Range tes jouets !

Piste bleue Le 4 avril 2017  - Ecrit par  Jérôme Germoni Voir les commentaires

Le personnage principal de High Fidelity [1] possède une collection d’environ 4000 disques vinyles. Il les classe — par couleur, par chanteur, par taille, par guitariste, etc. — pour s’amuser, se détendre ou sortir de la dépression. Est-ce qu’il serait en train de faire des mathématiques ?

Mes objets fétiches, ce sont les Rubik’s cubes. J’en ai une petite collection que je montre de temps en temps sur des stands de la Fête de la science et autres manifestations du même genre. L’objet attire la curiosité mais il est trop complexe pour qu’on puisse en percer les secrets dans les quelques minutes consacrées à un stand. Je n’arrive qu’à passer un message un peu vague selon lequel les cubes sont des objets très symétriques, qui sont gouvernés par une structure mathématique appelée groupe et que l’on peut grâce à cela comprendre pourquoi certaines transformations sont impossibles (par exemple, échanger deux coins et pas d’autres pièces) ou mieux, programmer un ordinateur pour trouver des formules de résolution. C’est trop compliqué et ça relève de l’argument d’autorité.

Mais voici une autre idée simple que je trouve intéressante : classer ces puzzles en allant au-delà de leurs ressemblances superficielles. C’est une activité mathématique qui constitue un premier pas vers la résolution.

Voici la collection en vrac.

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Des cubes en vrac

Comme le héros de High Fidelity avec ses disques, on peut jouer à classer ces puzzles. On pourrait les ranger par couleurs ; ou bien séparer ceux qui ont des étiquettes et ceux dont le plastique est directement coloré ; ou encore ceux qui gardent leur forme lorsqu’ils sont mélangés et les autres. Ça n’est pas bien palpitant... Il est plus naturel de mettre les puzzles par paquets selon leur forme : les tétraèdres, le cylindre, les dodécaèdres, les cubes, les pavés non cubiques.Des cubes classés par forme {JPEG}

Mais ça ne sert pas à grand-chose : même quelqu’un qui sait résoudre le Rubik’s cube 3x3x3 standard restera sans doute démuni face à un Skewb ou à un Square One (ci-dessus, ceux qui sont dans la ligne du haut dans le paquet de puzzles qui ont vraiment des formes de cubes).

Il serait plus pertinent de rassembler les puzzles qui ont des méthodes de résolution identiques ou, à défaut, analogues. Voici une répartition en six paquets [2].

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Des cubes bien rangés ?

L’idée derrière ce regroupement, c’est que les mouvements élémentaires sont les mêmes (ou presque) dans chaque paquet. Dans la première colonne, les transformations élémentaires sont des tiers de tour. Voici une transformation élémentaire du Skewb répétée trois fois — on peut faire la même chose autour de chaque sommet du cube.

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Transformation élémentaire du Skewb

Le dodécaèdre qui se trouve dans le même paquet que le Skewb est appelé Skewb Ultimate. La différence de forme est secondaire : d’ailleurs, un dodécaèdre est un cube sur les faces duquel on a ajouté des sortes de toits : voir par exemple la partie « constructions » sur MathCurve. Du point de vue combinatoire, il y a dans les deux puzzles huit pièces « coins » et six pièces « faces » et les transformations élémentaires sont les mêmes. La seule différence notable, c’est que si on fait tourner une face du Skew Ultimate d’un quart de tour, ça se voit, alors qu’il n’y a pas besoin de faire attention à l’orientation des faces pour résoudre un Skewb.

Dans la deuxième colonne de la classification, les transformations élémentaires de chaque puzzle sont des quarts de tour. Croyez-moi : le paquet du haut est constitué de variantes du cube standard de côté 3. Si vous savez en résoudre un, vous savez tous les résoudre. Ça ne va pas de soi : les voici mélangés, pas si évident de reconnaître des cubes !

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Des cubes cubiques ?

