Les maths : un pont entre les savoirs

La théorie des cordes a encore fouetté ! Un article bien ficelé de Sciences et Avenir nous dévoile qu’ « un lien mathématique très fort a été découvert entre les trous noirs et les supraconducteurs », grâce à la fameuse théorie de cordes, le candidat le plus prometteur pour unifier deux domaines fondamentaux de la physique toujours séparés, la mécanique quantique et la gravitation. « Personne ne comprend pourquoi, mais ça marche ! Des modèles mathématiques, comme celui publié ce 3 juin [...] modélisent à l’aide de mêmes équations des domaines de la physique auparavant complètement séparés. » Le phénomène lié à la supraconductivité est « une jonction Josephson », qui est composée « de trois lames de matériaux : un matériau normal en sandwich entre deux supraconducteurs. [...] le matériau central possède une tension électrique qui dépend du champ magnétique ambiant, et cela avec une très grande sensibilité. » Le physicien Gary Horowitz qui a découvert ce lien étonnant a montré que « l’équivalent gravitationnel de ce dispositif [est] un trou noir ! » Ce genre de pont théorique n’est pas vraiment nouveau puisque dès 1827, Ampère avait appliqué avec bonheur aux courants électriques la théorie... gravitationnelle de Newton. Mais ne boudons surtout pas notre plaisir pour autant : « cela pourrait nous apprendre des choses sur ces formes de matière condensée, mais le lien pourrait aussi fonctionner dans l’autre sens et nous en apprendre sur les trous noirs ! »

L’information a été reprise
sur France Inter dans l’émission La tête au carré et par l’Est-Eclair qui rapporte les propos assez instructifs de l’un des spécialistes français de la théorie des cordes, Dan Israel. Les trous noirs y sont abordés par ce chercheur « du point de vue du théoricien ». Un des problèmes posé par les trous noirs « c’est l’apparente disparition des informations contenues dans les objets qu’on y jette. » Ce problème est résolu au moyen d’une description alternative d’un trou noir « qui utilise le principe holographique ». Une analogie mathématique inattendue apparaît alors avec les supraconducteurs.

Virus du Sida

Le hasard contre le VIH Encore un pont entre deux disciplines grâce aux mathématiques, décrit sur le site Yagg.com : « Un outil mathématique utilisé pour la bourse vient d’identifier ce qui pourrait être le talon d’Achille du VIH, susceptible d’être ciblé par de nouveaux antirétroviraux ou par des vaccins. Ce qui est intéressant dans cette découverte, c’est que les deux chercheurs, dont le Français Vincent Dahirel, de l’Université Pierre et Marie Curie à Paris, n’ont rien à voir avec le milieu de la recherche sur le sida, et se sont servis d’une méthode statistique (random matrix theory) déjà utilisée pour analyser le comportement des actions en bourse » et surtout inventée par les physiciens pour comprendre les spectres des atomes. Le lecteur anglophone pourra en apprendre un peu plus sur le site du Wall Street Journal. On se prend à rêver qu’un jour, des théories mathématiques développées uniquement pour la bourse trouvent une application bienfaitrice quelconque pour l’humanité...

Quand on aime, on compte ! Combien de relations sociales un humain peut-il entretenir ? Un article du Monde commente les conclusions d’une étude menée par une équipe d’informaticiens et de mathématiciens de l’université de l’Indiana : « le modèle de l’université de l’Indiana montre l’existence d’un plateau, entre 150 et 200 contacts, au-delà duquel l’augmentation du nombre de contacts fait qu’un individu ne peut plus accorder autant d’attention à chaque contact qu’auparavant ». Ces chercheurs ont confronté une étude du comportement social des utilisateurs de Twitter et Facebook avec les résultats d’un anthropologue, Robin Dunbar : « Au début des années 1990, alors qu’il étudiait l’organisation sociale chez les primates, [il] avait théorisé que la taille de leur néocortex induisait une limite au nombre d’individus composant un groupe “efficace”. En extrapolant ses données pour les appliquer aux humains, il était parvenu à la conclusion qu’au-delà de 150 individus, le temps et les capacités intellectuelles mobilisées pour entretenir des relations sociales devenait trop important pour maintenir la cohésion du groupe. » Le lecteur de cet article se demandera sans doute d’une part quelle est la définition adoptée d’une « relation de qualité », et que les arguties concernant le « bon nombre » de Dunbar, 120, 200 ou 300, semblent aussi futiles que de savoir quel est le bon poids de cerveau pour un humain...

