Retour à mes racines

Le 23 juillet 2020  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (2)
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... ou comment une frustration a débouché sur le fait qu’un algorithme « inutile » est devenu pour moi une sorte de madeleine de Proust.

Souvenir d’enfance

A l’âge de sept ans, en 1979 ou 1980, j’ai vu pour la première fois une calculatrice de poche. Je me suis mis à la tourner dans tous les sens, à taper sur ses touches, à vérifier que $2 + 2 =4$.

L’une des touches a particulièrement attiré mon attention. Elle ressemblait à une drôle de boite à base pointue et au couvercle ouvert. C’est quoi, ça, ai-je demandé à mon père. C’est ce qui permet de calculer les racines carrées, m’a-t-il répondu. C’est quoi les racines carrées, ai-je repris. La racine carrée d’un nombre est un autre nombre qui, multiplié par lui-même, donne le nombre initial, m’a-t-il probablement expliqué.

Probablement ... car sur le moment je n’ai rien compris à cette explication. J’ai posé d’autres questions, mais peine perdue, je n’ai toujours pas compris de quoi il s’agissait. Je me souviens encore que cela m’a beaucoup frustré !

C’est peut-être à cause de cette frustration que trois ans plus tard j’ai été ravi d’apprendre en classe une méthode pour extraire les racines carrées à la main, avec autant de chiffres après la virgule que l’on désire.

Cette méthode était enseignée un peu partout sur Terre jusqu’à ce que la démocratisation des calculettes électroniques l’ait chassée des programmes. À quoi bon enseigner une opération somme toute bien moins nécessaire dans la vie de tous les jours qu’une addition ou une multiplication ? Je dois dire que même moi, mathématicien, je ne m’en suis jamais servi dans mes recherches.

Sauf que, de temps en temps, je vérifie que je sais toujours la pratiquer. Et à chaque fois je constate que ma main court sur le papier sans hésiter, et que pendant que les chiffres surgissent l’un après l’autre de mes automatismes, des souvenirs reviennent de mon école primaire, des visages, des regards, des uniformes d’écoliers bucarestois, des petits carreaux sur du papier fruste, et le son des pas tranquilles de mon institutrice [1] pendant que nous étions tous penchés sur nos cahiers, en train de calculer des racines carrées ...


Découvrons la méthode

Je vous invite à découvrir cette méthode en me regardant faire. Je me propose de calculer la racine carrée du nombre $2020$.

Tout d’abord, je prépare l’arène où tout se joue :

Les couleurs indiquent que j’ai séparé les chiffres en paires à partir de la droite. Le dernier chiffre à gauche reste seul s’il y a un nombre impair de chiffres, par exemple si j’avais plutôt choisi le nombre $20203$, pour lequel les paquets seraient $2$, $02$, $03$.

Ensuite je me mets à calculer. Je cherche d’abord le plus grand carré contenu dans le paquet situé le plus à gauche, ici $20$. Il s’agit de $16 = 4^2$. J’écris alors le chiffre $4$ au-dessus de la barre horizontale de droite et $16$ en-dessous du paquet de gauche :

Puis je soustrais $16$ de $20$, ce qui me donne $4$, et j’abaisse le paquet suivant, qui est à nouveau $20$, ce qui produit le nombre $420$ :

Maintenant je double le nombre $4$ situé au-dessus de la barre horizontale et j’écris ce double $8$ sur la même ligne que la différence complétée $420$ :

Arrivé là, je cherche le plus grand chiffre $C$ que je peux écrire à la droite du double calculé à l’étape précédente — ici $8$ —, tel qu’en multipliant le nombre obtenu $\overline{8C}$ par ce même chiffre $C$, je reste en-dessous du nombre situé à gauche sur la même ligne. J’effectue cette multiplication sur la même ligne que $420$, et j’écris aussi le chiffre $C$ au-dessus de la ligne horizontale, à droite des chiffres déjà marqués :

Pourquoi $C$ vaut-il $4$ dans ce cas ? Parce que $84 \times 4 = 336 < 420 < 425 = 85 \times 5$. Comment ai-je fait pour trouver la valeur de $C$ ? Ah, c’est au pif, en faisant un peu de calcul mental d’ordres de grandeur avec les chiffres les plus à gauche. Comme $8 \times 5 = 40$, j’aurais pu essayer $C = 5$, mais alors j’aurais vu que $85 \times 5$ est trop grand, et j’aurais dû réessayer avec $4$ ...

