Rigidité et percolation

Piste rouge Le 17 octobre 2014  - Ecrit par  Julien Barré Voir les commentaires (2)

Cet article a été écrit en partenariat avec La Gazette des Mathématiciens

IdM en partenariat avec la Société Mathématique de France et son journal la Gazette des mathématiciens, donne la parole à des lauréats des prix thématiques de l’Académie des Sciences.
Deux textes sur le même sujet sont publiés conjointement par l’auteur, l’un à la gazette des mathématiciens, l’autre sur Images des Mathématiques. Aujourd’hui, « Rigidité et percolation », par Julien Barré (publié sous le titre Percolation de la rigidité dans la gazette).

L’ article présente d’abord la théorie mathématique de la rigidité des structures formées de pivots et de barres, puis le phénomène de percolation associé, lorsque les structures considérées sont de grandes tailles et contiennent une part aléatoire.

Un jeu de construction

Peut-être connaissez-vous ces jeux de constructions constitués de boules et de barres aimantées, que l’on peut assembler. Dans leurs versions les plus simples, ils sont destinés aux enfants à partir de 1 an. Ils vont pourtant nous guider sur le chemin d’une belle théorie mathématique.

Commençons par l’assemblage ci-dessous, qui comprend 5 boules et 7 barres. Peut-on le déformer, sans la casser ? Attention, on est pour l’instant en deux dimensions : les boules doivent rester sur le plan de la table. Et bien sûr, on n’a pas le droit de détacher les barres des boules.

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On voit assez vite qu’on peut déplacer la figure, ou la tourner, mais pas la déformer.

Regardons maintenant cet autre assemblage :

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Il est déformable, et la photo ci-dessous en montre une déformation :

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Un autre exemple, avec un assemblage un peu plus grand :

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Ce n’est pas si facile de voir s’il est déformable, ou rigide !

La réponse

Cet assemblage est rigide...

On peut faire l’expérience, mais on aimerait avoir une méthode plus pratique, applicable à de plus grands assemblages...

Compter les degrés de liberté

Il existe pour cela une recette simple mais ingénieuse, en général attribuée à J. C. Maxwell. Chaque boule peut se déplacer dans un plan : on peut donc fixer librement ses deux coordonnées ; on dit qu’elle a deux degrés de liberté. Chaque barre introduit une contrainte : elle fixe une distance entre deux boules et retire donc un degré de liberté. Si on note $B$ le nombre de boules et $A$ le nombre d’arêtes, la recette de Maxwell prédit que l’assemblage a $2B-A$ degrés de liberté. Or un assemblage ne peut jamais avoir moins de trois degrés de liberté : on peut toujours au moins le faire tourner sur lui-même (un degré de liberté) ou le déplacer sur le plan en conservant son orientation (deux degrés de liberté) ; il est rigide s’il n’a pas d’autre degré de liberté que ces trois-là.

On en conclut que pour être rigide, un assemblage contenant $B$ boules doit contenir au moins $A=2B-3$ arêtes. De plus, si $A<2B-3$, $2B-A-3$ est le nombre de déformations possibles de la structure. Vous pouvez tester cette formule avec le jeu de construction, sur les photos ci-dessus, ou sur l’exemple ci-dessous :

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Avec $B=5$ boules et $A=6$ barres, $2B-A=4$ ; cet assemblage n’est pas rigide. En effet, on peut déformer le quadrilatère du bas de la figure.

Contraintes redondantes

On a vu que si $A<2B-3$, un assemblage est déformable. On aimerait pouvoir dire que si $A\geq 2B-3$, l’assemblage est rigide. Malheureusement, ce n’est pas vrai. L’assemblage ci-dessous a $B=6$ boules, $A=9$ barres, et pourtant il n’est pas rigide. Il a quatre degrés de liberté : en plus des trois degrés de liberté d’un assemblage rigide sur le plan, la boule reliée au reste par une seule barre peut pivoter librement. Que s’est-il passé ?

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Regardons la sous-structure en rouge : elle a $5$ boules et $8$ barres ; d’après la recette de Maxwel,: ellecs_slide'>

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