Résolution des équations de degré 3 et 4

Piste noire Le 30 janvier 2014  - Ecrit par  Amine Marrakchi Voir les commentaires (6)

Cet article a été écrit en partenariat avec Bicentenaire de la naissance d’Évariste Galois

Ce texte — qui reprend un exposé du séminaire Mathematic Park donné par l’auteur en octobre 2011 à l’occasion des célébrations du bicentenaire de la naissance d’Évariste Galois — propose de montrer quelques aspects de la résolution des équations algébriques de degré 3 et 4 à travers une petite promenade mathématique qui commence au XVIème siècle avec les mathématiciens de la Renaissance italienne et se termine au XVIIIème siècle avec les travaux de Lagrange.

Introduction

Avant d’aborder la résolution des équations proprement dite, il est nécessaire de préciser de quelles équations on parle et ce que l’on entend par « résolution ».

Qu’est-ce qu’une équation algébrique ?

Une équation algébrique (ou polynomiale) est une équation de la forme

\[x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x +a_0= 0\]

où l’inconnue est $x$ et où $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$ sont des nombres connus qu’on appelle coefficients de l’équation. On dit que l’équation est de degré $n$.

Par exemple, les deux équations suivantes sont algébriques, respectivement de degré 2 et 3 :

\[x(x+2)+4=0 \quad ; \quad x^3+3x^2+2x+7=0\]

alors que celle-ci ne l’est pas :

\[x^2-\sin x=0\]

Les mathématiciens se sont très tôt intéressés aux équations algébriques car elles figurent parmi les plus simples que l’on puisse se poser (ce qui ne veut pas dire qu’elles sont faciles à résoudre !) mais aussi parce qu’elles peuvent, lorsque leur degré est plus petit que 3, être reliées à des problèmes concrets faisant intervenir des longueurs, des aires ou des volumes.

Le problème consistant à « résoudre » ce type d’équations peut prendre différentes formes selon les besoins. On peut par exemple chercher à trouver des solutions approchées par des méthodes numériques. Ou bien, chercher à construire géométriquement les solutions comme intersections de certaines courbes dans le plan. Il se trouve que, historiquement, le problème de la résolution de telles équations a acquis, pour les algébristes et donc pour Galois, un sens très précis, celui de la résolution par radicaux.

Résolubilité par radicaux

Essayons de comprendre la notion de résolubilité par radicaux à travers divers exemples. Prenons d’abord une équation de degré 1, par exemple $3x+2=0$. La solution est alors $x=-\frac{2}{3}$. Pour la résoudre nous n’avons pas eu besoin d’autre chose que les quatre opérations de base : $+$,$-$,$\times$ et $\div$.

Si nous essayons de faire la même chose pour l’équation $x^2+2x-1=0$ de degré 2, nous n’y arriverons pas. En effet, les nombres que l’on peut obtenir par les opérations de base à partir des coefficients de l’équation sont des nombres rationnels, c’est-à-dire des nombres qui sont quotients de deux entiers. Or les solutions de cette équation sont $-1+\sqrt{2}$ et $-1-\sqrt{2}$ et les grecs savaient depuis longtemps déjà que $\sqrt{2}$ n’est pas rationnel.

Comment fait-on pour trouver ces solutions de l’équation $x^2+2x-1=0$ ?
Plus généralement, pour résoudre une équation de degré 2 quelconque de la forme $x^2+2bx+c=0$, on peut procéder comme suit.
On remarque que $x^2+2bx$ est le début du développement de $(x+b)^2=x^2+2bx+b^2$. Ceci suggère que l’inconnue $u=x+b$ est plus pertinente pour notre problème. En effet, après changement de variable notre équation se réécrit alors sous la forme (on parle de forme canonique ) $u^2-b^2+c=0$.

Nous avons donc le système suivant qui est équivalent à l’équation initiale :

\[\left\{\begin{array}{l} u^2=b^2-c \\ x=u-b \end{array}\right.\]

Remarquons que pour trouver une expression de $x$, il suffit alors d’écrire que $u=\pm \sqrt{b^2-c}$ puis d’utiliser $x=-b+u=-b \pm \sqrt{b^2-c}$.

En réalité, nous avons ainsi résolu toutes les équations de degré 2. En effet une équation de degré 2 quelconque $Ax^2+Bx+C=0$ peut toujours se mettre sous la forme $x^2+2bx+c=0$ en divisant d’abord l’équation par $A$ pour obtenir une équation de la forme $x^2+mx+c=0$, puis en remplaçant $m$ par $2b$.
L’expression $x=-b \pm \sqrt{b^2-c}$ transcrite en fonctions de $A$, $B$ et $C$ donne alors l’expression bien connue $x=\frac{-B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}$ apprise en première.

