Remise à niveau des enseignants du secondaire

C’est au second degré que les problèmes prennent forme et s’accentuent !

Le 18 juin 2018  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (5)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques ne laissent personne indifférent. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Le Débat du 18 fait une pause cet été. Bonnes vacances à tous !

Si diverses propositions ont été récemment avancées pour
résoudre les problèmes de l’enseignement des mathématiques dans le primaire et le secondaire, rien n’est encore réellement acté pour le moment. Une mesure phare préconisée par le rapport Torossian-Villani à cet effet est la formation
continue des enseignants. Elle a été évoquée en priorité pour le primaire parce que les étudiants préparant le concours du Professorat des Écoles ont en majorité un cursus littéraire
(J’en ai parlé dans ce billet). C’est déjà ça ! mais ils ne sont
malheureusement pas
les seuls à avoir besoin d’une remise à niveau :
beaucoup d’enseignants du secondaire recrutés récemment (depuis peut-être
dix ans ou un peu plus) ont de sérieux problèmes au niveau des connaissances supposées requises pour dispenser correctement une leçon de maths. C’est le constat malheureux que j’ai pu
faire : chaque année je vois comment ils sont avant d’intégrer leur fonction. Depuis le début de ma carrière d’enseignant à l’université et jusqu’à maintenant (je suis en passe de prendre ma retraite), je consacre au moins la moitié de
mon service d’enseignement aux formations préparant aux divers concours
d’accès au métier d’enseignant. Je sais donc de quoi je
parle (et j’en suis triste) ! Pour étayer mes propos (que j’assume totalement), voici une série d’exercices du programme du secondaire parmi ceux que j’ai proposés
ces
dernières années lors d’épreuves d’évaluation et sur lesquels presque tous les étudiants ont eu des difficultés. Ils ont calé dessus,
comme on dit en langage parlé !
(« Presque » signifie tous à part au plus cinq sur un effectif d’une quinzaine.)

Exercice 1

Deux robinets $R_1$ et $R_2$ alimentent à débits constants un bassin d’eau. Pour le remplir, il faut un temps
$t_1>0$ quand on utilise $R_1$ seul et un temps $t_2>0$ quand on utilise $R_2$ seul.

On se propose de calculer le temps $t$ que mettent $R_1$ et $R_2$ pour remplir le bassin quand on les ouvre en même temps (à leurs débits respectifs habituels) ?

[Il y a plusieurs façons de résoudre ce problème, toutes basées sur le même principe. Quelle que soit celle dont on procède, on doit détailler ses
étapes et expliquer tout ce qu’on fait.
]

1 - On pose le problème à des élèves de Troisième. Quelle méthode pourraient-ils utiliser pour le résoudre ?

2 - On pose le problème à des élèves de Terminale. Quelle méthode (autre que celle qui précède bien sûr) pourraient-ils utiliser pour le résoudre ?

Là on voit bien qu’ils ne maîtrisent pas la notion de proportionnalité. À une certaine époque, on résout ce genre de problème en usant de la
bonne « règle de trois » qui n’a jamais vieilli malgré qu’on la perçoit de nos jours comme quelque chose de ringard !

Exercice 2

On se donne un nombre $\alpha >0$ et deux points distincts $B$ et $C$ du plan euclidien. On note $b$ la distance entre $B$ et $C$.
(On peut penser au nombre $\alpha $
comme la longueur d’un segment $[UV]$ supposé donné.)

Donner le lieu, et dire comment le construire géométriquement, de tous les points $A$ pour lesquels les triangles $ABC$ ont pour aire $\alpha $.

Là on constate un manque de culture en géométrie élémentaire plane. Même la formule donnant l’aire d’un triangle n’est pas acquise
et encore moins la volonté d’essayer de la retrouver. Incroyable !

Exercice 3

Dans ${\Bbb R}^2$, muni de son produit scalaire usuel, on considère la parabole ${\cal B}$ d’équation $y=x^2+q$ où $q\in {\Bbb R}$ et
une droite $\Delta $ d’équation cartésienne $y=ax+b$ avec $a>0$.

1 - Sous quelles conditions (portant sur les paramètres $q$, $a$ et $b$) la parabole ${\cal B}$ intersecte-t-elle la droite $\Delta $ en exactement deux points $A$ et $B$ ?
On note
$M$ le milieu du segment $[AB]$.

