Salem

Cinquante ans après

Piste bleue 20 juin 2013  - Ecrit par  Jean-Pierre Kahane Voir les commentaires

En haut des falaises normandes, à Varengeville-sur-mer, un cimetière domine la mer. Selon mon souvenir, une tombe surplombe la falaise, c’est celle de Raphaël Salem, enterré là le 22 juin 1963.
J’avais visité l’endroit seul, au soir des obsèques, triste, et conscient que rien ne pouvait mieux m’évoquer ce merveilleux amateur de toutes les merveilles du monde.

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Les merveilles, c’était Salonique où il était né en 1898, l’Italie d’où venait sa femme, la Provence où ils avaient une belle propriété, Paris bien sûr et le superbe appartement de la rue Léonard de Vinci où j’avais, normalien, raconté des mathématiques à leur fils Lionel, l’océan et la montagne, la peinture, la musique, la littérature, mais par-dessus tout c’était les mathématiques et leurs mystères, les nombres, les fonctions, les ensembles de points, les séries trigonométriques et les subtiles relations qui les entremêlent.

En mathématiques, il avait d’abord été un amateur, un amateur éclairé et créatif. Il était banquier de profession, et sans doute s’arrangeait-il pour que cela lui laisse des loisirs. Il s’était mis aux séries trigonométriques et avait publié quelques notes aux Comptes Rendus lorsqu’Arnaud Denjoy lui suggéra de réunir ses résultats sous la forme d’une thèse de doctorat. C’était en 1939, il soutint sa thèse en 1940 et il était temps. C’est grâce à son doctorat d’état que, réfugié aux Etats-Unis pendant la guerre, il put avoir un poste de professeur à Boston au MIT, le Massachusetts Institute of Technology. Et là il devint un professionnel.

Il pratiquait l’anglais écrit et parlé aussi bien que le français. Et à partir de 1941 la plus grande partie de sa production mathématique fut en anglais. Il noua des relations scientifiques et amicales avec de nombreux mathématiciens américains ou réfugiés aux Etats-Unis, en particulier avec Antoni Zygmund, et ses résultats les plus spectaculaires furent établis ou initiés en Amérique. Il se révéla d’autre part comme un professeur hors du commun. Son influence sur le développement des mathématiques aux Etats-Unis tient pour beaucoup à son enseignement. Voici ce qu’en dit Zygmund dans la présentation qu’il fait de ses Œuvres mathématiques : « He had a style of his own which combined verve and naturalness, precision and elegance. The way he could explain essential things without going into calculation was always admired by people attending his lectures and appreciating the difficulties in mathematical presentations »
 [1].

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Après la guerre, tout en étant professeur au MIT, il donna annuellement un cours libre à la Sorbonne (en fait, à l’Institut Henri Poincaré). En 1948, ce cours portait « sur quelques problèmes non résolus concernant les séries trigonométriques ».
J’ai assisté à ce cours et j’ai été ébloui par l’aisance avec laquelle il expliquait, expliquait réellement, des questions difficiles. Chaque mathématicien a son style et il n’y a pas d’ordre total dans l’ensemble des styles ; mais je n’en connais pas qui surpasse celui de Salem. En France comme en Amérique, son influence tient pour beaucoup à la séduction produite par sa parole et par ses écrits.

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Cette séduction tenait sans doute pour l’essentiel à son bon goût, qui lui faisait choisir les sujets les plus intéressants, ceux qui provoquaient l’étonnement dans les résultats ou dans les méthodes.


Le paragraphe suivant est certainement hors piste mais le lecteur peut bien sûr l’ignorer ! Je me bornerai à deux de ces sujets.

Quelques résultats de Salem

Voici le premier.

Riemann avait lancé l’étude des fonctions sommes de séries trigonométriques partout convergentes, et Cantor avait complété cette étude en montrant qu’une telle fonction détermine la série dont elle est la somme : c’est le théorème d’unicité. Autrement dit, si une série trigonométrique converge vers 0 partout, c’est la série nulle.

