« Ringworld »

Piste rouge 16 avril 2010  - Ecrit par  Jos Leys Voir les commentaires (2)

... ou le monde hyperbolique en forme d’anneau.

Image : Dave KingC’est en 1970 que Larry Niven publia « Ringworld » (l’Anneau-Monde), un classique des livres de science-fiction, qui se déroule sur un monde ayant la forme d’un anneau artificiel continu faisant le tour d’un soleil. C’est un très grand monde ($154$ millions de km de rayon) mais c’est un monde fini avec des bords. Pourrait-on imaginer un monde plat, en forme d’anneau mais sans bords, autrement dit, où les bords sont « à l’infini » ? Oui, c’est possible ! (au moins mathématiquement). Tout ce qu’il nous suffit de faire pour le construire, c’est d’utiliser des transformations de Moebius et quelques fonctions « bien connues »
 [1].

Le monde de Poincaré

Pour commencer la construction de ce monde, on doit d’abord partir de notre « monde euclidien », celui qu’on apprend à l’école, et il faut ensuite déménager vers un monde hyperbolique. Plus précisément, notre nouvelle demeure sera le disque de Poincaré et c’est là que nous allons faire les modifications nécessaires pour construire un monde « orbiculaire ». Le disque de Poincaré, l’un des modèles de géométrie hyperbolique, est un monde qui occupe un disque de rayon 1 (si on l’observe avec des yeux euclidiens). Si un habitant de ce monde part du centre du disque vers le bord et si le voyage se fait à vitesse constante, il lui faudra un temps infini pour atteindre le bord du disque, ce qui veut dire qu’il ne l’atteindra jamais ! La distance, dite « hyperbolique », du centre au bord est infiniment longue. Pour en savoir plus, voir par exemple cet article.

Figure 1 : Pavage 6,4.Visualiser le monde du disque de Poincaré en montrant juste un simple disque ne serait pas trop intéressant ! C’est pourquoi nous allons munir le disque d’un pavage. Comme pavages, on a l’embarras du choix. Dans notre monde euclidien, si on souhaite paver le plan avec des polygones réguliers tous identiques, on ne peut le faire qu’avec un triangle, un carré ou un hexagone. Dans le monde hyperbolique, on peut le faire avec des polygones réguliers ayant un nombre quelconque de côtés et on peut même s’imposer le nombre de pavés qui sont situés autour d’un sommet. Pour être plus précis, il suffit que
\[\frac{1}{n}+\frac{1}{m}<\frac{1}{2}\]
($n$ est le nombre de côtés et $m$ le nombre de pavés autour d’un sommet).

Pour chaque choix de $n$ et $m$ on peut construire le pavage en utilisant des inversions de cercles. Dans l’exemple de la figure de gauche, on voit un pavage $(6,4)$ : les pavés sont donc des hexagones et quatre d’entre eux s’agencent autour de chaque sommet. On construit d’abord l’hexagone central et on obtient le pavage du plan en composant successivement des inversions par rapport aux cercles qui sont les côtés de l’hexagone central. La construction de l’hexagone fondamental est expliquée dans l’article déjà référencé.

Une mise en garde cependant : tous les hexagones réguliers ne fonctionnent pas, il faut choisir avec soin la longueur de leurs côtés ! Cela peut sembler bizarre car dans notre monde euclidien, si on peut paver avec des pièces de 1 cm de côté, on peut aussi le faire avec des pièces de 1 m de côté. C’est l’une des propriétés intéressantes de la géométrie hyperbolique : on ne peut pas dilater les objets. Une autre manière de dire la même chose serait de dire que les trois angles d’un triangle équilatéral euclidien sont de 60 degrés, indépendamment de la taille du triangle, alors que dans le monde hyperbolique les angles d’un triangle équilatéral sont d’autant plus petits que les côtés sont grands.

Reprenons cette construction du point de vue des transformations de Moebius. Ces transformations transforment des cercles en cercles (ou droites qui sont considérées ici comme des cercles de rayon infini) et sont donc des outils bien adaptés pour les pavages du disque de Poincaré. On doit bien entendu prendre soin que la transformation préserve le disque : le bord doit rester en place et les points à l’intérieur doivent rester à l’intérieur du cercle unité. Dans les formules qui suivent, on repère un point dans le plan par un nombre complexe $z$ ; ce point est dans notre disque si le module de $z$ est strictement inférieur à $1$.