Regardons enfin l’équation suivante (de degré beaucoup plus gros) :
\[(x^3-1)^8+2b(x^3-1)^4+c=0\]

Si on pose $v=x^3-1$, alors on remarque que $v^8+2bv^4+c=0$ c’est-à-dire que $v^4$ vérifie l’équation $y^2 + 2by + c = 0$ que l’on a résolu tout à l’heure. On sait alors qu’on a un système de la forme

\[\left\{\begin{array}{l} u^2=b^2-c \\ v^4=u-b \end{array}\right.\]

Puis, comme $x^3=v+1$, on obtient finalement le système suivant

\[\left\{\begin{array}{l} u^2=b^2-c \\ v^4=u-b \\ x^3=v+1. \end{array}\right.\]

Encore une fois, on peut donner une expression de $x$ en utilisant les fonctions $\sqrt{\cdot}$, $\sqrt[3]{\cdot}$ et $\sqrt[4]{\cdot}$ pour exprimer $u$, $v$ puis $x$ l’une après l’autre.

En conclusion, pour chacune des équations précédentes nous avons réussi à écrire un système de la forme

\[\left\{\begin{array}{l} u_1^{p_1}=\cdots\\ u_2^{p_2}=\cdots\\ \vdots \\ u_r^{p_r}=\cdots \end{array}\right.\]

avec $u_r=x$ et où, à chaque fois, le membre de droite s’exprime avec les quatre opérations de base à partir des coefficients de l’équation et des inconnues $u_i$ précédentes.

Lorsqu’on arrive à montrer que les solutions d’une équation algébrique vérifient un système de cette forme, on dit que l’équation est résoluble par radicaux. Le terme « radicaux » vient du fait que l’on peut obtenir une expression de la solution $u_r=x$ en écrivant à chaque étape $i$ que $u_i$ est une racine $p_i$-ieme du second membre. On obtient au final une expression de $x$ à partir des coefficients de l’équation initiale qui n’utilise que les opérations de base et les fonctions $\sqrt[n]{\cdot}$ : une expression par radicaux. Par exemple,

\[\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}}{5}.\]

Équation du troisième degré et quatrième degré

Nous avons vu plus haut comment résoudre par radicaux toutes les équations de degré 1 et 2. Les babyloniens savaient résoudre ces équations depuis déjà 4000 ans. Il a fallu attendre la Renaissance italienne pour que d’autres progrès significatifs se fassent dans ce domaine : d’abord la résolution (par radicaux) de l’équation du troisième degré grâce aux formules de Tartaglia-Cardan, puis peu de temps après, celle de l’équation du quatrième degré grâce à la méthode de Ferrari.

Équation du troisième degré : méthode de Cardan

Jérôme Cardan (1501–1576) {JPEG}

La première méthode connue pour résoudre une équation du troisième degré fut celle donnée par l’italien Jérôme Cardan. En fait, cette méthode lui aurait été confiée par un autre mathématicien italien connu sous le nom de Tartaglia. Après avoir d’abord promis de la garder secrète, Cardan finit par la publier en 1545 à la grande surprise de Tartaglia ! (Les mathématiciens avaient l’habitude, à cette époque, d’organiser des défis et des concours de résolution d’équations, celles de degré 3 entre autres. C’est pourquoi, Tartaglia voulait garder sa méthode secrète !). Voici cette méthode.

On cherche à résoudre l’équation $x^3+px+q=0$. Nous verrons plus loin pourquoi on ne s’intéresse qu’aux équations qui sont de cette forme. L’idée de la méthode de Cardan consiste à chercher $x$ sous le forme $x=u+v$ et de chercher à poser une condition sur $u$ et $v$ a posteriori afin d’obtenir une équation plus simple à résoudre. En remplaçant dans l’équation on obtient $(u+v)^3+p(u+v)+q=0$ puis, en développant et en réarrangeant les termes, il vient $u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0$. En vue de simplifier l’équation, la condition sur $u$ et $v$ que l’on va imposer est $3uv+p=0$. L’équation devient alors $u^3+v^3=-q$ et la condition sur $u$ et $v$ se réécrit $uv=-\frac{p}{3}$. On obtient donc le système suivant

\[\left\{\begin{array}{l} u^3+v^3 = -q \\ u^3v^3 = -\left( \frac{p}{3} \right)^3 \end{array}\right.\]

