Regreso a mis raíces

Le 23 juillet 2020  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 22 juillet 2020  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : Retour à mes racines Voir les commentaires
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... o cómo una frustración acabó en que un algoritmo ’’inútil’’ se haya vuelto una especie de magdalena de Proust para mí.

Recuerdo de infancia

Cuando tenía siete años, en 1979 o 1980, vi por primera vez una calculadora de bolsillo. Comencé a darle la vuelta, tocando sus teclas, comprobando que $ 2 + 2 = 4$.

Una de las claves me llamó especialmente la atención. Parecía una caja divertida con una base puntiaguda y una tapa abierta.

— ¿Qué es esto ?-, le pregunté a mi padre.

— Esto es lo que calcula las raíces cuadradas-, respondió.

— ¿Qué son las raíces cuadradas ?-, dije.

— La raíz cuadrada de un número es otro número que cuando se multiplica por sí mismo da el número original-, probablemente me explicó.

Probablemente..., porque en ese momento no entendí nada sobre esta explicación. Hice más preguntas, pero no tuve suerte ; todavía no entendía qué era. ¡Todavía recuerdo que me frustró mucho !

Quizás fue por esta frustración que tres años después me encantó aprender en clase un método para extraer raíces cuadradas a mano, con tantos decimales como se desee.

Este método se enseñó en todas partes en la Tierra hasta que la democratización de las calculadoras electrónicas lo eliminó de los programas. ¿De qué sirve enseñar una operación que es mucho menos necesaria en la vida cotidiana que una suma o una multiplicación ? Debo decir que incluso yo, un matemático, nunca lo he usado en mi investigación.

Excepto que, de vez en cuando, compruebo que todavía sé cómo practicarlo. Y cada vez que noto que mi mano recorre el papel sin dudar, y que mientras los números aparecen uno tras otro en pasos automáticos, vuelven los recuerdos de mi escuela primaria : caras, miradas, uniformes de escolares de Bucarest, pequeños cuadrados en papel crudo y el sonido de los pasos tranquilos de mi maestra [1] mientras estábamos encorvados sobre nuestros cuadernos, calculando raíces cuadradas...


Descubriendo el método

Los invito a descubrir este método ejecutándolo. Propongo calcular la raíz cuadrada de $2020$.

Para comenzar, preparemos el terreno :

Los colores indican que separé las cifras en pares a partir de la derecha. La última cifra a izquierda queda solitaria si el número tiene una cantidad impar de dígitos, por ejemplo, si yo hubiese escogido $20203$ : los paquetes serían entonces $2$, $02$ y $03$.

Luego, comienzo a calcular. Primero busco el cuadrado más grande contenido en el paquete de la izquierda (en este caso, $20$). Se trata de $16 = 4^2$. Escribo entonces el dígito $4$ bajo la barra horizontal y $16$ abajo del paquete de la izquierda :

Posteriormente, resto $16$ de $20$, lo cual me da $4$, y bajo el paquete siguiente, que en este caso es nuevamente $20$. Esto produce el número $420$ :

Ahora yo duplico el número $4$ situado bajo la barra horizontal y escribo el $8$ correspondiente en la misma línea que la diferencia completada $420$ :

Llegado a este punto, busco la cifra más grande $C$ que puedo escribir a derecha del doble calculado en la etapa precedente —en este caso, $8$— de modo que al multiplicar el número obtenido $\overline{8C}$ por $C$ se obtenga un número no mayor que el de la izquierda. Realizo esta multiplicación en la misma línea que la de $420$, y escribo la cifra $C$ bajo la horizontal, a la derecha de las cifras ya anotadas :

¿Por qué $C$ vale $4$ en este caso ? Porque $84 \times 4 = 336 < 420 < 425 = 85 \times 5$. ¿Cómo hice para hallar el valor de $C$ ? Bueno, se trata de un poco de cálculo mental : como $8 \times 5 = 40$, intento $C = 5$, pero dado que $85 \times 5$ es muy grande, reintento con $4$...