Les transformations de Moebius en question sont de la forme
\[f(z)=\frac{az+b}{\bar{b}z+\bar{a}}\]
où $\bar{a}$ et $\bar{b}$ sont les conjugués complexes de $a$ et $b$ et $|b|<|a|$.

Pourquoi ?

Un point $z=\mathrm{e}^{i\theta}$ sur le cercle unité est transformé en \[f(z)=\frac{a\mathrm{e}^{i\theta}+b}{\bar{b}\mathrm{e}^{i\theta}+\bar{a}}.\]
On vérifie facilement que les modules du nominateur et dénominateur sont identiques : le module de $f(z)$ est donc $1$. L’origine est transformée en $b/\bar{a}$ dont le module est inférieur à $1$.

Dans ce qui suit on utilisera des transformations de ce type sous une forme normalisée, c’est-à-dire que nous supposerons que $a \bar{a}-b\bar{b}$ est égal à $1$ (ce nombre est appelé le déterminant). On écrira aussi ces transformations sous la forme d’une matrice de deux lignes et deux colonnes

\[\left(\begin{matrix} a & b \\ \bar{b} & \bar{a} \\ \end{matrix}\right).\]

On aura en particulier besoin de deux transformations particulières. D’abord une transformation $T$ qui envoie l’origine sur le point $p$ :
\[T=\left(\begin{matrix} k & kp \\ k\bar{p} & k \\ \end{matrix}\right) \qquad k=\frac{1}{\sqrt{1-|p|^2}}.\]

D’autre part, une transformation qui effectue une rotation d’un angle $\theta$ autour de l’origine :
\[R=\left(\begin{matrix} \mathrm{e}^{i\theta/2} & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{-i\theta/2} \\ \end{matrix}\right)\]

Pour construire un pavage, nous devons effectuer des rotations autour de certains points situés sur les côtés du polygone fondamental. Nous pouvons réaliser une rotation d’un demi-tour autour du point $p$ dans la figure ci-contre
 [2] par une suite de transformations. Commencer par envoyer le point $p$ vers l’origine ; ensuite, faire une rotation d’un demi-tour autour de l’origine ; et enfin, renvoyer l’origine vers le point $p$. Au final, on a fait la composition
$T.R.T^{-1}.$

La matrice qui en résulte est :
\[M=\left(\begin{matrix} ik^2(1+|p|^2) & -2ik^2p \\ 2ik^2\bar{p} & -ik^2(1+|p|^2) \\ \end{matrix}\right) \qquad k=\frac{1}{\sqrt{1-|p|^2}}\]

Notez que $M^{-1}=-M$. La transformation $M.M$ ne change donc pas la position des points. Pas étonnant n’est-ce pas : faire deux fois une rotation d’un demi-tour autour d’un point revient à ne rien faire du tout !

Dans l’exemple de la figure, le polygone est un hexagone et on peut donc construire six transformations, une pour chaque côté.

Il suffit de remplacer $p$ par $p\mathrm{e}^{(j-1)2\pi/6}$, $j$ de 1 à 6, ou plus généralement, $p\mathrm{e}^{(j-1)2\pi/n}$ pour un $n$-gone ($j$ de 1 à $n$) pour trouver toutes les transformations $M_j$.

Cela nous donne les outils pour construire le pavage. On prend un polygone de base et on répète les transformations (six dans ce cas car il s’agit d’un pavage $n=6$, $m=4$). Pour remplir tout le disque il faut une infinité de transformations mais, comme les pavés deviennent de plus en plus petits en s’approchant du bord [3], un dessin n’a besoin que de quelques itérations.

Chaque pavé est donc le résultat d’une suite de transformations. Prenons un pavé fondamental triangulaire qui a les trois transformations $a=M_1$, $b=M_2$ et $c=M_3$.

Comme indiqué dans l’image ci-dessous, chaque pavé est le résultat d’un « mot » comme $acba..bca$. [4]

Un autre point de vue

Au lieu de prendre la rotation, on peut aussi prendre une réflexion par rapport à une ligne droite passant par l’origine. On voit la différence dans les deux pavages ci-dessous.

