Rôles des figures dans la production et la transmission des mathématiques.

Le 15 octobre 2006  - Ecrit par  Jeanne Peiffer Voir les commentaires

L’histoire des images en mathématiques, balbutiante,
est encore à
la recherche d’outils appropriés. Deux approches sont ici décrites.
La première, située à
la conjonction de l’histoire des sciences et de l’histoire des
pratiques culturelles, s’intéresse à la matérialité de la communication
scientifique et donc aux textes fabriqués pour un public. La seconde
se place dans l’espace de la recherche et étudie les premières
matérialisations, sous forme de figures, des idées dans le cerveau des
mathématiciens. Quelques exemples illustrent brièvement ces approches.

Introduction

Prenant le titre de cette publication au mot, la présente
contribution traite d’images et de leurs présences en histoire des
mathématiques : figures, diagrammes, illustrations ou autres formes
de représentations visuelles. Pour anciens qu’ils soient - certains
des dessins trouvés dans des grottes ornées ont été
interprétés comme ayant une signification mathématique -, les
liens des images avec les mathématiques sont compliqués.
Tantôt les figures sont considérées ne faire qu’un avec le
texte mathématique, tantôt elles en sont bannies. Ainsi,
Lodovico Cigoli écrivait le 11 août 1611 à son ami Galilée :
un matematico, sia grande quanto si vole, trovandosi senza
disegnio, sia non solo un mezzo matematico, ma anche uno huomo senza
occhi
. [1] Alors qu’en 1788,
Lagrange affirme dans l’avertissement à sa Mechanique
analytique
 : "On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage. Les
méthodes que j’y expose ne demandent ni construction, ni
raisonnemens géométriques, ou mécaniques, mais seulement des
opérations algébriques, assujetties à une marche régulière
et uniforme". Pour le premier, savoir dessiner fait partie du
métier de mathématicien alors que pour le second le rejet des
figures va de pair avec celui de la géométrie en faveur de la
régularité des opérations algébriques. Chez Lagrange, le
banissement des figures traduit un nouvel équilibre entre deux
branches des mathématiques, la prédominance de l’analyse
algébrique sur la géométrie. C’est dire que la question des
figures se trouve au coeur de certaines représentations que l’on
s’est faites des mathématiques dans l’histoire. La juxtaposition des
deux citations éclaire par ailleurs l’historicité de ce lien, qui
change avec le temps et le lieu. C’est ce que nous allons éclairer
dans la suite par quelques exemples.

Un objet à construire

De fait, l’objet de cette histoire - images en mathématiques - reste
à construire. Jusqu’à tout récemment, les historiens des
mathématiques n’y ont guère attaché d’importance. Mais, sous la
double impulsion de l’histoire des sciences et de celle du livre, nos
collègues ont commencé à étudier les pratiques matérielles
de production et de circulation des savoirs, notamment scientifiques.
En effet, des articles assemblés en livres — comme par exemple les
périodiques qui sont avec les monographies la forme
prépondérante de circulation du savoir mathématique après la
montée en puissance de l’imprimerie et avant la
dématérialisation qui caractérise la publication électronique —
sont aussi des objets issus de processus de fabrication et mis en
circulation sur un marché. Cette insistance sur la matérialité
de la communication scientifique et les savoir-faire qu’elle requiert
a mis en avant l’étude de ce que les historiens anglo-saxons
appellent les « inscription devices » [L1] ou
« representational technologies » et de leur histoire
sociale. Ainsi, Simon Schaffer affirme : « The work involved
in making pictures is a fundamental aspect of the labor process of the
sciences
 » [L1, 184], mais il souligne aussi le fait que l’étude
des images exige une méthodologie spécifique qui doit s’appuyer
selon lui sur les outils de l’iconographie et de l’histoire
culturelle. En France, Karine Chemla [2] a, quant à elle, fait le choix
d’une approche linguistique.

Les programmes de recherche brièvement esquissés ci-dessus
prennent pour cible les textes fabriqués à l’intention d’un
public, leur transmission et leur réception. Mais on a également
vu apparaître des études qui s’intéressent peut-être
davantage aux processus même de la recherche. Elles s’appuient sur
les archives scientifiques - cahiers de laboratoire, notes
manuscrites, brouillons, etc. - et tentent de mieux comprendre les
mécanismes d’écriture et finalement les processus intellectuels de
création scientifique dont ceux-là sont l’indice. [3]