Or, si on connait la somme et le produit de deux nombres, ici $u^3$ et $v^3$, on peut trouver ces nombres comme solutions d’une équation du second degré ! En effet,

\[(X-u^3)(X-v^3)=X^2-(u^3+v^3)X+u^3v^3=X^2+qX-\left( \frac{p}{3} \right)^3\]

Ainsi, $u^3$ et $v^3$ sont les solutions de l’équation $X^2+qX-( \frac{p}{3} )^3 = 0$. Comme on sait résoudre cette équation par radicaux, on sait que $u^3$ et $v^3$ sont exprimables par radicaux à partir des coefficients $q$ et $( \frac{p}{3} )^3$, et donc à partir des coefficients $p$ et $q$ de l’équation initiale. Finalement, comme $x=u+v$, $x$ est exprimable par radicaux à partir de $p$ et $q$.

On en déduit que l’équation de degré 3, $x^3+px+q=0$, est résoluble par radicaux.
Une solution générique possible est donnée par

\[x=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+4 \left( \frac{p}{3} \right)^3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+4 \left( \frac{p}{3} \right)^3}}{2}}.\]

La méthode de Cardan pose, dans certains cas, quelques difficultés. Par exemple, si l’on cherche à résoudre l’équation $x^3-15x-4=0$. Alors l’équation du second degré intermédiaire qu’il faut résoudre est $X^2-4X+125=0$ qui n’admet pas de solutions (son discriminant est négatif). Pourtant l’équation initiale admet bien une solution : $x=4$ ! Bombelli eut alors le premier l’idée (en 1572) d’appliquer formellement la formule générique donnée plus haut, ce qui l’oblige à considérer une racine carré d’un nombre négatif ! Il effectue alors les calculs sur ce nombre imaginaire avec les règles habituelles et trouve à la fin la solution recherchée $x=4$. Ce fut la naissance des nombres complexes : des nombres de la forme $x+\sqrt{-1}\:y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels et $\sqrt{-1}$ est un nombre imaginaire vérifiant $(\sqrt{-1})^2=-1$ ! Pendant longtemps, ces nombres furent considérés comme des bizarreries dont le seul intérêt consistait à flatter l’égo des mathématiciens qui participaient à des concours. Mais petit à petit, les nombres complexes furent acceptés et utilisés jusqu’à devenir un outil fondamental incontournable en mathématique et même en physique. C’est loin d’être le seul exemple, en mathématique, d’une découverte, au début sans intérêt, qui devient fondamentale au fil des siècles.

Expliquons enfin pourquoi nous nous sommes contentés de considérer les équations du troisième degré du type $x^3+px+q=0$. En fait, la raison est que toute équation du troisième degré peut se mettre sous cette forme. En effet, si l’on a une équation de la forme $x^3+ax^2+bx+c=0$ alors, en opérant le changement de variable $x=y-\frac{a}{3}$, le terme $x^3=(y-\frac{a}{3})^3$ se développe en $y^3-ay^2+\cdots$ et le terme $ax^2=a(y-\frac{a}{3})^2$ se développe en $ay^2+\cdots$. On voit que les deux termes $-ay^2$ et $ay^2$ se simplifient et il reste une équation en $y$ de la forme $y^3+py+q=0$ que l’on sait résoudre. On retrouve ensuite $x$ avec la relation $x=y-\frac{a}{3}$.

Équation du quatrième degré : méthode de Ferrari

L’équation du 4ème degré fut résolue en 1540 par Ferrari à l’âge de 18 ans. Sa solution repose sur la méthode de Cardan dont il était d’ailleurs l’élève.

On cherche à résoudre l’équation $x^4=px^2+qx+r$. Comme pour l’équation de degré 3, un changement de variable permet de ramener toute équation du quatrième degré à une équation de cette forme-là.

L’idée de Ferrari consiste à rajouter un paramètre supplémentaire $t$ en écrivant que $x^4=(x^2+t)^2-2x^2t-t^2$. On obtient alors $(x^2+t)^2-2x^2t-t^2=px^2+qx+r$ ou encore $(x^2+t)^2=(2t+p)x^2+qx+(t^2+r)$.

On choisit alors une valeur de $t$ convenable de telle sorte que la quantité $(2t+p)x^2+qx+(t^2+r)$ se factorise sous la forme $(\alpha x +\beta)^2$. Or, dire que $ax^2+bx+c$ se factorise sous la forme $(\alpha x +\beta)^2$ revient à dire que son discriminant $b^2-4ac$ est nul. Dans notre cas, la condition sur $t$ est donc $q^2-4(2t+p)(t^2+r)=0$. Ceci donne lieu à une équation du troisième degré en $t$. Pour la résoudre, Ferrari utilise la méthode de Cardan. Il trouve alors $t$ puis calcule $\alpha$ et $\beta$ et obtient finalement $(x^2+t)^2=(\alpha x +\beta)^2$ où $\alpha$ et $\beta$ sont exprimés par radicaux en fonction de $p$, $q$ et $r$.