Toute transformation de Moebius qui préserve le disque va changer le pavage en un autre pavage mais elle conserve les angles. Dans le pavage original, chaque hexagone a des angles droits en chacun de ses sommets ; c’est donc encore le cas pour le pavage qu’on obtient par une transformation de Moebius.

Voici quelques images du même pavage $(6,4)$, transformé par des transformations de Moebius :

Un monde étroit

Maintenant que nous avons décoré le monde d’Henri Poincaré avec des pavages de notre choix, il est temps de le transformer en quelque chose de bien différent. C’est Vladimir Bulatov, mathématicien et artiste, qui m’a montré une métamorphose remarquable du disque [5]. Nous transformons le disque par
\[B(z)=\frac{4}{\pi}\mathrm{arctanh}(z)=\frac{2}{\pi}\ln\left(\frac{1+z}{1-z}\right).\]

Cette formule met en jeu un logarithme appliqué à un nombre complexe ! C’est un objet mathématique délicat à manier mais il n’est pas nécessaire de le comprendre complètement pour suivre la suite de l’article !
 [6]

Observons l’effet de la transformation sur quelques points du bord du disque : $1$ va vers $+\infty$, $-1$ vers $-\infty$, $i$ reste sur $i$ et $-i$ reste sur $-i$. C’est comme si on étirait le disque horizontalement à l’extrême. La transformation est conforme (elle préserve les angles), si bien que le pavage transformé sera encore formé de polygones qui se rencontrent de la même manière : chaque hexagone rencontre ses trois voisins aux coins sous les mêmes angles.

Voici ce qui se passe avec notre disque pavé en $(6,4)$ :

Dans ce monde en forme de bande de longueur infinie mais de largeur égale à 2, un voyage qui part sur l’axe horizontal et se dirige en haut ou en bas vers le bord va encore prendre un temps infini. En métrique hyperbolique, la largeur de la bande est en effet infinie.

Observons quelques autres exemples :

Pavage $5,7$ :

Pavage $7,3$ :

Pavage $4,12$ :

Toutes ces images montrent une périodicité sur l’axe horizontal qui est évidemment imposée par le pavage. Cette périodicité est facilement calculable pour des pavages $(n,m)$ lorsque $n$ est pair car alors le pavé fondamental est centré à l’origine et le polygone est symétrique par rapport à l’axe horizontal. Dans ce cas la période $T$ est :
\[T=B(M_1(0))-B(0)\]
où $M_1$ est la matrice définie en haut avec le point $p$ sur l’axe horizontal.

Les choses sont un peu plus compliquées si $n$ est impair. Il faut trouver la suite de transformations $(M_i)$, donc le bon « mot », qui envoie le pavé fondamental vers sa première image sur l’axe horizontal comme illustré ci-dessous :

On voit que la situation est différente si $m$, le nombre de polygones assemblés autour d’un sommet, est pair ou impair. Je laisse ce puzzle aux lecteurs.

Si nous tournons le disque d’un angle de notre choix avant d’effectuer la transformation $B$, on obtient toujours un pavage ayant la forme d’une bande infinie mais il est possible qu’il n’y ait plus de périodicité horizontale. Voici le pavage $(4,12)$ d’en haut, tourné de 17 degrés :

Si on fait tourner le pavage du disque continûment, on obtient ceci :

« Ringworld »

Si notre monde en forme de bande est périodique, nous pouvons prendre nos ciseaux et en couper un morceau long d’une ou plusieurs périodes et coller les deux bouts. Cela nous donnera un petit cylindre. Nous voulons un anneau. Alors appliquons la transformation qui nous rendra le même service :

\[A(z)=\mathrm{e}^{\Large\frac{i2\pi(z+i)}{kP}}\]
oú $k$ est un nombre entier et $P$ est la période de la bande.

Observons ce qui se passe sur quelques points : $-i$ devient $1$ et $i$ devient $\mathrm{e}^{\frac{-4\pi}{kP}}$.

$k\frac{P}{2}-i$ devient $\mathrm{e}^{i\pi}$ et $k\frac{P}{2}+i$ devient $\mathrm{e}^{\frac{-4\pi}{kP}}\mathrm{e}^{i\pi}$.