Questions nouvelles concernant les mathématiques grecques

En histoire des mathématiques, on commence à peine à se pencher
sur ce type de questions. Comme souvent, les innovations viennent des
mathématiques anciennes dont le corpus très réduit et lacunaire
pousse à renouveler les problématiques capables de l’éclairer.
Ainsi l’importance des figures pour la constitution et la transmission
des textes de l’Antiquité a été soulignée et leur étude
entreprise notamment de la part des linguistes et sémiologues (comme
Reviel Netz et Micheline Decorps). Chez Platon ou Aristote, la
distance est nettement établie entre l’objet géométrique que la
proposition vise à construire et la figure matérielle qui le
représente. Les géomètres utilisaient des mots différents
pour désigner la figure au sens d’« objet géométrique » et la
figure comme dessin [D1, 65]. Texte et figure forment pourtant un
tout dans la pratique de la démonstration en Grèce ancienne.
Analysant les outils mathématiques à l’oeuvre dans les
Eléments d’Euclide, Reviel Netz, [N1], place le renvoi à
des figures lettrées au premier rang. Pour lui la figure est
indispensable, car des énoncés sont déduits directement des
figures sans pouvoir l’être du texte. Au contraire, Micheline
Decorps, dans son examen minutieux des figures d’Apollonius puis de
celles du commentateur Eutocius, voit dans la figure un support
visuel à une démonstration achevée, sans que le texte
d’Apollonius établisse un lien explicite avec la figure. Eutocius
fait de celle-ci un outil pédagogique lorsqu’il met sans cesse
une figure sous les yeux du lecteur, soit pour expliciter le propos
d’Apollonius soit pour le compléter ou l’enrichir. Dans
les manuscrits médiévaux, les coniques tracées par les copistes
à la règle et au compas sont composées d’arcs de cercle et
permettent seulement un repérage des points. La représentation de
ces courbes relève donc de la convention. C’est aussi la conclusion
à laquelle arrive De Young [D2] qui vient de retrouver quelques
figures géométriques d’une des traditions arabes de transmission
des Eléments. Pour lui, les figures techniques sont
imprégnées de postulats et conventions spécifiques à la culture
dans laquelle elles ont été tracées, mais l’historien doit aussi les
considérer, dans l’état actuel de nos connaissances, comme
an incomplete fossil record from which we attempt to
reconstruct an organism and its relations to its environment
[D2,162].

Le langage visuel de la géométrie du $16^e$ siècle

Les travaux sur la géométrie grecque s’interrogent sur le statut
et le rôle des figures, leur relation au texte, leur transmission,
l’existence de traditions et leur stabilité au cours du temps. Que
tous ces éléments varient devient manifeste lorsqu’on formule ces
mêmes questions pour les figures d’une autre époque, celles des
textes mathématiques du $16^e$ siècle par exemple. Il est alors
difficile de séparer la géométrie des arts, entendus en un sens
très large, allant des pratiques graphiques des métiers aux
pratiques artisanales et artistiques. Il suffit pour s’en rendre
compte d’ouvrir un ouvrage de géométrie pratique, comme la
Pantometria de Leonard Digges publiée par son fils Thomas
en 1571.

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Figure 1. Extraite de Leonard Digges, Pantometria.

La figure géométrique est superposée à un paysage
représentant de façon suggestive, même si rudimentaire, le
siège d’une ville. Le quadrant dont elle met en scène l’usage
n’est cependant pas à l’échelle, au contraire il apparaît
bien trop grand par rapport aux autres éléments de la gravure sur
bois. Loin de servir de support visuel à une démonstration, comme
en Grèce, les figures des traités de la Renaissance mettent souvent l’accent sur
l’utilité pratique de la géométrie, dont les instruments servent
à observer, mesurer et maîtriser le terrain.

La distinction grecque entre objet géométrique et sa
représentation tend à disparaître dans certains textes de la
Renaissance, comme dans l’Underweysung der messung (Nuremberg
1525) d’Albrecht Dürer, où les figures sont de fait très souvent
des patrons à découper. L’objet géométrique non seulement
coïncide avec la figure, mais, découpée, elle sert de modèle ou
d’outil dans les ateliers. Certaines de ces figures se sont
transmises sur la longue durée. Ainsi, on retrouve le patron du
dodécaèdre dessiné par Dürer (figure 33 du Livre IV de son
Underweysung) dans Simon Stevin, et jusque dans un manuscrit
intitulé "Introduction Géométrique à l’Etude de la
Geographie ... ", conservé à la British Library de Londres et longtemps
faussement attribué à d’Alembert.

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Figure 2. Albrecht Dürer, Underweysung der Messung, Livre IV, figure 33.
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Figure 3. Dodécaèdre dans un manuscrit anonyme (British Library 22758).

