Représentations galoisiennes et théorème de Fermat-Wiles

Piste noire 12 janvier 2012  - Ecrit par  Bas Edixhoven Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec Bicentenaire de la naissance d’Évariste Galois

Une première version de cet article a été publiée sur le site Galois
de l’IHP-SMF à l’occasion du bicentenaire de la naissance de Galois. En partenariat avec ce site, Images des maths a le plaisir de publier aujourd’hui une nouvelle version de cet article.

Le but de ce texte est d’expliquer ce que sont les représentations galoisiennes qui
jouent un rôle si important dans la preuve par Wiles du théorème de
Fermat.

Automorphismes des nombres complexes

Notre point de départ est l’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes.
Rappelons que chaque nombre complexe s’écrit de façon unique comme
$a+bi$ avec $a$ et $b$ des nombres réels, c’est-à-dire, $a$ et $b$ sont
dans $\mathbb{R}$. L’addition dans $\mathbb{C}$ se fait coordonnée par coordonnée :
\[(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i,\]
tandis que la multiplication se déduit de la relation $i^2=-1$ :
\[(a+bi)\cdot (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i.\]
Dans $\mathbb{C}$ on peut aussi diviser (sauf par $0$ bien sûr) :
\[\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)} = \frac{a-bi}{a^2+b^2} = \frac{a}{a^2+b^2}+\frac{-b}{a^2+b^2}i.\]
Pour la notion de symétrie en théorie des nombres, qui est à la base de
la théorie de Galois, nous n’allons pas considérer la distance sur $\mathbb{C}$
mais les propriétés algébriques : l’addition et la
multiplication. Les symétries de $\mathbb{C}$ s’appellent alors des
automorphismes et sont définis comme suit.

Définition :

Les automorphismes de $\mathbb{C}$ sont les applications
$\sigma\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ qui satisfont à :

  • $\sigma(z+w)=\sigma(z)+\sigma(w)$,
  • $\sigma(z{\cdot}w)=\sigma(z){\cdot}\sigma(w)$,
  • $\sigma$ est bijective.

Ces propriétés impliquent que
$\sigma(0)=\sigma(0+0)=\sigma(0)+\sigma(0)$ et donc $\sigma(0)=0$. Elles
impliquent également que
$\sigma(1)=\sigma(1{\cdot}1)=\sigma(1){\cdot}\sigma(1)$, d’où on déduit
que $\sigma(1)=1$ ou $\sigma(1)=0$, puis finalement que $\sigma(1) = 1$
car il doit être différent de $\sigma(0)$.

L’ensemble des automorphismes de $\mathbb{C}$ sera noté $\text{Aut}(\mathbb{C})$. Si
$\sigma_1$ et $\sigma_2$ sont dans $\text{Aut}(\mathbb{C})$, il en est de même de
leur composée $\sigma_2\circ\sigma_1$, et de leurs inverses : les
mathématiciens disent que $\text{Aut}(\mathbb{C})$ est un groupe [1].

Nous ne connaissons explicitement que deux automorphismes de $\mathbb{C}$ :
l’identité $\text{id}_{\mathbb{C}} : z\mapsto z$, et la conjugaison complexe :
$\sigma(a+bi)=a-bi$, écrit comme $z\mapsto\overline{z}$. C’est un bon exercice de montrer que ce sont les seuls qui sont
continus [2]. Par contraste, si l’on ne se restreint pas aux automorphismes
continus, on peut montrer que $\text{Aut}(\mathbb{C})$ est très grand [3]. Par exemple,
sachant que $\sqrt{2}$ est irrationnel (voir Du-Le pour 65 preuves
de ce fait), on peut considérer l’application $a + b \sqrt 2 \mapsto a - b \sqrt 2$ (qui est définie sur l’ensemble $K$ des nombres de la forme
$a + b \sqrt 2$ avec $a$ et $b$ dans l’ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres
rationnels) et montrer que celle-ci se prolonge en un automorphisme de
$\mathbb{C}$. Cette dernière propriété de prolongement se généralise à tout
automorphisme $\sigma : K \to K$ où $K$ est un sous-ensemble de $\mathbb{C}$
stable par addition, soustraction, multiplication et division (on
appelle cela un sous-corps de $\mathbb{C}$) [4].

