Quelques propriétés des carrés parfaits

Piste verte Le 29 janvier 2016  - Ecrit par  François Brunault Voir les commentaires (7)

Où il est montré sur des exemples que la géométrie peut se mêler d’arithmétique, et réciproquement…

(Rediffusion d’un article publié le 12 avril 2011).

Arithmétique ! algèbre ! géométrie ! trinité grandiose ! triangle lumineux ! Celui qui ne vous a pas connues est un insensé !

Lautréamont, Les Chants de Maldoror, Chant deuxième.

Nous allons faire connaissance dans cet article avec une catégorie particulière de nombres entiers : les carrés parfaits. Ces nombres possèdent des propriétés très riches, parfois simples, parfois cachées, mais toujours savoureuses. Nous expliquerons comment la géométrie permet d’éclairer des propriétés de nature arithmétique, et réciproquement. Nous verrons également comment de simples observations numériques sur les sommes de carrés peuvent conduire naturellement à des questions intéressantes sur les nombres premiers...

Carrés parfaits

Un nombre entier $N$ est dit carré s’il est possible de disposer $N$ objets de manière à former exactement un carré, comme dans la figure suivante :

Les premiers entiers carrés sont donc 1, 4, 9, 16... On utilise parfois aussi la terminologie de carré parfait, qui s’explique en disant qu’il n’y a pas d’objet « manquant » ou « en trop » dans la figure carrée ainsi réalisée [1]. Algébriquement, les entiers carrés s’obtiennent en multipliant un entier quelconque par lui-même : ainsi 1 = 1 × 1 ; 4 = 2 × 2 ; 9 = 3 × 3 ; etc.

Voici une première propriété des carrés parfaits, a priori surprenante : il est possible de calculer la suite de ces nombres en ne faisant que des additions. Pour voir cela, utilisons la définition géométrique des entiers carrés et observons comment passer d’un nombre au suivant :

Pour passer du premier carré au deuxième, on rajoute 3 objets. Pour passer du deuxième au troisième, on en rajoute 5. Du troisième au quatrième, on en rajoute 7, et ainsi de suite... On remarque que la suite des nombres à rajouter n’est autre que la suite des nombres impairs ! La table ci-dessous, appelée table de différences, résume la situation :

Carrés 1 4 9 16 25 36 49 64
Différences 3 5 7 9 11 13 15

Les nombres du bas s’obtiennent en calculant les différences successives des nombres du haut. Réciproquement, tout nombre dans la première ligne s’obtient en additionnant le nombre situé à sa gauche et le nombre en dessous de lui. La ligne du bas étant connue, on voit alors comment calculer, de proche en proche, la suite des carrés, en faisant uniquement des additions. Une démonstration algébrique de cette propriété est donnée ci-dessous.

Calcul algébrique des différences

Il s’agit de calculer la différence entre deux nombres carrés consécutifs. Pour tout entier $n$, le $n$-ième nombre carré vaut $n^2=n \times n$. Par conséquent, le $(n+1)$-ième nombre carré est égal à $(n+1)^2=n^2+2n+1$. Il suit que la différence entre le $n$-ième carré et le $(n+1)$-ième carré est donnée par $(n^2+2n+1)-n^2=2n+1$. Cette différence est bien un nombre impair, et lorsque $n$ parcourt les entiers, le nombre $2n+1$ parcourt bien tous les nombres impairs.

Le $n$-ième nombre carré est donc la somme des $n$ premiers nombres impairs. De plus, le $k$-ième nombre impair est égal à $2k-1$ (on vérifie en effet que 1 = 2 × 1 - 1 ; 3 = 2 × 2 - 1 ; 5 = 2 × 3 - 1 ; etc.). On en déduit finalement la formule algébrique suivante :

\[n^2 = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1).\]

Cette méthode présente a priori un inconvénient : pour calculer un terme précis de la suite, il semble nécessaire de calculer tous les termes précédents... En réalité, on peut faire un peu mieux. Supposons par exemple que l’on sache que 11 × 11 = 121 et 12 × 12 = 144. La différence entre ces carrés vaut 144 - 121 = 23. On en déduit alors 13 × 13 = 144 + 25 = 169, puis 14 × 14 = 169 + 27 = 196, etc. Un autre avantage de la méthode des différences est qu’elle se généralise. On peut par exemple calculer la suite des cubes par un procédé analogue [2].

De manière surprenante, le calcul de tables de différences apparaît (sous une forme beaucoup plus élaborée) dans d’autres domaines des mathématiques. Par exemple, la méthode des différences finies est un outil fondamental en analyse numérique, qui possède de nombreuses applications concrètes telles que la simulation d’équations issues de la physique ou de la biologie... Nous renvoyons le lecteur intéressé au cours de physique de Richard Feynman [Fey] pour un exemple de résolution numérique d’équations de la physique à l’aide de tables de différences. Pour un traitement mathématique des différences finies, on pourra se référer à l’ouvrage [Cia].

Triplets pythagoriciens

Nous allons maintenant considérer un problème de géométrie classique : est-il possible de trouver un triangle rectangle tel que toutes les longueurs de ses côtés soient des nombres entiers ? Notons $a$, $b$ et $c$ les longueurs des côtés du triangle, comme dans la figure ci-dessous :

Le théorème de Pythagore nous dit que ce triangle est rectangle si et seulement si l’identité $a^2+b^2=c^2$ est vérifiée. Nous sommes donc ramenés à un problème purement arithmétique : trouver des entiers $a$, $b$ et $c$ tels que $a^2+b^2=c^2$. Un tel triplet $(a,b,c)$ est appelé triplet pythagoricien. Le plus petit triplet pythagoricien est (3,4,5) : on vérifie en effet que 9 + 16 = 25. Un autre triplet pythagoricien est (5,12,13) : on a déjà vu plus haut que 25 + 144 = 169. Une application amusante des triplets pythagoriciens est que l’on peut mesurer des angles droits à l’aide d’une corde munie de nœuds espacés régulièrement, comme le montre la figure ci-dessous :

PNG - 4.8 ko
Une corde fermée à douze nœuds permettant de mesurer un angle droit

Existe-t-il d’autres triplets pythagoriciens ? Voici une méthode, attribuée à Pythagore [3], pour en construire. Revenons à la définition géométrique des nombres carrés et observons de nouveau la figure utilisée précédemment :

À chaque étape, le nombre de points bleus est visiblement égal à la différence entre deux carrés. D’autre part, nous avons déjà vu que le nombre de points bleus peut être rendu égal à un nombre impair arbitraire. Si l’on choisit pour ce nombre impair carré, (impair (...)' id='nh2'>2].

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