Tremblez, loteries nationales, les mathématiciens sont là ! Le site belge 7s7 révèle que « selon le mathématicien, Mohan Srivastava, il est possible de reconnaître si un billet Bingo est gagnant sur la base des numéros visibles [...] Il aurait découvert des régularités dans les chiffres des billets à gratter. Sur base de ces régularités, il a établi des formules mathématiques qui lui ont permis de découvrir, avant grattage, si le billet est gagnant ou non. »
Le lecteur goguenard, qui a déjà vu un grand-père sûr de lui accumuler sur des petits carnets les numéros déjà sortis du Loto pour enfin trouver le bon numéro, sera a priori dubitatif. Mais le journaliste révèle que « la Loterie nationale reconnaît que les chiffres sur les billets Bingo ne sont pas répartis de manière arbitraire » ! Tous au grattage (après les maths) !

Des mathématiques... mathématico-centrées ! Le site canadien Cyberpress.ca nous annonce que « la « conjecture de Collatz », ou « problème du 3n + 1 », qui nargue les mathématiciens depuis près de trois quarts de siècle, a peut-être finalement trouvé sa solution. C’est du moins ce qu’affirme un mathématicien allemand, Gerhard Opfer (...) ». Vous trouverez dans l’article tout ce qu’il faut pour comprendre cette simple conjecture, mais également que le mathématicien Jean-Marie De Koninck, « spécialiste de la théorie des nombres » se dit « très sceptique". Alors, jaloux ou justement prudent ? A vous de voir en lisant dans le texte le preprint de G. Opfer !

Les mathématiques dans la culture et dans l’histoire

Entre nature et culture.
Deux articles consécutifs sur le site Techno-Science.net revisitent, du point de vue des mathématiques, l’opposition très classique entre nature et culture. Le premier, intitulé Les mathématiques ont une culture !, a pour cadre le Grand-Nord canadien. Une universitaire montréalaise a longuement étudié les spécificités de l’apprentissage des mathématiques par les jeunes Inuits afin d’adapter les méthodes d’enseignement. Parmi les différences, « elle a constaté que les Inuits ne comptent pas sur une base de 10 mais de 20 » car ils sont « habitués à compter à l’aide de leurs doigts et de leurs orteils » (ce qui n’est pas si simple avec des bottes fourrées et des moufles !). « De plus, le principe de la décimale est difficile à concevoir [car] le nombre 1 est la plus petite unité indivisible ». Le plus grand obstacle reste toutefois de nature linguistique, et « quand on leur demande d’entrer sans préparation dans une logique différente de leur culture d’origine en passant de l’inuktitut au français ou à l’anglais, ils peuvent bien être désorientés ». Dans le même temps, « elle souligne que les élèves inuits ont des forces en mathématiques, tout particulièrement en représentation spatiale et en géométrie ». Et de conclure : « les mathématiques ont une culture. Elles ont aussi une histoire et une géographie. Tous les peuples ont fait appel aux mathématiques pour résoudre des problèmes qui se présentaient à eux. Tous les peuples ont donc participé à la construction des mathématiques [1] »

Les intuitions en géométrie sont-elles universelles ? C’est la question passionnante que pose le second article, moins convenu que le précédent. Il rend compte d’une étude récente de chercheurs en sciences cognitives, selon laquelle « tous les êtres humains seraient disposés à comprendre la géométrie élémentaire, indépendamment de leur culture ou de leur niveau d’éducation ». Se référant à l’analyse des intuitions spatiales opérée par Kant, les auteurs de ce travail ont voulu tester empiriquement l’hypothèse selon laquelle « l’esprit humain est spontanément apte à des intuitions euclidiennes, lui permettant de comprendre certains aspects de la géométrie euclidienne qui transcendent l’expérience commune ». Ils ont pour cela choisi d’étudier un groupe d’indiens amazoniens, les Mundurucu, vierges de tout d’enseignement de la géométrie, et ont cherché à répondre à trois questions : « (i) Les Mundurucu comprennent-ils que deux droites peuvent ne jamais s’intersecter ? (ii) Ont-ils l’intuition que la somme des angles d’un triangle est constante ? (iii) Perçoivent-ils que ces propriétés ne sont vraies que pour les points et droites du plan, et peuvent-ils adapter leurs réponses si ces questions leur sont posées à propos de figures dessinées sur une sphère ? ».