J’y suis presque. Je soustrais les deux nombres $420$ et $336$ situés sur la ligne précédente :

Et voilà, j’ai obtenu le plus grand entier dont le carré est contenu dans le nombre de départ $2020$ :

Donc la racine carrée de $2020$ est $44$, et il reste $84$. On a bien $44^2 = 1936 < 2020 < 2025 = 45^2$.

Si on désire aller plus loin, et calculer par exemple deux chiffres après la virgule, alors on rajoute après la virgule du nombre donné deux paires de zéros, et on continue de la même manière. Ce qui donne dans notre cas le calcul suivant :

Donc :

C’est un exercice bien instructif de décortiquer le motif de base de cet algorithme, qui se répète encore et encore, chaque fois qu’on veut calculer un nouveau chiffre. Bien sûr, à dix ans, lorsque j’ai appris cette méthode de calcul, j’en étais incapable. Je me suis amusé à le faire il y a seulement quelques années, et je me suis rendu compte avec surprise que le tout était basé sur la relation fondamentale :

\[ (A + C)^2 = A^2 + 2 A \cdot C + C^2.\]

Voyez-vous pourquoi ? Je vous donne une indication : à chaque étape de l’algorithme, il faut appliquer cette relation à un nombre $A$ de la forme $ A = 10 \cdot N$ et à un chiffre $C$ convenable, puis la réécrire ainsi :

\[ (A + C)^2 - A^2 = (2A + C) \cdot C.\]

Sous une forme un peu différente, cet algorithme remonte aux mathématiciens indiens du milieu du premier millénaire après Jésus-Christ. On pourra consulter à ce sujet l’article Ancient Indian square roots : an exercise in forensic paleomathematics de David Bailey et Jonathan Borwein [2] et le livre Mathematics in India de Kim Plofker [3].

Je ne sais pas quand on s’est mis à l’enseigner, à qui et à quels niveaux d’étude, ni quand on y a renoncé, pays par pays. Mais je serais ravi d’en apprendre plus à ce sujet. N’hésitez pas à m’éclairer dans les commentaires de cet article.

Il existe d’autres manières de calculer à la main les racines carrées. On pourra découvrir par exemple la méthode de Heron dans l’article Valeurs approchées des racines de Serge Cantat et Stéphane Le Borgne.


Un algorithme inutile ?

L’algorithme que je vous ai présenté n’est plus enseigné aux enfants car il est jugé inutile à l’âge où les machines remplacent partout les humains dans les tâches nécessitant peu d’inventivité.

Mais, comme vous l’avez probablement compris, à mes yeux cet algorithme n’est point inutile. J’y pense quand je ressens la frustration de ne pas comprendre quelque chose, en me rappelant alors que la compréhension viendra à son heure. J’y pense aussi lorsque je veux me changer les idées, en laissant ma main courir libérée de la tutelle de l’esprit. Miraculeusement, elle m’évoque à chaque fois des images du passé ...

L’algorithme me sert aussi à intriguer les étudiants qui viennent d’entrer à l’Université. Parfois je leur demande un nombre à quatre ou cinq chiffres. Je calcule alors très vite au tableau sa racine carrée avec deux chiffres après la virgule. Ensuite je les prie de vérifier à la calculette que je ne me suis pas trompé. Ils trouvent cela étonnant et me demandent pourquoi l’algorithme donne le résultat correct. J’ai atteint mon but : avoir éveillé leur curiosité. En dialoguant, je les guide alors vers la réponse. S’ils n’ont aucune idée pour démarrer leur réflexion, je leur dis par exemple que le secret de l’algorithme est l’identité $ (A + C)^2 = A^2 + 2 A \cdot C + C^2$. Comment poursuivriez-vous ce dialogue ?

Post-scriptum :

Merci beaucoup à Gautami Bhowmik et Rossana Tazzioli pour leurs renseignements historiques.

Notes

[1Je lui suis toujours reconnaissant pour tout ce qu’elle m’a appris. Je lui écris tous les ans. Elle s’appelle Olga Pandele et a désormais 90 ans ...

[2Il est paru dans American Math. Monthly 119 No. 8 (2012), 646—657.

[3Il est paru en 2009 aux Princeton University Press.

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Retour à mes racines» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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