2 - On garde le paramètre $a$ fixe et on fait varier $b$. Montrer que le point $M$ varie sur une demi-droite ouverte que l’on déterminera.

Leur incapacité à résoudre cet exercice montre plusieurs de leurs défaillances, entre autres :

  • difficulté à comprendre que lorsqu’on se donne un repère dans le plan, il y a
    une correspondance biunivoque entre les points et les couples de réels (étonnant ! n’est-ce pas ?) ;
  • quand on impose à un point d’être sur une
    figure particulière ${\cal B}$ (par exemple notre parabole), on impose à ses coordonnées de vérifier une certaine relation (en l’occurrence $y=x^2+q$ dans notre exercice)
    qu’on appelle équation cartésienne de ${\cal B}$ ;
  • imposer à un point d’être sur deux figures géométriques à la fois (par exemple la parabole ${\cal B}$ et la droite $\Delta $ comme dans le logo), c’est imposer
    à ses coordonnées de vérifier simultanément leurs équations respectives.

Exercice 4

Soit ${\cal C}=ABCDEFGH$ un cube (voir dessin ci-dessous). Les diagonales $(AF)$, $(BE)$, $(CH)$ et $(DG)$
sont-elles des axes de symétrie de ${\cal C}$ ? (Justifier la réponse.)

Cet exercice peut paraître plus difficile mais quand on y réfléchit un tout petit peu, on s’aperçoit en fait qu’il est assez facile. Il y a plus de vingt ans, j’étais à une soirée
au cours de laquelle j’ai fait la connaissance d’un inspecteur d’école primaire. Dès qu’il apprit que je suis enseignant de maths, il s’est mis en tête de me tester en me posant la même question.
Je n’ai pas su répondre au bout du court instant qu’il m’a laissé : j’avais besoin d’un peu plus de temps
pour imaginer la figure et bien la « regarder ». Ce que je fis quelques minutes après mais la discussion a vite bifurqué vers autre chose.
Je n’ai pas exigé de mes étudiants d’être rapides (je ne l’ai pas été). J’ai
simplement voulu qu’ils prennent le temps de réfléchir (je leur en ai donné suffisamment) et espéré qu’ils
procèdent comme suit
 :

  • supposer par exemple que la droite $(AF)$ est un axe de symétrie ;
  • en déduire qu’elle l’est aussi pour la figure tracée sur le cube par tout plan la contenant ;
  • en particulier pour le rectangle $ACFH$ dont elle est une diagonale ;
  • mais ceci est impossible puisque $ACFH$ n’est pas un carré ;
  • donc $(AF)$ n’est pas axe de symétrie du cube ${\cal C}$.

Mais malheureusement ils ne l’ont pas fait !

Ceci montre, et plus que concrètement, ce que sont les lacunes réelles de ces étudiants, et qu’ils gardent même quand ils arrivent enseignants dans le secondaire, les laissent en héritage à leurs élèves qui les trimballent à leur tour jusqu’au niveau du supérieur. Là, étudiants, pas mal d’entre eux finissent
en Master MEÉF, réussissent le concours du CAPES
et les retransmettent à leurs apprentis ! Et ainsi de suite...! Mais c’est tabou, paraît-il, de parler de tout cela ! Et quand on le fait, on roule au pas
en préférant nuancer les propos !

Toutefois, je tiens à préciser que ni ces étudiants ni les enseignants qu’ils deviennent ne portent la responsabilité directe de cette situation.
Ils sont des victimes de la campagne de dénigrement qu’ont subie les mathématiques (voir ici) : ceux qui l’ont initiée n’avaient pas eu le réflexe d’imaginer que ses effets se transmettront d’année en année et occasionneront des
dégâts considérables à l’enseignement de la discipline
(et jusqu’à nos jours !)

Conclusion : Une formation continue est donc aussi nécessaire à une majorité d’enseignants du second degré recrutés ces dernières années.
Si on en accepte l’idée et le principe, on dégagera facilement plusieurs pistes de travail. Il suffit simplement de se donner les moyens matériels pour sa mise en œuvre effective sur le terrain.