Ceci permet d’obtenir
beaucoup d’automorphismes de $\mathbb{C}$.

Beaucoup de questions qu’on peut se poser sur les propriétés algébriques
de nombres complexes sont ouvertes. Par exemple, on sait que les nombres
$e$ et $\pi$ sont transcendants, c’est-à-dire qu’ils ne sont pas racine
d’un polynôme $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ à coefficients $a_i$
dans $\mathbb{Q}$. Cela implique qu’il existe $\sigma$ et $\tau$ dans $\text{Aut}(\mathbb{C})$ tels que $\sigma(e)=\pi$ et $\tau(\pi)=e$. [5]. On s’attend à ce que $e$ et $\pi$ soient
algébriquement indépendants (c’est-à-dire qu’il n’existe pas de polynôme non
nul $f$ dans $\mathbb{Q}[x,y]$ tel que $f(e,\pi)=0$). Toutefois, on ne connait
pas, à ce jour, de démonstration de ce fait. On ne sait pas non plus
s’il existe un $\sigma$ dans $\text{Aut}(\mathbb{C})$ qui échange $e$ et $\pi$.

La symétrie de Galois en théorie des nombres

Abordons la théorie de Galois. Soit $f = x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$
un polynôme à coefficients $a_i$ dans $\mathbb{Q}$. Le théorème fondamental
de l’algèbre nous dit que l’équation $f(z)=0$ a exactement $n$ solutions
dans $\mathbb{C}$, comptées avec multiplicité. Écrivons $\text{Racines}(f)$ pour
l’ensemble de ces racines. Pour $\sigma$ dans $\text{Aut}(\mathbb{C})$ et $z$ dans
$\text{Racines}(f)$ on a
\[\begin{array}{rcl} 0 & = & \sigma(0) = \sigma(f(z))= \sigma(z^n+\cdots+a_1z+a_0) \\ &= &\sigma(z^n)+\cdots+\sigma(a_1z) + \sigma(a_0) \\ &= &\sigma(z)^n +\cdots+\sigma(a_1)\sigma(z)+\sigma(a_0) \\ &= &\sigma(z)^n +\cdots+a_1\sigma(z)+a_0 = f(\sigma(z)) \end{array}\]
et donc $\sigma(z)$ est encore dans $\text{Racines}(f)$. Nous en concluons que
chaque $\sigma$ dans $\text{Aut}(\mathbb{C})$ permute les éléments de $\text{Racines}(f)$.
Le groupe de Galois de $f$ est défini comme l’ensemble $\text{Gal}(f)$
des permutations de $\text{Racines}(f)$ induites par des éléments
de $\text{Aut}(\mathbb{C})$.

Regardons quelques exemples. Soit $f$ le polynôme $x^2-4$. Alors
$\text{Racines}(f)$ est l’ensemble $\{-2,2\}$. Or, les deux éléments de cet
ensemble sont fixés par tous les $\sigma$ de $\text{Aut}(\mathbb{C})$ ; en effet, on
a déjà vu qu’un $\sigma \in \text{Aut}(\mathbb{C})$ envoie nécessairement $1$ sur
$1$, il envoie donc aussi $1+1 = 2$ sur $\sigma(1) + \sigma(1) = 1+1 = 2$. Le même raisonnement montre qu’il envoie également $-2$ sur
lui-même. Au final, $\text{Gal}(f)$ ne contient que la permutation identité
$2\mapsto 2$, $-2\mapsto -2$.

Pour $g=x^2+4$, nous avons $\text{Racines}(g)=\{2i,-2i\}$. Cette fois-ci, il
existe un élément de $\text{Aut}(\mathbb{C})$ qui échange ces deux racines : c’est la
conjugaison complexe. Donc $\text{Gal}(g)$ contient les deux permutations
possibles des deux racines : l’identité, et celle qui échange les deux
racines : $2i\mapsto -2i$, $-2i\mapsto 2i$.

