Regalando cuadrados mágicos

Talismanes numéricos personalizados para todo el mundo

Piste bleue Le 27 mars 2019  - Ecrit par  Andrés Navas
Le 26 mars 2019
Article original : Des carrés magiques en cadeaux Voir les commentaires
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Los cuadrados mágicos de números son bellos objetos que permiten conectar la matemática con una parte de su historia ; además, su comprensión no requiere de conocimientos demasiado elaborados. En este artículo damos una vía poco convencional para aproximarse a ellos mediante sistemas de ecuaciones lineales. Veremos cómo la solución de una de estas ecuaciones permite construir un cuadrado mágico personalizado, ¡con cualquier fecha de nacimiento en primera línea !

Un cuadrado de números y una tortuga

Un cuadrado mágico es un arreglo de $n^2$ números en las casillas de un tablero $n \times n$ dispuestos de forma tal que la suma de los números de cada fila, los de cada columna, y los de las dos diagonales principales, son todas iguales. El más antiguo de estos cuadrados tiene su origen en China, y utiliza las cifras $1, 2,\dots,9$ distribuidas en un cuadrado $3\times3$. La suma asociada es, por lo tanto, igual a $15$ :
\[4+9+2=3+5+7=8+1+6=15,\]
\[4+3+8=9+5+1=2+7+6=15,\]
\[4+5+6=2+5+8=15.\]
Este cuadrado es mundialmente conocido con el nombre de Luo Shu. La palabra shu significa tortuga, mientras que Luo es el nombre de un río. Una vieja leyenda cuenta que durante una inundación, el emperador chino fue al lugar para ofrecer plantas y flores a modo de ofrenda para los dioses. Sin embargo, una tortuga las rechazó una a una, devolviéndolas hacia la ribera. Esta tortuga tenía sobre su caparazón 45 marcas dispuestas como los números que aparecen en el cuadrado mágico $3\times3$.

Bonus track.

Las propiedades mágicas del cuadrado implican evidentemente que
\[492 + 357 + 816 = 294 + 753 + 618,\]
\[438 + 951 + 276 = 834 + 159 + 672.\]
Resulta muy sorprendente constatar que los cuadrados de estos números verifican propiedades similares :
\[492^2 + 357^2 + 816^2 = 294^2 + 753^2 + 618^2,\]
\[438^2 + 951^2 + 276^2 = 834^2 + 159^2 + 672^2.\]
De hecho, todo esto sigue siendo válido si los números son leídos en cualquier base de numeración (mayor que 10). ¡Verifícalo !

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Un cuadrado mágico en el caparazón de una tortuga.

En este artículo de Paisajes Matemáticos se cuenta un poco de la historia fascinante de los cuadrados mágicos y se expone un algoritmo para construir cuadrados $4\times4$ especiales (llamados ’’panmágicos’’ ; ver más abajo) con los números $1,2,\dots,16$ (por tanto, la suma asociada es $34$). Entre todos ellos, el más famoso es sin duda alguna el de Khajuraho, llamado Chautisa Yantra (la palabra ’’chautisa’’ significa $34$).

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Es importante señalar que, en general, la terminología ’’cuadrado mágico’’ se utiliza preferentemente para cuadrados $n \times n$ cuyas casillas se llenan con los números consecutivos $1,2,\ldots, n^2$. Para estos cuadrados, el valor de la suma correspondiente es igual a
\[\frac{1}{n} \, (1+2+\ldots+n^2) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n^2 (n^2+1)}{2} = \frac{n \, (n^2+1)}{2}.\]
Ahora bien, nuestro objetivo aquí es investigar un poco el álgebra lineal de estos cuadrados, por lo que haremos caso omiso de esta restricción.

Cómo redescubrir todos los cuadrados mágicos $3\times3$

Procedamos a un primer cálculo. Tal como hemos señalado, no vamos a imponer ninguna condición a priori sobre los números que usaremos aparte de las ’’propiedades mágicas’’, es decir, que las sumas a lo largo de las filas, columnas y diagonales principales sean iguales. Para cuadrados $3\times 3$, esto significa que buscamos las fórmulas ’’más generales posibles’’ para las ’’incógnitas’’ $x$, $y$, $z$, $u$, $v$, $w$, $p$, $q$, $r$ que satisfagan las siguientes igualdades :

\[\hspace{-8cm} x+y+z = u + v + w = p + q + r =\\ \hspace{6cm} = x + u + p = y + v + q = z + w + r =\\ \hspace{12cm} = x + v + r = z + v +p. \]