Comme $A^2=B^2$ équivaut à $A=\pm B$, on en déduit que $x$ vérifie l’une des deux équations suivantes

\[\left\{\begin{array}{l} x^2+t=\alpha x +\beta \\ x^2+t=-\alpha x -\beta \end{array}\right.\]

Toutes deux sont des équations de degré 2 que l’on sait résoudre par radicaux. On en déduit que l’équation de degré 4, $ x^4=px^2+qx+r$ est résoluble par radicaux.

Fonctions symétriques et méthode de Lagrange

La résolution des équations du troisième et quatrième degré donna un élan considérable à l’algèbre au cours des siècles qui suivirent. Pourtant, malgré tous les efforts déployés par les mathématiciens, il a fallu attendre près de 300 ans pour qu’Abel puis Galois apportent enfin la réponse (négative !) à la question de la résolubilité par radicaux des équations de degré supérieur. Entre temps, des progrès importants furent accomplis incluant l’apparition des notations algébriques modernes et l’utilisation systématique des nombres négatifs, voire complexes.

Une propriété importante des nombres complexes fut découverte (quoique la preuve, apportée par Gauss, tarda à venir) : toute équation de degré $n$ admet exactement $n$ solutions dans l’ensemble des nombres complexes. On peut alors toujours mettre une équation

\[x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x +a_0= 0\]

sous la forme

\[(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)=0\]

où les $r_i$ sont les nombres complexes solutions de l’équation qu’on appellera les racines du polynôme $P(x)=x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x +a_0$. Notons que les $r_i$ ne sont pas forcément distincts, dans ce cas on parle de racines multiples.

On remarque alors des identités reliant les racines $x_i$ aux coefficients $a_i$. En effet, si l’on met par exemple un polynôme du second degré $x^2+bx+c$ sous la forme $(x-r_1)(x-r_2)$, on trouve en développant $x^2+bx+c=x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2$ d’où

\[\left\{\begin{array}{l} r_1+r_2=-b \\ r_1r_2=c \end{array}\right.\]

Nous avons d’ailleurs déjà utilisé ces relations pour la méthode Cardan afin de calculer $u^3$ et $v^3$.

De même, pour un polynôme de degré 3, on écrit $x^3+bx^2+cx+d=(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ et on obtient

\[\left\{\begin{array}{l} r_1+r_2+r_3=-b \\ r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3=c\\ r_1r_2r_3=-d \end{array}\right.\]

On a des relations similaires quelque soit le degré $n$. On les appelle relations coefficients-racines.

Il est intéressant de noter que les expressions $r_1+r_2+r_3$, $r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3$, $r_1r_2r_3$ sont symétriques en les racines. Cela signifie que si l’on permute les racines entre elles, alors ces quantités restent inchangées. Par exemple, $(r_1+r_2)r_3^2+(r_1+r_3)r_2^2+(r_2+r_3)r_1^2$ est aussi symétrique, alors que $(r_1-r_2)(r_1-r_3)(r_2-r_3)$ n’est pas symétrique car si l’on échange $r_2$ et $r_3$, l’expression se transforme en son opposée.

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On cheeci donne lieu os identités ree cettr$xi o$r_17, échaeon écon recne éqin-c+r_3> r_+2x+bc-é sur $u$ et $v$ stent821lR=rs - 32 + ch con e en son ong>coeP/span>coee en son opposée.

mpes rellia. Apr, sies transfors bien une\{AB,CD\tions {AC,BD\tia)^2$ {AD,BC\}a+(3uvoe de,x$ en éps à conàeuic coaè chee17;expressmat te, ilia. Apr, sies transfors initiane aprt=xes sontens alors les à conle est donolues qpm tix} A&B&C&D +r_B&C&D&Ar_1r_3$pm tix}_2)\cdots(e17;expresse\{AB,CD\tisionc {AD,BC\}aalors que s {AC,BD\tiauantités . S symétrique f

coront oEssayauesoique AIlpx+q=e $u_i. xi oauesoique BIlpx+q=e $u_i. 17, etc.ua#8, , $r_^l. D43, siee$AB$onnait la so$rs - 327, etc.ua#8)x_3tuelle te, ilia. Apr, siese\{AB,CD\tis3> r_+2x+bc-3ds - 32 + ch con, etc.ua#8, e de radica de $ps mat inco x^it, la rai 4e siappartrivan de $p$e17;express3> r_+2x+bc-32=rs - 32 + ch con(2t+pque $x$ vérifigren physusu deux éq(ade maront oEsnd memx^