Pour $h=x^2-2$, les racines sont $\sqrt 2$ et $-\sqrt 2$ et nous avons
déjà dit qu’il existe un $\sigma$ dans $\text{Aut}(\mathbb{C})$ qui permute ces deux
nombres. Donc $\text{Gal}(h)$ contient les deux permutations possibles de
$\{\sqrt{2},-\sqrt{2}\}$.

Revenons à la théorie générale. Celle-ci a été initialement inventée
pour résoudre le problème de la résolution par radicaux des équations
algébriques. Cependant, elle connaît maintenant beaucoup d’autres
applications, à la fois en théorie et en calcul.

Les lecteurs intéressés par la possibilité de calculer des groupes de
Galois sont invités à installer le logiciel libre PARI/GP
(voir PARI) et à se servir de la commande $\text{polgalois}$, qui
calcule $\text{Gal}(f)$ pour des polynômes de degré au plus $11$.

Nous nous proposons dans la suite de cet article d’expliquer comment,
dans les très grandes lignes, elle intervient dans la démonstration par Wiles, avec l’aide de Taylor, du grand théorème de Fermat.

Représentations galoisiennes de dimension un et deux

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Des exemples importants de polynômes sont ceux associés à la division du
cercle en $n$ parts égales ou, ce qui revient au même, aux polygones
réguliers. Soit $n>1$, $f=x^n-1$, et $z=e^{2i\pi/n} = \cos(\frac{2\pi} n)+i\sin(\frac{2\pi}n)$. L’application
\[\{0,1,\ldots,n{-}1\} \to \text{Racines}(f), \quad a\mapsto z^a\]
est alors bijective ; nous l’appellerons un étiquetage des
racines de $f$. L’illustration ci-contre concerne le cas $n=5$.

Les relations algébriques entre les racines de $f$ (qui sont toutes des
puissances de $z$) fournissent des contraintes sur les permutations
données par les $\sigma$ dans $\text{Aut}(\mathbb C)$. En effet, si
$\sigma(z)$ est connu, il en est alors de même de tous les $\sigma(z^a)$
puisque ceux-ci doivent être égaux à $\sigma(z)^a$. Par ailleurs, comme
$\sigma(z)$ est une racine de $f$, il prend la forme $z^k$ pour un
certain entier $k$ dans $\{0,1,\ldots,n{-}1\}$ uniquement déterminé. De
$z^n=1$ et $z^d\neq 1$ pour tout $d$ avec $1\leq d < n$, on déduit
que $\text{pgcd}(k,n)=1$. Ainsi les permutations dans $\text{Gal}(f)$
sont de la forme $z^a\mapsto z^{ka}$, avec $0\leq k< n$ et
$\text{pgcd}(n,k)=1$. Gauss a montré que toutes les permutations
précédentes apparaissent dans $\text{Gal}(f)$.

En termes de l’étiquetage $\{0,1,\ldots,n{-}1\} \to \text{Racines}(f)$,
$a\mapsto z^a$, le groupe $\text{Gal}(f)$ est donc exactement formé des
permutations de $\{0,1,\ldots,n{-}1\}$ de la forme $a\mapsto ka \text{ mod } n$, avec $0\leq k< n$ et $\text{pgcd}(n,k)=1$. Ici $b \text{ mod } n$
désigne le reste obtenu par la division euclidienne de $b$ par $n$. Par
exemple, la conjugaison complexe correspond à la multiplication par
$k=-1$ (ou plutôt $n{-}1$, mais cela a le même effet sur les restes
modulo $n$), car $\overline{z}=\overline{e^{2\pi i/n}}=e^{-2\pi i/n}=z^{-1}$.

Dans cet exemple, la façon dont le groupe de Galois permute les racines
(on parle souvent d’action du groupe de Galois) est donc très
simple : si l’on numérote convenablement les racines, l’action se résume
à une multiplication. Une telle donnée est ce que l’on appelle une
représentation galoisienne de dimension $1$.

On peut dire que pendant longtemps les mathématiciens ont essayé de
démontrer le théorème de Fermat par l’étude de ces représentations
galoisiennes (racines de l’unité, corps cyclotomiques), et que
finalement c’est en étudiant celles de dimension $2$ qu’ils y sont
parvenus.