Les résultats ont été comparés à ceux obtenus avec des groupes de français et d’américains, et la conclusion qui semble s’en dégager est que "la géométrie euclidienne, dans la limite où il s’agit d’objets élémentaires comme des points et des droites dans le plan, est une connaissance universelle et transculturelle qui découle de propriétés inhérentes à l’esprit humain se développant dans son environnement naturel. Cette convergence ne s’observe toutefois pas avant l’âge de 6 ou 7 ans. Les auteurs concluent en avançant deux hypothèses explicatives, sans trancher pour l’une ou l’autre : « la géométrie abstraite peut être innée, mais n’émerger qu’à partir d’un certain stade de développement, ou elle peut être apprise par le biais d’expériences spatiales suffisamment générales pour être communes à tous les êtres humains ».

Des sculptures mathématiques à Versailles. Troisième artiste contemporain invité à exposer ses productions dans l’écrin du château de Versailles, le sculpteur Bernar Venet a investi les lieux avec des arcs métalliques monumentaux. La Croix et le site BuyBuy dressent son portrait, en relevant l’inspiration mathématique de ses œuvres. « Dès ses débuts en 1961 [...] Bernar Venet a opté pour un art conceptuel et minimaliste, réfutant tout pathos et toute sensibilité subjective. » S’ensuivent « six années de réflexion autour de l’abstraction et du raisonnement mathématique, de 1970 à 1976, [qui] aboutiront à la création de sa structure de base : les « Lignes indéterminées », des courbes d’acier monumentales réductibles à des formules mathématiques. »

Auteur également de peintures représentant des formules mathématiques
et leur transcription graphique, Bernar Venet affirme qu’il aimerait « être comme un mathématicien, celui qui fait des découvertes sans mettre son portrait dans ses équations »,

Le groupe bourbaki en 1935

A l’Est, de l’ancien et du nouveau. Inutile d’éplucher le classement de Shangai, vous n’y trouverez nulle mention de l’Université de Nancago ; pourtant, le plus célèbre des mathématiciens poldèves y a longuement travaillé, et des textes majeurs signés Georges de Rham, André Weil, Claude Chevalley ou Jean-Pierre Serre comptent au nombre de ses publications. Il faut dire que ses locaux sont à chercher quelque part dans l’océan atlantique, à mi-chemin entre... Nancy et Chicago.

Le général Bourbaki et le mathématicien Poincaré

L’histoire de cette chimère est à découvrir dans l’Est républicain, sous la plume de l’historienne Liliane Beaulieu, qui révèle d’emblée que cette ville imaginaire fut crée de toute pièce en 1948 pour y domicilier Nicolas Bourbaki, à l’occasion d’une demande d’adhésion à l’American Mathematical Society. Le secrétaire de cette respectable organisation ne goûta guère à l’humour bourbachique : « Quand N. Bourbaki a soumis sa première demande d’adhésion, j’ai répondu à l’important mathématicien américain qui l’a présentée que j’avais compris que Bourbaki n’était pas un individu mais bien un organisme et que, pour cette raison, il n’était pas admissible au titre de membre individuel [...] Un an plus tard, Mr. Bourbaki demande à nouveau à être admis en tant qu’individu. Certaines données des deux demandes sont de pures inventions. En l’espace d’une année, les diplômes obtenus ont complètement changé, même la date de naissance ainsi que les dates des différents postes qu’il aurait occupés sont différentes. Pour comble, sa signature est falsifiée : alors que la première demande était signée d’une main d’adulte, fluide et déterminée, on trouve ici une signature rabougrie et quasi infantile. »

