Pour refaire rigoureusement à l’identique les expériences décrites dans cet article, on peut tester les scripts sur le site de Sofus ; après avoir fabriqué le programme en plaçant les bons blocs aux bons endroits, cliquer sur le bouton « lancer » [4] puis regarder en bas de la page, le dessin obtenu.

Une autre option consiste à aller sur le site SofusPy qui possède un export automatique vers Python (en cliquant sur le bouton Éditeur). Cette option permet de voir le mouvement de la tortue sous forme d’une animation, la tortue étant ralentie à cet effet.

D’autres options sont de refaire les manipulations avec d’autres logiciels permettant de programmer une tortue, comme Python (langage), Xcas, Scratch, Blockly games, Snap !, CaRMetal, DGPad etc.

Au lieu d’avancer de 200 pixels à chaque fois, on a avancé de 300 pixels, en répétant 30 fois et non 20, le pas aléatoire de 10 pixels. Et bien entendu il fallait tourner de 144° au lieu de 90° pour avoir cette étoile :

• M’sieur, une étoile à 5 branches, ça a 5 branches non ?
• Oui.
• Donc pour tracer une étoile à 5 branches, on doit tourner 5 fois non ?
• Oui, évidemment.
• Ben 360°, divisé par 5, ça fait 72°, pas 144°.
• Essaye alors de faire tourner la tortue de seulement 72°, et regarde le résultat. Ça te fera travailler la compétence « induire » :-)
• Ah oui ça ne donne pas la bonne partie du pentagramme. Donc 72° ça marche pas.
• Et non !
• Mais comment vous avez trouvé 144° ?
• Essaye de tracer un pentagramme, en comptant le nombre de tours que tu fais sur toi-même durant le tracé.
• Ah oui je fais deux tours complets pour dessiner l’étoile.
• Deux tours, en degrés, ça fait 2×360°=720° : Et 720°, divisés par 5, ça fait combien ?

La seule différence par rapport à l’étoile à 5 branches, c’est l’angle de 135° ; la longueur (moyenne) est la même :

L’angle de rotation de la tortue doit être le supplémentaire de l’angle que fait une branche de l’étoile. Pour le pentagramme les angles font 36° et le supplémentaire de 36° est 144° ; ici on veut, à l’évidence, des angles de 45°, et donc on tourne de 135° pour chaque branche, ce qui fait 3 tours complets de la tortue (8×135°=1080°) pour clore l’étoile.

Pour dessiner un cercle avec la tortue, la méthode classique consiste à tracer un polygone régulier à 360 côtés, en tournant d’1° après avoir tracé chaque côté.

Selon ce paradigme, le cercle est défini comme une courbe à courbure constante : Ceci permet de reconnaître un cercle localement, sans avoir besoin de chercher où est son centre : Il suffit que chaque fois qu’on a avancé d’un pixel, on tourne du même angle (1°). Dès lors que la courbure est constante, il suffit de la connaître en un endroit donné pour tout connaître du cercle (rayon, centre). Mais ici, on introduit des erreurs dans la courbure, ce qui donne une courbe ressemblant localement à un cercle, mais qui n’est pas un cercle puisqu’elle ne se referme pas.

Pour ne pas alourdir à l’excès les temps de calcul, on va se contenter ici d’un polygone à 60 côtés : Un hexacontagone régulier convexe ; il ressemble beaucoup à un cercle, même en l’aléatoirisant un peu : Chaque côté est de longueur aléatoire entre 9 et 11, et chaque angle de rotation est aléatoire entre 5° et 7° :

Pour faire tracer 10 cercles approximatifs par 10 tortues, on commence par les créer en les numérotant (de 1 à 10), puis on s’adresse à chacune d’entre elles en lui donnant comme message, les instructions de tracé du cercle approximatif :

Des améliorations sont proposées maintenant :

• Cacher les tortues ;
• lever leur stylo pour qu’elles parcourent le cercle sans le dessiner ;
• leur demander de tracer un point à leur arrivée.

Ce script permet de tracer un nuage de points (ici, 200 points) :

Aux angles !

On peut le vérifier expérimentalement en comparant ces deux simplifications :

• Celle-ci, ne distribuant les erreurs aléatoires que sur les angles, donne le même genre de nuage de points allongé :

• et celle-ci, ne distribuant des erreurs aléatoires que sur les parcours de distances, donne un nuage de points bien rond :

En fait, si on essaye avec cette dernière version, de dessiner un côté seulement, et du fait qu’il n’y a, toujours dans cette version, aucune rotation, la distance parcourue est la somme de variables aléatoires indépendantes entre elles. Dans le cas du carré, ce sont 20 variables aléatoires uniformes entre 9 et 11. La distance totale parcourue est comprise entre 180 et 220 pixels, et ne peut donc être normale. Mais sa loi est proche de celle d’une variable aléatoire normale, en vertu du théorème central limite. De plus, on peut [8] calculer

• son espérance qui est la somme des espérances, soit $20\times10=200$ pixels ;
• sa variance qui est la somme des variances soit $\frac{20}{3}$ pixels² ;
• son écart-type qui est $\sqrt{\frac{20}{3}} \approx 2,582$ pixels.