Séries trigonométriques

Étant donnée une suite de nombres complexes $u_n$ (avec $n$ entier relatif), la série
\[ \sum_n u_n \exp( 2 i \pi n x) \]
est appelée série trigonométrique. Si on fixe la valeur de $x$ dans l’intervalle $[0,1]$, on obtient une série de nombres complexes qui peut converger... ou pas. Le théorème d’unicité affirme que si la série converge pour tout $x$ et que sa somme est $0$ pour tout $x$, alors tous les $u_n$ sont nuls. Une autre formulation est que si deux séries trigonométriques convergent partout et ont la même somme, leurs coefficients sont identiques.

L’article suivant de Cantor, que l’on considère souvent comme l’acte de baptême de la théorie des ensembles, traite de la question suivante (je la traduis en termes actuels) : quels sont les ensembles $E$ de nombres réels tels que la seule série trigonométrique convergeant vers 0 hors de $E$ soit la série nulle ?
Encore aujourd’hui on n’a pas de caractérisation, et on se contente d’appeler de tels ensembles ensembles d’unicité, disons ensembles $U$, et les autres ensembles ensembles de multiplicité, disons ensembles $M$. Les ensembles $U$ sont de mesure de Lebesgue nulle, mais ce n’est pas suffisant.

Mesure de Lebesgue

Une partie $E$ de l’intervalle $[0,1]$ est de mesure de Lebesgue nulle si pour tout $\epsilon>0$, on peut trouver une collection d’intervalles $I_1,I_2, ..., I_n, ...$ qui recouvrent $E$ et dont la somme des longueurs est plus petite que $\epsilon$.

Par exemple, un ensemble fini est de mesure nulle. Plus généralement un ensemble dénombrable, c’est-à-dire un ensemble $\{ x_1, x_2, ..., x_n, ...\}$ dont on peut énumérer les éléments par une suite $x_n$, est de mesure nulle. Il existe cependant beaucoup d’ensembles de mesure nulle qui ne sont pas dénombrables.

Les ensembles dénombrables sont des ensembles $U$, comme aussi l’ensemble triadique de Cantor.

L’ensemble triadique de Cantor

Partez de l’intervalle $[0,1]$, coupez-le en trois intervalles de même longueur, $[0,1/3],]1/3;2/3[, [2/3,1]$ et retirez l’intervalle du milieu : il reste deux intervalles ! Faites subir le même traitement à chacun des deux intervalles : il vous reste quatre intervalles. Continuez ainsi à l’infini. Les points de $[0,1]$ qui survivent à toutes ces opérations de suppression d’intervalles forment un ensemble qu’on appelle triadique de Cantor. Il n’est pas dénombrable et sa mesure de Lebesgue est nulle.

Ici apparaît une jolie question : que dire des ensembles construits à la manière de Cantor, mais qui, au lieu d’être la réunion de deux parties qui leur sont homothétiques dans le rapport 1/3, sont la réunion de deux parties qui leur sont homothétiques dans le rapport $1/\theta$ ? Et voici la réponse : un tel ensemble est un ensemble $U$ si et seulement si $\theta$ est un entier algébrique dont tous les autres conjugués se trouvent à l’intérieur du disque unité du plan ${\bf C}$, c’est-à-dire un nombre de Pisot, ou de Pisot-Vijayagharan. Cela ne fut pas facile à établir, nécessita plusieurs étapes et collaborations, et c’est un joyau de l‘interaction entre séries trigonométriques et théorie des nombres.

Nombres algébriques et de Pisot

Un nombre $\theta$ est algébrique s’il est la solution d’une équation polynomiale à coefficients entiers. Si le coefficient du terme de plus grand degré de ce polynôme est $1$, on dit que $\theta$ est un entier algébrique.
Par exemple $\sqrt{2}$ est solution de $X^2-2=0$. Parmi tous les polynômes qui annulent un entier algébrique, on peut en considérer un dont le degré est minimal. Les racines de ce polynôme s’appellent les conjugués algébriques de $\theta$. Par exemple, les conjugués algébriques de $\sqrt{2}$ sont $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$. Si tous les conjugués de $\theta$ sauf lui-même, sont de module $<1$, on dit que $\theta$ est un nombre de Pisot. On peut en apprendre plus dans cet article.