Il paraît qu’une réforme de la « Préparation au CAPES » est en cours d’étude (voir par exemple ici ou
). Le ministre de l’Éducation nationale y
recommanderait de mettre le concours d’admissibilité en fin de Licence 3 et les épreuves d’admission en fin de Master 1. C’est une bonne idée à mon avis, mais à condition qu’elle
soit accompagnée de la création d’une filière débutant en Licence 2, complètement dédiée à la formation
des enseignants du secondaire et une refonte substantielle des programmes :

  • En mathématiques bien sûr avec un bon contenu, adapté
    et rechargé de géométrie (qui est la colonne vertébrale des mathématiques, qu’on le veuille ou non !)
  • Mais aussi en français. Les rédactions sur les copies
    laissent vraiment à désirer au niveau de l’orthographe, la grammaire, la construction des phrases... Il faut même quelquefois jouer à
    la devinette pour comprendre ce que l’auteur cherche à dire !
    « Un enseignant ne devrait pas être comme ça » !

Vos commentaires sont les bienvenus !

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Remise à niveau des enseignants du secondaire» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Remise à niveau des enseignants du secondaire

    le 18 juin à 10:40, par amic

    L’exercice 2 me paraît manquer de sens physique :

    • « penser au nombre α comme la longueur… »
    • « … pour lesquels les triangles ABC ont pour aire α. »

    (et donc ne me paraît pas résoluble si on ne s’est pas au préalable fixé un segment de longueur un…).

    Alors oui pour ajouter un peu de géométrie, mais les maths se sont aussi beaucoup construits grâce au réel et à la physique. Savoir faire des maths rigoureuses sur des problèmes concrets me paraît assez important.

    Répondre à ce message
    • Remise à niveau des enseignants du secondaire

      le 18 juin à 12:18, par Aziz El Kacimi

      En général, un segment de longueur $1$ est toujours supposé implicitement donné dans ce genre de problème ! Et donc aucun besoin de le préciser à nouveau. La difficulté n’est pas du tout à ce niveau-là !

