Rigidité et percolation

Piste rouge Le 17 octobre 2014  - Ecrit par  Julien Barré Voir les commentaires (2)

Cet article a été écrit en partenariat avec La Gazette des Mathématiciens

IdM en partenariat avec la Société Mathématique de France et son journal la Gazette des mathématiciens, donne la parole à des lauréats des prix thématiques de l’Académie des Sciences.
Deux textes sur le même sujet sont publiés conjointement par l’auteur, l’un à la gazette des mathématiciens, l’autre sur Images des Mathématiques. Aujourd’hui, « Rigidité et percolation », par Julien Barré (publié sous le titre Percolation de la rigidité dans la gazette).

L’ article présente d’abord la théorie mathématique de la rigidité des structures formées de pivots et de barres, puis le phénomène de percolation associé, lorsque les structures considérées sont de grandes tailles et contiennent une part aléatoire.

Un jeu de construction

Peut-être connaissez-vous ces jeux de constructions constitués de boules et de barres aimantées, que l’on peut assembler. Dans leurs versions les plus simples, ils sont destinés aux enfants à partir de 1 an. Ils vont pourtant nous guider sur le chemin d’une belle théorie mathématique.

Commençons par l’assemblage ci-dessous, qui comprend 5 boules et 7 barres. Peut-on le déformer, sans la casser ? Attention, on est pour l’instant en deux dimensions : les boules doivent rester sur le plan de la table. Et bien sûr, on n’a pas le droit de détacher les barres des boules.

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On voit assez vite qu’on peut déplacer la figure, ou la tourner, mais pas la déformer.

Regardons maintenant cet autre assemblage :

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Il est déformable, et la photo ci-dessous en montre une déformation :

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Un autre exemple, avec un assemblage un peu plus grand :

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Ce n’est pas si facile de voir s’il est déformable, ou rigide !

La réponse

Cet assemblage est rigide...

On peut faire l’expérience, mais on aimerait avoir une méthode plus pratique, applicable à de plus grands assemblages...

Compter les degrés de liberté

Il existe pour cela une recette simple mais ingénieuse, en général attribuée à J. C. Maxwell. Chaque boule peut se déplacer dans un plan : on peut donc fixer librement ses deux coordonnées ; on dit qu’elle a deux degrés de liberté. Chaque barre introduit une contrainte : elle fixe une distance entre deux boules et retire donc un degré de liberté. Si on note $B$ le nombre de boules et $A$ le nombre d’arêtes, la recette de Maxwell prédit que l’assemblage a $2B-A$ degrés de liberté. Or un assemblage ne peut jamais avoir moins de trois degrés de liberté : on peut toujours au moins le faire tourner sur lui-même (un degré de liberté) ou le déplacer sur le plan en conservant son orientation (deux degrés de liberté) ; il est rigide s’il n’a pas d’autre degré de liberté que ces trois-là.

On en conclut que pour être rigide, un assemblage contenant $B$ boules doit contenir au moins $A=2B-3$ arêtes. De plus, si $A<2B-3$, $2B-A-3$ est le nombre de déformations possibles de la structure. Vous pouvez tester cette formule avec le jeu de construction, sur les photos ci-dessus, ou sur l’exemple ci-dessous :

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Avec $B=5$ boules et $A=6$ barres, $2B-A=4$ ; cet assemblage n’est pas rigide. En effet, on peut déformer le quadrilatère du bas de la figure.

Contraintes redondantes

On a vu que si $A<2B-3$, un assemblage est déformable. On aimerait pouvoir dire que si $A\geq 2B-3$, l’assemblage est rigide. Malheureusement, ce n’est pas vrai. L’assemblage ci-dessous a $B=6$ boules, $A=9$ barres, et pourtant il n’est pas rigide. Il a quatre degrés de liberté : en plus des trois degrés de liberté d’un assemblage rigide sur le plan, la boule reliée au reste par une seule barre peut pivoter librement. Que s’est-il passé ?

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Regardons la sous-structure en rouge : elle a $5$ boules et $8$ barres ; d’après la recette de Maxwell, elle devrait donc avoir $2\times 5-8 = 2$ degrés de liberté, ce qui est impossible, puisqu’un assemblage en a toujours au moins $3$. Cette sous-structure a trop de barres : on peut d’ailleurs lui enlever une barre rouge (n’importe laquelle), elle restera rigide ; on dit qu’elle possède une contrainte « redondante ». Recommençons donc le comptage de Maxwell en enlevant cette contrainte redondante : notre assemblage a alors $2\times 6-(9-1) = 4$ degrés de liberté. C’est la bonne réponse !

Théorème de Laman

Nous avons maintenant notre recette générale :

  • On identifie les sous structures qui ont des contraintes redondantes : ce sont celles qui ont $B$ boules et strictement plus de $2B-3$ barres.
  • On retire les contraintes redondantes.
  • On utilise le comptage de Maxwell.

Si l’on excepte certains assemblages particuliers (dits « non génériques »), cette recette est exacte ! C’est ce que dit le théorème de Laman, démontré en 1970, un siècle après Maxwell.

Pour en savoir un peu plus sur ce que veut dire « générique »

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L’assemblage sur cette figure a 10 boules et 17 barres ; il n’a pas de contrainte redondante. Le théorème de Laman nous dit donc qu’il doit être rigide. Pourtant, la figure indique une déformation possible : l’assemblage n’est pas rigide... Le théorème de Laman ne s’applique pas en raison de la présence de trois barres parallèles, marquées en rouge.

