Rothorn, un tore plat !

Piste verte 17 décembre 2012  - Rédigé par  Aurélien Alvarez Voir les commentaires (3)

Faites-vous offrir un survol du tore plat par Rothorn !

À la fin du printemps, Images des maths consacrait sa rubrique Objet du mois à un tore plat. Cet objet paradoxal, inventé abstraitement il y a presque soixante ans, venait tout juste d’être visualisé. Depuis, quelques mois se sont écoulés, ce qui a laissé le temps à Rothorn, un super-ordinateur suisse, de générer bien plus d’images et surtout deux films.

Pendant que vous les regardez, ayez une petite pensée pour Rothorn dont les 256 coeurs ont travaillé toutes les vacances pour les produire [1]. D’ailleurs, peut-être qu’avec les vacances, vous avez oublié un peu de quoi il s’agit cette histoire de plongement isométrique du tore plat dans l’espace euclidien... Qu’à cela ne tienne, regardons tout de suite le deuxième film produit par Rothorn !

Je vous invite chaleureusement à vous replonger dans l’excellent article Gnash, un tore plat ! écrit par Vincent Borrelli. Vous y relirez avec plaisir l’histoire incroyable de cette aventure, du défi lancé par Warren Ambrose à l’insolent John Nash, en passant par les innombrables exemples de Nicolaas Kuiper, la théorie de l’intégration convexe de Mikhaïl Gromov, pour enfin finir avec les superbes images de l’équipe Hévéa [2] qui, 60 ans plus tard, nous permet enfin de visualiser ces étonnants plongements.

Voici d’ailleurs quelques nouvelles images directement extraites des films. Où que se pose le regard, on y découvrira des collines et des vallées en cascade infinie. Décidément, cette appellation « tore plat » est bien trompeuse !

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Post-scriptum :

Un grand merci à Vincent Borrelli et Vincent Beffara dans la préparation de cet article.

Merci également à Emmanuel Beffara, Jérôme Poineau, P.Levallois et
François Sauvageot, pour leur relecture attentive.

Notes

[1Notez aussi que les versions qui paraissent dans cet article ont été allégées pour des questions de temps de téléchargement, vous trouverez des versions HD ici.

[2composée de Boris Thibert, Damien Rohmer, Francis Lazarus, Saïd Jabrane et Vincent Borrelli

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Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez — «Rothorn, un tore plat !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Crédits image :

Image à la une - Toutes les images et tous les films de cet article sont dus à l’équipe Hévéa.

Commentaire sur l'article

  • Rothorn, un tore plat !

    le 18 décembre 2012 à 15:04, par Julien Olivier

    Est-ce que je pourrais suggérer une vidéo qui pourrait être aussi éclairante ? Il s’agirait de suivre deux géodésiques (si on pense à la représentation du tore plat par un domaine fondamental carré ce serait les segments parallèles aux bords du domaine fondamental) et de les « déplier » pour montrer qu’ils ont bien (presque) la même longueur.

    En plus vous pourriez le faire à plusieurs niveau de corrugations (c’est ça le terme ? je ne me souviens plus) pour montrer que plus on raffine le calcul plus on peut se rapprocher d’un tore plat parfait.

    Après je n’ai absolument aucune connaissance en visualisation et ce que je propose est peut-être complètement irréalisable.

    Répondre à ce message
  • Rothorn, un tore plat !

    le 20 décembre 2012 à 10:15, par Francis Lazarus

    Merci pour votre suggestion. Effectivement, faire sentir que les
    méridiens et parallèles ont même longueur serait particulièrement
    éclairant. Cependant, montrer que deux courbes ont même longueur
    autrement qu’en le disant ne semble pas évident. Comment convaincre le
    spectateur qu’une courbe se déplie à longueur constante ? Dit autrement
    faire la différence visuelle entre une courbe élastique ou non semble
    difficile. Un autre argument tout aussi éclairant est de quadriller le
    domaine fondamental carré et de visualiser son image. Vous trouverez de
    telles images au bas de la page

    http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/borrelli/Site/Hevea_images.html

    Au fur et à mesure des corrugations, on observe que les images des
    mailles du quadrillage sont de plus en plus carrées.

    Amicalement

    Répondre à ce message
  • Rothorn, un tore plat !

    le 2 janvier 2013 à 18:57, par Ronan

    Cela ressemble un peut à la magic ball ;

    http://www.youtube.com/watch?v=tGhcTwIJ4Es

    Répondre à ce message

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