¿Sabe por qué el pequeño Nicolás siempre tiene un remolino ?

Piste noire Le 21 mai 2011  - Ecrit par  Christine Huyghe
Le 17 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ? Voir les commentaires
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Es un hecho : el pequeño Nicolás [1] y su primo Germain [2] no han logrado peinarse sin dejar un remolino. Y ustedes tampoco, por cierto.

¿Por qué ?

La falla se debe a un teorema, el teorema de la bola peluda, ya conocido por Poincaré y Brouwer, y del cual el ganador del Premio Abel 2011, John Milnor, ha dado una demostración muy elegante [3].

El teorema de la bola peluda

El teorema trata sobre campos de vectores sobre la esfera. Un campo de vectores sobre la esfera consiste en dar, en cada punto de la esfera, un vector tangente, como los cabellos sobre una cabeza o incluso el viento que sopla en la superficie de la Tierra... El teorema es verdadero para cualquier esfera en el espacio, pero aquí se va a fijar el radio igual a $1$. En un punto $x$ de esta esfera, se asocia un vector $v(x)$ tangente a la esfera en $x$, como en la figura de abajo.

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No se considera un campo de vectores cualquiera sobre la esfera, sino aquellos que son continuos, es decir, que varían de manera razonable. Con esta condición, si una secuencia de puntos $(x_n)$ sobre la esfera converge hacia un punto $x$, entonces $v(x_n)$ converge también hacia $v(x)$. Además, los campos de vectores considerados son diferenciables [4]. El enunciado es entonces el siguiente :

Teorema (de la bola peluda) : Todo campo de vectores diferenciable sobre la esfera se anula en alguna parte.

Por lo tanto, en la superficie de la Tierra siempre hay un lugar sin viento, y cuando uno se peina siempre hay un remolino.

Primera etapa de la demostración

Procedemos por contradicción : supongamos que existe un campo de vectores $v$ sobre la esfera que no se anula. Se comienza por reemplazar ese campo de vectores por un campo de vectores tal que para todo $x$, la longitud de $v(x)$ vale $1$ (se le llama entonces unitario). Para esto, basta con reemplazar $v(x)$ por $v(x)$ dividido por su longitud. El campo de vectores así obtenido es unitario y mantiene las mismas propiedades que el campo de vectores de inicio : es continuo y diferenciable. Nos encontramos por lo tanto de nuevo ante el caso de un campo de vectores tangentes $v$ tal que, para todo $x$, la longitud de $v(x)$ es igual a $1$.

La idea de Milnor es utilizar ese campo de vectores para deformar la corona esférica (C) delimitada por las esferas de radio $1/2$ y $1$. De alguna manera, se va a deformar la corona a lo largo de ese campo de vectores.

Para esto, se prolonga el campo de vectores $v$ hacia el interior de la esfera, lo que se llama la bola, privada del origen. Si $y$ es un punto del interior de la bola unidad se traza la recta $Oy$, la cual corta la esfera unidad en un punto $x$. La homotecia de centro $O$ que envía $x$ sobre $y$ transforma el vector $v(x)$ en un vector $v(y)$, que es tangente a la esfera de centro $O$ que pasa por $y$. De esta manera, a cada punto $y$ dentro de la bola unidad diferente del origen se ha asociado un vector $v(y)$ tangente a la esfera. Es la figura de abajo.

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Se considera ahora una deformación de la corona esférica (C), en rosado en la figura de abajo, para $t$ pequeño. Si $x$ es un vector de longitud $1$, que define por lo tanto un punto de la esfera, se le asocia el punto \[f_t(x)=x+tv(x).\]
Para $t$ pequeño, $f_t(x)$ es un punto cercano a $x$. Para $t=0$, nuestra transformación $f_0$ es la identidad.

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Un primer cálculo del volumen de la corona deformada

De hecho, para $t$ pequeño, nuestra transformación $f_t$ posee buenas propiedades de regularidad y es biyectiva [5], esto es, todo elemento de $f_t(C)$ tiene una única preimagen por $f_t$. Esas propiedades no son muy fáciles de demostrar y están ligadas por una parte a aquellas de la esfera [6] y por otra parte al hecho que
$f_t$ es cercano a la identidad para $t$ pequeño. Un teorema de cambio de variables para las integrales [7] permite entonces calcular el volumen $Vol(t) $ de la deformación por $f_t$ de corona esférica (C) para $t$ pequeño. Como la fórmula que define $f_t$ es un polinomio en $t$ (de grado $1$), el cálculo [8] muestra que :

para $t$ pequeño, el volumen $Vol(t)$ de la deformación por $f_t$ de la corona esférica de (C) es un polinomio en $t$ de grado $\leq 3$.
\[Vol(t)=at^3+bt^2+ct+d.\]

Un segundo cálculo del volumen de la corona deformada y fin de la demostración

En realidad, se puede ser incluso más preciso sobre lo que es esta deformación de la corona (C) aplicando el teorema de Pitágoras. Si $x$ es de longitud $1$, como $tv(x)$ es de longitud $|t|$ (el valor absoluto de $t$) y que $x$ y $tv(x)$ son ortogonales (vea la figura), la longitud de $f_t(x)$ es $\sqrt{1+t^2}.$ Por la deformación $f_t$, la esfera unidad es enviada a la esfera de radio $\sqrt{1+t^2}$.