mpes rellia. Apr, sies) bien une sds - 32 + ch con, $ysds - 3&u^3$ e con(out zsds - 34u^3$ e c3ion $x^4=px^2+qe, $(r_1+r un polynôm par radicaux. Oe d

mgren physus$S=x+y+zn, $T=xy+yz+xz, on sP=xyz que $un"spip">Fonc tylgép>

1rrquatio/s1)(x-rcore upip italir une e uneon sz$rouver ces nombresn (par radicaux) de l’équation du $Xs-SRTX-Prong> ) $u^2 ong>coeD\]<Équatcrivanquong>coee en sonbes ia. Aprgicamaiel='e> vde1$sait r’on pe$. xi o$r_17, échaeon écon,u

En =a, ansr quep_{12}sds - 32n(on sp_{34}sdsh con oit absp;! Bep_{12}+p_{34}ser ià dies dans le p_2+r_31 x ap=p_{12}p_{34}sdsr_2r_3+con(or réquatié $(2t+p) équivai7;t 1ricaux stpremièren opposmes cien3> s. CecOn obtient $x^4-ousiurféquation initiale :

\[\left\{x =-p_{12}+p_{34}x +r_p =-p_{12}p_{34} +r_3\ r_1r_2r_3=-d \end{arraydu, io e de radicao pechoisisticaux_{12}n(on sp_{34}$en dévon eux degré 2. En effet une éqdots + a_maiel='e> v$s_{12}sds -+- 32n(on ss_{34}sdsh+ con oon $x^$s=s_{12}+s_{34}sds(s expres+ con(or réquatié $(e 1rrquatisoEtle est donolues qp>\[\lercft\{g&=&p_{34}s_{12}+p_{12}s_{34} +r_&=&_3+coes. Par ex+c=x^2(3(_3$34) +r_&=&_31C- 3(_3$3$, 3(43$3$, $3(43$3r_3+cor_1r_3$, $r_1)+3_3$ son2+(r_2+r_3)r_1^2$ est(e 1rrquatisoLs p. On ;équation s_{12}n(on ss_{34}$eation algé}{3}$. On obtient donc le système suivant

\[\lerrrcft\{s_{12}&+&s_{34}&=&}=\cdop_{34}s_{12}&+&p_{12}s_{34}&=&g +r_3\ r_1r_2r_3=-d \end{array, pour recOn obtient ong>coelimenn nombtion algénnrngrédev Un ux_{12}n(on sp_{34}$ee qudtjous a+bc-upip italients-racines<) nombres c’es$ttleé en $t$. Psi l’opplémentairess_{34}ss-s_{12}n(on e^2+mx+c=0$, puis_{34}$eent $nai.\]<Équatt résoudrep>En'spip_solutions d’elli eution du trois_{12}ne nom de Tartagle Cardu $s_{12}n

En=xns le pis_{34}$e}\righs_{34}ss-s_{12}n $-b^2+ye l̵ $r_qu;r erte!rO$u

îtn s_{12}n(on sp_{12}n

Enet $v^3$$r_haeon écon,utiés rere^3-1$,ag mais aus

\[\lerrrcft\{r_h&+&co&=&}_{34}x +r_$3$, $&+&c2co&=&y +r_3\ r_1r_2r_3=-d \end{array-b^2+c=0$. bc-é sur $u$ eomme pour l’é4p;$ x^4=px^2+qx+r$ est résoluble pay}\rtrong>. s décou{2}}.\]

es et mlutioè x^ivante (ddegroiqutmouveuss='srig de tempsà la m(3uvp,tialo eurcémentconclusion,. On prochéesp>

En réadû1le Cardant, le probod du second degrn dévon eux degré 2. En eff’équation du donnée ons ptment ia;t;t^t pretde1$sait r̸an de $p$,des coefficients de l’n dévon eux d. On pour q par radicaon ;une équatiosoLs pévouliap : ployoriorme.u̵+r_3> <$3$l$x^3+llemps ar $umat 4 rey car sgrr dans l^2$ revi

Or,{2}}.\]

On cheité par radicaux des éqe degrash;+\cd4 ià démenadicaaour Galoi,tialo euforme $r_3encaux. Oe d par radicaux des équations detons que les ^4=px^2+qxs in+r_2+3x +t\frarac{a}{3})p>Qu’ solutions de i x^4=px^2+qx+r$ est résoluble par radicaux.

Cautre.

