Théorème de Nagel. Soit $ABC$ un triangle non dégénéré. On note $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ et $\Gamma_3$ les cercles tangents aux droites $(AB)$, $(BC)$ et
$(CA)$ et extérieurs au triangle $ABC$. Le cercle $\Gamma_1$ a $\alpha $ comme
point de contact avec le segment $[BC]$, $\Gamma_2$ a $\beta $ comme
point de contact avec le segment $[CA]$ et $\Gamma_3$ a $\gamma $ comme
point de contact avec le segment $[AB]$. Alors les trois segments $[A\alpha ]$, $[B\beta ]$ et $[C\gamma ]$ concourent
en un point $N$ qu’on appelle point de Nagel du triangle $ABC$.

Preuve . D’après le théorème de Ceva (voir les dessins et la formule qui leur est rattachée en haut de cette page), il suffit de montrer que :

\[{{\alpha B}\over {\alpha C}}\cdot {{\beta C}\over {\beta A}}\cdot {{\gamma A}\over {\gamma B}}=1.\]

$\bullet $ Les droites $(AB)$ et $(BC)$ étant les tangentes intérieures communes aux cercles $\Gamma_1$ et $\Gamma_3$, leur point d’intersection $B$
est le centre de l’homothétie négative qui envoie le cercle $\Gamma_3$ sur le cercle $\Gamma_1$ ; la valeur absolue de son rapport est ${{R_1}\over {R_3}}$ et envoie $\gamma'$ sur $\alpha $. On a donc
${{B\alpha }\over {B\gamma'}}={{R_1}\over {R_3}}$. Mais comme $B\gamma'=B\gamma $, on a ${{B\alpha }\over {B\gamma }}={{R_1}\over {R_3}}$.

$\bullet $ De façon similaire, on établit ${{C\beta }\over {C\alpha }}={{R_2}\over {R_1}}$ et ${{A\gamma }\over {A\beta }}={{R_3}\over {R_2}}$.
Ce qui donne finalement :
\[{{\alpha B}\over {\alpha C}}\cdot {{\beta C}\over {\beta A}}\cdot {{\gamma A}\over {\gamma B}}= {{A\gamma }\over {A\beta }} \cdot {{C\beta }\over {C\alpha }} \cdot {{B\alpha }\over {B\gamma }}={{R_3}\over {R_2}}\cdot {{R_2}\over {R_1}}\cdot {{R_1}\over {R_3}}=1.\]

Théorème de Ceva-Gergonne-Nagel. Soit $ABC$ un triangle non dégénéré. On note $\Gamma $ le cercle inscrit dans ce triangle, $\alpha $
le point de contact de $\Gamma $ avec le côté $BC$, $\beta $ celui avec le côté $CA$ et $\gamma $ celui avec le côté $AB$. Alors les trois segments
$[A\alpha ]$, $[B\beta ]$ et $[C\gamma ]$ concourent en un point $Ge$ appelé point de Gergonne du triangle $ABC$.

Preuve . C’est une conséquence immédiate du théorème de Ceva. Il suffit, là encore, de montrer que le produit des trois rapports ${{\alpha B}\over {\alpha C}}$,
${{\beta C}\over {\beta A}}$ et ${{\gamma A}\over {\gamma B}}$ vaut $1$. À cet effet, remarquons d’abord que, comme les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont
les tangentes issues de $A$ au cercle $\Gamma $, on a $A\beta =A\gamma $. Pour les mêmes raisons, $B\gamma =B\alpha $ et $C\alpha =C\beta $. D’où :
\[{{\alpha B}\over {\alpha C}}\cdot {{\beta C}\over {\beta A}}\cdot {{\gamma A}\over {\gamma B}}={{\alpha B}\over {\beta C}}\cdot {{\beta C}\over {\gamma A}}\cdot {{\gamma A}\over {\alpha B}}=1.\]
Ce qui termine la démonstration du théorème.

J. D. Gergonne a publié ce résultat en 1818. Mais, paraît-il, le point $Ge$ était déjà mentionné par Ceva en 1678. On trouve aussi
une preuve du même théorème dans un des articles de Nagel en 1837. Qui a fait quoi ? Moi, je n’en sais rien. Alors attribuons la paternité aux trois, c’est plus simple.