      Répondre à ce message
  • Remise à niveau des enseignants du secondaire

    le 20 juin à 10:16, par ROUX

    Je prends toujours autant de plaisir à vous lire.
    Une crainte : votre départ à la retraite, proche, n’aura aucun effet sur votre participation à IdM, n’est-ce pas ?
    Je crois que je comprends ce que vous écrivez.
    .
    Dans le cadre de ce débat du 18, je vous soumets un texte que j’avais écrit en réponse à l’idée selon laquelle la baisse du classement de la France dans PISA serait liée au caractère très littéraire de la formation des professeur.e.s des écoles.
    .
    Pas si simple, selon moi.
    .
    Il s’agit de réagir à la nécessité de former les professeur.es qui me semble sous-entendre que nous serions, dans le primaire, des brêles en calculs ce qui expliquerait la chute de la France aux tests PISA.
    .
    Non.
    .
    Dans de nombreux pays, les postes dans la Fonction Publique sont obtenus à la suite de la réussite à un concours anonyme : cela garantit l’équité d’accès.
    .
    Pour les études de Médecine, plusieurs voies existent :
    le concours qui consiste à accepter tout le monde après la fin des études secondaires et à massacrer à la fin de la première année,
    des examens très difficiles après quelques années après avoir été accepté selon les résultats obtenus à la fin des études secondaires ou
    des examens difficiles après n’avoir pris que les meilleurs à la fin des études secondaires.
    Dans les trois cas, l’excellence est garantie.
    .
    Donc, essentiellement, Fonction Publique et Médecine, par concours.
    .
    Notre pays étend l’utilisation des concours à tous les postes de cadres dans les entreprises privées puisque ces postes sont tenus par des ingénieur-e-s (anciens élèves des Grandes Écoles) ou des ancien-ne-s élèves des Écoles de Commerce.
    .
    Conjecture 0 : la France est le seul pays à pratiquer de manière massive les concours pour le recrutement de cadres dans les entreprises privées.
    .
    Un concours est un massacre organisé : on chute d’au moins un ordre de grandeur entre le nombre de places et le nombre de postulants et on laisse ces derniers s’entre-tuer. Un pays qui prévoit la mort des rêves de ses enfants lorsqu’elles et ils ont entre 20 et 21 ans ne peut pas prôner une évaluation bienveillante.
    Si si, celles et ceux de nos élèves qui rêvaient d’être vétérinaires savent que le rêve se réalisera, ou pas (et alors jusqu’à la fin de leur vie) à 20 ou 21 ans.
    .
    L’école française est une raffinerie qui raffine vers les Grandes Écoles ou les Écoles de Commerce.
    Comme dans toute opération de raffinage, les sous-produits sont nombreux et, parmi ces sous-produits, des enfants en souffrance, qui deviennent des adultes.
    .
    Attention, les relations entre produits et sous-produits peuvent être généreusement intriquées : un sous-produit de la raffinerie de pétrole qui produit l’essence qui nous permet d’alimenter nos voitures est le goudron qui permet de faire les routes sur lesquelles roulent icelles
    .
    Un enseignant qui aurait pratiqué une évaluation bienveillante n’aurait pas permis à ses très rares élèves susceptibles de réussir les concours de les réussir. Les enseignants français sont donc formés à l’évaluation non-bienveillante : en effet, ils ne sont quand même pas formés à une évaluation malveillante.
    .
    Seulement non-bienveillante.
    .
    Conjecture 1 : dans un pays dans lequel la mort des rêves de ses enfants est organisée pour prendre effet vers 20 à 21 ans, l’évaluation bienveillante par un professeur est une faute professionnelle.
    .
    Conjecture 2 : en dehors des médecins confrontés professionnellement à la souffrance humaine, les pédagogues de l’évaluation bienveillante sont des sous-produits de la raffinerie ; en d’autres termes, aucun de ces pédagogues n’a réussi un concours d’une Grande Ecole ou d’une Ecole de Commerce.
    .
    Un des items sur lequel les élèves français sont faibles est, en gros, ce qu’ils font quand ils savent qu’ils ne savent pas, ce qu’ils risquent dans cette situation d’ignorance connue.
    Les élèves français ne font essentiellement rien : ils ne risquent pas et ils ne tentent presque rien.
    .
    Ah ?
    .
    Oui, risquer, c’est risquer de commettre une erreur, ce qui n’est pas grave en soi mais un pays qui organise la mort des rêves de ses enfants lorsqu’ils atteignent 20 à 21 ans génère le fait qu’une erreur est un risque énorme et doit donc être perçue comme une faute (pas morale, mais sociale puisqu’elle risque d’interdire la réussite aux concours).
    .
    Bon... Pour qu’ils risquent, il faut qu’ils pensent faire des erreurs, et seulement des erreurs : seule une évaluation bienveillante permet cela.
    .
    Comment organiser une évaluation bienveillante par des professeurs dont la mission est de raffiner vers la réussite aux concours et qui ne peuvent donc pas faire vraiment autre chose qu’une évaluation non-bienveillante ? Comment organiser cela à l’insu de leur plein gré ?
    .
    En supprimant des programmes toutes les connaissances et les compétences pas faciles à acquérir sans efforts par un trop petit nombre d’enfants. Reformulation : en supprimant des programmes toutes les connaissances et les compétences très difficiles à acquérir même avec des efforts par un grand nombre d’enfants.
    .
    En terminale S, sans l’intégration par parties, les exercices de recherche de primitives se bornent à chercher la correspondance dans sa mémoire entre le tableau des fonctions et de leurs dérivées et, pour le professeur, il n’y a alors plus aucun intérêt à faire une évaluation non-bienveillante.
    .
    Conjecture 3 : l’appauvrissement des programmes en connaissances et compétences pointues permet de ne pas faire faire de fait de l’évaluation non-bienveillante par des professeurs.
    .
    Cet appauvrissement des programmes est réalisé par les pédagogues de la conjecture 2 qui sont donc sincères dans leurs démarches car ils ont soufferts, ces connaissances et ces compétences trop difficiles ne leurs ont au fond servi à rien et ils n’entendent pas rester sans agir face aux nouvelles cohortes d’enfants en souffrance dans lesquels ils se reconnaissent si évidemment.
    .
    Mais alors l’évaluation est-elle pour autant bienveillante ?
    .
    Pas forcément : les enseignants n’ont pas été formé à cela et il peut être possible de rencontrer de la résistance de leurs parts car, au fond, il reste toujours ces concours vers 20 à 21 ans pour leurs élèves.
    .
    Conjecture 4 : les professeurs ne font pas vraiment plus d’évaluation bienveillante et, de ce fait, ne permettent toujours pas vraiment aux enfants français de ne pas vivre une erreur comme une faute.
    .
    Reformulation de la conjecture 4 : les professeurs ne font pas vraiment plus d’évaluation bienveillante et, de ce fait, les enfants français continuent à vivre les erreurs possibles comme des fautes.
    .
    Conjecture 5 : le nombre d’enfants qui, heureux de ne vivre que des erreurs et pas des fautes et qui vont donc se libérer joyeusement et donc prendre des risques dans les tests PISA, ce qui va améliorer ainsi le score de la France dans leur cohorte est inférieur aux nombres d’enfants qui auraient pu appliquer les connaissances et les compétences pas faciles dans les tests PISA.
    .
    Le score de la France ne peut sincèrement que diminuer.
    .
    CQFD
    .
    Remarque : il reste suffisamment de professeurs hors-la loi qui pratiquent les anciens programmes dans les grands lycées des grandes villes françaises pour garantir la réussite de leurs élèves aux concours des Grandes Écoles et des Écoles de Commerce (et en Médecine et en Vétérinaire).
    .
    Les élèves des autres lycées ont alors de moins en moins de chance de réussir ces concours. Or, les élèves de ces grands lycées de ces grandes villes françaises sont dans une grosse proportion des enfants de parents raffinés : les inégalités d’accès aux postes de cadres dans les entreprises privées française est sans doute en augmentation depuis un bon bout du temps de l’appauvrissement des programmes.