Qu’est-ce qu’une telle représentation ? L’idée de base est qu’au lieu
d’étiqueter les racines par les entiers entre $0$ et $n-1$, on les
étiquette par des couples de tels entiers, la notion de multiplication
dans cette nouvelle situation étant légèrement différente et explicitée
dans la définition précise ci-dessous [6].

Définition :

Une représentation galoisienne de dimension $2$ est un polynôme
\[f=x^{n^2}+\cdots+a_1x+a_0\]
de degré $n^2$, avec les $a_i$ dans $\mathbb{Q}$, qui est donné avec un
étiquetage de $\text{Racines}(f)$ par les couples $v=(v_1, v_2)$ avec $v_1$ et
$v_2$ dans $\{0,1,\ldots,n{-}1\}$, le tout étant soumis à la condition
suivante : le groupe de Galois $\text{Gal}(f)$ est constitué de permutations
de la forme
\[(v_1, v_2) \mapsto ((a v_1 + b v_2) \text{ mod } n, (c v_1 + d v_2) \text{ mod } n)\]
où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des entiers tels que $ad-bc$ soit premier
avec $n$.

Remarque. Pour se rappeler qu’on a fixé un entier $n$ dans cette
histoire, les mathématiciens disent en général que la représentation
galoisienne est à coefficients dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

Ces objets jouent un rôle très important dans la preuve par Wiles du
théorème de Fermat (voir Wi). Depuis une quarantaine d’années
l’étude de telles représentations occupe une place centrale en
arithmétique [7]. La
différence essentielle avec le cas de dimension $1$ est la
non-commutativité : lorsque l’on compose deux permutations
prenant la forme donnée dans la définition précédente, l’ordre des
facteurs est important.

Courbes elliptiques

Nous avons vu que le polynôme $x^n-1$ donne une représentation
galoisienne de dimension $1$. Nous allons voir que certains polynômes
associés aux courbes elliptiques fournissent, eux, des représentations
galoisiennes de dimension $2$.

Une courbe elliptique (sur le corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels) est
une courbe dans le plan donnée par une équation de la forme
$y^2=x^3+ax+b$ avec $a$ et $b$ dans $\mathbb{Q}$, tels que le polynôme
$x^3+ax+b$ n’ait pas de racine multiple dans $\mathbb{C}$ [8]. Dans la figure ci-dessous (trouvée sur
Wikipedia) on voit les courbes d’équations $y^2=x^3-x+1$ et $y^2=x^3-x$ dans le plan réel.

Comme l’équation de la courbe est de degré $3$, chaque droite dans le
plan a au plus $3$ points d’intersection avec la courbe. En fait, si on
compte ces points d’intersection avec multiplicité et si on accepte les
points dont les coordonnées sont complexes, chaque droite d’équation
$y=cx+d$ avec $c$ non nul en a exactement $3$, et chaque droite
verticale (d’équation $x=c$) en a $2$. Pour avoir $3$ points
d’intersection dans tous les cas, on ajoute traditionnellement sur la
courbe elliptique un « point à l’infini » noté $0$ (zéro) [9], en convenant
que celui-ci est sur toutes les droites verticales. Nous notons $E$ la
courbe complexe complétée, c’est-à-dire l’ensemble
\[\{(x,y)\in\mathbb{C}^2 :y^2=x^3+ax+b\}\cup\{0\}.\]

Si maintenant on a deux points $P$ et $Q$ sur la courbe $E$, on prend la
droite qui passe par $P$ et $Q$ (la droite tangente si $P=Q$, et
oublions le cas où $P=Q=0$). Cela nous donne un troisième point
d’intersection, disons $R$. Le symétrique de $R$ par rapport à l’axe des
abscisses est alors noté $P+Q$. On peut démontrer que pour tous $P$, $Q$
et $R$ dans $E$, on a $P+0 = P$ (c’est immédiat), $(P+Q)+R=P+(Q+R)$
(c’est difficile), $P+Q=Q+P$ (c’est immédiat), et que pour tout $P$ il
existe un $Q$ tel que $P+Q=0$ (prendre pour $Q$ le symétrique de $P$ par
rapport à l’axe des abscisses). Ceci justifie la notation $P+Q$ ainsi
que la notation $0$ pour le point à l’infini.