Alors l’extrémité du premier côté du carré a pour coordonnées $(X,0)$ où X est une variable aléatoire normale de paramètres 200 et 2,582 : On appelle cela un vecteur gaussien dégénéré (au sens où le nuage de points est aplati). La différence entre ce vecteur et son espérance (200,0) est décrite par la matrice de covariance, dont le premier terme est la variance des abscisses $\frac{20}{3}$, le dernier terme est la variance des ordonnées 0, et les deux termes diagonaux sont égaux à la covariance des abscisses et des ordonnées, qui est nulle. La matrice de covariance de l’extrémité du premier côté est donc $\begin{pmatrix}\frac{20}{3} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Ensuite la tortue tourne de 90° puis avance d’une nouvelle distance aléatoire approximativement normale mais cette fois-ci parallèlement à l’axe des ordonnées. sa nouvelle position est un vecteur aléatoire $(X,Y)$ où $X$ suit une $\mathcal{N}(200 \; ; \; 2,582)$ et $Y$ aussi : Le vecteur gaussien $(X,Y)$ n’est plus dégénéré et maintenant la variance des ordonnées est aussi égale à $\frac{20}{3}$. En fait on obtient la nouvelle matrice de covariance $C$ en additionnant l’ancienne matrice de covariance et $P$, matrice de covariance du trajet vertical, laquelle est égale à $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{20}{3}\end{pmatrix}$. La matrice de covariance du troisième sommet du carré est donc $\begin{pmatrix} \frac{20}{3} & 0 \\ 0 & \frac{20}{3}\end{pmatrix}$ : C’est le produit de $\frac{20}{3}$ par la matrice identité, ce qui signifie qu’à ce stade le nuage de points est rond.

La troisième partie du trajet a pour matrice de covariance, la même que celle du premier côté, et la matrice de covariance du quatrième sommet est donc $C = \begin{pmatrix} \frac{40}{3} & 0 \\ 0 & \frac{20}{3}\end{pmatrix}$ : Cette matrice est toujours diagonale mais, la variance des abscisses valant $\frac{40}{3}$ et celle des ordonnées, $\frac{20}{3}$, le nuage de points est allongé.

Enfin, lors de la supposée fermeture du carré, la matrice $P$ à additionner à $C$ est à nouveau celle du second côté, et l’égalité $C=\begin{pmatrix} \frac{40}{3} & 0 \\ 0 & \frac{40}{3}\end{pmatrix}$ peut être vérifiée par ce script :

En effet la rotation $R$ a pour effet de transformer la matrice de covariance $P$ par un changement de coordonnées ce qui se fait en multipliant $P$, à gauche par $R$, et à droite par la transposée de $R$ (conjugaison de matrices).

Cette variante permet de calculer rapidement la matrice de covariance d’un hexagone régulier approximatif :

Le résultat est que la covariance des coordonnées est toujours nulle et qu’elles ont toutes les deux la même variance 20 (donc le même écart-type $\sqrt{20}$).

Le même genre de programme de calcul matriciel indique que

• Pour le tracé de l’étoile à 5 branches, le nuage de points est gaussien, de covariance nulle, les deux coordonnées ayant pour écart-type 5.
• Pour l’étoile à 8 branches les covariances sont toujours nulles et les deux variances valent 40 ;
• Pour le cercle approché, l’abscisse et l’ordonnée sont décorrélées et ont même variance 10 : On a un nuage gaussien avec le même écart-type $\sqrt{10} \approx 3,16$ pour les abscisses et pour les ordonnées.

Avec perturbations aléatoires sur les distances et les angles, on trouvait des écarts-types à la fois beaucoup plus grands (respectivement 9 et 6) que ces 3,16, et surtout différents entre eux. Si le nuage de points est allongé, c’est donc bien la faute des angles ! En fait, comme la matrice de covariance de chaque côté d’un polygone régulier est la même que celle du tracé du côté qui est en face de lui, la somme de vecteurs gaussiens (un par côté) devrait avoir une matrice de covariance du même type que celles au-dessus si le théorème central limite s’applique : On n’est clairement pas dans les conditions d’application de ce théorème, et on constate donc expérimentalement que la présence des rotations aléatoires a pour effet de créer une dépendance entre les vecteurs tracés par la tortue au cours de l’exécution du programme de dessin.

Cet histogramme ressemble à celui d’une loi de Rayleigh comme on pouvait s’y attendre sous hypothèse normale. De plus

• le mode (environ 8) suggère un paramètre de 8 ;
• la moyenne (environ 10) est conforme à ce paramètre 8 ;
• l’écart-type (environ 5) est lui aussi conforme à ce paramètre valant 8.

Bien que la loi de Rayleigh s’applique à un vecteur gaussien dont les coordonnées ont même écart-type (ce qui, on l’a vu, n’est pas le cas ici), on constate que la moyenne géométrique des écarts-types de $x$ et $y$ est $\sqrt{6 \times 9} \approx 7,35$ qui n’est pas loin des 8 estimés ci-dessus.

Pour dessiner une trajectoire brownienne, le script suivant convient :

On voit que pour simplifier le script, il a été fait le choix que la tortue n’avance que de 5 pixels à la fois ; un mouvement brownien plus réaliste serait obtenu en avançant d’une distance aléatoire.

Pour faire un mouvement brownien de plusieurs tortues (un gaz de tortues !), on utilise le script suivant :

Voici les 100 tortues, stylo baissé, après avoir follement dansé toute la nuit (celle-ci ayant duré 100 pas pour chaque tortue) :