Quelques problèmes ouverts de géométrie élémentaire

Le 6 avril 2009  - Ecrit par  Jean-Marc Schlenker Voir les commentaires

La géométrie discrète
est une branche des mathématiques qui s’intéresse aux
objets géométriques qui sont « discrets », c’est-à-dire qu’ils peuvent être décrits
par un nombre fini de paramètres. Elle est relativement peu pratiquée dans
les départements de mathématiques de par le monde, mais beaucoup plus dans
les départements d’informatique (ou de computer science), où ils intéressent
à la fois pour eux-même et pour leur rôle dans des applications.

Alors que la plupart des questions de géométrie étudiées par les mathématiciens
sont relativement abstraites et difficiles d’accès, la géométrie discrète recèle
une multitude de questions remarquablement faciles à poser, mais dont on ne
connaît pas la réponse — on parle de problèmes « ouverts ». On va en présenter
trois, choisis parmi beaucoup d’autres.

Le dépliage des polyèdres

Supposons que vous voulez construire un polyèdre, par exemple un
cube ou un icosaèdre [1]. Comment faire ?
Le plus simple est de construire un « patron » : par exemple, pour un cube,
on dessine 6 carrés sur une feuille de papier, qui forment par exemple une
espèce de croix, puis on les découpe, on plie le long des arêtes et on les recolle
pour former un cube, voir par exemple
ici.
Cette construction est en fait ancienne, elle remonte au moins à Dürer qui en
a laissé de nombreuses illustrations comme
celle-ci.

Ceci conduit à une question bien naturelle : étant donné un polyèdre, peut-il
toujours être obtenu de cette manière ?
En termes un peu plus précis, est-il toujours
possible de découper un polyèdre (convexe) le long de certaines arêtes, pour obtenir un
domaine connexe dépliable sur le plan (sans auto-intersection) ? Et bien, on ne
le sait toujours pas.

La conjecture de Kneser-Poulsen

Considérons maintenant un ensemble de boules $B_1, B_2,\cdots, B_n$ dans l’espace.
Déplaçons maintenant ces boules de manière que la distance entre les centres de
deux quelconques d’entre elles diminue. La conjecture de Kneser-Poulsen affirme
que le volume de l’intersection de toutes ces boules est plus grande dans cette
nouvelle configuration. Et aussi que le volume de la réunion de toutes ces
boules est plus petit.

L’analogue de cette conjecture est vrai dans le plan, voir
ici. En dimension
plus grande, et bien, on ne sait pas !

La subdivision du cube

Est-il possible de découper un cube en tétraèdres dont tous les angles sont
aigus, c’est-à-dire strictement inférieurs à 90 degrés ? En dimension 2, la
réponse est positive : on peut découper un carré en triangles aigus, c’est
un exercice qu’on laisse au lecteur (attention ça n’est pas si facile !)
En dimension trois, et bien, on ne sait pas !

Est-ce intéressant ?

Ces trois problèmes sont faciles à énoncer mais ils sont très éloignés
des préoccupations de la grande majorité des mathématiciens, qui étudient
généralement des notions moins faciles à appréhender mais dont
on a de bonnes raisons de penser qu’elles jouent un rôle plus fondamental
(pour les mathématiques, pour les autres sciences, voire pour les applications).
On peut se demander s’ils sont intéressants, c’est-à-dire si y répondre
représenterait un progrès important de la connaissance.

Ca n’est pas clair. Il est tout à fait possible que certains de ces
problèmes se revèlent peu intéressants, par exemple parce que les conjectures
correspondantes sont fausses mais que les contre-exemples sont simplement
trop compliqués pour avoir été trouvés jusqu’ici. Dans ce cas, trouver
la réponse serait certes utile, mais ne changerait pas fondamentalement
notre compréhension des mathématiques — les contre-exemples trouvés resteraient des curiosités. Mais il est possible aussi que notre
incapacité à résoudre ces questions soit due à notre incompréhension d’outils
conceptuels fondamentaux, dans ce cas ces problèmes seraient comme la pointe
émergée d’icebergs mathématiques encore à découvrir.

Notes

[1On pourra aussi consulter les articles Une chambre hyperbolique et Triangulations : de la terre au nœud de trèfle. sur ce même site

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Pour citer cet article :

Jean-Marc Schlenker — «Quelques problèmes ouverts de géométrie élémentaire» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

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