Rediffusion d’un article publié le 23 avril 2020

Racine carrée de 2

Piste bleue Le 11 octobre 2020  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires

Comment évaluer la diagonale d’un carré...

Rediffusion d’un article publié le 23 avril 2020.

La diagonale d’un carré

Considérons un carré dont les côtés ont une longueur égale à $1$ (disons à $1$ centimètre pour fixer les idées), et traçons l’une des diagonales du carré, comme sur la figure suivante. Quelle est la longueur $L$ de cette diagonale ? à peu près $1{,}4$ : c’est ce que j’obtiens en mesurant la diagonale avec une règle graduée sur une feuille que j’ai utilisée pour reporter la figure [1]. Mais ceci n’est qu’une valeur approchée, nous verrons bientôt comment mieux évaluer $L$.

La diagonale du carré

Les sommets sont notés $A$, $B$, $C$ et $D$. Les côtés sont choisis de longueur 1.

Appliqué au triangle $ABC$ formé de deux côtés adjacents du carré et de la diagonale associée, qui est rectangle en $B$, le théorème de Pythagore fournit l’équation
\[ L^2= 2. \]
Il s’agit, en effet, d’un triangle à angle droit dont la longueur de l’hypoténuse (le grand côté) vaut $L$ ; puisque la longueur des côtés du carré vaut $1$, on obtient bien $L^2 = 1^2 + 1^2= 1 +1 =2$. Nous avons donc maintenant deux points de vue pour appréhender $L$ : c’est la longueur de la diagonale du carré - en particulier $L$ est positif - et c’est un nombre vérifiant $L^2=2$.

Par définition du terme racine carrée, $L$ est donc la racine carrée de $2$. Plus généralement, la racine carrée d’un nombre positif $c$ est le nombre $x\geq 0$ tel que $x^2=c$. On la note $\sqrt{c}$. Ainsi,
\[ L=\sqrt{2}. \]

Développement décimal

Nous l’avons dit, $L$ vaut à peu près $1{,}4$ ; un dessin précis montre en fait que $L$ est très légèrement supérieur à cette valeur, si bien que le développement décimal de $L$ doit être de la forme $L=1{,}4\dots$ avec certaines décimales strictement positives parmi “les trois petits points”. Faisons deux tests numériques :

  • $(1{,}41)^2=(1{,}41)\times (1{,}41)= 1{,}9881$ est strictement plus petit que $2$ ; donc $1{,}41$ est strictement inférieur à $L$ car $L$ vérifie $L^2=2$ ;
  • $(1{,}42)^2=(1{,}42)\times (1{,}42)= 2{,}0164$ est strictement plus grand que $2$ ; donc $1{,}42$ est strictement supérieur à $L$.

Ainsi, $L$ est compris entre $1{,}41$ et $1{,}42$ et son développement décimal est de la forme $1{,}41\dots$ ; à nouveau, certains termes parmi ces « trois petits points » doivent être non nuls, car $1{,}41$ est strictement plus petit que $L$.

Pour déterminer le terme suivant du développement décimal de $L$, nous pouvons tester successivement les diverses possibilités qui s’offrent à nous ; en ne retenant que les trois premières décimales, on obtient [2]

  • $(1{,}411)^2= 1{,}990\dots$
  • $(1{,}412)^2 = 1{,}993\dots$
  • $(1{,}413)^2 = 1{,}996\dots$
  • $(1{,}414)^2 = 1{,}999\dots$
  • $(1{,}415)^2= 2{,}002\dots$
  • etc.

Nous avons arrêté le calcul car ces données suffisent à conclure que $L$ est compris entre $1{,}414$ et $1{,}415$, si bien que son développement décimal démarre par la séquence $1{,}414$. Si nous poursuivions cet algorithme en testant toutes les possibilités pour le chiffre suivant du développement, et si nous répétions cette recherche pour obtenir les dix premières décimales, nous obtiendrions
\[ L= \sqrt{2} \simeq1{,}4142135623\dots \]
C’est une valeur approchée de $\sqrt{2}$ très précise, mais un peu laborieuse à déterminer par la méthode que nous venons de décrire [3].

Propriétés du développement décimal

À la vue des premiers termes du développement, une chose saute aux yeux : le chiffre $0$ n’est pas encore apparu. En fait, des $0$ apparaissent ultérieurement, et même tous les chiffres apparaissent, comme on le voit en poursuivant le calcul
\[ \sqrt{2}=1{,}4142135623730950488016\dots \]
L’absence de $0$ n’était donc qu’un artefact dû à un arrêt prématuré du calcul. Il semble aussi que le développement ne s’arrête jamais ! C’est effectivement une propriété de $\sqrt{2}$ que nous allons démontrer.

Théorème.— Le développement décimal de $\sqrt{2}$ ne s’arrête pas : dans l’écriture décimale $\sqrt{2}=1{,}41421\dots$ des chiffres non nuls apparaissent arbitrairement loin.

Démonstration.— Supposons que le développement s’arrête à un certain stade ; notons alors $N$ la position de la dernière décimale non nulle et $a_N$ le chiffre correspondant. La valeur de $\sqrt{2}$ serait donc de la forme
\[ 1{,}41421\dots a_N. \]
Comme $\sqrt{2}$ est compris strictement entre $1$ et $2$, nous savons que $N\geq 1$. C’est tout ce que nous allons utiliser.

Calculons maintenant le carré de ce nombre en posant la multiplication
\[\begin{array}{r} 1{,}41421\dots a_N \\ \times1{,}41421\dots a_N \end{array}\]

Rappelons le procédé : nous allons multiplier $1{,}41421\dots a_N$ par $a_N$, puis par $a_{N-1}$,..., jusqu’aux multiplications par $4$ et par $1$ ; nous écrirons les résultats l’un en-dessous de l’autre en décalant convenablement la virgule, puis nous ferons la somme de tous ces résultats.