;: ployoriorme.u̵thode deombres cou#82n po=xnets faies re faon de $pée as a+bc-8$x^7;t coeffis avux. Oe d par radicaux des éqe leur degré e4s que ^4=px^2+qxson-u> s déément ne e problèmerons p 4e siapparscrivan de $p$joulgébrirôors $17; +tià dm8217;ns dn pe $x^2aeux dr$ eec les tr à dd̵ que queelli eut parte ockgimes contenté$ solutions dans l&# 4e siapparscri$ adm;ailnt_103(2t+pque $x$occur <$ci$ admn de $p)rouver Rbjt dpncontournableable pa quotn>

salors $n, ccttout ecne n, ccttouludash, quatrièmestes et talien con ong>coegsaianquong>coe..u̵+r_3>

s d&$ en é exes.

vcorong>aua#8t ecne dntouve.

Oner forme>

sqrtn>

coeP $u-à dptum :mbtion alg deJ1fs uerciorGregmbresDuboon oMateo_13, Rnd u Couérevet Ejamble par radicaux.

Oneà la daar radicacN dp,tialrme en

A,tialr cond de la rht; width_Caruso-Xavr r_.html">Xavr rCaruso1;15
P17;eseracN dp,tialr1;1576h2g
    En iteracN dp,tialr :thod
    uh4 radicaub;15s_typoulb;15s_rre ie"g
  • R des concourté par radicaoquations, cet 4thod \fralr 3 févrr r2014ème14:05 Psi lGrndgory Mr rr_3>76h4>

    76pg Rportedrièmes m di g$1;15
  • R des concourté par radicaoquations, cthod \fralr 22 févrr r2014ème15:20 Psi lMarc JAMBON76h4>

    Ennncocez,uexemple,te lephon ong>coe3}}{2}}.\]

    es et métong>coe, rua#8 ddice1, rua#8 ddice2, rua#8 ddice3,tons que les ts d l_i$eQu’$2$ es lré 2.ilahémalltIljà que $\mpêve.uua#8expoon de3, vua#8expoon de3, néron inin un cx Psi l 4e siappartstions aquivai7)\cdots(L mathrouve enployoriorme.u̵+à que $\sqrt{2}_2+r_3éve e+2ons ov

    Ens danzs alors leest udangIljents t îtn mathà coai lan, $r_^l. D43,tialrm;y arriveoù les $r_i$uua#8expoon d3vet vua#8expoon d3vsokgimeble des,uis, uns$ ne so$7;ellemps aril y ad

    mn de $p$nt deRlx^2+qx+r$. Comme pour l’équation du l’,nt distiomme arriveoca17cE7;nssde la )\cdots( 4r erter_3)ua#8expoon d3r erte+r erte27 qua#8expoon d2r erte< 0 7)\cdots( /span>rps du second deg : ployoriorme.u̵+rs ces qes reus-n>rpscon ong>coeRtong>coe, ni talienrt{-1}$jua#8, ni uua#8expoon d3, ni vua#8expoon d3và que $\te7;i,tirme en son3ufip> eci donne lieu à une équation du r radice que male defforts ddegré grâces et mluarcesé intermédà que $y adqui n&#{2}}.\]éq 1fs lève.Fonctune racine carré sont letp>

    s d&$ que $\sqrttion gépx^2+qeuescoeffices $r_i$ttii des erète, Cap>Rportedrièmes m di g$1;15

  • R des concourté par radicaoquations, cthod \fralr 23 févrr r2014ème14:05 Psi lMarc JAMBON76h4>

    sym(3,tialrrauh25 ocaux.e2011).ble par ra"icaux."

    ons peut prr erte (1$ soluttions dr radice auh3quation du tsmétsqrt{b +a_0= 0\]

    souxua#8^3r erte+ 3p i>xua#8r erte+r erte2q =r erte0ble par ra"icaux."
    coee en sonS i x i>dua#8)nnait la sommstions peutcescrivan de $p$on sua#8, on bua#8, on cua#8)_1+rs mettre à une éuation du dui l&x à partirr il rndesr erte (x^3r erte+r erte3pxr erte+r erte2q)\cdots( i>dua#8)= (on sua#8 - on bua#8)(on sua#8 - on cua#8)(on bua#8 - on cua#8)>

    soudua#8^2tape $i$ équatié $(2t+p) équivan de $p$issancve alorse 1rrqmm$ équatiérs mettrial$ sont 1r2t+p)ardan. Il tr#8217e $(x-r_1)(équation initidua#8^2t= –108[p^3 + q^2] =-16 . (–3) (ptité q^2)e en sonS i xLelle leur deghédtqusd’n>rpsQi nous es identités reon s, b,ntua#8t S i xGlefgsaian me.u̵râce$ sont oiquedui Q,nt’tsmébeta)^2lefgsaian me2}_2tom>rphism grâce rtentrvn de $x$e ilnt_103âcQ. Adut a.\]