Un autre fait classique et à nouveau difficile dit que pour chaque
entier $n\geq1$, l’ensemble $E[n]$ des points $P$ de $E$ tels que la
somme $P+\cdots+P$ avec $n$ termes vaut $0$ est formé de $n^2$ éléments.
Mieux encore : il existe une bijection (étiquetage) entre cet ensemble
$E[n]$ et l’ensemble des couples $(v_1, v_2)$ avec $v_1$ et $v_2$ dans
$\{0, \ldots, n{-}1\}$, et cette bijection est compatible avec
les lois d’additions des deux côtés, dans le sens où si $P$ correspond à
$(v_1, v_2)$ et $Q$ à $(w_1,w_2)$, alors $P+Q$ correspond à $((v_1+w_1) \text{ mod } n, (v_2+w_2) \text{ mod } n)$ [10].

D’autre part, comme la courbe $E$ est définie par une équation à
coefficients dans $\mathbb{Q}$, la loi d’addition sur $E$ est compatible avec
tout $\sigma$ dans $\text{Aut}(\mathbb{C})$ : pour tous $P$ et $Q$ dans $E$ on a
$\sigma(P+Q)=\sigma(P)+\sigma(Q)$ où on a posé, pour $P=(x,y)$ avec $x$
et $y$ dans $\mathbb{C}$, $\sigma(P)=(\sigma(x),\sigma(y))$. Il en résulte que
pour $\sigma$ dans $\text{Aut}(\mathbb{C})$ et $P$ dans $E[n]$, on a $\sigma(P)$ dans
$E[n]$. De cela, on peut déduire que les points de $E[n]$ se décrivent à
l’aide des racines d’un polynôme $f$ de degré $n^2$. Pour obtenir cette
description, on choisit un point convenable $C$ dans $\mathbb{Q}^2$, et on
associe à $P$ dans $E[n]$ l’abscisse du point d’intersection de la
droite passant par $C$ et $P$ avec l’axe des abscisses. La propriété de
compatibilité avec l’action de $\text{Aut}(\mathbb{C})$ implique alors que les $n^2$
abscisses correspondant aux $n^2$ points de $E[n]$ apparaissent comme
les racines d’un polynôme à coefficients rationnels [11].

Si l’on revient à la définition d’une représentation galoisienne de
dimension $2$ et que l’on met ensemble tout ce qui a été dit
précédemment, on se rend compte que le polynôme que l’on vient de
construire définit une représentation galoisienne de dimension $2$.

Terminons par un tout petit exemple. Soit $E$ la courbe complétée donnée
par $y^2=x^3-x+1$. Prenons $n=2$. Alors $E[2]$ est l’ensemble des quatre
points $0$, $(z_1,0)$, $(z_2,0)$ et $(z_3,0)$ où $z_1$, $z_2$ et $z_3$
sont les racines de $x^3-x+1$. Si l’on choisit comme point $C$ celui de
coordonnées $(0,1)$, les abscisses correspondant aux quatre points
précédents sont simplement $0$, $z_1$, $z_2$ et $z_3$ et le polynôme
dont ce sont les racines est $f = x(x^3-x+1)$. Le groupe de Galois de ce
polynôme est formé de toutes les permutations de l’ensemble $\text{Racines}(f) = \{0, z_1, z_2, z_3\}$ qui laissent fixe $0$ : il est clair que si une
permutation des racines de $f$ provient d’un automorphisme de $\mathbb{C}$,
alors elle laisse fixe $0$ et, pour montrer l’égalité, on peut utiliser
PARI/GP pour s’assurer que le groupe de Galois de $x^3-x+1$ contient
toutes les permutations de $\{z_1, z_2,z_3\}$. Enfin, si l’on étiquette
les racines comme suit
\[0 \leftrightarrow (0,0) \quad ; \quad z_1 \leftrightarrow (1,0) \quad ; \quad z_2 \leftrightarrow (0,1) \quad ; \quad z_3 \leftrightarrow (1,1)\]
on peut vérifier, en regardant séparément tous les cas par exemple, que
les 6 éléments de $\text{Gal}(f)$ peuvent se mettre sous la forme imposée dans
la définition d’une représentation galoisienne de dimension $2$ ; par
exemple la permutation qui envoie $z_1$ sur $z_2$, $z_2$ sur $z_3$ et
$z_3$ sur $z_1$ s’écrit $(v_1, v_2) \mapsto (v_2, (v_1+v_2) \text{ mod } 2)$.

