Quelques remarques personnelles concernant la nature des Mathématiques

Piste rouge Le 12 septembre 2010  - Ecrit par  Jean-François Colonna Voir les commentaires (3)

Les Mathématiques existent-elles en dehors de l’esprit des mathématiciens et donc indépendamment de nous ? Et si oui, leur redoutable efficacité en Physique ne serait-elle pas le signe que notre Réalité est une structure mathématique ?

Les progrès en Mathématiques dites pures se font en général grâce à des problèmes posés, tels des défis, à la communauté des mathématiciens par l’un de ses membres [1]. La plupart du temps, pour ne pas dire toujours, ces questions sont abstraites, souvent incompréhensibles pour le commun des mortels et sans rapport apparent avec la Réalité tangible. Un exemple récent, qui fit la une des journaux, fut la démonstration du Grand Théorème de Fermat par Andrew Wiles après plus de trois siècles de tâtonnements, d’erreurs et d’efforts. Et malgré l’immensité de l’entreprise et le succès rencontré, voici un théorème de peu d’utilité alors que le tortueux chemin parcouru pour son obtention fut incroyablement riche en développements, en rencontres fortuites et en applications concrètes [2]. Ainsi présentées, les Mathématiques sembleraient alors n’être qu’un « simple » jeu de l’esprit guère plus utile au quotidien que les échecs.

Pourtant depuis trois mille ans les Mathématiques sont utilisées pour décrire certains phénomènes naturels. Depuis le dix-septième siècle, avec les travaux de Galilée, les Mathématiques sont considérées comme le langage avec lequel sont écrites les lois de la Nature. Historiquement, l’un des premiers modèles fut celui des épicycles de Ptolémée qui décrivait le mouvement du Soleil et les rétrogradations des planètes alors connues. Les progrès concomitants des Mathématiques et des appareils d’observation et de mesure (du temps tout particulièrement) permirent l’émergence de modèles descriptifs et prédictifs toujours plus fidèles. Les Mathématiques devinrent alors, à côté du microscope et du télescope, un « instrument d’observation » révolutionnaire qui nous révèle chaque jour de nouvelles et mystérieuses facettes de notre Univers :

La Physique aujourd’hui, de $1.6 10^{-35}$ mètre (échelle de Planck) à $8.8 10^{26}$ mètres (horizon cosmologique) et au-delà

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Visualisation tridimensionnelle d’une variété de Calabi-Yau définissant les hypothétiques dimensions supplémentaires de l’espace imposées par la théorie des super-cordes

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Structure en quarks et gluons du nucléon (proton et neutron)

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Superposition linéaire d’états propres de l’atome d’hydrogène

L’infiniment petit.

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Synthèse de phénomènes naturels (nuages et montagnes) grâce à la géométrie fractale

L’Homme entre deux infinis.

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Les rayons du Soleil

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Le système solaire vu depuis une planète fictive dont la trajectoire est très différente (excentricité et inclinaison) de celles des planètes réelles

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Vision « artistique » du Big Bang

L’infiniment grand.

Aujourd’hui les résultats obtenus, en particulier dans le cadre de la Mécanique Quantique et de la Relativité générale, sont d’une précision époustouflante (tout comme ceux de nombreuses expériences de Physique...) et les « dix chiffres après la virgule » ne sont pas rares !

Mais ces succès ne font que rendre plus mystérieuses la nature profonde des Mathématiques et la cause de leur « redoutable efficacité » (Eugène Wigner). Que sont donc les (nos ?) Mathématiques ? Deux réponses apparemment inconciliables peuvent être formulées : soit elles ne sont « que » le fruit de notre esprit, soit elles existent indépendamment de nous. Formulé différemment : le mathématicien est-il comme Molière qui imagina Monsieur Jourdain dans le Bourgeois Gentilhomme ou bien comme Christophe Colomb qui découvrit l’Amérique ? Le mathématicien est-il un créateur (c’est-à-dire celui qui tire du néant) ou bien un explorateur (celui qui parcourt en observant) ? Examinons successivement ces deux positions.