Celui qui est argenté est la plus standard de ces variantes : au lieu que les faces aient des couleurs différentes, elles ont des hauteurs différentes, ce qui permet d’ailleurs de le résoudre au toucher [3] [4]. Les différences entre versions tiennent à la présence de pièces qui admettent une symétrie en plus ou en moins. (Passez à la MMI à l’occasion, je vous les montrerai en détail.)

Les cubes 3x3x3 font partie d’une famille dont voici quelques représentants :

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Cubes standards, de la pointure 2 à la pointure 6

Il me manque l’inutile cube de côté 1 (un dé coloré, quoi !) ; je réfléchis à acheter un cube de côté 7 ou 8. Le youtubeur Tesseract750 résout son cube de côté 11 en un peu plus d’une heure — chapeau bas !

La troisième colonne de la classification présente le Megaminx. Dans ce dodécaèdre, les transformations élémentaires sont d’ordre 5 : répéter cinq fois la même transformation revient à ne rien faire.

La dernière colonne de la classification est mixte. Le cylindre est « identique » à un Rubik’s cube 2x3x3, celui du haut est un Rubik’s cube 2x2x3. Voici les transformations élémentaires de ce dernier.

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Transformations élémentaires d’un puzzle 2x2x3 : deux demi-tours, deux quarts de tour

Pour le Square One (à droite dans la dernière colonne de la classification), tout se passe plus ou moins comme s’il était constitué de deux puzzles 2x2x3 entremêlés : résoudre l’un doit permettre de résoudre l’autre. Le point commun entre tous est qu’il y a de très classiques quarts de tour, mais aussi des demi-tours. Ceci rend les formules plus ou moins connues pour le Rubik’s cube standard inapplicables pour ces cubes. Bien qu’ils soient abstraitement plus simples que le Rubik’s habituel, c’est-à-dire qu’ils admettent beaucoup moins de configurations, ils ne sont pas faciles à résoudre.


Bref. Ce qu’on a fait dans cette classification, c’est essentiellement classer les puzzles selon leur groupe de symétries. « Mettre les gens dans des petites boîtes », « coller des étiquettes aux gens », c’est une attitude qui est vivement critiquée dans la société. Mais en sciences, et en particulier en mathématiques, cela consiste à mettre de l’ordre là où il y a un amoncellement sans structure (d’objets mathématiques, d’atomes, d’animaux, d’espèces vivantes, de systèmes physiques, etc.) Et si trouver la bonne classification ne va pas de soi, c’est un acte de pensée puissant — et indispensable.

Post-scriptum :

Cet article devrait être prolongé par une suite plus technique qui tentera de montrer le rôle de la structure de groupe. Notez que c’est la même structure qui est à l’œuvre dans le taquin imaginé par Sam Loyd, qui peut être considéré comme l’ancêtre du Rubik’s cube et des puzzles dérivés. C’est ce qu’explique cet article de Michel Coste.

Les puzzles photographiés ci-dessus s’achètent – ou s’offrent ! – très facilement sur les sites de vente de produits culturels pour une somme modique : de moins de 10 € pour les plus simples à 30 à 40 € pour les plus gros.

L’auteur remercie les relecteurs dont les noms ou pseudonymes sont Serma, amic, Didier Roche, Cidrolin, grandgousier, Cesar Martinez, dont les commentaires ont permis d’améliorer la présentation.

Article édité par Marie Lhuissier

Notes

[1High Fidelity est un livre de Nick Hornby adapté au cinéma par Stephen Frears.

[2Devinette : quel est le cube qui est magiquement apparu depuis les photos précédentes ?

[3Les enfants de Cédric Villani savent le résoudre les yeux bandés : ça vous impressionne ?

[4Moi aussi je sais le résoudre sans les yeux mais ça n’impressionne personne.

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Pour citer cet article :

Jérôme Germoni — «Range tes jouets !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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L'auteur

Jérôme Germoni

Maître de conférences et ancien directeur de la Maison des mathématiques et de l’informatique de Lyon (MMI).
Responsable de la rubrique Événements et Actualités des mathématiques d’Images des mathématiques.

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