Le grand théorème de Fermat

Le grand théorème de Fermat est un énoncé qui affirme que, dès que $n$
est un entier supérieur ou égal à $3$, l’équation $x^n + y^n = z^n$ n’a
pas de solution en nombres entiers strictement positifs. Il apparaît
pour la première fois au 17ème siècle dans un manuscrit de Pierre de
Fermat, sans démonstration. Depuis, de nombreuses générations de
mathématiciens ont tenté de démontrer ce résultat avec, au fil des
siècles, de nombreux progrès significatifs (qui ont conduit notamment au
développement de la théorie algébrique des nombres). La première
démonstration complète a été donnée par Wiles, avec l’aide de Taylor, en 1995.
Elle fait intervenir de façon centrale les représentations galoisiennes
de dimension $2$, et notamment celles liées aux courbes elliptiques.

La découverte d’un lien entre théorème de Fermat et courbes elliptiques
semble dater de 1969. Elle apparaît dans un exposé par Hellegouarch à
Bordeaux (voir He2, et l’appendice de He1). La question
que se posait Hellegouarch était de savoir si une courbe elliptique $E$
(sur $\mathbb{Q}$) pouvait avoir un point $P=(x,y)$ dans $E[n]$ avec $x$ et $y$
dans $\mathbb{Q}$ et $n$ « grand ». Sous certaines hypothèses, il montrait que
si cela se produisait, alors le théorème de Fermat serait faux en
degré $n$.

En 1985, Frey a étudié la question dans l’autre sens : peut-on démontrer
le théorème de Fermat en montrant que la courbe elliptique associée par
Hellegouarch à un contre-exemple ne peut exister ? Pour appuyer son
idée, il a remarqué que l’existence d’une telle courbe
elliptique contredirait la conjecture dite de modularité (on en
dira quelques mots dans la suite), très importante en mathématiques.

Après ceci, les choses sont allées vite. Dans un article en 1987, Serre
a précisé et généralisé les idées de Frey en les plaçant dans le
contexte des représentations galoisiennes, et en formulant une
conjecture précise. Ensuite, Ribet a montré une partie suffisante de la
conjecture de Serre pour en déduire que la conjecture de modularité
implique le théorème de Fermat. Finalement, Taylor et Wiles ont
démontré à nouveau une partie suffisante de la conjecture de modularité
pour en déduire le théorème de Fermat. Nous n’allons pas détailler
davantage toute cette histoire (voir section En lire plus), notre but
étant plutôt ici d’indiquer le rôle joué par les représentations
galoisiennes. C’est ce que nous allons essayer de faire tout de suite.

Le rôle des représentations galoisiennes

Pour démontrer le théorème de Fermat, il suffit de supposer qu’il existe
une solution à l’équation de Fermat $x^n + y^n = z^n$ et d’en déduire
une contradiction. Comme on sait déjà (depuis les travaux de Fermat
lui-même et de Gauss) que le théorème est vrai en degré $3$ et $4$, on
peut supposer que l’exposant $n$ est un nombre premier $p\geq5$. Soit
donc $p\geq5$ premier, et $a$, $b$ et $c$ dans $\mathbb{Z}$ tels que
$a^p+b^p+c^p=0$, avec $abc\neq0$. On peut supposer que $a$, $b$ et $c$
sont premiers entre eux deux à deux et, quitte à les permuter, que $b$
est pair et $a+1$ est divisible par $4$. Posons $A=a^p$, $B=b^p$, et
$C=c^p$ et, en suivant Hellegouarch et Frey, considérons la courbe
elliptique $E_{A,B,C}$ sur $\mathbb{Q}$ donnée par
\[E_{A,B,C}\,\colon\quad y^2 = x(x-A)(x+B).\]
Il se trouve que cette courbe $E_{A,B,C}$ possède des propriétés qui
rendent son existence impossible. La première d’entre elles est la
non-ramification en dehors de $2$ et $p$ de la représentation
galoisienne $E_{A,B,C}[p]$. Cela signifie que pour tout nombre premier
$\ell$ différent de $2$ et de $p$, dans des coordonnées convenables, les
points $P$ de $E_{A,B,C}[p]$ restent distincts après réduction
modulo $\ell$ (si ces points sont à coordonnées entières, cela signifie
simplement « après avoir pris leur reste dans la division euclidienne
par $\ell$ », sinon la notion est plus compliquée). La démonstration de
cette propriété utilise des outils « standard » : il s’agit du calcul du
discriminant du polynôme $x(x-A)(x+B)$ (qui apparaît dans la définition
de la courbe elliptique), qui vaut $A^2B^2(A+B)^2=(ABC)^2=(abc)^{2p}$ et
a donc la propriété remarquable d’être une puissance $p$-ième. En
utilisant un argument analogue, on démontre aussi une propriété un peu
plus faible pour la réduction modulo $\ell = p$.