La première chose à faire est de multiplier $1{,}41421\dots a_N$ par $a_N$, et la première étape est la multiplication $a_N\times a_N$. Puisque $a_N$ n’est pas nul, $a_N\times a_N$ est l’un des nombres suivants : $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$. On abaisse le chiffre des unités correspondant, donc par exemple si $a_N=7$ on abaisse $9$ (car $7^2=49$) et on retient $4$. Quelque soit la valeur de $a_N$, le premier chiffre que l’on va écrire sera non nul. C’est notre première remarque.

Une fois la multiplication de $1{,}41421\dots a_N$ par $a_N$ effectuée, on décale la virgule : on la décale de $N$ pas vers la gauche en ajoutant des zéros. Ainsi, le tout premier chiffre écrit (le chiffre $9$ lorsque $a_N=7$) se situe au niveau de la décimale numéro $2N$. C’est notre deuxième remarque. Pour continuer l’opération, on doit maintenant multiplier $1{,}41421\dots a_N$ par $a_{N-1}$ et décaler la virgule de $N-1$ pas. Ici, le premier chiffre obtenu correspond à la multiplication $a_{N-1}\times a_N$ et il se situera — après décalage de la virgule — en position $2N-1$ (il peut étre nul, par exemple si $a_{N-1}=0$ ou si $a_N=2$ et $a_{N-1}=5$). Il est donc situé un cran à gauche du chiffre précédent. C’est notre troisième remarque.

Le même phénomène se reproduit avec les multiplications suivantes, par $a_{N-2}$, $\ldots$, jusqu’à $1$. Le calcul développé a donc la forme suivante, avec un chiffre $b\neq 0$ d’après notre première remarque :
\[\begin{array}{c} \begin{array}{rr} &1{,}4\;1\;4\;2\;1\;\cdots\; a_N\\ \times& 1{,}4\;1\;4\;2\;1\;\cdots\; a_N\\\hline &\cdots\;\star\;\star\;\star\;\star\ b\\ +&\hphantom{00\;m}\cdots\;\star\;\star\;\star\;\star\;\ b\;0\\ +&\hphantom{0m}\cdots\;\star\;\star\;\star\;\star\;\ b\;0\;0\\ &\cdots\qquad\qquad~\\\hline \end{array}\\ \text{résultat final par addition} \end{array} \]
\[ 1{,}41421\dots a_N \]
\[ \times 1{,}41421\dots a_N \]
\[ ---------- \]
\[ \quad \; \; \quad\dots\, \star \, \star \, \star\, \star \, b \]
\[ + \quad\dots \star\, \star\, \star\, \star\, \star \; 0 \]
\[ +\;\dots \star\, \star\, \star\, \star\, \star \; 0\; 0 \]
\[ \cdots \]
\[ ---------- \]
\[ {\text{Résultat final par addition}} \]
Les chiffres notés $\star$ sont des chiffres que l’on ne cherche pas à préciser.

Enfin, on additionne tous les nombres obtenus. D’après ce que nous venons d’expliquer, le premier chiffre obtenu – le chiffre $b$ situé en position $2N$ – n’est additionné qu’à des zéros : dans le résultat final de la multiplication, il existe donc un chiffre non nul en position $2N$, avec uniquement des zéros à sa droite.
C’est notre dernière remarque. Nous en déduisons que la multiplication ne peut être égale au nombre $2$, car le développement décimal de ce nombre n’a pas cette propriété [4]. $\square$

Compléments

Nous verrons d’autres propriétés des racines carrées dans un article compagnon de celui-ci. Mais le lecteur peut dès à présent continuer à s’instruire en

  • regardant pourquoi les dimensions des terrains de foot devraient être revues, à l’aide de $\sqrt{2}$ (voir ici) ;
  • apprenant que des livres sont consacrés à ce nombre (voir ici ou ) ;
  • constatant que d’autres figures géométriques mènent à d’autres racines (voir ici).

Bonne lecture !

Et si vous désirez un petit problème mathématique, demandez-vous ce que contient (ou résume) la figure du logo de l’article, tout en haut de cette page.

Post-scriptum :

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L’auteur et la rédaction d’Images des mathématiques remercient les relecteurs Mario et Corentin Bayette pour leur relecture toujours aussi réactive et attentive.

Notes

[1Attention, l’unité de mesure doit être choisie pour que le côté du carré soit égal à $1$. Par exemple, tracez un carré d’un centimètre de côté, alors la diagonale fait un peu plus de $1{,}4$ centimètre.

[2En écrivant $(1{,}411)^2=1{,}990\dots$ je veux dire ici que le développement décimal commence par $1{,}990$, pas que $(1{,}411)^2$ est égal à $1{,}990$. En fait, $(1{,}411)^2=1{,}990921$ exactement. J’emploie la même notation plus bas, par exemple pour $\sqrt{2}=1{,}41\dots$.

[3Il existe des méthodes plus efficaces, dont nous parlerons sans doute sur ce site ; vous pouvez par exemple consulter la méthode de Héron.

[4Si l’on écrit $2=2{,}00000\dots$, il n’y a que des zéros après la virgule. On pourrait aussi écrire $2=1{,}9999\dots$ avec que des $9$ après la virgule ; dans ce cas, il y a bien des chiffres non nuls dans le développement décimal, mais il n’y a pas de $0$.

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «Racine carrée de 2» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - Wikipedia, figure pour la méthode de Ménon (fig. DoublingTheSquareV1.svg)

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