Le mathématicien créateur

Les Mathématiques sont ici le fruit de l’imagination des mathématiciens et d’elle-seule. Leur efficacité peut alors émerger d’une part du fait que dans le cortex, les structures responsables des sens créent progressivement des modèles de notre environnement (au sens large) ; ces structures sont de même nature que celles qui nous permettent de créer (mais qu’est-ce que la création ?). Il est d’ailleurs possible de conjecturer qu’en l’absence de perceptions sensorielles, il n’y aurait pas de conscience et donc pas d’imaginaire. Il pourrait dès lors être logique de considérer que dans ce contexte les Mathématiques (nos Mathématiques alors !) sont contraintes par nos modèles sensoriels [3], d’où l’adéquation. Cela pourrait alors expliquer que, tel Monsieur Jourdain qui disait de la prose sans qu’il en sût rien, le mathématicien pur fasse souvent (toujours ?) de la Physique sans le savoir (ainsi, par exemple, les groupes d’Evariste Galois sont aujourd’hui au cœur de la Physique et sans les variétés de Bernhard Riemann la Relativité Générale d’Albert Einstein n’aurait peut-être pas vu le jour en 1915).

D’autre part notre environnement, proche comme lointain, n’est pas aléatoire : des structures, des symétries, des invariances,... dans le temps comme dans l’espace, sont identifiées. Une ou plusieurs façons de « compresser », de « résumer » ces régularités doivent alors être envisageables (par analogie, il est possible de compresser les images numériques grâce au JPEG ou encore aux ondelettes parce qu’elles ne sont pas aléatoires). Les Mathématiques seraient alors un langage (parmi d’autres) de compression d’observations. Ceci est alors à rapprocher de la notion de complexité algorithmique qui permet de caractériser la complexité d’un ensemble (de nombres par exemple) par la taille du plus petit programme permettant de le reproduire. Les Mathématiques seraient donc un langage de programmation et, suivant le principe du rasoir d’Occam [4], un modèle serait le programme le plus simple (qui n’est pas nécessairement le plus court dans ce contexte !) reproduisant un certain fragment de Réalité, dans la limite des observations actuelles. Donnons un exemple : le résultat d’une certaine observation est la suite finie $\{0,2,4,6,8,...,28,30\}$. De nombreux programmes (c’est-à-dire des modèles mathématiques) permettent de la reproduire (en se limitant évidemment aux seize premiers éléments) et par exemple [5] :

$M_1$ - Calcul des entiers naturels pairs : $\{n | n=0 ; \{n=n+2\}\},$

$M_2$ - Calcul du double des entiers naturels : $\{s | n=0 ; \{s=2n ; n=n+1\}\},$

$M_3$ - Calcul de : $\{\text{PartieEntière(s)} | n=0 ; \{s=2n + 0.004n^2 ; n=n+1\}\}$

(...)

$M_i$ - Calcul de la valeur absolue des zéros triviaux de la fonction Zêta de Riemann : $\{mod(z) | Zeta(z)=0, Im(z)=0\},$

(...)

Il est clair qu’en l’absence d’informations supplémentaires le modèle $M_1$ est le plus simple. Mais ce n’est pas parce qu’il permet de reproduire exactement et de la façon la plus économique qui soit la suite $\{0,2,4,6,8,...,28,30\}$ qu’il correspond aux motivations et aux intentions de son « créateur » qui pourront à jamais rester inaccessibles. Et c’est là une différence importante entre les Mathématiques et la Physique : les vérités mathématiques (en particulier celles qui ont déjà été démontrées) sont éternelles alors que celles de la Physique sont précaires. Il suffit qu’un certain progrès prolonge la suite précédente sous la forme $\{0,2,4,6,8,...,28,30,33\}$ pour que le modèle $M_1$ soit supplanté par $M_3$, en notant qu’alors $M_2$ en devient une bonne approximation (en négligeant le terme $0.004n^2$), tout en réfutant $M_1$ et $M_i$ (les excluant ainsi de la liste des modèles possibles).