$-k\frac{P}{2}-i$ devient $\mathrm{e}^{-i\pi}$ et $-k\frac{P}{2}+i$ devient $\mathrm{e}^{\frac{-4\pi}{kP}}\mathrm{e}^{-i\pi}$.

Le morceau de longueur $kP$ de notre bande est donc transformé en un anneau comme ceci pour le pavage $(4,12)$ où $k=6$, donc six périodes :

Comme on le voit, la transformation est conforme. Si on se met à mi-chemin entre les bords intérieurs et extérieurs, on peut faire le tour de l’anneau en un temps fini. Si on fait le tour le long d’une courbe proche du bord, la durée du voyage sera d’autant plus longue qu’on est près du bord. Il est d’ailleurs impossible d’aller jusqu’aux bords car ils sont à distance infinie pour tout habitant de l’anneau ! On peut même dire que les bords ne font pas partie de RingWorld.

Voici le même pavage à douze périodes :

Avec un pavage spécifique du disque, on peut donc construire des anneaux différents en changeant la période, mais ce n’est pas tout. On a vu comment on peut changer le pavage du disque en appliquant une transformation de Moebius. Si on peut assurer que le pavage transformé est périodique et si on peut en calculer la période, cela donne une autre manière d’obtenir d’autres anneaux (et bandes) fondés sur le même pavage.

Voici comment on fait :

On cherche des transformations $M$ à deux points fixes parmi les « mots » qui engendrent le pavage . Ces points fixes seront sur le bord du disque. On peut alors construire une autre transformation de Moebius $F$ qui envoie ces deux points fixes sur les points $-1$ et $+1$. On applique $F$ sur le pavage et la bande résultante sera periodique. Pour la période on calcule la transformation \[U=FMF^{-1}\] et on trouve la période comme \[P=B(U(0))-B(0)\].

Voici un exemple :
On prend le pavage $(4,12)$ (en dessous à gauche) et on trouve que le mot $M=M_3M_2M_1$ a deux points fixes. On construit la transformation qui envoie un point fixe sur $-1$ et l’autre sur $+1$ et on applique $F$ au pavage, ce qui donne l’image ci-dessous à droite.

On passe à la bande :

On calcule $U=FMF^{-1}$, ce qui nous permet de choisir un nombre de périodes et de passer à l’anneau (on a pris ici quatre périodes) :

Comme le nombre de mots dans un pavage hyperbolique est infini, il est clair qu’avec un seul pavage du disque on peut construire autant de pavages en bandes et anneaux qu’on souhaite !

D’autres mondes ?

Pourquoi s’arrêter à l’anneau ?

Avec une transformation convenable, on transforme le disque dans le demi-plan supérieur. Si on fait cela avec nos anneaux, on obtient un demi-plan avec un grand trou :

... et si Escher avait connu tout cela ?

Il aurait sûrement dessiné des images comme celles-ci, mais il est vrai que, sans ordinateur, ça n’aurait pas été facile du tout !

Notes

[1des mathématiciens...

[2Pour trouver la position du point $p$ pour un pavage $(n,p)$, regardez encore
cet article.

[3si on les regarde avec des yeux euclidiens, car pour les habitants du monde de Poincaré, ils sont tous « égaux » !

[4Un mot comme $abccca$ peut être simplifié en $abca$, car la suite $cc$ ne bouge pas le point.

[5Conformal Models of the Hyperbolic Geometry par Vladimir Bulatov, Oregon, USA.

[6Si on écrit un nombre complexe $z$ sous la forme $r \mathrm{e}^{i \theta}$, en utilisant son module $r>0$ et son argument $\theta$, on a bien envie de définir son logarithme comme $\ln r + i \theta$. Le problème est que $ \theta$ n’est défini qu’à $2 \pi$ près et il faut donc être soigneux pour faire un choix d’argument, forcément arbitraire. On choisit $0\leq \theta < 2 \pi$ en général .

Partager cet article

Pour citer cet article :

Jos Leys — «« Ringworld »» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • « Ringworld »

    le 17 avril 2010 à 02:33, par Arnaud Lionnet

    « Les trois angles d’un triangle équilatéral euclidien sont de 120 degrés, indépendamment de la taille du triangle ».
    Petite coquille : les trois angles sont de 60 degrés, pour que la somme fasse 180 degrés.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM