S’il vous plaît... dessine-moi un élément de torsion !

Piste rouge Le 4 mai 2014  - Ecrit par  Jimmy Dillies Voir les commentaires (4)

En algèbre, l’on parle souvent d’éléments de torsion, c’est-à-dire d’éléments non nuls (dans un groupe, un corps, ...) dont un multiple est trivial - ou nul. Malheureusement, notre imagination s’arrête souvent là et on essaye rarement de visualiser ces éléments. Et pourtant... ils existent. En voici un.


– S’il vous plaît... dessine-moi un élément de torsion ! [1] [2]
– Hein !
– Dessine-moi un élément de torsion.
Je me retournai et devant moi je découvris une tignasse blonde qui me tendait un papier et un crayon. Que faisait-il là ? Je n’en avais pas la moindre idée, mais j’avais certainement l’air plus décontenancé que lui.
– Dessine-moi un élément de torsion. Tu sais un objet non trivial dont un multiple est nul...
Je n’avais aucune idée d’où ce gamin pouvait surgir, mais comme j’avais d’autres choses à faire, je pris son papier et griffonnai :
\[ 60^o \]
Et je me remis au travail – certain qu’on ne m’embêterait plus. Seulement, le Petit Prince n’avait pas l’air satisfait. Il continuait à regarder le papier le visage froncé. Je fis un effort :
– Vois-tu, 6 fois $60^{o}$ cela fait $360^{o}$, une révolution complète. C’est comme si l’on n’avait pas bougé. Tourner de $360^{o}$ ou bien rester immobile, c’est- à-dire tourner de $0^{o}$, au bout du compte cela revient au même. Ainsi, $60^{o}$ est un élément de torsion, vu qu’un de ses multiples, $360^{o}$, est trivial.
– Non, continua la petite voix, cela, c’est de l’algèbre. Je veux voir un élément de torsion.
– Dessine l’angle toi-même alors, lui répondis-je un peu sèchement. Un peu trop sans doute. Pris de remords, je me résolus à lui reprendre son papier.
– Regarde petit.

Je venais de griffonner un cadran horaire sur lequel j’avais colorié 1 heure.
– Dans 12 fois une heure, l’aiguille de ta montre aura regagné sa place. N’est-il pas joli cet élément de torsion ?
Mais le Petit Prince n’était toujours pas content.
– Pourquoi les grands sont-ils toujours si compliqués ? On leur demande de dessiner et ils écrivent.
Bon, j’avais perdu. Le petit ne se contenterait pas de mes réponses à la va-vite. Il voulait vraiment que je lui dessine un élément de torsion.
– Assieds-toi, lui dis-je, et donne-moi ton papier et ton crayon.
Il sourit car il se rendit compte qu’il avait gagné une explication. Il me passa son papier avec des yeux pétillants. Je me mis à dessiner.
– Voilà ! Les objets avec lesquels on va jouer sont des cordelettes sur des surfaces.
J’en dessinai quelques-unes qu’il observa attentivement.



– Ces cordes, je peux les étirer, les bouger, mais je ne peux pas bouger leur point d’attache. Si je peux transformer une cordelette en une autre, je les considère comme étant identiques. Regarde :



– Vois, sur la sphère, toutes les ficelles sont en quelque sorte identiques. Elles sont même triviales car on peut les contracter jusqu’à ce qu’elles se réduisent à un point. Sur le tore, par contre, il y a plein de ficelles différentes. Certaines sont triviales [3] et peuvent s’amenuiser à un point ; d’autres sont enroulées et ne peuvent se contracter indéfiniment.


– C’est joli. Ça a un nom ?
– Le nom n’a aucune importance [4]. Ce qui compte, c’est que l’on peut additionner ces drôles d’oiseaux [5]. Vois.



Si deux cordelettes sont mises bout à bout, on libère l’extrémité finale de la première que l’on attache à l’extrémité initiale de la seconde, elle aussi détachée de la surface, et l’on obtient une nouvelle ficelle.
– Tu peux répéter ? demanda le Petit Prince.
– Suis avec ton doigt le premier chemin et enchaîne directement avec le second. Tu viens de suivre un nouveau chemin, composé des deux chemins précédents. Ce nouveau tracé est la somme des deux précédents.
– Je comprends. Et une fois les cordelettes soudées ensemble, je peux à nouveau les déformer.... Mais où est mon élément de torsion ?
– Patience ! Patience ! Regarde comment j’additionne ces cordelettes sur le tore.



Le Petit Prince regardait encore attentivement. Son impatience avait été de courte durée. Il avait à nouveau vraiment l’air intéressé.
– Le tore, la sphère, c’est bien. Mais l’on peut aussi créer de jolies surfaces avec des ciseaux et de la colle. Regarde :



– Quelle surface trouveras-tu si tu recolles le modèle selon les couleurs et en préservant le sens des flèches ?
Le Petit Prince réfléchissait. Il pliait le papier dans les recoins de ses méninges et essayait d’utiliser une colle imaginaire pour ne pas devoir recommencer.
– Un cube !



– Très bien. Et ceux-ci ?





Ses yeux passèrent aux dessins suivants. Il avait compris.
– Un cylindre et un ruban de Möbius. [6]




Je lui tendis un petit dernier.



– Un tore !



– Bravo, lui dis-je. Tu as compris le jeu. On peut maintenant aussi recoller des morceaux ensemble. Essaie. J’ai incisé une sphère et je te demande de la recoller en suivant les repères colorés.