La seconde propriété que l’on utilise est la modularité des
courbes elliptiques qui découle de la (partie de la) conjecture de
modularité démontrée par Taylor et Wiles. Il serait trop long
d’expliquer exactement ici la conjecture de modularité ; pour le propos
de cet article, ce qu’il est important de retenir est que cette
conjecture prédit en particulier que la représentation galoisienne
$E_{A,B,C}[p]$ peut s’obtenir par un autre moyen complètement différent
faisant intervenir ce que l’on appelle des formes modulaires (qui
sont des fonctions définies sur le demi-plan de Poincaré et possédant des symétries tout à fait remarquables — bref, a priori pas grand-chose à voir avec les courbes elliptiques en tout cas...). Le lecteur désireux d’en savoir
davantage pourra se reporter à Di-Sh.

Enfin, en étudiant les formes modulaires, on peut démontrer qu’une
représentation galoisienne construite à partir d’une forme modulaire ne
saurait vérifier la propriété de non-ramification que l’on a évoquée
précédemment. C’est là qu’apparaît la contradiction, de laquelle découle
le théorème de Fermat.

En réalité, la conjecture de modularité, qui lie les courbes elliptiques
aux formes modulaires, peut s’énoncer sans représentations galoisiennes.
Toutefois, d’une part, comme nous venons de l’expliquer, c’est bien à
travers les représentations galoisiennes que la contradiction (de
laquelle découle le théorème de Fermat) apparaît et, d’autre, part, la
preuve de Taylor et Wiles ne pourrait se faire sans les
représentations galoisiennes. Par exemple, dans cette preuve, on passe
d’abord de la courbe elliptique $E$ au système des représentations
galoisiennes $(E[3^n])_{n\geq1}$.

Pour finir, signalons que depuis les résultats plus récents de
Khare et Wintenberger, ainsi que Kisin, qui démontrent la conjecture de Serre
évoquée plus haut, il y a une preuve un peu plus directe du théorème de
Fermat, mais qui passe elle encore plus par les représentations
galoisiennes.

En lire plus

On pourra bien sûr commencer par « Le dernier théorème de Fermat » de Simon Singh [12]. De bonnes références pour lire plus sur ce sujet (l’histoire de la
preuve du théorème de Fermat, la théorie des formes modulaires et la
modularité des courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}$) sont les livres
d’Hellegouarch He1, He2 et le livre de Diamond et Shurman
Di-Sh, ainsi que les exposés au Séminaire Bourbaki Se
et Oe. Attention, toutes ces références vont bien au-delà de cet article et ne sont pas du tout d’un accès facile. Elles sont même hors-hors-hors piste !