Préfigurations mathématiques

La figure, si elle peut être simple support visuel d’une
démonstration, outil pédagogique, élément central de
l’argumentation, simple ornement, etc., peut aussi aller bien
au-delà du texte et dépasser l’information mathématique qui y
est contenue. Il arrive au lecteur d’aujourd’hui de découvrir, dans
les textes mathématiques du passé - et même sur des objets
ornés -, des représentations visuelles, des figures, qui donnent
accès à des réalités mathématiques dont les mathématiciens
ne s’étaient pas encore saisis et qui ne faisaient donc pas
partie du corpus mathématique de l’époque. Dürer excelle dans ce
type de constructions inspirées de pratiques graphiques. Federico
Amodeo, puis René Taton, ont naguère attiré l’attention sur la
présence d’épures de géométrie descriptive dans
l’Underweysung der messung, alors que cette discipline n’a
été élaborée par Gaspard Monge que près de trois siècles
plus tard. Dans sa figure 38 du Livre I, on voit apparaître une
parabole comme enveloppe de ses tangentes. Dürer engendre la figure point par point en plaçant l’extrémité d’une règle de longueur fixe
$ab$ successivement sur les points de l’axe horizontal (dont une
partie est divisée par 16 points en 16 intervalles égaux) et en la
faisant passer par les points de même nom de l’axe vertical issu du
point 13. L’autre extrémité désigne les points successifs de la
courbe.

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Figure 4. Ligne en forme de coquille (Dürer, Underweysung der Messung, Livre I, figure 38).

La présence de ces figures pose le problème, proche de celui
actuellement très étudié en ethnomathématique, de la reconnaissance
d’activités
mathématiques non identifiées comme telles par ceux qui les pratiquent.
Nous reconnaissons dans la figure de Dürer l’enveloppe d’une famille
de courbes, mais Dürer n’avait aucune connaissance de cette notion
qu’il a pourtant su représenter dans un cas particulier. Sa figure a
un contenu mathématique plus riche que le texte accompagnateur. La
représentation précède l’élaboration de l’objet mathématique.

Dans l’espace de la recherche : le dessin comme expression de la pensée

Dans les exemples décrits, nous avons considéré des figures
prises dans un processus de transmission, qu’il soit manuscrit ou
passe par l’imprimé. Or, les archives scientifiques recèlent
elles aussi parfois des trésors d’images, des figures gribouillées
par les mathématiciens pour eux-mêmes dans le processus de
création. L’exemple que je vais présenter ici est emprunté à Henk
Bos [B1] et concerne Christiaan
Huygens et la chaînette, c’est-à-dire la courbe qu’épouse une
« corde librement suspendue entre deux points fixes » (dans la
formulation de Jean Bernoulli).

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Figure 5. Recherches sur la chaînette, 1646, Christiaan Huygens, Œuvres complètes, XI, 37-40.

Dans un manuscrit de 1646, le jeune Huygens - il a alors 17 ans -
utilise l’approximation suivante : une corde supposée sans poids est
chargée de poids égaux suspendus à des distances égales.
Grâce à la statique, Huygens détermine ce qui se passe pour
chacun des poids, puis extrapole au cas continu, où les poids sont
répartis uniformément tout au long de la courbe. Cette
approximation, qui permet un passage à la limite, du cas discret au
cas continu, lui permet de conclure que la courbe cherchée ne peut
être une parabole, comme Galilée l’avait suggeré. Huygens
communiqua ce résultat au Père Mersenne dans une des premières
lettres qu’il lui adressa. Mais il ne détermina la nature de la
courbe qu’en 1690 lorsque Jakob Bernoulli lança son défi
concernant la chaînette dans les Acta eruditorum. Huygens
semble avoir eu besoin d’une impulsion de l’extérieur, d’un
problème posé et à resoudre, pour se mettre à réfléchir en
gribouillant. Selon Bos, ces figures aident Huygens à
ordonner une information spatiale complexe.

Michael Mahoney et Henk Bos ont l’un et l’autre examiné quelques
figures excessivement complexes de ce que Joella Yoder a appelé la
« cinématique géométrique » [Y1, 52] de Huygens. Sans qu’il soit
possible de faire justice dans un texte aussi bref que celui-ci à la
richesse de leur analyse, résumons-en deux conclusions intéressantes
pour notre propos. D’abord les figures permettent à Huygens de
représenter l’irreprésentable, comme les paramètres physiques du
mouvement : la vitesse, l’accélération, le temps et leurs
relations mutuelles. Puis, Mahoney a pu montrer que dans les figures
de Huygens trois strates différentes se superposent : un espace
physique, l’espace mécanique des vitesses, temps, etc, et finalement
l’espace mathématique. C’est par un va-et-vient entre ces strates que
Huygens parvient à imaginer des solutions hautement techniques et
singulières. Mahoney et Bos sont d’accord pour voir la figure
fonctionner chez Huygens comme un modèle géométrique d’un
phénomène naturel complexe. L’art du dessin scientifique lui
permet d’étudier ces phénomènes. La figure est plus proche de
la pensée mathématique de Huygens que les équations et les
formules qu’il note et publie ensuite, même si on retrouve dans
celles-ci les éléments que le modèle exhibe.

Pour conclure

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