Les Mathématiques seraient alors relatives à nos structures cognitives, à notre évolution culturelle et à notre environnement en notant bien que, malgré le principe cosmologique (il n’y a pas de point et de direction privilégiés dans l’Univers), notre Terre, sans être unique (fort probablement), est un lieu rare, particulier et privilégié (puisque nous y sommes en tant qu’observateur !) et que cela a nécessairement influencé, voire certainement distordu, notre appréhension de la Réalité.

Le mathématicien explorateur

Plaçons nous maintenant dans le cadre de le seconde hypothèse. Les Mathématiques sont ici les mêmes aux « quatre coins de l’Univers ». Mais il y a deux façons de comprendre cela :

  • Soit les Mathématiques ne sont « que » Le Langage (unique) de description de l’Univers, mais contrairement à la définition précédente, elles ne sont plus relatives mais absolues et donc indépendantes de l’observateur (nous en particulier). Elles résident alors hors de notre temps et de notre espace, en un « lieu platonicien » auquel notre conscience a accès et à l’intérieur duquel nous avançons progressivement. Mais où est-il et comment se fait la connexion ?
  • Soit, et c’est la une conception encore plus audacieuse, les Mathématiques sont (et elles seules) la Réalité (voir les travaux de Max Tegmark). Alors, en elles et de par leur complexité, émergent ici et là des « groupes » de structures conscientes (nous en particulier) qui subjectivement se considèrent chacun comme vivant dans leur monde physique réel. Dans cette réalité mathématique infinie, de nombreux mondes virtuels naîtraient ainsi, chacun avec leurs lois et leurs contenus propres. Cela est en relation avec la notion de Multivers qui est une tentative actuelle pour comprendre les valeurs très particulières des constantes fondamentales de Notre Physique et donc les « conditions initiales » très improbables du Big Bang [6].

En 1543, Copernic nous révéla que notre Terre n’était qu’une planète comme les autres, puis nous avons découvert que notre Soleil n’était qu’une étoile comme les autres, puis que notre Voie Lactée n’était qu’une galaxie comme les autres. Notre Univers ne serait-il donc pas un univers comme les autres ? De nombreux (une infinité ?) d’univers coexisteraient à l’intérieur du Multivers, avec chacun leurs lois et leurs contenus et ainsi, si toutes les conditions initiales possibles sont représentées, notre Univers avec les siennes si spécifiques doit nécessairement exister ! Cela nous rappelle les tentatives faites par Kepler au dix-septième siècle pour justifier les positions relatives des planètes du système solaire alors connues, à l’aide des solides platoniciens. Cette quête était vouée à l’échec car leurs trajectoires sont en fait étroitement liées aux conditions initiales, de nature contingente, de formation du système solaire. Pourquoi notre système solaire est-il comme il est ? « Tout simplement » parce que quasiment toutes les configurations de systèmes planétaires doivent exister (y compris donc le nôtre), ce que les découvertes de plus en plus nombreuses d’exo-planètes semblent confirmer !

Considérer que les Mathématiques sont la seule Réalité permet ainsi d’engendrer un Multivers, mais aussi de répondre à une interrogation d’un niveau supérieur : pourquoi les lois de la (notre) Nature sont-elles celles que nous mettons en évidence et en particulier pourquoi les équations différentielles y règnent-elles en maître ? La réponse pourrait être « tout simplement » que notre Univers a émergé d’une infime partie de la région des Mathématiques où elles « vivent ».

Une variante de cette position doit être envisagée parce qu’actuellement irréfutable [7], même si en appliquant de nouveau le principe du rasoir d’Occam, elle peut paraître extravagante. Notre Univers ne serait-il pas le résultat d’une simulation ? Il ne s’agirait là ni plus ni moins que d’un jeu vidéo et nos Mathématiques pourraient être le langage de programmation que nous, êtres conscients mais simulés, découvririons progressivement. Mais alors d’autres questions encore plus épineuses surgissent : dans quel Univers se déroule cette simulation et qui en est le programmeur ? Cet Univers est-il lui-aussi simulé ? Allons-nous ainsi empiler une infinité de « tortues » les unes sur les autres ? Malgré tous ses défauts, cette solution présente l’avantage de réintroduire scientifiquement et explicitement les questions fondamentales de la Création et de l’Existence.

Alors, le mathématicien créateur ou explorateur ?