Bibliographie

[Di-Sh]
F. Diamond and J. Shurman, A first course in modular forms
GTM 228, Springer, Berlin, 2005

[Du-Le]
Ludmila Duchêne et Agnès Leblanc, Rationnel mon $\mathbb{Q}$, Hermann
éditeurs, 2010

[He1]
Yves Hellegouarch, Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles,
Enseignement des Mathématiques. Masson, Paris, 1997. ISBN :
2-225-83008-8

[He2]
Yves Hellegouarch, Points d’ordre fini des variétés abéliennes de
dimension un.
, Colloque de Théorie des Nombres (Univ. Bordeaux,
Bordeaux, 1969). Bull. Soc. Math. France, Mem. 25, Soc. Math. France,
Paris, 1971

[Oe]
J. Oesterlé, Travaux de Wiles (et Taylor). II., Séminaire
Bourbaki, Vol. 1994/95, Astérisque No. 237 (1996), Exp. No. 804, 5,
333—355

[PARI]
C. Batut, K. Belabas, D. Bernardi, H. Cohen, and M. Olivier,
User’s guide to PARI/GP (version 2.3.1),
http://pari.math.u-bordeaux.fr

[Se]
J-P. Serre, Travaux de Wiles (et Taylor). I., Séminaire
Bourbaki, Vol. 1994/95, Astérisque No. 237 (1996), Exp. No. 803, 5,
319—332

[Ta-Wi]
R. Taylor and A. Wiles, Ring-theoretic properties of certain Hecke
algebras
, Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 3, 553—572

[Wi]
A. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem, Ann.
of Math. (2) 141 (1995), no. 3, 443—551

Post-scriptum :

L’auteur remercie Xavier Caruso d’avoir élargi l’accessibilité du texte initial par une simplification du vocabulaire et l’ajout de plusieurs passages explicatifs, et Aurélien Alvarez d’avoir effectué des corrections.
La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient également pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant :
Rémi Peyre,
Thierry Barbot,
Franz Ridde,
tumiac,
et
Thierry Monteil.

Article édité par Aurélien Alvarez

Notes

[1À ce propos, on pourra lire ce billet.

[2Une petite indication. Puisque nous savons que $\sigma(1)=1$, il n’est pas trop dur d’en déduire que $\sigma(n)=n$ pour n’importe quel entier relatif $n$, puis $\sigma(r)=r$ pour n’importe quel nombre rationnel $r$. La continuité de $\sigma$ ne nous donne guère le choix : $\sigma(x)=x$ pour tout nombre réel $x$. On termine l’exercice en remarquant que $\sigma(i)$ ne peut valoir que $i$ ou $-i$ (puisque $\sigma(i)$ doit continuer de satisfaire l’équation $X^2+1=0$).

[3de même
cardinal que l’ensemble des sous-ensembles de $\mathbb{R}$

[4Ce prolongement n’est cependant pas du tout évident, ni même facile à construire puisqu’il utilise le lemme de Zorn.

[5Là encore, ce n’est pas si simple, même lorsqu’on sait prolonger tout automorphisme d’un sous-corps de $\mathbb{C}$ à $\mathbb{C}$...

[6Ceux qui connaissent les
matrices reconnaîtront la multiplication d’une matrice $2 \times 2$ par
un vecteur.

[7Surtout depuis la fin des années 1960 où ces représentations sont au cœur d’un immense programme de recherche : le « Programme de Langlands », déjà évoqué ici ou ici ou encore .

[8Ce qui revient à demander que le discriminant $4a^3+27b^2$ soit non nul.

[9Cette notation va devenir plus transparente dans un instant, quand nous aurons vu qu’il existe une loi d’addition sur la courbe elliptique : ce point à l’infini ne sera rien d’autre que... l’élément neutre bien sûr !

[10La démonstration de ce fait n’est pas du tout évidente. Se cache derrière une étude de certaines fonctions de la variable complexe qui portent d’ailleurs le nom de leur initiateur : Weierstrass.

[11Pour
construire le polynôme, on peut simplement prendre le produit des
$(x-x_i)$ où les $x_i$ sont ces abscisses. La difficulté est alors de
montrer que le polynôme obtenu est à coefficients rationnels, et c’est à
ce moment que l’on utilise la compatibilité avec l’action de $\text{Aut}(\mathbb{C})$.

[12Mais ne cachons pas au lecteur que cet ouvrage de vulgarisation contient de nombreuses imprécisions.

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Pour citer cet article :

Bas Edixhoven — «Représentations galoisiennes et théorème de Fermat-Wiles» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

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