    Répondre à ce message
    • Remise à niveau des enseignants du secondaire

      le 23 juin à 18:39, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      Je prends toujours autant de plaisir à vous lire.

      Merci beaucoup pour cette appréciation et votre commentaire !

      Une crainte : votre départ à la retraite, proche, n’aura aucun effet sur votre participation à IdM, n’est-ce pas ?

      Non ! je continuerai à participer au fonctionnement de la rubrique. Merci pour votre confiance !

      Cordialement,

      Aziz El Kacimi

      Répondre à ce message
  • Remise à niveau des enseignants du secondaire

    le 16 juillet à 10:14, par Numéro 6

    Je ne sais à quoi attribuer ce fait, mais je m’aperçois qu’en 1ère et Terminale, il est très rare que les élèves aient compris le sens de ce qu’est une équation de droite ou de cercle. (pour vous paraphraser, imposer à un point d’être sur une figure, c’est imposer à ses coordonnées de vérifier une relation et réciproquement)
    Certains savent à peu près retrouver les calculs faits en Seconde pour trouver le coefficient directeur (et encore, ils en calculent parfois l’inverse, mais on doit s’estimer heureux parce qu’on a alors quelque chose à corriger, alors que souvent le silence se fait) mais il y a parfois de grandes discussions pour savoir si on doit calculer (yB-yA)/(xB-xA) ou (yA-yB)/(xA-xB).
    Et là, on voit le malaise : ils s’accrochent (ou on les accroche) à des formules sans quête de sens à donner. C’est pour ce genre de raison que je ne donne pas de formule toute faite pour les équations de tangente, je préfère qu’ils disent que la droite passe par un certain point et que le coefficient directeur vaut le nombre dérivé.
    La question est : qui est responsable ? Il est furieusement tentant de se dire que le collègue de l’an passé n’a pas fait son cours correctement, mais quand je sais pertinemment que le prof de l’an passé avait un cours cohérent avec le mien, parce que le prof de l’an passé, c’est moi et que l’élève que j’ai devant moi en Septembre ne sait plus faire ce qu’il ou elle faisait 5 ou 6 mois avant...... je me pose beaucoup de questions.
    Alors il est indéniable que la formation est importante ( quand un étudiant qui prépare le CAPES ne sait plus que résoudre un système d’équations linéaires à deux inconnues revient à chercher un point d’intersection de deux droites, on peut prendre peur) mais on devrait aussi faire une étude sur ce que les élèves conservent de leurs apprentissages 2, 3, 4, 5, 6 mois après....

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