Un contact avec d’hypothétiques intelligences extra-terrestres, si tant est qu’un dialogue équitable fut possible, lèverait certainement un petit coin du voile (dans Contact, roman de science-fiction publie en 1985, Carl Sagan faisait implicitement l’hypothèse platonicienne, en donnant, en particulier, la vedette aux nombres premiers et à pi...). Mais peut-être la réponse est-elle que le mathématicien est à la fois créateur et explorateur : certaines structures, probablement parmi les plus élémentaires, existeraient indépendamment de nous (les nombres entiers ordinaux et cardinaux, par exemple [8]), alors que d’autres seraient notre œuvre (un peu comme il existe dans l’Univers un certain nombre de molécules naturelles et que nos chimistes en ont créé de nouvelles à partir des éléments de base que sont les atomes).

Les réponses se feront peut-être attendre éternellement parce que la Réalité et la connaissance qu’il est possible d’en avoir, sont à mon sens de nature fractale. Souvenons-nous de la remarque de Lord Kelvin qui, à la fin du dix-neuvième siècle, imaginait la Physique achevée : il ne restait « plus » qu’à ajouter quelques décimales aux constantes universelles et à éclaircir un « petit point de détail » : celui du corps noir (et la suite est bien connue... [9]) ! N’est-ce pas là le propre d’un objet fractal que de nous échapper toujours davantage : tout nouvel agrandissement de l’une de ses parties ne nous révèle-t-il pas un nouvel univers de formes et de détails ?

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Ces limites et ces insondables mystères doivent être acceptés et ne doivent surtout ni briser notre bel élan d’insatiable curiosité, ni interrompre cette ultime forme d’aventure moderne qu’est la recherche en Mathématiques !

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs suivants (par ordre alphabétique de leur pseudonyme) Roland Bacher, Pierre Baumann, Sébastien Gandon, Claire Lacour, Jean-Michel Muller.

Notes

[1A côté du Grand Théorème de Fermat évoqué par la suite on trouvera, par exemple, les fameux vingt-trois problèmes (voir cet article) dont Hilbert avait dressé la liste lors du congrès international de Mathématiques de 1900 ou encore l’hypothèse de Riemann...

[2A titre d’exemple les courbes elliptiques sont utilisables en cryptographie : elles permettent l’utilisation de clefs plus courtes tout en procurant un niveau de sécurité au moins égal aux autres méthodes

[3même si elles nous permettent d’aller bien plus loin que nos intuitions.

[4« Les multiples ne doivent pas être utilisés sans nécessité » (« pluralitas non est ponenda sine necessitate ») : principe attribué à Guillaume d’Occam, franciscain du quatorzième siècle. Il s’agit d’un principe de simplicité et d’économie qui préconise, en particulier, d’éviter l’introduction de nouvelles hypothèses, tant que celles déjà émises suffisent.

[5les écritures du type $n=n+2$ ne sont pas des équations, mais ce que l’on appelle en informatique des affectations et signifient dans le cas présent incrémenter la variable $n$ de deux unités

[6Je ne peux que conseiller la lecture du livre Universe or Multiverse ? édité par Bernard Carr et publié en 2007 par Cambridge University Press.

[7c’est-à-dire que l’on ne peut pas en démontrer la fausseté.

[8« Dieu a créé les nombres entiers ; le reste est l’œuvre de l’homme », Leopold Kronecker.

[9la révolution de la Mécanique Quantique.

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Pour citer cet article :

Jean-François Colonna — «Quelques remarques personnelles concernant la nature des Mathématiques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • Quelques remarques personnelles concernant la nature des Mathématiques

    le 16 septembre 2010 à 16:14, par Jacques Lafontaine

    Je me permets, pour illustrer votre article, de donner un exemple que j’aime bien.

    Considérons un champ de forces dirigé vers un point
    fixe, et ne dépendant que de la distance $r$ à ce point.

    S’il y a suffisamment de trajectoires fermées,
    la force est proportionnelle à $r$ ou à $r^{-2}$
    (voir le célèbre `Méthodes mathématiques de la mécanique
    classique’’ de V.I. Arnold).