    G ds qusom>rphgr. CecOecOnodegraian me.S3fgsaian me2} 4e siapparscs>Enet ix$e ilnt_103(is, uns$ ne sr erte (on s, b,ntua#8)t S i xmaiel='e> von von gua#8 ua#8 e ilnt_1 me.u,on initigua#8 ( i>dua#8))ionles attoul(gua#8) . i>dua#8)\cdots(L7;elles i>dua#8);$ x^ il rndevon gua#8( i>dua#8)ion i>dua#8)\cdots(iln dévos, ur erte (qus attoul(gua#8) = 13_3$ sont’x-r_nai.ispu_3$, ll7;elles i>xua#8^3 + 3p i>xua#8 + 2q ds qurr radcti+qxcs>EnQ,on initi –3[p^3 q^2] ur recOdérer sof

    exempQ(outnon7)\cdots( Supansr qullesj’i-upip italie$on sua#8lpx+q=e $u_nt de&#(outlle leur deghq=e $u_nt e&#((l7;ell’il y ad

    mn de $p$nt de),on initiaua#8 e ivnrsuransforquat, j1fve alors i>dua#8)= [(on sua#8 - on bua#8)(on sua#8 - on cua#8)] (on bua#8 - on cua#8),on initi(on sua#8 - on bua#8)(on sua#8 - on cua#8)r grecsnt l&ong>ial’ ="blockgi(ls ilus ockg)uexemple, >rpsQ(a)t T peufectue f bua#8 - on cua#8ion i>dua#8(2p^2t– qon sua#8 x;ion sua#8^_)i/ 6(p^3 q^2)e en son $x^4=bua#8 + on cua#8ion-$on sua#8, dies ’ ^t pr lles i>bua#8)x_3on c ua#8 tp>

    xempQ(on s,dua#8),qe leur degr >rpsédtqusdRcQn g>Esss #82rlon sua#8 e x i>dua#8,nt’tsmis, uns$ ne so$e, >rpsL fin la sg> ) $u^2 ong>coeCautre.coe..L7;elles–3[p^3 + q^2] ur recOdérer sof

    exempQ,lefgsaian me.u̵rphysA3vet l’ =tqusdRc >rpsL se8r radicdui Q(a)t)\cdots(L7;elles–3[p^3 + q^2] n’tsmiasrecOdérer sof

    exempQ,lefn>rps du second deg fin la srphysQ( i>dua#8)ie des bigsaian me.u̵r sont oiquedui QrphysS2n connagsaian u̵râce$ sont oiquedui Q( i>dua#8)ique quegsaian a, urlie$A37)\cdots(L ddegré grâc pour ,tr_3bpas dire)ard-les racons pt1$&ne

    xempunfn>rpsng>pxrash,cs>E =tqusdRcL ( dut la sosi-.pnru8),es cid17;ans vu ,xemple, $(rx-r_n’x En faobligde deslespuispa radices $r_i$ sont les

    Enet $v^3$

    mn de $p$nt der erte!nd{a Rportedrièmes m di g$1;15

  • R des concourté par radicaoquations, cet 4thod \fralr 23 févrr r2014ème20:14 Psi lMarc JAMBON76h4>

    lils(3uvp,tialo eur erte (9 quatlsrc=-able par radilles et8217n>ns vues r si-.pnru8 auh2 févrr r14h 05.on initibua#8 – on c ua#8 on i>dua#8(2p^2t– qon sua#8 +x;ion sua#8^_)i/ 6(p^3 +r erteq^2)e en Rportedrièmes m di g$1;15
  • R des concourté par radicaoquations, cet 4thod \fralr 27xmars2016ème17:03 Psi ltakyonef76h4>

    pboxoouv/x/g710eosav1f40ht/EQUATION DU QUATRIEME DEGRE+.docation $dl=0e en Rportedrièmes m di g$1;15
  • R des concourté par radicaoquations,4thod \fralr 27xmars2016ème17:09 Psi ltakyonef76h4>

    pboxoouv/x/g710eosav1f40ht/EQUATION%20DU%20QUATRIEME%20DEGRE%2B.doc$dl=0e en Rportedrièmes m di g$1;15

    s>ns vues r76h2g

    Es>Flgum s>Ensnsei3$3Es> Enp,tiaiplan, cner fum,ov

    Edevezov

    Eenregis7;on aues inalaleunt erci d’iddi m rrsi-.pnreus_n’e e+2xaginaiplas rndevoursv