Dans la foulée Salem donna une propriété remarquable des nombres de Pisot : ils forment un ensemble fermé sur la droite. Et il introduisit l’étude des entiers algébriques dont les autres conjugués se trouvent dans le disque unité fermé ; ceux qui ne sont pas des nombres de Pisot s’appellent aujourd’hui nombres de Salem. Salem a toujours pensé que les points d’accumulation de ces nombres sont les nombres de Pisot ; ce que Salem a pu montrer, c’est que tout nombre de Pisot est un point d’accumulation de nombres de Salem.

Et voici le second sujet, qui associe géométrie, analyse de Fourier et probabilités.

Il est plus difficile à exposer !

Ensembles de Salem

La géométrie fractale a popularisé la notion de dimension de Hausdorff ; par exemple, la dimension de Hausdorff de l’ensemble triadique de Cantor est log(2)/log(3). Si l’objet considéré est une partie fermée et bornée de la droite R, sa dimension de Hausdorff indique jusqu’à quel point une répartition de masses sur l’objet, $\mu$, peut être régulière, et la régularité de $\mu$ peut s’évaluer d’après le comportement de sa transformée de Fourier, $\hat{\mu}$. En particulier, si

$\displaystyle (*) \hskip 10mm \sup_{\mid u \mid >1} \Bigl( \mid\! \hat{\mu}(u) \!\mid \cdot \mid\! u \!\mid^{{a \over 2}} \Bigr) < \infty$,

la dimension de Hausdorff de l’objet est $\geqslant a$. On appellera dimension de Fourier de l’objet la borne inférieure des valeurs de a pour lesquelles $(*)$ a lieu pour une $\mu$ convenable. Elle est toujours majorée par la dimension de Hausdorff.

Les définitions se transcrivent de la droite au plan, à l’espace ordinaire et aux espaces euclidiens. La dimension de Hausdorff a une signification géométrique intuitive et profonde, que n’a pas la dimension de Fourier. Par exemple, dans le plan, un cercle et un carré (au sens de la réunion des côtés) ont la même dimension de Hausdorff, à savoir 1, mais la dimension de Fourier est 1 pour le cercle et 0 pour le carré. La dimension de Fourier de l’ensemble triadique de Cantor est 0.

Pour tout $\alpha>0$, il existe des objets dont les dimensions de Fourier et de Hausdorff sont égales à $\alpha$. Quand $\alpha$ est un entier, les sphères (le cercle si $\alpha=1$) font l’affaire. Mais sinon, comment faire ? Le résultat et la méthode sont dus à Salem, et j’ai proposé d’appeler ensembles de Salem les objets ayant cette propriété. C’est un cas où les constructions explicites sont inabordables, et où le résultat est obtenu par un procédé de construction aléatoire ; si la probabilité est bien choisie, « presque tous » les objets construits sont des ensembles de Salem.

La beauté du résultat de Salem tient à l’introduction dans cette question d’une méthode aléatoire, et du choix judicieux de la probabilité.

La puissance des probabilités dans la construction d’objets naturels en analyse avait été révélée déjà par Paley et Zygmund, puis par Salem et Zygmund, mais Salem me paraît le premier à prendre pour objets des ensembles, et à montrer la force des ensembles aléatoires.

Pour en savoir plus on peut se référer aux Œuvres mathématiques de Salem, éditées par Hermann en 1967
 [2], et à deux livres parus l’année même de sa mort, Algebraic numbers and Fourier series (Heath 1963), et, en collaboration avec moi, Ensembles parfaits et séries trigonométriques (Hermann 1963). Ce dernier livre a eu un certain impact en France lors de sa parution, et une édition actualisée a été publiée en 1994, mais il n’avait été traduit dans aucune langue étrangère ; une traduction chinoise de la version actualisée est en cours, cinquante ans après la première édition
 [3].