    Autrement dit on n’obtient dans ces conditions que les seules lois qui ont un sens physique.

    Malgré son côté spectaculaire, cet exemple permet-il de trancher le débat ? Je ne le penses pas ...

    Répondre à ce message
  • Quelques remarques personnelles concernant la nature des Mathématiques

    le 29 novembre 2010 à 10:38, par hlbnet

    Bonjour,

    J’ai lu votre arcticle avec beaucoup d’intérêt. J’ai passé un moment agréable a envisager vos hypothèses qui ont suscité mon imagination de manière très plaisante. Je vous en remercie.

    Néanmoins, je voulais vous signaler un passage qui n’a fait retomber sur terre sans ménagement. Un passage où je me suis subitement dit « Mais, c’est une entourloupe, cet argument ! ».

    Il s’agit du passage suivant :
    « En 1543, Copernic nous révéla que notre Terre n’était qu’une planète comme les autres, puis nous avons découvert que notre Soleil n’était qu’une étoile comme les autres, puis que notre Voie Lactée n’était qu’une galaxie comme les autres. Notre Univers ne serait-il donc pas un univers comme les autres ? »

    Avant que Copernic n’assimile la terre à une planête comme les autres, les hommes observaient les planêtes du système solaire depuis déjà longtemps. Lorsque nous avons découvert que notre Soleil n’était qu’une étoile comme les autres, nous observions les étoiles depuis déjà longtemps. Lorsque nous avons réalisé que notre Voie Lactée n’était qu’une galaxie comme les autres, nous observions les autres galaxies (nébuleuses) depuis déjà longtemps.

    Pour que l’analogie fonctionne avec l’Univers, encore faudrait-il que nous observions des objets qui seraient pris dans un premier temps pour des objets particuliers et qui pourraient ensuite être assimilés à des Univers comme le notre. Mais, quels sont ces objets candidats à cette unification ?

    Je pense que vous usez ici d’une analogie maladroite ... ce qui ne m’empêche pas de trouver votre article intéressant et pertinent.

    Cordialement,
    hlbnet

    Répondre à ce message
  • Relativité des mathématiques

    le 10 décembre 2011 à 14:05, par Marc JAMBON

    Vous ouvrez un débat philosophique qui n’aura jamais de conclusion définitive comme tout débat philosophique.

    Je cite un extrait de votre texte « le mathématicien explorateur »
    « certaines structures, probablement parmi les plus élémentaires, existeraient indépendamment de nous (les nombres entiers ordinaux et cardinaux, par exemple [8]), »
    et la citation de Kronecker qui va dans le même sens.
    « Dieu a créé les nombres entiers ; le reste est l’œuvre de l’homme »

    Je réponds qu’ il a quand même bien fallu créer le 0 et formaliser les nombres entiers par des axiomes, axiomes de Péano par exemple et encore, il y en a plusieurs variantes et il y a d’autres systèmes d’axiomes, ces systèmes d’axiomes ne sont peut-être pas équivalents... Ce sont de toute façon des créations de l’esprit humain sans lesquelles, il n’y aurait pas véritablement de mathématique des nombres entiers.

    Je vous cite encore
    « Soit les Mathématiques ne sont « que » Le Langage (unique) de description de l’Univers, mais contrairement à la définition précédente, elles ne sont plus relatives mais absolues et donc indépendantes de l’observateur. »
    Je suis assez d’accord avec les mathématiques « langage de description de l’univers » mais pour langage « unique », là c’est moins évdent ! S’il est bien connu que la géométrie euclidienne n’est pas la seule géométrie, il est moins connu
    qu’il y a eu une crise au début du XXème siècle qui a conduit le mathématicien Brouwer à fonder les mathématiques intuitionnistes, éthymologiquement conformes à notre intuition, plus formellement sans utilisation du tiers-exclu.
    L’Intuitionnisme a lui même engendré plusieurs écoles qui existent encore ...

    En conclusion , je verrais plutôt les mathématiques comme décrivant des vérités relativement à un système d’énoncés admis : les axiomes, lesquels axiomes sont là pour décrire les réalités les plus simples issues de notre exploration.

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