Por cierto, el cuadrado en consideración es

$x$ $y$ $z$
$u$ $v$ $w$
$p$ $q$ $r$

Este cálculo no es difícil (lo dejamos como un ejercicio). Al parecer, quien lo desarrolló por primera vez fue Édouard Lucas en el siglo XIX. Las fórmulas se expresan de la manera siguiente :

$\ell -m$ $\ell +m+n$ $\ell -n$
$\ell +m-n$ $\ell$ $\ell -m+n$
$\ell +n$ $\ell -m-n$ $\ell +m$

Los números $\ell, m, n$ son arbitrarios (pueden ser no enteros, ¡incluso no reales !). En efecto :
\[(\ell-m)+(\ell+m+n)+(\ell-n) = 3 \ell,\]
\[(\ell+m-n)+(\ell)+(\ell-m+n) = 3 \ell,\]
\[(\ell+n)+(\ell-m-n)+(\ell+m) = 3\ell,\]
\[(\ell-m)+(\ell+m-n)+(\ell+n) = 3 \ell,\]
\[(\ell+m+n)+(\ell)+(\ell-m-n) = 3 \ell,\]
\[(\ell-n)+(\ell-m+n)+(\ell+m) = 3\ell,\]
\[(\ell-m)+(\ell)+(\ell+m) = (\ell-n)+(\ell)+(\ell+n) = 3\ell.\]

Si se desea hacer aparecer los números $1,\dots,9$ estamos obligados a escoger $\ell = 5$, pues la suma de todos los coeficientes vale $9\ell$, y es igual a
\[1+2+\ldots+9= 45.\]
A partir de esto, no es difícil determinar todas las posibilidades, que son 8 en total. Los cuadrados obtenidos se obtienen uno del otro por movimientos geométricos (4 rotaciones, 4 reflexiones [1]) Luo Shu aparece haciendo $m=1$ y $n=3$.

Otro cuadrado mágico interesante $3\times3$ se obtiene a partir de $\ell = 59$, $m =-12$ y $n = 42$. Se trata del cuadrado mágico de números primos (distintos) más pequeño que existe.

$71$ $89$ $17$
$5$ $59$ $113$
$101$ $29$ $47$

Cuadrados panmágicos $4\times 4$

Un cuadrado mágico es dicho panmágico (o diabólico) si las sumas a los largo de todas las diagonales (incluyendo las ’’quebradas’’ [2]) son las mismas. Los cuadrados mágicos $3\times3$ no son nunca panmágicos, con la excepción obvia de aquellos en que todas las entradas son iguales (esto se deduce directamente de las fórmulas de Lucas dadas más arriba). Por el contrario, existen cuadrados panmágicos $4\times4$, incluso con los números $1, 2,\dots, 16$. De hecho, Chautisa Yantra exhibido anteriormente es un ejemplo.

Para los cuadrados panmágicos, otras combinaciones aparte de las filas, columnas y diagonales dan la misma suma. Dicho de otra forma, las relaciones panmágicas implican nuevas relaciones (se puede reconocer aquí la noción de ’’dependencia lineal’’), de modo que a partir de las 16 originalmente impuestas (4 filas, 4 columnas, 8 diagonales), finalmente se llega a 52. Esto aparece ilustrado a continuación para Chautisa Yantra. En cada cuadrado, los números de las casillas del mismo color suman $34$.

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Existen 384 maneras diferentes de colocar las cifras $1,2,\ldots,16$ en un cuadrado $4 \times 4$ para obtener un cuadrado panmágico (ver nuevamente este artículo). Además, se puede pasar de uno a otro mediante movimientos especiales [3]. En lo que respecta a la fórmula general para un cuadrado panmágico $4 \times 4$, su cálculo es también un buen ejercicio de álgebra lineal. Una manera particularmente cómoda de expresarlas es la siguiente :

$a$ $b$ $c$ $d$
$\frac{b+c+d-a}{2}+k$ $\frac{a-b+c+d}{2}-k$ $\frac{a+b-c+d}{2}+k$ $\frac{a+b+c-d}{2}-k$
$\frac{a+b-c+d}{2}$ $\frac{a+b+c-d}{2}$ $\frac{b+c+d-a}{2}$ $\frac{a-b+c+d}{2}$
$c-k$ $d+k$ $a-k$ $b+k$

Al menos, haga el test con las 52 sumas de arriba con estas expresiones generales. ¡Se sorprenderá al ver que dan todas el mismo valor !

