Malgré une boutade célèbre de David Hilbert [1] les noms des objets mathématiques n’ont rien d’arbitraire, même si leur motivation et leur origine ne sont pas toujours transparentes.
Il est bien connu que le mot algèbre vient de l’arabe. Il est emprunté au titre du célèbre livre de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, paru à Bagdad au début du neuvième siècle [2]. Ce livre, Kitab al-jabr wa l-muqabala contenait notamment une étude systématique des équations du second degré. Les mots al-jabr et al-muqabala peuvent se traduire par réduction et comparaison. Al-jabr a donné algèbre. En vieil espagnol, un algebrista ce n’est pas un algébriste, mais un rebouteux, qui réduit les fractures ! (si vous ne le croyez pas, cliquez ici ou (re)lisez Don Quijote). Quant au mot muqabala, il est dérivé de la même racine que qabbala (réception), la Kabbale hébraïque.
Les mathématiciens arabes n’ont été ni les premiers (voir un précédent billet pour les mots grecs hyperbole, parabole et ellipse) ni les derniers à donner à des êtres mathématiques des noms venant du langage courant, fonctionnant comme des métaphores. C’est aussi ibn Musa al-Khwarizmi qui introduit dans son traité le terme de jizr, racine, pour désigner « ce qui est caché » dans une équation (l’inconnue). Le mot est repris par ses traducteurs européens. Il faut signaler aussi que le signe $\sqrt{\quad }$ reproduit de façon stylisée l’écriture du mot arabe, voyez plutôt
Mais les européens gardent l’habitude d’employer des mots qui viennent du grec ou du latin. Le mot binôme apparaît en 1554, dérivé du grec nomos, part, suivi de monôme (expression formelle ne contenant que des multiplications, raccourcissement naturel de mononôme), qui apparaît en 1691, et de polynôme en 1697. Notons aussi degré, venant du latin gradus, marche. Cela s’explique par le fait que le latin reste longtemps très utilisé dans la communication scientifique.
Il faut attendre le XIXème siècle pour voir réapparaître l’introduction plus fréquente de mots du langage courant. En même temps, il devient naturel et nécessaire, avant même que G. Cantor n’invente la théorie des ensembles, de « collectiviser » un certain nombre d’êtres mathématiques.
Evariste Galois (1830) a l’idée de regrouper les permutations des racines d’une équation algébrique, d’où le mot groupe. Pour en savoir plus, voir cet article d’images des mathématiques.
Ce que l’on appelera plus tard les groupes de Lie sont appelés par Sophus Lie et ses émules « groupes de transformations ».
Richard Dedekind fut (mais pas seulement) un grand forgeur de mots nouveaux, qu’il introduisit à l’occasion de ses travaux en arithmétique (mot grec qui signifie science des nombres). Il dégage la notion
C’est aussi lui qui introduit le mot corps (Körper en allemand, d’où la notation $\mathbb{K}$ toujours très utilisée) pour un ensemble où, à l’instar des rationnels ou des réels, on a une addition, une multiplication et une division. Ce nom est motivé par la richesse de cette structure. L’intention de Dedekind est d’évoquer un organisme vivant. Les anglo-saxons, les français et les russes traduisent Körper par le mot passe-partout de champ. Mais les francophones finissent par adopter le mot corps (est-ce l’influence de Bourbaki, très marqué à ses débuts par l’école allemande ?), alors que jusqu’aujourd’hui, « field » subsiste en anglais, « polié » en russe.
Dedekind introduit aussi le mot Ordnung (ordre) pour désigner des ensembles où l’on a une addition et une multiplication, mais pas nécessairement de division : ses recherches en théorie des nombres le conduisent à étudier des problèmes de divisibilité dans un cadre plus général que celui des entiers. Ce mot est employé aujourd’hui encore par les arithméticiens. Plusieurs collègues consultés pensent comme moi que cela évoque le fait que la divisibilité est ce que nous appelons aujourd’hui une relation d’ordre. Mais il n’est pas exclu que nous soyons tous victimes d’une vision a posteriori. Toujours est-il que David Hilbert, dans son traité de théorie algébrique des nombres de 1897, lui substitue le mot Ring. Dans l’allemand de l’époque, ce mot ne signifie pas seulement « bague ». Il pouvait aussi évoquer un groupe restreint de personnes, comme le mot cercle en français. Il a été traduit tel que (ring, anneau) en anglais et en français, bien que dans ces langues un anneau soit une bague et rien d’autre.
L’histoire ne s’arrête pas là. Le développement des mathématiques implique l’apparition de nouveaux mots. Pour la première moitié du XXème siècle, je renvoie à un article très vivant de Raymond Queneau republié dans Bords [3].
Il y a, pour s’en tenir à l’algèbre, des réussites comme le groupe des tresses, les immeubles, les carquois, qui nous mènent au « hors piste », pour employer la terminologie du comité de rédaction d’Images des mathématiques.
Citons aussi une bonne idée qui n’a pas abouti, celle d’appeler séparante une forme bilinéaire symétrique non dégénérée [4]. Enfin, les cluster algebras sont très étudiées aujourd’hui. Voici une définition pour les amateurs de hors piste. Il y a des collègues algébristes qui emploient, dans des textes ou des exposés en français, l’expression d’ algèbres cluster. Il est permis de se demander pourquoi.
Outre les liens figurant dans ce billet, j’ai bien sûr consulté de nombreux dictionnaires : français, allemand, anglais, arabe, espagnol, grec, latin. L’origine de la notation $\sqrt{\ }$ m’a été rapportée il y a fort longtemps par un étudiant d’origine algérienne. Lors d’un passage à Montpellier, Norbert Schappacher m’a appris la métaphore qui est derrière le mot corps.
[1] Les éléments, tels un point, une droite et un plan, peuvent être substitués par un verre de bière, une chaise et une table, par exemple. Il faut plutôt se concentrer sur leurs relations.
[2] son nom fait référence à sa province d’origine, le Khwarezm. Ainsi, le nom qui par déformation a donné algorithme est celui d’une région d’Asie centrale, aux confins du Turkhmenistan et de l’Ouzbekistan...
[3] Paru chez Hermann en 1963, réédité en 2009.