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Más generalmente, si $x$ está sobre la esfera de radio $r$, $f_t(x)$ está sobre la esfera de $r\sqrt{1+t^2}$. Milnor muestra entonces que la deformación por $f_t$ de la esfera de radio $r$ es toda la esfera de radio
$r\sqrt{1+t^2}$. Esto necesita un argumento de topología [9] y un argumento de cálculo diferencial [10], para emplear términos técnicos. En otras palabras, la deformación por $f_t$ de (C) es la corona esférica delimitada por las esferas de radio $\sqrt{1+t^2}/2$ y $\sqrt{1+t^2}$.

Se calcula el volumen de esta corona esférica tomando la diferencia del volumen de una bola de radio $\sqrt{1+t^2}$ y del volumen de una bola de radio $\sqrt{1+t^2}/2$. De este modo

\[Vol(t)=\frac{4}{3}\pi(1+t^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{6}\pi(1+t^2)^{\frac{3}{2}},\]
O sea

\[Vol(t)=\frac{7}{6}\pi(1+t^2)\sqrt{1+t^2}\]

... lo que no es un polinomio en la variable $t$, ¡para $t$ pequeño !
Supongamos que tal sea el caso, entonces existe un polinomio $P(t)$ tal que $P(t)=(1+t^2)\sqrt{1+t^2}$ tal que $P(t)^2=(1+t^2)^3$, para $t$ pequeño.
Pero como hay una infinidad de $t$ pequeños, y que se compara dos polinomios, esta igualdad es de hecho verificada para todo $t$, de manera que $P$ es de grado $3$. Siempre a causa de esta relación, el término constante de $P$ y el término de grado $3$ de $P$ valen $1$. Así, $P(t)=1+ut+vt^2+t^3$ donde $u,v$ son constantes por determinar. Desarrollando, se ve que el término de grado $1$ de $P(t)^2$ es $2u$, y que el término de grado $5$ de $P(t)^2$ es $2v$. Por identificación, esos términos $u$ y $v$ deben por lo tanto ser nulos. Finalmente, si $(1+t^2)\sqrt{1+t^2}$ era un polinomio $P(t)$, se tendría $P(t)=1+t^3$. Ahora bien, \[(1+t^3)^2=1+2t^3+t^6 \neq 1+3t^2+3t^4+t^6.\]

De este modo hemos encontrado una contradicción y demostrado el teorema [11].

Conclusión

Este teorema permite mostrar que todo campo de vectores continuo sobre la esfera se anula.

Este teorema permite mostrar otros importantes teoremas de topología, como aquel teorema de Brouwer :

Toda aplicación continua de la bola en sí misma posee un punto fijo, es decir, que existe un punto $x$ de la bola tal que $f(x)=x$ (en otras palabras, $x$ queda fijo por $f$).

La idea es que, dada una tal aplicación continua de la bola en sí misma, se proceda por contradicción. Si $f(x)\neq x$ para todo punto de la bola, se exhibe entonces un campo de vectores tangentes a la esfera que no se anula.

La investigación es aún muy activa en matemáticas para comprender por qué el personaje de Tintin tiene un jopo.

Debo agradecer aquí al sr. Bernard Raymond quien nos explicó ese teorema de la bola peluda en matemáticas en el liceo Faidherbe de Lille [12]. Un muy gran momento, en todo caso, para despertar vocaciones.

Post-scriptum :

El autor agradece al sr. François Raymond por las informaciones sobre su hermano, citadas en este artículo.

La redacción de Images des Maths, así como al autor, agradecen por su atenta relectura a los siguientes relectores : Guillaume Pontier, Emeric Bouin, Paul Laurain y Jacqueline Struffi.

Article original édité par Christine Huyghe

Notes

[1Personaje creado por René Gosciny y Jean-Jacques Sempé.

[2dibujado aquí por el autor de este artículo, imitando pálidamente los dibujos de Jean-Jacques Sempé.

[4derivables en el sentido de las funciones de muchas variables, lo que es un poco técnico de explicar por lo que no lo haremos aquí.

[5De manera precisa, es un difeomorfismo de la corona esférica (C) sobre su imagen, para $t$ pequeño.

[6que es compacta.

[7detallado aquí

[8que hace intervenir el determinante jacobiano de $f_t$, que es un polinomio de grado $3$, para los lectores que conocen en cálculo diferencial.

[9La esfera es compacta y conexa.

[10La deformación $f_t$ es una aplicación abierta.

[11También se puede comprobar que las raíces complejas de $(1+t^2)^3$ son $i$ y $-i$ y son del orden impar igual a $3$.

[12Bernard Raymond, fallecido en 1997, fue profesor ahí de 1978 a 1991.

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Pour citer cet article :

Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas — «¿Sabe por qué el pequeño Nicolás siempre tiene un remolino ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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