El cuadrado mágico de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan, célebre matemático de la India, confeccionó para sí el cuadrado mágico de abajo [4]. Si bien satisface solo 36 de las 52 relaciones de Chautisa Yantra, tiene la particularidad de llevar su fecha de nacimiento en primera línea : 22 de diciembre de 1887 [5].

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¿Por qué Ramanujan no produjo un cuadrado panmágico con su fecha de nacimiento en la primera línea ? La respuesta la entrega la fórmula de arriba. En efecto, en ella se aprecia claramente que para obtener un cuadrado de este tipo con entradas enteras, es necesario que la fecha de nacimiento dé lugar a una suma
$a+b+c+d$ que sea par. Sin embargo, para Ramanujan, esta suma es igual a $22 + 12 + 18 + 87 = 139$, y no hay forma de remediar esto...

A pesar de lo anterior, para cualquier prescripción de números enteros en la primera fila, existe un cuadrado que satisface todas las relaciones del de Ramanujan que solo utiliza números enteros. Abajo se presenta la fórmula general de un cuadrado $4 \times 4$ que cumple con que las 34 combinaciones de arriba llevan a la misma suma (nuevamente, se trata de un ejercicio...).

Coloca tu fecha de nacimiento en primera línea, asigna valores enteros arbitrarios a $m$ y $n$, y... ¡calcula tu propio cuadrado mágico !

$a$ $b$ $c$ $d$
$d+m+n$ $c-m-n$ $b-m+n$ $a+m-n$
$b-m$ $a+m$ $d+m$ $c-m$
$c-n$ $d+n$ $a-n$ $b+n$

Y es así como, por intermedio de los cuadrado mágicos, el mundo de los seres humanos se divide inexorablemente en dos. Por una parte, están las personas afortunadas que nacieron en una fecha que genera un número par, y poseen por tanto cuadrados panmágicos de números enteros [6]. Por otro lado, están aquellos desafortunados como Ramanujan (o yo) que solo tienen cuadrados semi-panmágicos debido a haber nacido en una fecha impar...

Los cuadrados panmágicos $5\times5$ como obituarios

Uno de los más grandes matemáticos de la historia, Leonhard Euler, se interesó mucho en los cuadrados mágicos, llegando incluso a escribir un tratado sobre ellos. Nació el 15 de abril de 1707 y murió el 18 de septiembre de 1783, a la edad de 77 años. En honor a él, he compuesto el cuadrado de abajo. Notarás rápidamente que los números de las casillas coloreadas corresponden a los de su fecha de nacimiento y muerte, y que el cuadrado es panmágico con suma igual a 77. Ahora bien, la imposición de estas condiciones fuerza que algunas entradas sean números negativos, si bien todos son enteros.

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Es importante señalar que para todo cuadrado panmágico $5 \times 5$, nuevas relaciones aparecen. En efecto, para toda ’’configuración pentagonal’’ (quincunce) como las de abajo (las cuales pueden ser centradas en cualquier punto [7]), la suma de las cifras es la misma que las de las filas, columnas y diagonales. Por esta razón, para el cuadrado obituario de Euler, hay 120 configuraciones con suma $77$ (contar 5 líneas, 5 columnas, 10 diagonales y 4 x 25 = 100 quincunces).

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Más abajo damos la fórmula general de los cuadrados panmágicos $5 \times 5$ ; a partir de ella, se constatan fácilmente las relaciones suplementarias de los quinconces [8]. Ejercicio : ¡prueba esta fórmula !

$s+n-\mu$ $k$ $p+q-\mu$ $\ell$ $r+m-\mu$
$p$ $\ell +r-\mu$ $m+n-\mu$ $k+s-\mu$ $q$
$k+m-\mu$ $q+s-\mu$ $\mu$ $p+r-\mu$ $\ell +n-\mu$
$r$ $p+n-\mu$ $k+\ell - \mu$ $q+m- \mu$ $s$
$\ell + q-\mu$ $m$ $r+s- \mu$ $n$ $k+p - \mu$

Resulta interesante señalar que la suma asociada a este cuadrado es igual a
\[k+\ell+m+n+p+q+r+s-3\mu.\]
Por esta razón, para colocar las fechas de nacimiento y de muerte de una persona en un cuadrado panmágico que tenga a la cantidad de años vividos por la persona como suma, es necesario que se satisfaga una condición aritmética de divisibilidad por 3 entre todas estas cifras. Una vez más, los números de Ramanujan no son buenos para esto.