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Regardons maintenant la recéorfd’hui,pressembls aupPrécédens ; en particulie,t leogrape> associ$ est le-même, maisules3s barres rougsn ne vont aes parallèles : cet assemblage est rigid,n en cofordité avec le théorème de Lama. Uun assemblage est oitogénériqu> s’il le possède pas deprnopriéts, géomtriquen particulières comms des boule' avigtées,deis barres parallèlese..( on peut bien sûe déienirpPréissement cette notion deogénércdit).. Le théorème de Laman s’appliqueunliquementàe ces assemblages générique..

ogrape>
Ddéienation :< stong>.
Uunograpee estuen essembls l’ objete, apelts, sommits$ ; certaires pirres d sommite vont reliéns par des ciens, apelts, arête> bonoans un;exempls :Eessembls les sommite= $A,B,C,D$s ; essembls les arêtee= $AB,AC,AD,BC$l.
Lla figure ci-dessous donne(deux_représenmations de enograpes ; les osiations des sommit,; leslonguleurs les arêteecet autres afracnérastique, géomtriquen sont Différentes sur les(deux_représenmatione, mais;il s’giet du mêmeograpee.

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suesogrape>

Onvas considéler maintenant de trèsgrposles structuree. reons par;exemple$B=1000$s sommit,; ou$B=10^6$ (àe c niveaut, on peut utilisur l’ordtinateu),; ou$B=10^{20}$ ( la-structure est alorsbeaucoupa tropgrposle pour êtreanalysnés parordtinateu)s ;tvirors auhasgart $A$ pirres d sommit$, etnjogeonscChaque pirre par une arête. On autrlise lnsctroicuments entre arête : en généraP, unet;elle-structureune srat donc pas éualisbule avec le jeu de construction, puisqer les barres aimantéee ne peivent bien sûe pas de ta verler. Que de pase-st-ilrqmnd$ le nombre d’arêtet $A$augumener ?Etudioans un;exemple.

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$A=, 7, 10$. La-structure rigide la plus granre est indiqnéseon bjeu aonscChaquecasr. Dans cet exemple, avec $A=$e, ilye a deux structures rigidse de ;aill 2s ; avec $A73$, la plus granre-structure rigide est de ;aill 3s ; avec $A10$$, la plus granre-structure rigide est de ;aill 6e.

n’estaussi, ce qui de pasee pour desograpessbeaucoupa plus grande : lorsqs’ily ;a jeu d’arêtes,cellesformant ur tout des structures rigidse de ;aill 2s ;ent plus ilye a d’arêtes, plus il;est Pnbsbuleique des structures rigidse de plus en plus grandesap paraissent. Cce qui est e marqmablr, n’est que l’p paiatioe de ces structures rigidse plus grandessle fasttprèsbrutalrement.Nmotos $x=A/B$,t legrasport nombre d’arêtet sur nombre de boules ; lor:

  • si x<1.794s..$e, avec granre Pnbsbtilrté il n’y ;a pas de-structure rigide plus granresqu’unstrangple.
  • si x>1.794s..$e, avec granre Pnbsbtilrté ily ;a une structure rigideogdant>
Aavec granre Pnbsbtilrt> , un eons Préiss : c la-vigtifie avec ure Pnbsbtilrté quitrend ver 1lrqmnd$ $B$trend ver l’iien, et que $A$ estuen etlter prohre de$xB$> pPercolation de la rigiditéCet effen iétémtudité par desphysticien (Pr. uxbury,. C. oukarzeaP,D. Jacobes,M.e Thorpe)e à lafioe desaonnée 90$, et le rsultats ci-dessun iété démontréPréemement parS.Pr.Kasiviswanathan. C. oorce etL. >Thrla.Cle phénomène doit-vous fairep essrt axe,traniations de past>100^o$C$, elle est suesforme de a peue.

 [>1>

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Cette structure es- elle déformablr ?Ppouvez-vous"imaainet ce que evtieet le comptage des contraintes pour;une figuredde boules et de barres en3D ?

Uun peu plus difiacils : on considtre ue jeu de « meccanon », en deux dimensions :deis barres vont reliéns entrecelles par desppivot,eaAutour d"squesecelles peivent tournee.Llesppivotn ne vont aesnocesairdement pacnés aux xntrrditrs les barrel.
Ce" type demo dlle aiété utilité tour noroire des matér auxflibruxs, comms lupapimer.

PNEG

la-structure ci-dessun es- elle rigide ?. Que evtieet le comptage des contrainte ?

Poursavoir desinformationssupplsemenpirres :
    • Ptagewebe dukgroype de recherche d’Ile;na Strinu (Universdiyeof Mmesachuscets) "http:/klin217;cs.ummes.edu/.Llaptagewebe contieet desvsidons l’exldicatione.
    • S$.Pr.Kasiviswanathan,. C. oorcemnd$L. >Tmern SODA l󈧏 Pprocedings ofatchetwieey-secRondannual ACM-SIAM syimpoium, onDiascenteAlgorrthmes, . _137-1252e:
      (201)l.
  • Ppot-ascripum ;:< stong>

    lapré actioe d’IImages des maths,taini sque l’auteur,tremrctieet pour leu rejectureaAttentve,:
    cles e lecteurt doet lupseu doyme estlle-uievan :NathanarlsJe un,t tofto,. lfaireBourrn,.Thfiiryn Babrot etPiTerreLlecannre.

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