J’eus à peine retourné la feuille de papier que mon jeune élève revint à la charge.
– On retrouve la sphère de départ.
– Félicitations. Et ici, que se passe-t-il si je te demande de découper, puis de recoller selon le jeu de couleurs ? Attention, comme pour le ruban de Möbius, les flèches sont inversées.



Et le silence se fit.

Le Petit Prince avait l’air embêté. Il commença à utiliser ses mains - comme l’élève qui découvre l’addition. Ses petites mains se tordaient, mais rien ne sortait de sa bouche.
– Est-ce possible ? abandonna-t-il finalement.
– Oui, j’avoue que c’est un peu pervers, car il nous faudrait un peu plus de place pour recoller ça (disons une dimension en plus), mais c’est tout à fait faisable. Cela s’appelle le plan projectif.
– Hum ?
– Ne t’inquiète pas. Sache seulement que c’est le paradis financier des droites.
– Pardon ? Il avait l’air encore plus surpris.
– C’est l’endroit où elles sont sûres de pouvoir joindre les deux bouts...(silence)... non, je plaisante. Je t’expliquerai une autre fois peut-être.
Le Petit Prince avait l’air de s’impatienter. Mon humour ne lui plaisait visiblement pas beaucoup.
– Eh bien voilà, restons sur notre plan projectif... Regarde ton élément de torsion – je l’ai dessiné en rouge :



– Mais les deux extrémités ne doivent-elles pas être identiques ? s’exclama- t-il.
– Elles le sont. Souviens-toi comment l’on a recollé les deux bords. Les deux extrémités finales sont identifiées, les deux points aux commissures sont recollés.
– C’est vrai. Je l’avais oublié. Mais pourquoi s’agit-il d’un élément de torsion ?
– Regarde. Essaie de déformer ta corde. Tu n’arriveras jamais à la faire disparaître.



– En effet.
– Maintenant prenons deux copies de cette cordelette et attachons-les l’une à l’autre. Ainsi. Et je lui retendis son papier.



– Je vois. Comme les deux côtés sont recollés, tu as dessiné une des cordelettes à gauche et l’autre à droite, mais en vérité c’est la même corde.
– Absolument. Et que se passe-t-il maintenant ? Et bien, une fois recollées, tu peux faire glisser ces cordes par en dessous. Et voilà, magie. La cordelette s’évanouit !



Les yeux du Petit Prince brillaient de mille feux. Il avait son élément de torsion. Il était toujours assis en face de moi, mais je voyais dans son regard qu’il était déjà ailleurs.
– Merci, me dit-il.
Mais je n’eus pas le temps de répondre qu’il était déjà reparti. Quel curieux petit personnage ! Mais bien charmant. J’étais content d’avoir pu lui rendre service. Je me mis à rêvasser quelques instants, puis je repris mon travail. J’en avais encore pour quelques heures avant le départ et le train d’atterrissage était trop dur. Je ne voyais qu’une seule possibilité : c’était sans doute un problème avec la barre de torsion...

Post-scriptum :

Un grand merci à tous les relecteurs pour leurs commentaires judicieux. J’espère n’oublier personne en citant E. Lakuriqi, M. Dillies-Snaet, F. Ziegler, S. Cantat, Mathieu, B. Mallein, Mathilde, J. Lefort, A. Marmora & C. Caubel.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Inspiré du “Petit Prince” de Saint-Exupéry.

[2À G. Lambert

[3Trivial est un joli terme utilisé ici pour dire nul.

[4Il s’agit du groupe fondamental ou du groupe de Poincaré. Voici son certificat de naissance.

[5Merci M. Feynman. Lire “The making of a scientist.”

[6Voir l’article de Patrick Popescu-Pampu pour un joli aperçu de la bande de Möbius.

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Pour citer cet article :

Jimmy Dillies — «S’il vous plaît... dessine-moi un élément de torsion !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Commentaire sur l'article

  • S’il vous plaît... dessine-moi un élément de torsion !

    le 5 mai 2014 à 11:42, par Pierre Lecomte

    Merci pour ce bel article à la fois limpide et poétique !

    Répondre à ce message
  • S’il vous plaît... dessine-moi un élément de torsion !

    le 8 mai 2014 à 20:38, par Martine Dillies-Snaet

    L’article est enchanteur et m’a beaucoup intéressée même si j’ai, à nouveau, dû utiliser mes doigts et mes mains pour arriver à « faire » comme le Petit Prince pour retrouver tore et ruban de Mœbius. Même mes neurones s’y sont mis mais je ne regrette pas l’effort. Qui dit que les mathématiques sont revêches ?

    Répondre à ce message
  • S’il vous plaît... dessine-moi un élément de torsion !

    le 22 mai 2014 à 21:15, par Monique Pencréach

    Bel article : croisement de poésie et géométrie topologique.

    Félicitations très vives pour les belles illustrations qui rendent l’article (faussement) simple à comprendre voire ludique.

    C’est l’art de rendre facile une chose tout de même pas triviale du tout.
    Merci : à la fin, on plane ! on se prend pour Saint Ex !
    Bien cordialement
    Monique Pencréach

    Répondre à ce message
    • S’il vous plaît... dessine-moi un élément de torsion !

      le 22 mai 2014 à 23:02, par Jimmy Dillies

      Un grand merci pour ces gentils commentaires.

      C’est un article de torsion. S’il n’est pas trivial à priori, il le devient après un nombre fini de relectures... ]

      Jimmy

      Répondre à ce message

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