En fin, olvidemos un poco las fechas para contemplar el más hermoso de los cuadrados panmágicos $5 \times 5$. Este está formado por los números $1,\ldots,25$, y tiene la propiedad suplementaria de que la suma del número de cada casilla con el de la casilla ’’opuesta’’ respecto a la central es igual a $26$ ; además, la casilla central está ocupada por el número $13 = 26 \, / \, 2$ [9].

$17$ $24$ $1$ $8$ $15$
$23$ $5$ $7$ $14$ $16$
$4$ $6$ $13$ $20$ $22$
$10$ $12$ $19$ $21$ $3$
$11$ $18$ $25$ $2$ $9$

La dimensión de los cuadrados

La presentación de los cuadrados mágicos como resultado de sistemas de ecuaciones lineales no es la más habitual, en parte porque la vieja tradición busca que sean llenados con números consecutivos, y no es para nada claro que esto pueda hacerse basado solo en las fórmulas generales de arriba.

No es extraño entonces que muchos investigadores, comenzando por
Nārāyaṇa de la India (ver una vez más este artículo) y Philippe de la Hire en Francia (quien fue quizás el primero del periodo ’’moderno’’ de los cuadrados mágicos en occidente), pasando por Euler e incluso Ramanujan, hayan buscado escribir estos cuadrados mágicos como cuadrados greco-latinos. Recordemos que un cuadrado greco-latino es un cuadrado $n \times n$ que resulta de la suma de dos cuadrados que son llenados cada uno con $n$ entradas diferentes, de modo que no haya dos iguales sobre la misma línea o columna. A continuación exhibimos una escritura de este tipo para los cuadrados panmágicos $5 \times 5$. ¡No es difícil corroborar que las propiedades panmágicas son satisfechas !

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Sucede que la expresión final de la derecha es equivalente a la dada más arriba. Una manera de convencerse de esto consiste en contar los ’’parámetros libres’’ de los que se dispone en cada caso. Anteriormente, habíamos utilizado 9 parámetros : $k,\ell,m,n,p,q,r,s,\mu$. Con los cuadrados greco-latinos, pareciera haber 10 parámetros. Sin embargo, hay solo 9, pues se puede restar una cantidad cualquiera $T$ a todas las cantidades ’’griegas’’ y luego adicionar este mismo $T$ a todas las ’’latinas’’, y el resultado final sería el mismo cuadrado panmágico de inicio.

De hecho, se puede pasar de una fórmula a la otra por un cambio apropiado de variables. Una vez más, dejamos esto como ejercicio.

Último ejercicio.

Prueba que si la igualdad de arriba lleva a un cuadrado con sus cifras iguales a $0,1,\ldots,24$ y los cuadrados de la izquierda tienen entradas enteras no negativas, entonces uno de los conjuntos $\{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon\}$ o $\{a,b,c,d,e\}$ coincide con $\{0,1,2,3,4\}$ y el otro con $\{0,5,10,15,20\}$.
Sabiendo esto, responde a la pregunta siguiente : ¿cuántos cuadrados panmágicos $5 \times 5$ con entradas $\{1,2,\ldots, 25\}$ existen ?

Deja tu respuesta en los comentarios de este artículo.

El lector instruido reconocerá inmediatamente que esta noción de ’’número de parámetros libres’’ no es otra que la dimensión del conjunto de los cuadrados mágicos cuando se lo piensa como un espacio vectorial (observa que se puede sumar cuadrados mágicos para obtener otros nuevos, y se los puede también multiplicar por un escalar simplemente multiplicando cada entrada del cuadrado por dicho escalar). Una buena noticia es que las dimensiones de estos espacios han sido calculadas para todo $n$ por X. Houa, A. Lecuona, G. Mullen y J. Sellers en un artículo relativamente reciente [10].

En resumen, si se quiere incorporar nuevos números al cuadrado mágico de uno, ¡se debe buscar la dimensión apropiada para hacerlo !