Salem a été le pionnier dans la construction d’ensembles aléatoires répondant à des problèmes d’analyse dans lesquels la construction d’ensembles explicites était inabordable. L’usage des probabilités en analyse de Fourier lui a été communiquée par Zygmund, et il me l’a révélée. Mais les ensembles aléatoires interviennent également en combinatoire, en théorie des graphes, et là le rôle de pionnier revient à Paul Erdös. Salem et Erdös se connaissaient, mais je ne crois pas qu’aucun des deux ait influencé l’autre.

Le nom de Salem a été illustré par une initiative de Madame Adriana Salem en 1968. Elle a proposé de fonder un prix annuel pour mettre en évidence un jeune mathématicien travaillant dans un des domaines des recherches de Salem. J’ai participé avec Zygmund et Pisot aux premiers jurys de ce prix. Au cours du temps la valeur financière du prix Salem est tombée à zéro, mais la valeur des lauréats continue à lui conférer une audience enviable. Voici comment se présente la dernière attribution du prix.

The Salem Prize 2011 has been awarded to Dapeng Zhan from Michigan State University and Julien Dubedat from Columbia University for their outstanding work on the Schramm-Loewner Evolutions (SLE), specifically for the proof of the reversibility and duality conjectures.

The prize, in memory of Raphael Salem, is awarded yearly to young researchers for outstanding contributions to the field of analysis.

Previous winners of the Salem Prize include the following mathematicians :
N. Varopoulos, R. Hunt, Y. Meyer, C. Fefferman, T. Körner,
E.M. Nikišin, H. Montgomery, W. Beckner, M.R. Herman, S.B. Bočkarëv,
B.E. Dahlberg, G. Pisier, S. Pichorides, P. Jones,
A.B. Aleksandrov, J. Bourgain, C. Kenig, T. Wolff, N.G. Makarov, G. David, J.L. Journé, A.L. Vol’berg, J-C. Yoccoz, S.V. Konyagin, C. McMullen, M. Shishikura, S. Treil, K. Astala, H. Eliasson,
M. Lacey, C. Thiele, T. Wooley, F. Nazarov, T. Tao, O. Schramm,
S. Smirnov, X. Tolsa, E. Lindenstrauss, K. Soundararajan,
B. Green, A. Avila, S.Petermichl, A. Venkatesh,
B. Klartag, A. Naor and Nalini Anantharaman.

The prize committee consisted of J. Bourgain, C. Fefferman, P. Jones, N. Nikolski, G. Pisier, P. Sarnak and J-C. Yoccoz.

Parler de l’œuvre des lauréats du prix Salem serait balayer l’essentiel de l’analyse harmonique contemporaine.

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Post-scriptum :

L’auteur tient à remercier chaleureusement toutes les personnes impliquées dans le travail de relecture de ce texte, notamment Nicolas Bédaride, Serge Cantat, Carole Gaboriau, Michel Marcus, Aline Parreau, Bertrand Rémy et Jacqueline Struffi.

Article édité par Bertrand Rémy

Notes

[1Il avait un style personnel qui mêlait la verve et le naturel, la précision et l’élégance. La manière avec laquelle il expliquait les choses essentielles sans calculs était toujours admirée par ceux qui écoutaient ses conférences et appréciaient les difficultés dans les présentations mathématiques.

[2On peut lire ici la préface d’Antoni Zygmund.

[3Les deux sujets que j’ai considérés ici font l’objet des chapitres 6 et 8 du livre de Kahane-Salem. Les nombres de Salem sont étudiés dans le livre de Salem.

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Pour citer cet article :

Jean-Pierre Kahane — «Salem» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

img_10017 - http://abravanel.wordpress.com/tag/emmanuel-salem/
img_10018 - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:TombeRaphaëlSalem.JPG
img_10020 - http://www.univ-rouen.fr/LMRS/Salem/photosalem.html
img_10085 - extrait des œuvres de Salem

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