien peuvent interpréter un morcau nouveau avec seulement l’oreille ?
    J’ai l’impression que le problème est similaire. L’enseignement musical (pas à l’école / collège de ce dont je me souviens) est sinistré, sclérosé par la répétition sans fin de gammes et sans le plaisir de la musique. N’en vient-on pas à la même chose en maths ?
    Je trouve que les étudiants ont bcp trop à apprendre pour faire autre chose que des gammes et que ce plaisir des mathématiques s’efface peu à peu...

    Bien cordialement,

    F.D.

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    • Quelques difficultés dans l’enseignement des maths

      le 18 octobre à 18:41, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      Merci pour votre commentaire !

      Vous faites là un bon parallèle ! Oui, le plaisir de faire les maths sous un angle vrai et lucide s’efface. (Il s’est effacé !)

      Cordialement,

      Aziz El Kacimi

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  • Quelques difficultés dans l’enseignement des maths

    le 18 octobre à 16:29, par Louis M.

    Il me semble quand même que la prise d’initiative et la capacité à faire face à de nouveaux problèmes et à les résoudre restent très valorisés dans notre société.
    C’est ce qui est attendu des meilleurs élèves, ce que cherche beaucoup d’entreprise quand elle recrute des postes à responsabilités, etc.

    Maintenant, si vos étudiants ont des difficultés à ce niveau, c’est peut être tout simplement parce qu’un tri a déjà été effectué et que vous n’avez pas les étudiants les plus brillants, ou du moins les plus doués pour l’initiative, en face de vous.

    Ce qu’on peut mettre en lien avec les difficultés de l’éducation nationale à recruter des enseignants de mathématiques.

    Au final, je ne suis pas convaincu que le problème soit la façon dont les mathématiques sont enseignés, c’est simplement que les étudiants possédant un « talent » recherché auront plutôt tendance à aller là où il sera le plus valorisé.

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    • Quelques difficultés dans l’enseignement des maths

      le 18 octobre à 18:46, par Aziz El Kacimi

      Au final, je ne suis pas convaincu que le problème soit la façon dont les mathématiques sont enseignés, c’est simplement que les étudiants possédant un « talent » recherché auront plutôt tendance à aller là où il sera le plus valorisé.

      Il faut être dedans pour voir, constater et comprendre ce qui se passe réellement. J’y suis depuis des décennies !

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      • Quelques difficultés dans l’enseignement des maths

        le 18 octobre à 21:08, par Mateo_13

        Merci beaucoup pour ce témoignage.

        J’en profite pour promouvoir les livre d’un grand mathématicien sur l’enseignement des problèmes ouverts en collège, lycée et université :

        George Pólya :

        How to solve it ; Mathematical discovery ; Induction and plausible reasoning (2 t.) ; etc...

        Pour de bons problèmes ouverts de collège et lycée, se procurer les manuels scolaire d’occasion de la collection Terracher, Delord et Vinrich.

        Merci encore pour vos débats intéressants sur l’enseignement.

        Amicalement,
        — -
        Mathieu Morinière.

        Répondre à ce message
        • Quelques difficultés dans l’enseignement des maths

          le 19 octobre à 07:52, par Aziz El Kacimi

          Bonjour,

          Merci pour votre commentaire et pour la référence aux livres de George Pólya. De mon côté je vous en signale un, tout petit mais pas mal intéressant :

          Benjamin Bold : Famous Problems of Geometry and How to Solve Them. Dover (1969).

          Cordialement,

          Aziz El Kacimi

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  • Quelques difficultés dans l’enseignement des maths

    le 18 octobre à 22:30, par Jérôme Buzzi

    Je ne suis pas d’accord. Je trouve qu’il est normal de « bloquer » : c’est le signe d’une difficulté et donc la possibilité de progresser si l’on persévère (ne dit-on pas : errare humanum est, perseverare diabolicum ?)

    Le problème c’est peut-être justement qu’on n’ose pas suffisamment laisser les étudiants se confronter avec la difficulté : c’est chronophage, angoissant et, bien sûr, très difficile à évaluer.

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    • Quelques difficultés dans l’enseignement des maths

      le 19 octobre à 08:16, par Aziz El Kacimi

      Tout le monde bloque certes, même des super matheux sur des petits problèmes de géométrie élémentaire. Mais quand on bloque et qu’on renonce toujours, ce n’est pas du tout normal !

      Le problème c’est peut-être justement qu’on n’ose pas suffisamment laisser les étudiants se confronter avec la difficulté : c’est chronophage, angoissant et, bien sûr, très difficile à évaluer.

      Moi personnellement, je les laisse affronter la difficulté, je les pousse, je leur file des petites sorties...mais je suis toujours obligé de faire ça, et jusqu’au bout. Le pire : leur silence cassant quand je pose les questions !

      Il faut être dedans pour constater ce genre de difficultés, comprendre le problème et pourquoi des gens comme moi (ouvrier de l’enseignement) disent que ce n’est pas normal.

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  • Quelques difficultés dans l’enseignement des maths

    le 19 octobre à 14:20, par Sylvain Barré

    J’ai posé le problème au jardinier du campus spécialiste des parterres elliptiques, il a dit que c’était évident, qu’il savait résoudre tout cela sans calcul !

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    • Quelques difficultés dans l’enseignement des maths

      le 19 octobre à 16:52, par Aziz El Kacimi

      Mon père savait aussi résoudre ça sans calcul quand il utilisait une ficèle pour tracer le contour des tables elliptiques qu’il fabriquait. Et je l’ai appris de lui ! On devrait les engager (lui et ce jardinier du campus) pour convaincre les étudiants du manque d’intérêt dans les problèmes qu’on leur pose !

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  • Quelques difficultés dans l’enseignement des maths

    le 22 octobre à 19:40, par Bruno LANGLOIS

    Il me semble que si $M$ est un point intérieur au triangle $ABC$, on a même :

    Propriété :

    $MA+MB+MC\leqslant AB+AC+BC - \min(AB,AC,BC)$.

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