La vida no es tan sencilla (y los cuadrados tampoco)

Si bien los cuadrados mágicos no forman parte de las investigaciones de vanguardia en matemáticas modernas, quedan aún muchas preguntas abiertas en torno a ellos. A veces, estas tienen relación con problemas actuales importantes. Por ejemplo, el problema de conteo de los cuadrados mágicos $n \times n$ que llevan los números $1,\ldots,n^2$ no ha sido resuelto aún : ni siquiera se conoce el número exacto para $n=6$.

Ciertamente, para $n=6$ se trata de un problema que se puede programar computacionalmente : bastaría testar, para cada permutación posible, si las propiedades panmágicas son satisfechas (esto tomaría 14 sumas por combinación). Sin embargo, la cantidad de estas combinaciones es ’’astronómica’’, pues es igual a
\[36 ! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 35 \times 36,\]
lo que equivale a
\[371 \, 993 \, 326 \, 789 \, 901 \, 217 \, 467 \, 999 \, 448 \, 150 \, 835 \, 200 \, 000\, 000\]
(recordemos rápidamente por qué : se dispone de 36 casillas para ubicar el 1 ; una vez ubicado, quedan 35 casillas para el 2 ; etc ; el número total de permutaciones posibles es, por lo tanto, igual al producto en cuestión). De esta forma se ve aflorar un problema más general consistente en la elaboración de algoritmos computacionales efectivos que permitan tratar problemas de conteo. Es muy probable que, en los próximos años, nuestro problema particular pueda ser resuelto para $n= 6$, pero ciertamente estaremos lejos de entender la situación, por ejemplo, para $n = 2019$.

Para concluir, otro problema abierto. Entre las numerosas contribuciones de
Euler en torno a los cuadrados, una de las más bellas es este cuadrado mágico $4 \times 4$ cuyas entradas son los cuadrados de números enteros distintos
(comprueba sus propiedades) :

$68^2$ $29^2$ $41^2$ $37^2$
$17^2$ $31^2$ $79^2$ $32^2$
$59^2$ $28^2$ $23^2$ $61^2$
$11^2$ $77^2$ $8^2$ $49^2$

¿Existe un análogo $3 \times 3$ de este objeto ? Esta es una pregunta que sigue abierta desde hace casi 250 años, un problema fascinante ligado a una teoría profunda de la matemática de gran actividad en nuestros días : la de las curvas elípticas.

\[\hspace{-8cm} x^2\! +\! y^2\!+\!z^2 = u^2\! +\! v^2\! +\! w^2 = p^2\! +\! q^2\! +\! r^2 = \\ \hspace{6cm}= x^2\! +\! u^2\! +\! p^2 = y^2\! +\! v^2\! +\! q^2 = z^2\! +\! w^2\! +\! r^2 = \\ \hspace{12cm} = x^2\! +\! v^2\! +\! r^2 = z^2\! +\! v^2\! +\! p^2. \]

$x^2$ $y^2$ $z^2$
$u^2$ $v^2$ $w^2$
$p^2$ $q^2$ $r^2$

En fin, podríamos incluso preguntar : ¿existe una tortuga en algún río del mundo cuyo caparazón tenga las marcas de estos números $x,y,z,u,v,w,p,q,r$ aún desconocidos ? [11]

La armonía de los números

Para cerrar, me gustaría compartir mi experiencia personal con los cuadrados mágicos.

Durante el año pasado dicté muchas charlas que comenzaban con cuadrados mágicos y luego pasaban a matemáticas contemporáneas. En los liceos, a modo de taller, pedía a los alumnos que compusieran sus propios cuadrados mágicos. La reacción fue siempre la misma : ¡los estudiantes quedaban felices al ver sus fechas de nacimiento en medio de cifras con propiedades mágicas ! [12].

Paralelamente, y como una suerte de experimentación social, para los cumpleaños de mis amigos ofrecí como regalo solamente cuadrados mágicos
 [13],
y siempre vi la misma reacción, mezcla de sorpresa y alegría.

Creo que los estudiantes y mis amigos experimentaron con esto algo de ese asombro frente a los números que nosotros, matemáticos profesionales, sentimos cada día en nuestro trabajo. Estoy convencido de que los cuadrados mágicos son a la vez una buena herramienta de aprendizaje en el liceo y una hermosa vía de acercamiento a un público no matemático. De hecho, no deja de ser sintomático el hecho de que, antes de llegar a Europa provenientes de China, India, Persia y el mundo árabe, estos cuadrados tenían otro nombre (bastante mejor, según mi opinión) : se les llamaba ’’arreglos armónicos de números’’.