    En

    En’ sies iasrenregis7;du dv

    Edevezov

    Ersicrs r.on in Caunexne 1;15 | s’idicrs r1;15 | mot de lespu odan du ?1;15 e en s/fieldsve>


  • Vrtaglivacons vues re (6)<;1576h3>
    P17;eseracN dp,tialr1;1576h3>
    <) {JPCN dp,tialr f

    le,tirr_1+rtioner76) {JP <) {J radicautype=">«Autur me.u̵»76) {JP ua#81) {JPbspipairestioner76) {JP1;15 <5 radicauêt imes-foldon >ua#8

    <) {JPCN dp,tialr f

    le,tirr_1+rtioner76) {JP <) {J radicautype=">«hLagrange-+.html">Jos»76) {JP Jos-+.html" radicaulimk (15 radicauêt imes-e le >ua#81) {JPbspipairestioner76) {JP1;15 <5 radicauêt imes-foldon >ua#8

    ua#816) {JP1;15

    logo >

    logos

    Undp,tialr auehasard<) {J radicauimes (15 radicauêt imes-e le >ua#816) {JP1;15 C 1572z

    Ens avo16rip_sodp,tialr auehasard>le,miotousons pp,tialrs2rdan dus !

    Esa"> Esa">Actualitédm.pngpncos <) {J radicauimes (15 radicauêt imes-e le >ua#816) {JP1;15 Efaces-aleatmbre.-tyon-18-12+.html">
    <5 radicauêt imes-evs n">ua#8
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      T$ bune1;1576lig Esa">Ag>Esa1;1576lig Essier-pncoeournabl-.html">Défidm.pngpncos1;1576lig Débat _1+181;1576lig Revue desl$r_3e1;1576lig Lexnabl1;1576lig Mncontournabls, iqueraits1;1576lig }\, srte> vde11$ solutticole1;1576lig Mncontournabls àl isis1;1576lig L$ solutIHP, esiscotune racihis7mbre.1;1576lig E-tous-.html">L$ solutIHP, ge esiscotue}sp)arce

      Eneou.1;1576lig T$ ocs7;os IHP1;1576lig MoEsn>Oneà l lève.1;1576lig Ére f>Oneà l lève.1;1576lig Objt _1+m821t1576lig Cafde dengpncos1;1576lig njecttous-du-t$ ocs7;o-.html">Livaconjecttous à u ocs7;o1;1576lig His7mbrem.pngpncontournabls1;1576lig Igo_idmt visualis radi1;1576lig Rpnreurces pa dagognablsr erte («r erteep>En'lme> 82n poNousr erte»t1576lig Conmurs BD1;1576lig Mncontournabls Oneà planr sa Terre 1;1576lig Li Igo_idm.pngpncos 2004é1576lig Igo_idm.pngpncos 2006t1576lig Coursierm.pnglectisist1576lig Dtioners1;15

        Autur me.u̵t1576lig BenoîtnMaEsnlbrot veoù l2bjt s xemptal1t1576lig Bibliothèabls erè7;nsodnablsgpncontournabls1;1576lig Carnt s 1fsa raiOneà MMI1;1576lig Carto lephie1;1576lig Faut-il Tartagpeu radicpncos financ n>Henri Pousca;dué1576lig Jacanss Hadamardé1576lig JeanaireRoEs t’Al chert é1576lig Jos-+.html">hLagrange-+.html">José1576lig Lt;ronjecttouradices $r_i$elli eus jum^auxé1576lig Li m8Esn que macontournablé1576lig Lis 5 minu é Lebesgblé1576lig L ddigtous lass=parollsé1576lig L d du sviews àCIRMé1576lig Mncontournabls Oneà planr sa Terre (2013)é1576lig Mncontournabls N dp,t pt1astnablsé1576lig Mncontournabls N dIndus7;ieé1576lig Mncontournabls N dlt mo_idé1576lig Mncontournabls N dli cémattoué1576lig Mikhaïl Gromov,n+r_omr soué1576lig Nicolas Burbakié1576lig -pnco1-+.html">P, daz-v

        cpncosation $1;1576lig Rpt vstrei1;1576lig Jsique-optimal-+.html">T">Jsique optimal é1576lig Prés vueonco1;1576lig L'éabipe1;1576lig Fquatic=ocum8217;ite1;1576lig Esa">Notou actualité1;1576lig P, ;enes re1;1576lig Con2aar1;1576lig

      Plan8217;ite1;1576lig Crénd s2t dpquotmen lég17;11;1576lig Si é web/7;ai;11;1576lig menu con2aar1;1576lig
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