Ya casi... Sustraigo ahora $336$ del $420$ situados en la línea precedente :

Y así he obtenido el entero más grande cuyo cuadrado no supera al número de partida $2020$ :

Por lo tanto, la raíz cuadrada de $2020$ es $44$, y ’’sobran’’ $84$. En efecto, $44^2 = 1936 < 2020 < 2025 = 45^2$.

Si se quiere ir más lejos y calcular, por ejemplo, dos dígitos después de la coma, entonces se añade después de la coma un par de ceros y se continúa de la misma manera. En nuestro caso, esto da el cálculo siguiente :

Por consiguiente,

Es un ejercicio muy instructivo desentrañar el motivo por el cual este algoritmo funciona. Ciertamente, a los 10 años, cuando aprendí este método, yo era incapaz de esto. Me entretuve haciéndolo solo hace algunos años, y me sorprendí al notar que todo está basado en la relación fundamental :

\[ (A + C)^2 = A^2 + 2 A \cdot C + C^2.\]

¿Ves por qué ? Una indicación : en cada etapa del algoritmo, se debe aplicar esta relación a un número $A$ de la forma $ A = 10 \cdot N$ y a un dígito $C$ conveniente y reescribirla así :

\[ (A + C)^2 - A^2 = (2A + C) \cdot C.\]

En una forma ligeramente diferente, este algoritmo remonta a matemáticos de la India de mediados del primer milenio a.C. Sobre este tema, se puede consultar el artículo Ancient Indian square roots : an exercise in forensic paleomathematics de David Bailey y Jonathan Borwein [2] y el libro Mathematics in India de Kim Plofker [3].

Ignoro cuándo se comenzó a enseñar, a quién y en qué niveles de estudio, y cuándo se dejó de hacerlo en cada país. Me encantaría saber más al respecto. No dudes en iluminarme en los comentarios de este artículo.

Hay otras formas de calcular raíces cuadradas a mano. Podemos descubrir, por ejemplo, el Método de Herón en el artículo Valores aproximados de raíces de Serge Cantat y Stéphane Le Borgne.


¿Un algoritmo inútil ?

El algoritmo que les he presentado ya no se enseña a los niños porque se considera inútil en una época en que las máquinas están reemplazando a los humanos en tareas que requieren poca inventiva.

Pero, como probablemente hayas percibido, en mi opinión este algoritmo no es inútil. Pienso en ello cuando siento la frustración de no entender algo, y luego recuerdo que la comprensión llegará a su debido tiempo. También pienso en ello cuando quiero aclarar mis ideas, dejando que mi mano se libere de la tutela de la mente. Milagrosamente, cada vez esto me evoca imágenes del pasado...

El algoritmo me sirve también para intrigar a los estudiantes que acaban de ingresar a la Universidad. A veces les pido un número con cuatro o cinco dígitos. Luego calculo muy rápidamente en la pizarra su raíz cuadrada con dos dígitos después del punto decimal. Luego les pido que verifiquen con la calculadora que no me equivoqué. Les resulta sorprendente y me preguntan por qué el algoritmo da el resultado correcto. Logré mi objetivo : haber despertado su curiosidad. Al dialogar, los guío hacia la respuesta. Si no tienen idea de cómo empezar a pensar, les digo, por ejemplo, que el secreto del algoritmo es la identidad $ (A + C)^2 = A^2 + 2 A \cdot C + C^2$ . ¿Cómo continuarías este diálogo ?

Post-scriptum :

Muchas gracias a Gautami Bhowmik y Rossana Tazzioli por sus informaciones históricas.

Notes

[1Siempre he sido agradecido con ella por todo lo que me enseñó. Le escribo todos los años. Su nombre es Olga Pandele y ahora tiene 90 años ...

[2Publicado en American Math. Monthly 119 No. 8 (2012), 646—657.

[3Publicado en 2009 por Princeton University Press.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Regreso a mis raíces» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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