En fin, creo que con los cuadrados matemáticos se puede percibir un poco de esa armonía de las matemáticas.

Post-scriptum :

Para saber más :

— El sitio de Wikipedia (en inglés) contiene mucha información sobre cuadrados mágicos. Sin embargo, a excepción de la de Lucas, las fórmulas dadas aquí (es decir, las de los cuadrados $4 \times 4$ y $5 \times 5$) no se encuentran en dicho sitio.

— El Capítulo 3 de mi libro Lecciones de Matemáticas para el Recreo contiene material ligado a cuadrados mágicos. Lamentablemente, solo ha sido impreso en Chile (por ahora...)

Agradecimientos :

L’image à la une de la tortue aux inconnues d’Euler fut préparée de manière spéciale pour cet article par Constanza Rojas Muñoz, et je lui remercie infiniment. Je remercie aussi de manière chaleureuse Antonieta Emparán pour la plupart des images à l’intérieur du texte, María José Moreno pour encore une image, Julie Decaup pour ses corrections, et Carole Gaboriau pour encore des corrections et son aide avec la publication.

Article original édité par Philippe Colliard

Notes

[1Estas transformaciones forman nuestro querido grupo diedral $D_4$.

[2Dos de esas diagonales son ilustradas en el tercer cuadrado de abajo : una está formada por las casillas rosadas y la otra por las celestes. Las otras cuatro diagonales quebradas aparecen coloreadas en el último cuadrado.

[3Estas permutaciones forman un grupo isomorfo al de los automorfismos del hipercubo. Volveremos sobre este punto en un próximo artículo.

[4El Primer Cuaderno de Ramanujan, aquel que contiene sus investigaciones cuando aún estaba en el liceo, contiene muchas fórmulas -algunas sorprendentes- sobre cuadrados mágicos (un resumen de estos cuadernos se encuentra aquí). En el minuto 4:08 de la excelente película El hombre que conocía el infinito se aprecia una reproducción de este cuaderno abierto en una página en la que se hallan algunos de estos cuadrados (entre otras fórmulas).

[5En honor a Ramanujan, el 22 de diciembre ha sido proclamado dia oficial de la matemática en la India. A nivel mundial, una petición ha sido extendida a la UNESCO para establecer el 14 de marzo como el día internacional de la matemática. ¿Por qué esta fecha ? Es fácil de adivinarlo : piense en $\pi$ (y piense en inglés...).

[6Si eres una de ellas, utiliza la fórmula precedente (escogiendo un buen entero $k$ a tu arbitrio) para confeccionar tu propio cuadrado panmágico.

[7Se podría hablar de configuraciones ’’quebradas’’ como ya se ha hecho con las diagonales más arriba.

[8En esta página de Wikipedia hay un argumento muy elegante para establecer esto sin necesidad de conocer la fórmula general.

[9Esta elección no es azarosa : estos cuadrados nos fueron legados desde el mundo árabe, donde la casilla central debía ser reservada a una simbolización de Allah, alrededor de quien ’’todo debe fluir’’.

[10El artículo en cuestión es ’’On the dimension of the space of magic squares over a field’’, Linear Algebra and its Applications 438 (2013), 3463-3475.
Se puede señalar, sin embargo, que los fenómenos de paridad y de congruencia módulo 3 a los que nos hemos referido más arriba muestran que el problema de hallar las dimensiones de los espacios de cuadrados (pan)mágicos como módulo sobre $\mathbb{Z}$ sigue siendo interesante.

[11Las investigaciones computacionales prueban que estos números -en caso de existir- deben ser gigantescos. Por lo tanto, es muy improbable que la tortuga en cuestión exista (aunque siempre cabe la posibilidad de que una tortuga inteligente haya desarrollado un sistema de notación numérico más astuto que el nuestro...).

[12Los cuadrados mágicos que resultan en estas actividades son particularmente simpáticos pues, contrariamente al autor (y a un buen porcentaje de lectores de Paisajes Matemáticos), los estudiantes de liceo nacieron en el siglo XXI, y por tanto sus fechas de nacimiento generan en muchas ocasiones cuadrados con cifras entre 1 y 31.

[13Aclaro que no hice distinción alguna entre seres humanos pares e impares.

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Pour citer cet article :

— «Regalando cuadrados mágicos» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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