Jean Delsarte

L’article revient longuement sur l’importance de Nancy dans l’histoire du groupe Bourbaki. Si l’un de ses fondateurs, Henri Cartan, y naquit, c’est surtout l’ancrage nancéen du mathématicien Jean Delsarte (1903-1968), secrétaire du groupe depuis l’origine, qui fut décisif. « Dans les années d’après-guerre, Delsarte fit nommer à Nancy plusieurs mathématiciens qui se révélaient de premier plan et dont certains ont appartenu au groupe Bourbaki. » La liste est prestigieuse : Laurent Schwartz, Jean Dieudonné, Roger Godement, Alexandre Grothendieck, Jean-Pierre Serre et Jacques-Louis Lions. À la même époque, « Delsarte créait l’Institut Élie Cartan, dont les statuts sont calqués sur ceux de l’Institut Henri Poincaré. Ceci en dit long sur les ambitions qu’il nourrissait pour faire de Nancy un véritable centre international de mathématiques. » Y vinrent « de nombreux professeurs étrangers qui y faisaient des séjours ou qui y participaient à des colloques spécialisés. [...] Ainsi Nancy est-elle connue non seulement comme berceau de l’Art Nouveau, mais aussi, dans un cercle plus restreint, elle est renommée pour avoir été un centre de mathématiques particulièrement animé. D’autres lieux ont leur mérite dans ce domaine mais rien ne leur est retiré en chantant, cette fois-ci, ceux de Nancy ou Nancago. »

Hasard du calendrier, Nancy fut ce mois-ci une ville-étape du tour de France de Cédric Villani. L’Est républicain en a fait son rédacteur en chef d’un jour, en sollicitant ses conseils avisés pour l’épreuve de philosophie du baccalauréat. A la question de savoir si la science progresse par erreurs successives, Cédric Villani répond que « la science progresse par une succession de mises en cause. Poincaré a commis par exemple une erreur retentissante sur la théorie du chaos en pensant montrer la stabilité du système solaire, en fait il a montré le contraire. Il l’a admis. C’est la rupture qui fait avancer les choses ; quand il y a rupture, le risque est plus fort de se tromper. » Villani souligne aussi que « la science avance plus vite aujourd’hui, exponentiellement. Un problème, c’est la dictature de l’immédiateté. Twitter, Facebook… Le luxe, aujourd’hui, c’est de trouver une bibliothèque où on peut s’installer pour se concentrer. On a besoin de temps pour réfléchir, prendre de la hauteur, comprendre par soi-même. » Ô temps suspends ton vol, écrivait déjà Lamartine...

Parutions

Le défi des faibles complexité : La rubrique Logique et calcul du numéro de juillet du mensuel Pour la Science est consacré à la complexité des fichiers informatiques. « Comme les très petites durées ou longueurs, les faibles complexités sont délicates à estimer. Paradoxalement, leur évaluation exige des calculs colossaux. » L’article (déposé en version
intégrale sur le site d’Hector Zenil-Chavez) éclaire les questions de complexité développée depuis le milieu des années soixante à la suite des travaux d’Andreï Kolmogorov et de Gregory Chaitin.

Pi, l’irrésistible

Les fêtes de Pâques ne sont plus qu’un lointain souvenir et pourtant le magazine Science et Vie Junior nous convie ce mois-ci à partir à la chasse aux easter eggs [2]. Oui, mais il ne s’agit pas ici des traditionnels et appétissants œufs en chocolat disséminés dans quelque jardin fleuri... Les easter eggs sont de petits programmes cachés dans certains sites de la toile et « qui n’ont d’autre but que d’amuser l’internaute ».

« Les programmeurs du plus grand moteur de recherche du Web sont restés de grands enfants et n’hésitent pas à caser des easter eggs dans tous les coins. » Et visiblement, ils ont une attraction irrésistible pour le nombre Pi puisqu’un certain nombre d’entre eux lui font directement référence. Science et Vie Junior nous apprend comment les découvrir et les lancer : il faut bien sûr se rendre sur la page d’accueil de iGoogle, puis de « cliquer sur “changer de thème” et selectionner les images suivantes : Beach Theme, Sweet Dreams, Tea House, Seasonal Scape ou bien City Scape ». En pleine nuit, à 3h14 bien sûr, les images s’animent : « Beach Theme fait apparaître le monstre du Loch Ness, et des soucoupes volantes enlèvent des passants dans City Scape ». Quand au thème « Sweet Dreams, il permet de voir les étoiles former la constellation Pi à l’heure fatidique. » Lecteurs noctambules, à vos écrans !